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第1节绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.( )(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( )(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( )(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A.(－∞，4)B.(－∞，1)C.(1，4)D.(1，5)解析 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4). 答案 A3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________.解析 由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a |≥3，则a ≥3或a ≤－3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)4.若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a .故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32， 故y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的解析式及图象知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或1<x <3，或x >5.【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4，f (x )≥g (x )⇔x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x >1时，f (x )≥g (x )⇔x 2＋x －4≤0， 解之得1<x ≤17－12.②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x )⇔(x －2)(x ＋1)≤0， 则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (x )⇔x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 又x <－1，∴不等式此时的解集为空集.综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立. 则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立.则只需⎩⎪⎨⎪⎧12－a ·1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0， 解之得－1≤a ≤1.故a 的取值范围是[－1，1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.【训练1】 已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＋x 2－4>0的解集；(2)设g (x )＝－|x ＋7|＋3m ，若关于x 的不等式f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围. 解 (1)不等式f (x )＋x 2－4>0，即|x －2|>4－x 2. 当x >2时，不等式可化为x 2＋x －6>0，解得x >2； 当x <2时，不等式可化为x 2－x －2>0，解得x <－1. 所以原不等式的解集为{x |x >2或x <－1}. (2)依题意，|x －2|<3m －|x ＋7|解集非空， ∴3m >|x －2|＋|x ＋7|在x ∈R 上有解， 又|x －2|＋|x ＋7|≥|(x －2)－(x ＋7)|＝9， 所以3m >9，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞). 考点二 绝对值不等式性质的应用【例2－1】 设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由.(1)证明 设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x >1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12.因此集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则|a |<12，|b |<12. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)解 由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1 ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.【例2－2】 对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m .(1)求m 的值；(2)(一题多解)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m . 解 (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立， 即|a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2，所以M ≤2.因此m ＝2.(2)不等式|x －1|＋|x －2|≤m ， 即|x －1|＋|x －2|≤2.法一 由于|x －1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和； 而数轴上12和52对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x －1|＋|x －2|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52.法二 ①当x <1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2， 解得x ≥12，即12≤x <1.②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2， 即1≤x ≤2.③当x >2时，不等式为(x －1)＋(x －2)≤2，解得x ≤52，即2<x ≤52.综上可知，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52.规律方法 1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法. 2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用.【训练2】 对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围.解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6，则|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞). 考点三 绝对值不等式的综合应用【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解 (1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.①当x ≤－1时，f (x )＝－3≥1无解； ②当－1<x <2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ， 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x 有解，又|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54.当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.规律方法 1.例3第(1)问分段讨论，求得符合题意的x 取值范围，最后取并集. 2.(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决.(2)本题分离参数m ，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程. 【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞).基础巩固题组 (建议用时：50分钟)1.(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，求a 的值.解 (1)当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3； 当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.2.已知函数f (x )＝|ax －2|.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )>x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )<1m有实数解，求m 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|>x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2>x ＋1，解得x >3. 