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1.2 绝对值不等式2.绝对值不等式的解法练习1．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B等于( ) A．{x|2≤x≤3} B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x≤3} D．{x|－1＜x＜3}2．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是( )A．{x|x＞32} B．{x|32＜x≤3}C．{x|x≥3} D．{x|－3＜x≤0}3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)4．设|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是( )A．a2B．0＜a2C．a2D．以上都不正确5．已知y＝log a(2－ax)在[0,1]上是增函数，则不等式log a|x＋1|＞log a|x－3|的解集为( )A．{x|x＜－1} B．{x|x＜1}C．{x|x＜1且x≠－1} D．{x|x＞1}6．不等式|1||1|xx-+≥1的解集为________．7．不等式|2x－1|＋x＞1的解集是________．8．关于x的不等式1＜|2x＋1|≤3的解集为________．9．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．10．已知实数a，b满足：关于x的不等式|x2＋ax＋b|≤|2x2－4x－16|对一切x∈R均成立．(1)请验证a＝－2，b＝－8满足题意；(2)求出所有满足题意的实数a，b，并说明理由；(3)若对一切x＞2，均有不等式x2＋ax＋b≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．参考答案1.答案：C A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|x＞2或x＜－1}．∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．2.答案：A 当x≤－3时，有－(x＋3)＋(x－3)＞3，即－6＞3，无解．当－3＜x＜3时，有x＋3＋x－3＞3，则x ＞32，∴32＜x＜3.当x≥3时，有x＋3－(x－3)＞3，即6＞3，∴x≥3.综上，不等式的解集为{x|x＞32 }．3．答案：A 由绝对值的几何意义得，|x＋3|－|x－1|的最大值为4.∴a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.4.答案：B|x－2|＜a A＝(2－a,2＋a)，|x2－4|＜1B＝(5,3)--∪(3,5)．A是B的充分条件必有A B.即2523aa⎧-≥-⎪⎨+≤-⎪⎩2523aa⎧≤+⎪⎨≤--⎪⎩a≤23--.∵a≤23--与a＞0矛盾，∴舍去．或2325aa⎧-≥⎪⎨+≤⎪⎩2352aa⎧≤-⎪⎨≤-⎪⎩a52.∴0＜a52.5. 答案：C 因为a＞0，且a≠1，所以2－ax为减函数．又因为y＝log a(2－ax)在[0,1]上是增函数，所以0＜a＜1，则y＝log a x为减函数．所以|x＋1|＜|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0.由|x＋1|＜|x－3|，得(x＋1)2＜(x－3)2，即x2＋2x＋1＜x2－6x＋9，解得x＜1.又x≠－1且x≠3，所以解集为{x|x＜1且x≠－1}．6.答案：(－∞，－1)∪(－1,0]7.答案：{x|x＞23或x＜0} 方法一：把|2x－1|＋x＞1移项，得|2x－1|＞1－x，把此不等式看作|f(x)|＞a的形式得2x－1＞1－x或2x－1＜－(1－x)，∴x＞23或x＜0，故解集为{x|x＞23或x＜0}．方法二：用分类讨论的方法去掉绝对值符号．当x＞12时，2x－1＋x＞1，∴x＞23；当x≤12时，1－2x＋x＞1，∴x＜0.综上得原不等式的解集为{x|x＞23或x＜0}．8.答案：{x|0＜x≤1或－2≤x＜－1} 原不等式可化为|21|3,|21| 1.xx+⎧⎨+>⎩≤①②解不等式①，得－3≤2x＋1≤3，∴－2≤x≤1.解不等式②，得2x＋1＞1或2x＋1＜－1，∴x＞0或x＜－1.∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}∩{x|x＞0或x＜－1}＝{x|0＜x≤1或－2≤x＜－1}．9.解：(1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝15,2133,4,25, 4.x xx xx x⎧--≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象(图象略)，它与直线y＝2的交点为(－7,2)和(53，2)，所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪(53，＋∞)．(2)由y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，当x＝12-时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值92-.10．解：(1)当a＝－2，b＝－8时，有|x2＋ax＋b|＝|x2－2x－8| ≤2|x2－2x－8|＝|2x2－4x－16|.(2)在|x2＋ax＋b|≤|2x2－4x－16|中，分别取x＝4，x＝－2，得|164|0,|42|a ba b++⎧⎨-+⎩≤≤0,所以1640,420,a ba b++=⎧⎨-+=⎩所以a＝－2，b＝－8，因此满足题意的实数a，b只能是a＝－2，b＝－8.(3)由x2＋ax＋b≥(m＋2)x－m－15(x＞2)，所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∴对一切x＞2，均有不等式2471x xx++-≥m成立，而2471x xx-+-＝(x－1)＋41x-－2≥2＝2(当x＝3时等号成立)，∴实数m的取值范围是(－∞，2]．。
绝对值不等式的解法1．绝对值不等式的解法【知识点的认识】绝对值不等式的解法1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集不等式a＞0 a＝0 a＜0|x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅∅|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或ax+b≤﹣c；（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【解题方法点拨】1、解绝对值不等式的基本方法：（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|．。
