专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)

绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

绝对值不等式的解法（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2019秋•海淀区期末）不等式|1|2x -的解集是( ) A ．{|3}x xB ．{|13}x xC ．{|13}x x -D ．{|33}x x -2．（2018秋•石景山区期末）关于x 的不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．1[,)6+∞B ．1[,)3+∞C ．1[,)2+∞D ．1[,)12+∞3．（2015•北京校级模拟）已知集合2{20}A x x =-->，集合{|||3}B x x a =-<，若A B R =，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，2]B ．(1,2)-C ．[1-，2]D ．(2,1)-4．（2013•宣武区校级模拟）不等式|1||2|5x x -+-的解集为( ) A ．{|1x x -或4}x B ．{|1x x 或2}xC ．{|1}x xD ．{|2}x x5．（2012秋•海淀区校级月考）不等式|3||1|x x a ++-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，3]B ．[1-，3]C ．(-∞，4]D ．[4，)+∞6．（2012•房山区校级学业考试）不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．3x <B ．1x >-C ．1x <-或3x >D ．13x -<<二．填空题（共2小题）7．（2019秋•海淀区校级期中）不等式|2|3x -<的解集是 ．8．（2018秋•通州区期中）已知函数()||4f x x x x =-，那么不等式2()()0f x f x --<的解集为 ． 三．解答题（共4小题）9．（2019秋•海淀区校级期中）设关于x 的不等式||2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．10．（2018秋•海淀区校级月考）已知()|2||3|f x x ax =+--． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）当03a <时，若(0,2)x ∈，求证：()1f x x >-．11．（2018秋•海淀区校级月考）设函数()|3|||10f x x x a =++--． （1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）如果对任意的x ，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围．12．（2017春•西城区校级期末）若实数x ，y ，m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ． （Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）()i 对0x >，比较(1)ln x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． ()ii 已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232n a a a a e ⋯<．绝对值不等式的解法（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019秋•海淀区期末）不等式|1|2x -的解集是( ) A ．{|3}x xB ．{|13}x xC ．{|13}x x -D ．{|33}x x -【分析】根据|1|2x -去绝对值解不等式即可． 【解答】解：|1|2x -，212x ∴--，13x ∴-，∴不等式的解集为{|13}x x -．故选：C ．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．2．（2018秋•石景山区期末）关于x 的不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．1[,)6+∞B ．1[,)3+∞C ．1[,)2+∞D ．1[,)12+∞【分析】把不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞，转化为x R ∀∈，2|1|30ax x a -++恒成立，分离参数a ，可得22|1|1||33x x ax x ++=++，构造函数令21()||3x g x x +=+，然后利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞， 即x R ∀∈，2|1|30ax x a -++恒成立， 22|1|1||33x x ax x ++∴=++， 令21()||3x g x x +=+， 当1x =-时，()0g x =； 当1x ≠-时，211()||||43121x g x x x x +==+++-+， 若10x +>，则4(1)22(1)2211x x x x ++-+-=++， 当且仅当411x x +=+，即1x =时上式“=”成立； 若10x +<，则44(1)2[(1)]22[(1)]261(1)(1)x x x x x x ++-=--++----=-+-+-+， 当且仅当4(1)(1)x x -+=-+，即3x =-时上式“=”成立．4(1)2(1x x ∴++-∈-∞+，6][2-，)+∞． ()(0g x ∴∈，1]2．12a∴． 则实数a 的取值范围是1[,)2+∞．故选：C ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 3．（2015•北京校级模拟）已知集合2{20}A x x =-->，集合{|||3}B x x a =-<，若A B R =，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，2]B ．(1,2)-C ．[1-，2]D ．(2,1)-【分析】求出两个集合，然后利用并集求解即可． 【解答】解：集合2{20}{|1A x x x x =-->=<-或2}x >， 集合{|||3}{|33}B x x a x a x a =-<=-<<+， 若AB R =，可得31a -<-并且32a +>，解得(1,2)a ∈-． 故选：B ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，二次不等式的解法，并集的应用，考查计算能力． 4．（2013•宣武区校级模拟）不等式|1||2|5x x -+-的解集为( ) A ．{|1x x -或4}x B ．{|1x x 或2}xC ．{|1}x xD ．{|2}x x【分析】利用绝对值的意义，|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|5x x -+-=的点的坐标为1-和4，从而得出结论．