当x <1时，不等式化为2－2x >x ＋1，解得x <13.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3或x <13.(2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2|≥|ax －2－ax －2|＝4，所以f (x )＋f (－x )的最小值为4，又f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，所以1m>4.则m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 3.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).4.(2018·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为L (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，已知A (x ，1)，B (1，2)，C (5，2)三点. (1)若L (A ，B )>L (A ，C )，求x 的取值范围；(2)当x ∈R 时，不等式L (A ，B )≤t ＋L (A ，C )恒成立，求t 的最小值. 解 (1)由定义得|x －1|＋1>|x －5|＋1， 则|x －1|>|x －5|，两边平方得8x >24，解得x >3. 故x 的取值范围为(3，＋∞).(2)当x ∈R 时，不等式|x －1|≤|x －5|＋t 恒成立，也就是t ≥|x －1|－|x －5|恒成立， 因为|x －1|－|x －5|≤|(x －1)－(x －5)|＝4， 所以t ≥4，t min ＝4. 故t 的最小值为4.5.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增； ∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn≥2，由于m >0，n >0， 则1m ＋1n ≥21mn≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号. ∴1m ＋1n的最小值为2 2.能力提升题组 (建议用时：30分钟)6.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5， 所以－7＜|x －1|＜3， 解不等式得－2＜x ＜4，所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}. (2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ， 使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|2x －a －(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2， 解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}.7.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－x . (1)解不等式f (x )>g (x )；小中高 精品 教案 试卷(2)若存在实数x ，使不等式m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )成立，求实数m 的最小值.解 (1)原不等式f (x )>g (x )化为|x －2|＋x >|x ＋1|，当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1.当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1.当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3.综上所述，不等式f (x )>g (x )的解集为{x |－3<x <1或x >3}.(2)由m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )可得m ≥|x －2|＋|x ＋1|，由题意知m ≥(|x －2|＋|x ＋1|)min ，∵|x －2|＋|x ＋1|≥|x －2－(x ＋1)|＝3，∴m ≥3，故实数m 的最小值是3.8.(2018·郑州模拟)已知不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞).(1)求实数m 的值；(2)若不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x对x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由|x －m |<|x |，得|x －m |2<|x |2，即2mx >m 2，又不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞)，则1是方程2mx ＝m 2的解，解得m ＝2(m ＝0舍去).(2)∵m ＝2，∴不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x对x ∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a －5<|x ＋1|－|x －2|<a ＋2对x ∈(0，＋∞)恒成立.设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0<x <2，3，x ≥2， 当0<x <2时，f (x )在(0，2)上是增函数，则－1<f (x )<3，当x ≥2时，f (x )＝3.因此函数f (x )的值域为(－1，3].从而原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a －5≤－1，a ＋2>3，解得1<a ≤4.所以实数a 的取值范围是(1，4].小中高精品教案试卷。
第1节绝对值不等式1.(2017·兰州一模)已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求m的取值范围;(2)若m的最大值为n,解关于x的不等式:|x-3|-2x≤2n-4.解:(1)因为函数的定义域为R,所以|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立,设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,则m不大于函数g(x)的最小值,又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值为4,所以m≤4.(2)当m取最大值4时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,所以有或解得x≥3或-≤x<3.所以,原不等式的解集为xx≥-.2.(2017·安徽马鞍山二模)已知函数f(x)=|x-a|-2x, g(x)=|x-2|-|x+1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)<2的解集;(2)当x∈[0,1]时,总有f(x)≤g(x),求a的取值范围.解:(1)当a=1时,不等式为|x-1|-2x<2,即或⇔x≥1或-<x<1⇔x>-,所以原不等式的解集为(-,+∞).(2)f(x)≤g(x)⇔|x-a|-2x≤2-x-x-1⇔|x-a|≤1⇔a-1≤x≤a+1,由已知条件得⇔⇔0≤a≤1.所以a的取值范围是[0,1].3.(2017·肇庆二模)已知f(x)=|x-a|+|x-1|.(1)当a=2,求不等式f(x)<4的解集;(2)若对任意的x,f(x)≥2恒成立,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,不等式f(x)<4,即|x-2|+|x-1|<4.可得或或解得-<x<,所以不等式的解集为{x|-<x<}.(2)|x-a|+|x-1|≥|a-1|,当且仅当(x-a)(x-1)≤0时等号成立.由|a-1|≥2,得a≤-1或a≥3,即a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).·湖北八校联考)已知a>0,b>0,且a+b=1.(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b=1,所以ab≤()2=,当且仅当a=b=时“=”成立,由ab≤m恒成立,故m≥.(2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以+=(+)(a+b)=5++≥9,故+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,当-2<x<,不等式化为1-2x-x-2≤9,解得-2<x<,当x≥时,不等式化为2x-1-x-2≤9,解得≤x≤12.综上所述x的取值范围为[-6,12].。
