上海2020高三数学一模分类汇编-排列、组合、概率、统计方法(详答版)

高考数学一模试卷一二三总分题号得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B. C. D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0 时，辅助角B. 当a＞0，b＜0 时，辅助角C. 当a＜0，b＞0 时，辅助角D. 当a＜0，b＜0 时，辅助角二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019 年女排世界杯共有12 支参赛球队，赛制采用12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x、x，若|x-x|=2，则k=______．1 2 1 213.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0 垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0 与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a}、{b}均是等差数列，c=a•b，若{c}前三项是7、9、9，则c=______．n n n n n n1016.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17.在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面四边形ABCD是边长1 1 1 1为2 的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x、x，求a的取值范围及x+x的值．1 2 1 219.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1 小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1 小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆象限，M是椭圆上一点．相交于A、B两点，其中A在第一（1）记F、F是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F，当M到F的距离与到直1 2 2 1线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a}满足a=1，a=e（e是自然对数的底数），且，令n 1 2b=ln a（n∈N*）．n n（1）证明：（2）证明：；是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e- +a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log （4x+1）-log 22x+x=log （4x+1）-x=f（x）；2 2 2f（x）=log2（4x+1）-x=log2号成立，故A正确；=log （2x+ ）≥log2=1，当且仅当2x= ，即x=0 时等2 2B：x＞0 时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+ ≥2，当且仅当x2= ，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒- ＜φ＜0；，故φ=π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜- ，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|= ．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+ ）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（- ，0）准线的方程为x= ，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．．．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3 的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3 化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3 的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2 的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0 恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0 的两个虚根为x、x，1 2可设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R）．1 2∴x+x=2a=k，x x=a2+b2=2，1 2 1 2∵|x-x|=2，∴|2bi|=2，1 2联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x-x|=2 求得a与b1 2 1 2的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0 可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2 ，∴圆心（2，-4）到l的距离d= = ，∴AB=2 =2 =2 ．故答案为：2 ．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[- ]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c=a•b=an2+bn+c，n n n则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a}、{b}均是等差数列，故{c}为二次函数，设c=an2+bn+c，根据前3 项，求出a，b n n n n，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤= ；所以≥a2+ ≥2=16．当且仅当，）．⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2故答案为：（2 ，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤= ；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵底面四边形ABCD是边长为2 的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴= ；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵AD∥B C，∴∠B C E即为异面直线C E和AD所成角，1 1 1 1 1连接B E，在△C B E中，B C=2，，1 1 1 1 1= ．∴cos∠B C E= ，1 1∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos ．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，由题意可得AD∥B C，则∠B C E即为异面直线1 1 1 1 1 1 1 1C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数= == ．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x、x，1 2所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间 上关于 x = 对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正 弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 a 的范围和 x +x 的值． 1 2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半， 则 0.9x =0.5，可得 x = ≈7，则 A 池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定， B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%，剩余原来的 81%， 可得 =0.1，即 0.92x +0.9x -0.2=0， 可得 0.9x = 可得 x =， ≈17．则 A 、B 两池同时工作，经过 17 小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得 A 池每小时剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物 的量减少一半，则 0.9x =0.5，两边取对数，计算可得所求值； （2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时 剩余原来的 81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设 M （x ，y ），-2≤x ≤2，F 1（-过 F 2，），F 2（ ，0），直线 AB所以 t = 由题意得：=|x - |⇒y 2=-4 x ，联立椭圆方程： + =1⇒y 2=2- ，解得 x =-6+4 即 M 的横坐标是：-6+4 （2）设 A （t ，y ），B （t ，-y ），M （-t ，y ）， ，． 1 1 1则 S △MAB = 2t •|2y |=2t •|y |，而 A 在椭圆上，所以， + =1 1 1 ∴1≥2• ⇒ty 1≤ ，∴S △MAB ≤2 ，当且仅当 t = ，即 t = y 1 时取等号，∴t = ，这时 B （ ，-1），M （- ，1），所以直线 MB 方程：y =- x ；（3）设点A（t，y），B（t，-y），M（x，y），则直线MA：y= •（x-t）+y1，1 1 0 0所以P的坐标（同理直线MB：y= 所以|OP|•|OQ|=| 代入|OP|•|OQ|=|，0）（x-t）-y1，所以Q的坐标（|，又因为A，M在椭圆上，所以y2=2- t2，y2=2- x2，0）1 0 0 |=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F，F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，1 2注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1 的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b=ln a（n∈N*）．n n∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b=ln a（n∈N*）．∴= =n n= =- ．∴是等比数列，公比为- ．首项b-b=1．2 1∴b n+1-b n= ．∴b=b+（b-b）+（b-b）+……+（b-b）n 1 2 1 3 2 n n-1=0+1+ =+ +……+ = ．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵= = =1- ．取得最小值，= ．当n=2 时，∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b=ln a（n∈N*）．可得= =- ．即n n可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号得分一 二 三 总分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l ，下列命题中的假命题是（ ）A. 若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 βB. 若 α 与 β 不垂直，则 α 内一定不存在直线垂直于 βC. 若 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则 l ⊥γD. 若 α⊥β，则 α 内所有直线垂直于 β2. 在一次化学测试中，高一某班 50 名学生成绩的平均分为 82 分，方差为 8.2，则下 列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 100 3. 已知双曲线 ： ，过点 作直线 ，使 与 有且仅有一个公共点，则满 足上述条件的直线 共有（）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条4. 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行 ，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84 二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 若全集为实数集 R ，，则∁R M =______ 的准线方程为______． =0 的解为______ ． 