【解答】解：|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|5x x -+-=的点的坐标为1-和4，故不等式|1||2|5x x -+-的解集为{|1x x -或4}x ， 故选：A ．【点评】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断数轴上满足|1||2|5x x -+-=的点的坐标为1-和4，是解题的关键．5．（2012秋•海淀区校级月考）不等式|3||1|x x a ++-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，3]B ．[1-，3]C ．(-∞，4]D ．[4，)+∞【分析】构造函数()|3||1|f x x x =++-，利用绝对值的意义可求得()min f x ，从而可得答案．【解答】解：不等式|3||1|x x a ++-对任意实数x 恒成立， 令()|3||1|f x x x =++-， 则()min a f x ．由绝对值的几何意义可得：()|3||1||3(1)|4f x x x x x =++-+--=，()4min f x ∴=．4a ∴．即实数a 的取值范围是(-∞，4]． 故选：C ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的意义及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题． 6．（2012•房山区校级学业考试）不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．3x <B ．1x >-C ．1x <-或3x >D ．13x -<<【分析】利用||(0)x a a <>等价于a x a -<< 求得此不等式的解集． 【解答】解：由不等式|1|2x -<得212x -<-<， 13x ∴-<<，故选：D ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用了||x a < 等价于a x a -<<． 二．填空题（共2小题）7．（2019秋•海淀区校级期中）不等式|2|3x -<的解集是 {|15}x x -<< ． 【分析】根据|2|3x -<，可得323x -<-<，然后解出不等式即可． 【解答】解：|2|3x -<，323x ∴-<-<， 15x ∴-<<，∴不等式的解集为{|15}x x -<<．故答案为：{|15}x x -<<．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．8．（2018秋•通州区期中）已知函数()||4f x x x x =-，那么不等式2()()0f x f x --<的解集为 {|4x x >，或40}x -<< ．【分析】要解得不等式即2(||4)(||4)0x x x x x x -+--<，化简可得即(4||)0x x -<，故有04||0x x >⎧⎨-<⎩①，或04||0x x <⎧⎨->⎩②．分别解出①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：函数()||4f x x x x =-，那么不等式2()()0f x f x --<，即2(||4)(||4)0x x x x x x -+--<，化简可得4||x x x <，即(4||)0x x -<，∴04||0x x >⎧⎨-<⎩①，或04||0x x <⎧⎨->⎩②．解①求得4x >，解求得40x -<<，故不等式的解集为{|4x x >，或40}x -<<， 故答案为：{|4x x >，或40}x -<<．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 三．解答题（共4小题）9．（2019秋•海淀区校级期中）设关于x 的不等式||2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）解不等式可得{|22}A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<； （Ⅱ）利用A B ⊆可得22a --，23a +即可得a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）||2x a -<，22x a ∴-<-<， 22a x a ∴-<<+，{|22}A x a x a ∴=-<<+， 2112x x -<+，∴302x x -<+， (2)(3)0x x ∴+-<，23x ∴-<<， {|23}B x x ∴=-<<；（Ⅱ）A B ⊆，22a ∴--，23a +， 01a ∴，即a 的取值范围为[0，1]．【点评】本题考查了解不等式，集合的运算，属于中档题． 10．（2018秋•海淀区校级月考）已知()|2||3|f x x ax =+--． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）当03a <时，若(0,2)x ∈，求证：()1f x x >-． 【分析】（1）按照：①当2x <- 时；②当322x-时；③当32x >时，三种情况去绝对值分别解不等式再相并； （2）先将要证不等式转化为证：|3|3ax -<，再用不等式的基本性质可证． 【解答】解（1）2a =时，不等式化为|2||23|2x x +--> ①当2x <- 时，2232x x --+->，不等式无解； ②当322x-时，2232x x ++->，不等式无解；③当32x >时，2232x x +-+>，解得332x <<； 综上所述()2f x >的解集为3(2，3)．（2）当(0,2)x ∈时，()2|3|f x x ax =+--，即要证()(1)2|3|13|3|0f x x x ax x ax --=+---+=-->，即|3|3ax -<，03a <，02x <<，0236ax ∴<<⨯=，333ax ∴-<-<，|3|3ax ∴-<， 即()1f x x >-【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．11．（2018秋•海淀区校级月考）设函数()|3|||10f x x x a =++--． （1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）如果对任意的x ，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 【分析】（1）分3段去绝对值解不等式，再相并；（2）先用绝对值不等式的性质得()f x 的最小值，再将不等式恒成立转化为最小值，解不等式即可．【解答】解：（1）1a =时，()0|3||1|10f x x x >⇔++->可得13110x x x ⎧⎨++->⎩或33110x x x -⎧⎨---+>⎩或313110x x x -<<⎧⎨++->⎩， 解得6x <-或4x >，所以不等式的解集为{|6x x <-，或4}x > （2）()|3|||10|(3)()|10|3|10f x x x a x x a a =++--+---=+-，所以对任意的x ，不等式()0f x >恒成立等价于|3|100a +->， 解得13a <-或7a >．所以a 的取值范围是13a <-或7a >．