一、自我诊断 知己知彼1．如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是 ( )． A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，或x >13 【答案】B【解析】解不等式1x <2得x <0或x >12. 解不等式|x |>13得x >13或x <－13. ∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13. 2. 不等式1<|x ＋1|<3的解集为 ( )．A ．(0,2)B ．(－2,0)∪(2,4)C ．(－4,0)D ．(－4，－2)∪(0,2)【答案】D【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，1<x ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－1，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2.答案为D.3．若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，5)B ．[0,5)C ．(－∞，1)D ．[0,1]【答案】A 【解析】由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5，∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5.答案为A.4．若不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a 的范围为____________．【答案】[3，＋∞)【解析】由题意得0<x <4⇒|x －1|<a ，则①0<x ≤1，|x －1|＝1－x ，∴0≤1－x <1.②1<x <4，|x －1|＝x －1，∴0<x －1<3.综合①，②得|x －1|<3，∴a ∈[3，＋∞)．5．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________． 【答案】0≤a ≤14【解析】∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0， ∴⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0； 当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14； 当a >14时，⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14无解． 综上可知0≤a ≤14.二、温故知新 夯实基础1．绝对值三角不等式（1）性质1：a b +≤a b +.（2）性质2：a b -≤a b -.性质3：a b -a b ≤-≤a b +.2．绝对值不等式的解法（1（2①()0ax b c c +≤>:c ax b c -≤+≤；②()0ax b c c +≥>:ax b c ax b c +≤-+≥或.（3）和型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.三、典例剖析 思维拓展考点一 含有绝对值不等式的解法例1(1)求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集；(2)求|x －1|＋|x ＋2|<5的解集．【答案】略【解析】(1)原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}．(2)分别求|x －1|，|x ＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x <－2，－2≤x ≤1，x >1. 当x <－2时原不等式即1－x －2－x <5，解得－3<x <－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x <5，因为3<5恒成立，则－2≤x ≤1；当x >1时，原不等式即x －1＋2＋x <5，解得1<x <2.综上，原不等式的解集为{x |－3<x <2}．【易错点】注意取并集交集情况【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.例2设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【答案】(1) {x |x ≥3或x ≤－1}；(2) a ＝2.【解析】(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 【易错点】代入得整个过程.【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.考点二 不等式的证明例1设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3. 【答案】略【解析】因为a ，b ，c 为正实数，由平均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc， 当且仅当1a 3＝1b 3＝1c3即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23，当且仅当3abc ＝abc 即abc ＝3时，等号成立，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.【易错点】容易忽视取等的条件.【方法点拨】关键在于拼凑积为定值或和为定值.考点三 不等式的综合应用例1 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）y ＝225x ＋3602x－360 (x >2)；（2）当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.【解析】 法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 法二 (1)同法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5. 从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．【易错点】忽视取值范围，列式子.【方法点拨】合理设变量，考虑取值范围，化为基本不等式求最值. 四、举一反三 成果巩固考点一 含有绝对值不等式的解法1、不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解集为________． 【答案】(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，－32 【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2答案：(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，－32 2、若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 等于 ( )．A ．8B ．2C ．－4D ．－8【答案】C【解析】由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4.当a >0时，－8a <x <4a. ∵解集为(－1,2)，∴有⎩⎨⎧ －8a ＝－14a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，a ＝2矛盾， 故a 不可能大于0. 当a ＝0，则x ∈R 不符合题意．当a <0时，4a <x <－8a . ∵解集为(－1,2)，∴有⎩⎨⎧ 4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，a ＝－4. 故a ＝－4. 3、设函数f (x )＝| x ＋1|＋| x －a|(a ＞0)．(1)作出函数f (x )的图象； (2)若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，求a 的值．【答案】（1）略；（2）a ＝2.【解析】(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1＋a x ＜－a ＋－1≤x ＜a 2x ＋1－a x ≥a，函数f (x )如图所示．(2)由题设知：|x ＋1|＋|x －a |≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝5的图象(如图所示)又解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．由题设知，当x ＝－2或3时，f (x )＝5，且a ＋1＜5即a ＜4，由f (－2)＝(－2)×(－2)－1＋a ＝5得a ＝2. 考点二 不等式的证明1、已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值。
第一节绝对值不等式1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.知识点一绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当______________时，等号成立．答案1．ab≥0 2.(a－b)(b－c)≥01．判断正误(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( )(2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( )(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4]知识点二含绝对值的不等式的解法1．含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法(1)|ax ＋b |≤c ⇔______________； (2)|ax ＋b |≥c ⇔______________.3．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．答案1．{x |－a <x <a } ∅ ∅ {x |x >a ，或x <－a } {x |x ∈R ，且x ≠0}2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案：24．