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一)【例1】解下列不等式:(1)1<|x+2|<5;(2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式||x2|1x21或x1xx 2|55x257x3.3,故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式0,x21x 2x20,或,51x 2 5x2, 1xx2,或-1<x<3或-7<x<-3.37x 3∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式x4,3x x4x3,4或83x x48,x 或x 3,3x48x4,12x或8748x 3,3,x或2x 7.79∴x>或x<.229∴原不等式的解集为{x|x<或x>272}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0, 构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=2x94, 1,4x3,2x 7,x 3.作出函数的图象如图.从图象可知当x> 温馨提示729或x<时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>272或x<9}.21在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方 法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练 1 解下列不等式:(1)| 3x x 24|≤1;(2)|x+3|-|2x-1|> x 2+1.解析:(1)原不等式2x 4 0 9x(x22229x (x4) 2x2x17x4216x2x 2 x 1或216-1≤x≤1 或 x≤-4 或 x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1 或 x≤-4 或 x≥4}. (2)由 x+3=0,得 x 1=-3, 1由 2x-1=0,得 x 2= .2x①当 x<-3时,不等式化为 x-4> +1,解得 x>10,而 x<-3,故此时无解;21 x2 2②当-3≤x< 时,不等式化为 3x+2> +1,解得 x>,这时不等式的解为 <x< 2 25 51x1③当 x≥ 时,不等式化为-x+4> +1,即 x<2,这时不等式的解为 ≤x<2.22 22 综合上述,原不等式的解集为{x|<x<2}. 5变式提升 1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,1 2;2x 即5x 5x5 51,1.2x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x> 7a2有解条件为7a2<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x< a272有解条件为a27>4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理:∵|x-4|+|x-3|=|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式|x2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式22xx990,x 32x9或x290,x3由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式x3x(x3)x9x23xx333x或2≤x≤4.4∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}.温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,f f (x)(x)0,(f x)或g(x)f(x)0,g(x).)g(x0,另一种则是转化为f(x)来求.g(x)g(x)当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-1<x< 1 5 ,∴0≤x<1 5 .由①②知原不等式的解集为{x|x< 变式提升215 }.(1)解不等式|x2-3x+2|>x2-3|x|+2.3解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x2-3x+2|和y=x2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}.(2)解不等式|x+1|(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7.证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或b b|f()|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当||≤2时,有|f( 2a2a由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.b)|≤7. 2a由fffa(0c,)(1)abb c,得(1)a b c,c1212[f(1)[f(1)f(0).f (1)2f (1)],f(0)],∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7.∵|b|=12|f(1)-f(-1)|≤12(|f(1)|+|f(-1)|)≤12(1+1)=1,∴当|b|≤2时,|f(2a b)|=|2a4acb24a|=|cb2|=|c4ab·2ab2|≤|c|+|b2a|·|b|21+2×12=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x2+ax+b(x、a、b∈R,a、b是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不1小于.211证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于,即有|f(1)|< ,|f(2)|<22111于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<+ +2×=2.22212,|f(3)|<12.4又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于变式提升312. 已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a2+b2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤22≤f(x)≤2f(x)min≥2且f(x)max≤2.若a>0,则f(x)max=f(1)=a+b≤2(a2b2)2,f(x)min=f(-1)=-a+b≥2[(a2)b2]2.若a=0,则f(x)=b且b2=1,∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max=f(-1)=-a+b≤2(a2b2)2,f(x)min=f(1)=a+b≥2(a2b2)2.综上,知不等式成立.证法二:|f(x)|2-( 2)2=(ax+b)2-2(a2+b2)=a2x2+b2+2abx-2(a2+b2)≤a2+b2+2abx-2(a2+b2)=2abx-a2-b2≤2abx-a2x2-b2=-(ax-b)2≤0,∴|f(x)|≤2.5。