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．12．（2017春•西城区校级期末）若实数x ，y ，m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ． （Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）()i 对0x >，比较(1)ln x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． ()ii 已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232n a a a a e ⋯<．【分析】（Ⅰ）根据定义可得不等式，再按照绝对值不等式的解法求解，即可求实数x 的取值范围；（Ⅱ）()i 由题意，|(1)0||0|(1)ln x x ln x x +---=+-，记()(1)f x ln x x =+-，利用导数证明()f x 在(0,)+∞内单调递减，即可得到结论；()ii 利用()i 的结论，利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，|1(1)||(1)|x x +--<---，即|2||1|x x +<-． 此不等式同解于22(2)(1)x x +<-，解得12x <-；（Ⅱ）()0i x >，(1)0ln x ∴+>，|(1)0||0|(1)ln x x ln x x ∴+---=+-．记()(1)f x ln x x =+-，则(0)0f =． 1()1011xf x x x-'=-=<++， ()f x ∴在(0,)+∞内单调递减． ()(0)0f x f ∴<=，即(1)ln x x +<． (1)ln x ∴+比x 靠近0；()ii 显然120n ->．由()i 的结论，得2323()n n ln a a a lna lna lna ⋯=++⋯+121121(12)(12)(12)222n n ln ln ln ------=++++⋯++<++⋯+111112(12)211212n ------=<=--， 23n a a a e ∴⋯<．又12a =，1232n a a a a e ∴⋯<．【点评】本题通过新定义来考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，正确理解新定义是关键，是中档题．。

高三数学绝对值不等式试题答案及解析1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.3.不等式有实数解的充要条件是_____.【答案】．【解析】记，则不等式有实数解等价于，因为，故【考点】绝对值三角不等式.4.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．5.解不等式|2x－4|＜4－|x|.【答案】【解析】原不等式等价于①或②或③不等式组①无解．由②0<x≤2，③2<x<，得不等式的解集为.6.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】≤x≤【解析】由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)·(a－b)≥0时取等号，∴的最小值等于2.∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为(为参数), 则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A. ； B．； C．【解析】A. 先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C. 由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.9.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法10.已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）a≥4【解析】(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.∴x≥或x≤.∴不等式的解集为.注：也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0.又a>0，∴a≥4.11.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．【答案】（1）M＝{x|0＜x＜1}（2）ab＋1＞a＋b【解析】(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.12.不等式的解集是 .【答案】【解析】由题意可得，，解得．【考点】绝对值不等式的解法．13.不等式的解集是________．【答案】【解析】，当即时，则或，所以，故此时不成立；当即时，显然恒成立，故答案为.【考点】绝对值不等式的解法.14.已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】D【解析】因为|x＋2|＋|x|的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有a≥2.15.不等式的解集是．【答案】【解析】含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为，它等价于，这是二次不等式，解得，还要注意题目要求写成集合形式．【考点】解不等式．16.不等式的解集为 .【答案】【解析】即两边平方得，，，所以，不等式的解集为.【考点】绝对值不等式的解法17.已知函数f(x)=|x+2|+|2x－4|（1）求f(x)＜6的解集；（2）若关于的不等式f(x)≥m2－3m的解集是R，求m的取值范围【答案】（1）不等式的解是{x|0＜x＜}；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用函数的单调性求出最小值证明恒成立问题试题解析：（I）由题设知：当时，不等式等价与，即； 2分当时，不等式等价与，即； 4分当时，不等式等价与，即无解所以满足不等式的解是 6分（II）由图像或者分类讨论可得的最小值为4 8分则，解之得，【考点】1 绝对值不等式的解法；2 恒成立问题；3 分段函数的最值问题18.设关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】由题意当时，，当时，，即，由，则或，所以实数的取值范围为.【考点】绝对值不等式.19.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】∵|x-1|-|x-2|=|x-1|-|2-x|≤|x-1-x+2|=1，若不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则|x-1|-|x-2|＜a2+a+1恒成立，即a2+a+1＞1，解得x＜-1或x＞0.∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.函数恒成立问题20.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.第一问，利用零点分段法进行分段，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；第二问，先将不等式的解集非空，转化为，利用绝对值的运算性质，求出函数的最小值4，所以，再解绝对值不等式，得到的取值范围.试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于或或 3分解得或或即不等式的解集为 5分（Ⅱ） 8分∴或. 10分【考点】1.绝对值的运算性质；2.绝对值不等式的解法.21.已知函数，其中实数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.【答案】(1)不等式的解集为;(2)【解析】（1）将代入得一绝对值不等式：，解此不等式即可.（2）含绝对值的不等式，一般都去掉绝对值符号求解。