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)解析：|x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．答案：A热点一 绝对值三角不等式的应用【例1】 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.【证明】 ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y－2|<2×a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|<a .热点二 含绝对值的不等式的解法考向1 “|ax ＋b |≤c 和|ax ＋b |≥c (c >0)”型不等式的解法 【例2】 (1)|5－4x |>9的解集是________．(2)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．【解析】 (1)因为|5－4x |>9，所以5－4x >9或5－4x <－9，所以4x <－4或4x >14，所以x <－1或x >72，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >72. (2)由于||x －2|－1|≤1，即－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，所以0≤x ≤4.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >72 (2)0≤x ≤4 考向2 “|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x ＋b |≤c (c >0)”型不等式的解法 【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (Ⅰ)画出y ＝f (x )的图象；(Ⅱ)求不等式|f (x )|>1的解集．【解】 (Ⅰ)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为{x |x <13或x >5}．所以|f (x )|>1的解集为{x |x <13或1<x <3或x >5}.(1)若不等式|x －a |＋3x ≤0(其中a >0)的解集为{x |x ≤1}，则实数a 的值是________． (2)解不等式|2x ＋1|－|x －4|>0.解析：(1)不等式|x －a |＋3x ≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.(2)解：令f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0得x >－5，所以x ≥4时，不等式成立．当－12≤x <4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以，1<x <4时，不等式成立．当x <－12时，f (x )＝－x －5>0，得x <－5，所以，x <－5时，不等式成立．综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <－5}．答案：(1)2热点三 绝对值不等式的恒成立问题【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(Ⅱ)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 【解】 (Ⅰ)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (Ⅱ)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集．(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围． 解：(1)原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x >32，x ＋＋x －，或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤32，x ＋－x －，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x ＋－x －解之得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≤0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c <0，则不等式解集为R .。
不等式选讲不等式选讲为高考选考内容之一。
一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目，主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。
一、存在的问题及原因分析 （一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例题1】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数4)(2++-=ax x x f ，11)(-++=x x x g ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；【解析】（Ⅰ）当1=a 时，)()(x g x f ≥等价于2411x x x x -++≥++- ①.当1-<x 时，①等价于0432≤--x x ，此时不等式无解； 当11≤≤-x 时，①等价于022≤--x x ，从而11≤≤-x ； 当1>x 时，①等价于042≤-+x x ，从而21711+-≤<x . 所以()()f x g x ≥解集1x x ⎧⎪-<≤⎨⎪⎪⎩⎭.【评析】本题主要的易错点在于分类后的“整合”.其一是“整合”错误，误以为得到解集为所分类各不等式解集的交集.另一是没有进行“整合”，认为解集为三种情况：当1-<x 时，原不等式的解集为{}41≤≤-x x ；当11≤≤-x 时，原不等式的解集为{}21≤≤-x x ；当1>x 时，原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≤--21712171x x ，错因在于与因参数对解集的影响而分类讨论的问题混淆，对解绝对值不等式的基本原理认识不到位所致.（二）不能对条件进行正确的等价转化【例题2】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-，求a 的取值范围．【解析】（Ⅱ）不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-等价于)()(x g x f ≥在]1,1[-上恒成立， 即242x ax -++≥在]1,1[-恒成立，即220x ax --≤在]1,1[-恒成立，所以()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解得11a -≤≤，故a 取值范围是]1,1[-． 【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、函数图像与性质等基础知识. 解答中的主要问题在于题意的理解与问题的等价转化. 不能将条件“不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-”等价转化为“不等式)()(x g x f ≥在]1,1[-上恒成立”的问题来处理，反映出学生对于解集的概念理解还不透彻，导致对“解集包含]1,1[-”的含义不理解.【例题3】（2017高考全国Ⅲ卷23）已知函数21)(--+=x x x f . （Ⅱ）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围.【解析】（Ⅱ）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即 2max [()]f x x x m -+≥设2()()g x f x x x =-+由已知得 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，22111()3()(1)524=-+-=---≤-=-g x x x x g ， 当21<<-x 时，22355()31()244=-+-=--+≤g x x x x ， 当2≥x 时，1)2(413)21(3)(22=≤+--=++-=g x x x x g ，综上述得45)(max =x g ，故m 的取值范围为]45,(-∞. 【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为max ()f x ≥)2f x x x m ≥-+解集非空，忽略了右边的代数式也是随着x 的变化而变化，左右两边的x 表示的是同一个数；错点二，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为“min ()m g x ≤”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在x 使得不等式()2f x x x m ≥-+成立，等价于存在x 使得不等式212x x x x m +---+≥成立，等价于2max (12)x x x x m +---+≥即可.（三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法.【例题3】（2017高考全国Ⅱ卷23）已知2,0,033=+>>b a b a ，证明： （Ⅰ）4))((55≥++b a b a ； （Ⅱ）2≤+b a ．【解析】（Ⅰ）655655))((b b a ab a b a b a +++=++()()a b a b ab a b =+-++233334424)(4222≥-+=b a ab（Ⅱ）因为33223()33a b a a b ab b +=+++()()()()ab a b a b a b a b =+≤=+2323+3+3+2++244所以()3+8≤a b，因此a+b ≤2.