1.2.2 绝对值不等式的解法预习案一、预习目标及范围1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题．二、预习要点教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a∅ ∅ |x |>a {x ∈R |x ≠0} R教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法1．利用绝对值不等式的几何意义求解．2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．三、预习检测1.不等式|x ＋1|＞3的解集是( )A ．{x |x ＜－4或x ＞2}B ．{x |－4＜x ＜2}C ．{x |x ＜－4或x ≥2} D.{x |－4≤x ＜2}2.不等式|x ＋1|＋|x ＋2|＜5的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72 3.在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．探究案一、合作探究题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．[再练一题]1．解不等式：(1)3＜|x＋2|≤4；(2)|5x－x2|≥6.题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题例2已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【精彩点拨】解f x≤3，由集合相等，求a→求y＝f x＋f x＋5的最小值，确定m的取值范围[再练一题]2．关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|)<m.(1)当m＝1时，解此不等式；(2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x)<m恒成立？题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x＋2|＞|x－1|；(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.【精彩点拨】(1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．[再练一题]3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)>2.二、随堂检测1．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.参考答案预习检测：1.【解析】 由|x ＋1|＞3，得x ＋1＞3或x ＋1＜－3，因此x ＜－4或x ＞2.【答案】 A2.【解析】 |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|＜5解集是(－4,1)．【答案】 C3.【解析】 不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，由绝对值的几何意义知(如图)，当－32≤x ≤32时，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3成立．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 随堂检测：1.【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【答案】 B2.【解析】 由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3.【解析】 |x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－32且x ≠－2 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
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1.2.2 绝对值不等式的解法
自我小测
1．不等式3≤|5－2x|＜9的解集为( )．
A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
2．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是( )．
A． B．
C．{x|x≥3} D．{x|－3＜x≤0}
3．已知y＝loga(2－ax)在(0,1)上是增函数，则不等式loga|x＋1|＞loga|x－3|的解集
为( )．
A．{x|x＜－1} B．{x|x＜1}
C．{x|x＜1，且x≠－1} D．{x|x＞1}
4．x2－2|x|－15＞0的解集是____________．
5．不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为__________．
6．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，则f(－2)＝______；若f(x)≤5，则x的取值范围
是______．
7．不等式4＜|3x－2|＜8的解集为______．
8．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤1．
9．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.如果对任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
10.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
参考答案
1. 答案：D
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解析：
所以不等式的解集是(－2,1]∪[4,7)．
2. 答案：A
3. 答案：C
解析：因为a＞0，且a≠1，所以2－ax为减函数．
又因为y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，
所以0＜a＜1，则y＝logax为减函数．
所以|x＋1|＜|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0.
由|x＋1|＜|x－3|，得(x＋1)2＜(x－3)2，
即x2＋2x＋1＜x2－6x＋9，
解得x＜1．又x≠－1，且x≠3，
所以解集为{x|x＜1，且x≠－1}．
4. 答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)
解析：∵x2－2|x|－15＞0，即|x|2－2|x|－15＞0，
∴|x|＞5，或|x|＜－3(舍去)．
∴x＜－5，或x＞5.
5. 答案：{x|x≥1}
解析：原不等式可化为或
或
∴x∈，或1≤x＜2，或x≥2.
∴不等式的解集是{x|x≥1}．
6. 答案：6 [－1,1]
解析：f(－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6.
|2x－1|＋x＋3≤5，即|2x－1|≤2－x，
