人教版高数选修4-5第1讲：不等式的性质与绝对值不等式(学生版)

第一讲 不等式和绝对值不等式§1.1.1不等式的基本性质学习目标1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质; 2 .掌握比较两个实数大小的一般步骤学习重难点学习重点：不等式的基本性质学习过程 一、课前准备实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：b a b a -⇔>b a b a -⇔=0ba b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

二、新课导学不等式的基本性质： 10. 对称性：b a >⇔ ； 20. 传递性：⇒>>c b b a ,；30. 同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a , ；30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)． 典型例题例1已知0,0>>>c b a ，求证：b ca c > ．例2若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题中能成立的个数是( )()1ad bc >；()20a bd c+<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-.A 1 .B 2 .C 3 .D 4.例3 ()1若0x y <<，试比较()()22x yx y +-与()()22xy x y -+的大小()2设0a >，0b >，且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.例4 若2()f x ax c =-满足4-≤(1)f ≤1-，1-≤(2)f ≤5，求(3)f 的取值范围.变式训练1：（1）已知0a b >>，0d c <<<（2）已知,,a b c 满足：a b c R +∈、、，222a b c +=，当n N ∈，2n >时，比较n c 与n na b +的大小.（3）设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小．§1.1.2基本不等式学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的件 2 . 初步掌握不等式证明的方法学习重难点学习重点： 基本不等式的运用学习过程 一、课前准备 二、新课导学探究1：重要不等式 1. 222(,)a b ab a b R +≥∈（当且仅当a b =时取“=”） 2．重要不等式的几何解释3．变式：（1）22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（2）222a b c ab bc ac ++≥++ （3）若0b >，则22a b a b+≥ 例1．若,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++探究2：基本不等式（均值不等式）1.2a b +≤(0,0)a b >>（当且仅当a b =时取“=”），其中2a b+正数a,b 的算数平均数和几何平均数 2．基本不等式的几何解释3．推广：若0,0a b >>,则有22ab a b a b +≤≤≤+a b =时取“=”）例2．已知y x ,都是正数①如果xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2； ②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积有最大值241s利用基本不等式求最值应注意:①x,y 一定要都是正数;②求积xy 最大值时,应看和x+y 是否为定值;求和x+y 最小值时,看积xy 是否为定值;③等号是否能够成立.以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时,一定要检验等号是否．．．．．．．．．能取到．．．,若取到等号,则解法是合理的,若取不到,则必须改用其他方法. 例3．(1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. (3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．例4．（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x的值．例5．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米， 且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？ 且当AC 最短时，BC 长度为多少米？变式训练2： （1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1不等式1．1.1不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案: ＞0＝0＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1比较大小：x2＋3________x2＋1.答案: ＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .(3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n (n ∈N ，且n ＞1)．(6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞n b (n ∈N ，且n ＞1)．思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b .思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b .答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a －d ＞b －c，从而有a d ＜b c. 答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2.答案：＜4．“a ＞b ”与“1a ＞1b ”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2.其中正确的有() A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3>b 3 B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<0答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y (0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b； ②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解．∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b，故①正确． 构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．。