【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路. （四）知识掌握不到位，无法优选算法化简求解过程【例题4】（2014高考全国Ⅱ卷24）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；【解析】法一：因为0a >，所以12,11(),112.x a x a a f x a x a aa x a x a a ⎧+-≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩当x a ≥时，1()2f x x a a =+-为增函数，所以1()()2f x f a a a≥=+≥， 当1x a a -<<时，1()2f x a a=+≥， 当1x a ≤-时，1()2f x x a a =--+为减函数，所以11()()2f x f a a a≥-=+≥ 综上述得()2f x ≥成立.法二：因为111x x a x a x a a a a++-=++-≥+，又0a >所以1()2f x a a≥+≥. 【评析】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.二、解决问题的思考与对策 （一）强化绝对值不等式的求解训练高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握零点分段法解绝对值不等式的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.【例题5】（2007年高考全国课标卷24）设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >；【解析】（Ⅰ）1521()334254x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥当12x ≤-时，原不等式可化为52x -->，解得7x <-，此时原不等式的解是7x <-；当142x -<<时，原不等式可化为332x ->，解得53x >，此时原不等式的解是543x <<；当4x ≥时，原不等式可化为52x +>，解得3x >-，此时原不等式的解是4x ≥； 综上可知，原不等式的解集为5(,7)(,)3-∞-+∞ （二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力.不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例题6】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【解析】（II ）不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-等价于()()f x g x ≥在[]1,1-上恒成立，即242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立． 则只须()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解得11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，． 【变式一】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．若存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围．【解析】存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f x g x ≥成立，等价于存在]1,1[-∈x 使得不等式242x ax -++≥成立，即存在]1,1[-∈x 使得220x ax --≤，等价于]1,1[-∈x 时0)2(min 2≤--ax x .所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤≤-0481212a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-->02112a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-<02112a a 解得22≤≤-a 或2>a 或2-<a 所以满足条件的a 的取值范围是R .【变式二】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．是否存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-，若存在，求a 的取值范围；若不存在说明理由．【解析】由242x ax -++≥的解集为[]1,1-，即220x ax --≤的解集为[]1,1-，得220x ax --=的两根为-1,1，即⎩⎨⎧=--=-+021021a a 方程无解，所以不存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-.（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.【例题7】（2014高考全国课标Ⅰ卷24)若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （Ⅰ）求33b a +的最小值；（Ⅱ）是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由.11a b =+≥,得2ab ≥,且当a b ==, 故33332b a b a ≥+,且当a b ==,∴33a b +的最小值为.（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b ,使得236a b +=成立. 【例题8】已知函数()21f x x =-，x R ∈. （Ⅰ）解不等式()1f x x <+；（Ⅱ）若对于x ，y R ∈，有113x y --≤，1216y +≤求证：()1f x <. 【解析】（Ⅰ）()1f x x <+等价于|21|1x x -<+，即210211x x x -⎧⎨-<+⎩≥或210121x x x -<⎧⎨-<+⎩求得02x <<，故不等式()1f x x <+的解集为(0,2)．（Ⅱ）1|1|3x y --≤，1|21|6y +≤， ∴()|21|f x x =-=|2(1)(21)|x y y --++|2(1)||21|x y y --++≤112136⋅+<≤ 三、典型问题剖析 （一）含绝对值不等式的求解【例题9】【2013课标全国Ⅰ，文24】 已知函数()|21||2|,() 3.f x x x a g x x =-++=+ （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()g()f x x <的解集； （Ⅱ）设1a >-，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）法一：当2a =-时，()g()f x x <等价于|21||22|3x x x -+-<+ ①. 当12x ≤时，①等价于21223x x x -+-+<+，从而102x <≤； 当112x <≤时，①等价于21223x x x --+<+，从而112x <≤； 当1x >时，①等价于21223x x x -+-<+，从而12x <<； 综上述知，原不等式的解集为{|02}.x x <<法二：当2a =-时，不等式()g()f x x <化为|21||22|30.x x x -+---< 设函数y |21||22|3x x x =-+---，则15,,212,1,236, 1.x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，0y <. 所以原不等式的解集是{|02}.x x <<（Ⅱ）当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()1f x a =+. 不等式()g()f x x <化为13a x +≤+.所以2x a >+对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故22a a -≥-，即43a ≤，从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：①求零点；②分区间、去绝对值号；③分别解各区间上所得不等式；④取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值．也可以采用图像法，通过作出函数图像，利用数形结合的思想求解.【例题10】2016课标1卷已知函数321)(--+=x x x f . （Ⅰ）在右图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集. 【解析】（Ⅰ）4,1,3()32,1,234 2.x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩)(x f y =的图像如图所示.（Ⅱ）由()f x 的表达式及图像，当()1f x =时，可得x =1或x =3；当()1f x =-时，可得13x =或5x =，故()1f x >的解集为{}13x x <<；()1f x <-的解集为153x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或所以1)(>x f 的解集为11353x x x x ⎧⎫<<<>⎨⎬⎩⎭或或.【评析】本题的关键在于能准确作出函数的图像才能通过图像判断不等式的解集. （二）给定条件，求参数的取值范围【例题11】(2012高考全国课标卷24)已知函数()2f x x a x =++- （Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围。
