绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
不等式与绝对值不等式不等式是数学中一个重要的概念，也是我们日常生活中常常会用到的一个知识点。
它指的是两个数之间的大小关系，并用大于号(>)，小于号(<)，大于等于号(≥)，小于等于号(≤)等符号来表示。
而绝对值不等式则是一种特殊的不等式，它涉及到数字的绝对值，并且有着一些与普通不等式不同的性质。
一、普通不等式普通不等式是指两个数之间的大小关系，形式一般为 a < b，a > b，a ≤b 或a ≥ b。
当 a < b 时，我们可以理解为 a 在数轴上位于 b 的左侧，这样的不等式也称为“小于不等式”；而当 a > b 时，我们可以理解为 a在数轴上位于b 的右侧，这样的不等式也称为“大于不等式”。
类似地，a ≤ b 和a ≥ b 也被称为小于等于不等式和大于等于不等式。
对于普通不等式，我们可以通过移项变形、乘除运算、绝对值等方法进行求解。
举个例子，如果我们有不等式 2x - 5 > 1，则可以通过移项变形得到 2x > 6，再除以2得到 x > 3。
这样，我们就求出了这个不等式的解集为 x ∈ (3, +∞)。
二、绝对值不等式绝对值不等式是一种涉及到数字的绝对值的不等式，形式一般为|ax + b| > c 或 |ax + b| < c，其中 a、b、c 均为常数。
这种不等式有着一些与普通不等式不同的性质和求解方法。
首先，由于绝对值的定义，|ax + b| 的值始终大于等于0，因此当 |ax + b| > c 时，其实就是要求 |ax + b| 与 c 之间的距离大于0，即|ax + b| - c > 0。
这样，我们就将原来的绝对值不等式转化为了普通不等式，进而可以通过上述方法进行求解。
其次，在绝对值不等式中，绝对值函数的性质也有所不同。
具体来说，当 |x| < a 时，我们可以得到 -a < x < a；当 |x| > a 时，我们可以得到 x < -a 或 x > a。
不等式与绝对值在数学中，不等式与绝对值是两个重要的概念。
它们被广泛应用于数学推理、解题过程以及实际问题的建模与求解。
本文将重点介绍不等式和绝对值的定义、性质和应用，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、不等式不等式是数学中描述数值大小关系的一种符号约定。
比较常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。
不等式通过将两个数值使用不等式符号连接起来，表达它们之间的关系。
例如，"2 > 1"表示2大于1，"3 + 4 ≤ 2 × 5"表示3加4小于等于2乘以5。
不等式的解是符合不等式的数值范围。
解集可以是有限的，也可以是无限的。
解不等式的方法可以通过图像法、实数集合性质以及代入验证等不同的方式来进行。
二、绝对值绝对值是数的非负值。
如果一个实数x的绝对值记作| x |，则有以下定义：当x ≥ 0时，| x | = x；当x < 0时，| x | = -x。
换句话说，一个数的绝对值就是这个数去掉正负号后的值。
例如，| 5 | = 5，| -3 | = 3。
绝对值具有一些重要的性质。
首先，当x = 0时，| x | = 0；其次，对于任意实数x和y，有| xy | = | x | | y | 和| x + y | ≤ | x | + | y |。
绝对值在数学和实际问题中有广泛的应用。
它可以被用于求解不等式问题，寻找函数的定义域与值域，以及测量与衡量物体的距离、差异等等。
三、不等式与绝对值的应用不等式和绝对值的应用非常广泛，涉及到数学的多个分支以及实际问题。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 解不等式和绝对值方程：不等式和绝对值方程的解可以帮助我们确定数的范围，解决实际问题。
例如，求解不等式2x + 5 < 10可以帮助我们确定x的取值范围。
2. 描述函数的定义域与值域：在函数的定义与值域中，不等式和绝对值可以帮助我们确定函数的合法输入范围以及函数输出的取值范围。