选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．ab≤0且|a ab≥0且|a定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则()()≥(i b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1(1)(2)(3)|(4)(5)[2AC[[答案] A3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是() A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.[答案] B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为()A．1 B．C. D．2[∴([5[为－2≤a[解|(1)(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.[解题指导]切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析](1)当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等当当(2)当当当[对点训练已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解](1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当?4右|x 1.是(2)[[解析](1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.即实数a的取值范围是.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于P A－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案](1)(2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立?a>f(x)max，f(x)>a恒成立?a<f(x)min.(1)(2)[解－a?a－3≤x≤3.故(2)f不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.由a＋(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.———————方法规律总结————————[12条件．3．[121[解析]|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.[答案](－1,2)2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.[解析]∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.[答案] 23．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集为________．[解析]当x≤－时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－，此时－<x≤－.当－<x<1时，原不等式等价为(2x＋1)－(x－1)<2，即x<0，此时－<x<0.当x≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x－1)<2，即3x<2，x<，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x<0，即原不等式的解集为.[答案]4[[5．[故[6．[3a－1＋2a＝[7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是__________．[解析]∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．[解析]若x－1<0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2>(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以(舍去)或对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.综上，a<1.[答案](－∞，1)9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为__________．[＝≥2[10．[即∴[11[解析]∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x)·x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]只要函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，无解；当a<0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[13(1)(2)[解若若若(2)f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知，f(x)≥1，∴2a>1，a>，即a的取值范围为.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.(2)a＋1,0)，C(a，a15(1)(2)[解f(x).(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a<1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a；若a>1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.∴对于?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)(2)[解又(2)(42＝即a当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.。