的反函数 f -1（x ）=______ 6. 抛物线7. 关于 x 方程8. 函数 f （x ）=2sin x +1，9. 函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______ ，则二项式（x -2a ）10 展开式的系数和是______10. 若 11. 某校要从 名男生和 名女生中选出 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的 志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17.如图，已知多面体ABC-A B C，A A，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，，，则的取值范围是______1 1 1 1 1 1A A=4，C C=1，AB=BC=B B=2．1 1 1（1）证明：AB⊥平面A B C；1 1 1 1（2）求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值．1 118. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20. 如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F为圆心，1-c为半径作圆F（其中c为2 2已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a= ，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2 与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2 所截得弦长的最大值．21. 给定数列{a}，记该数列前i项a，a，…，a中的最大项为A，即A=max{a，an 1 2 i i i 1 2，…，a}；该数列后n-i项a，a，…，a中的最小项为B，即B=min{a，ai i+1 i+2 n i i i+1 i+2，…，a}；d=A-B（i=1，2，3，…，n-1）n i i i（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d，d，d；1 2 3（2）若S是数列{a}的前n项和，且对任意n∈N*，有，n n其中λ为实数，λ＞0 且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a}对应的d满足d＞d对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2 恒成立，n i i+1 i求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50 名学生成绩的平均分为82 分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60 分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1 点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k= 时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l: 与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：∴直线l: ,与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4 条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有当两个黄色球相邻共有种不同的排法，种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - +=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - + =48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵∴；．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y= =1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x= 或x= ，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x= ．∴2x= 则x= 或x=或x=，，k∈Z．或x=故答案为：x= ，k∈Z．由已知可得sin2x= ．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∴x=把x与y互换，可得f-1（x）=故答案为：，x∈[1，3]．，∵，，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x== ，所以f（x）的周期T= ，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴= == ，∴a= ，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10 中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2 名男生和4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2 名男生和4 名女生中选出4 人，有C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14 种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），= ，其底面积：S= ×2×1+高h=3，故棱锥的体积V= = ，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=- x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率- ＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=- x+ ，由图象可知当直线y=- x+经过点B时，直线y=- x+ 的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+ =1，将代入到x2+ =1 并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t，t，1 2则t=0，t=- ，1 2∴|t-t|=1 2故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2 为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log x的图象a a在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上有四个零点，a a∴-1=log a4，∴a= ．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足则：+ =（x，1+y）；- =（-x，1-y）；，，且x2+y2=4；则= +转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4 表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2 =2 ；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A A⊥平面ABC，B B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1∴AA∥BB，AB⊥BB，1 1 1∵AA=4，BB=2，AB=2，1 1∴A B= =2 ，1 1又AB1= =2 ，∴，∴AB⊥A B，1 1 1, ,即即AB⊥B C，1 1 1又A B∩B C=B，A B，B C平面A B C，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AB⊥平面A B C．1 1 1 1（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A C于D，1 1∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，- ，0），B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，，1），1 1∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2 ，1），设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1 可得=（- ，1，0），∴cos = = = ．设直线AC与平面ABB所成的角为θ，则sinθ=|cos|= ．1 1∴直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为．1 1【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB⊥A B，AB⊥B C，从而可得AB⊥平面A B C；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos[（A-B）+B]=cos A=∴sin A= = ；（2）由正弦定理可得∴sin B= = ，∵a＞b，∴A＞B，∴B= ，由余弦定理可得解得c=1，或c=-7（舍去），故向量方向上的投影为=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B，，== ，在cos B=c cos B=1×= ．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A= ，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．，结合大边对大角可得B值本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500 名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）= ，则f（x）= ≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）= 在（0，500）上单调递减，所以x=400 时，f（x）取最小值为f（400）= ，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）= 20.【答案】解：（1）由a= ，得c= ，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c= ，故此时的切线长|PT|=，利用对勾函数性质求出最值即可．；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF| =a-c，2 min由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x，y），B（x，y），1 12 2则有可得，，= ，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d= ，半径r=1-c，则直线l被圆F2 所截得弦长为L=2设1-c=t，则0＜t≤，= ，又= ，∴当t= 时，的最小值为，。

上海市宝山区2020届高三一模数学答案一. 填空题1.2i ||||1i z 2. 3，4242345313. 31log (01)y x x ，1331log y x y x ，111033y ，即01x4. 66，21266C 5. 223()92x y ，2263y px x p ，∴圆心为3(,0)2，半径为36. 9 ，33003355()1()9C x C x x x ，即3x 的系数为9 7. (4,) ，∵220x x ，∴即22236x x x x ，解得，4x 8. 2 ，设1i x a b ，2i x a b ，∴12|||2|21x x b b ，两根之积12x x 2221a b a ，∴两根之和1222k x x a9. 20x y 垂直，∴可设直线20x y c ，代入点(1,0) ，∴直线:210l x y ，圆22(2)(4)20x y ，圆心(2,4) 到直线l 的距离d，即弦长为10. 4.5，334()7.9(2.5)142 2.2463m V V V r r外内，∴2 4.5r cm 11. 47 ，由题意，可设2n c an bn c ，∴17c a b c ，2429c a b c ，3939c a b c ，解得1a ，5b ，3c ，∴253n c n n ，即1047c12. ，∵0a b ，∴()b a b ，即2()4a b a b ，∴214()b a b a ，222166416()a a b a b a，当且仅当b a b ，28a 时等号成立，即点(,)P a b 的坐标为二. 选择题13. 选C ，∵1()ln f x x a x为增函数，∴(1)10f a ，1()10f e a e14. 选A ，22()log (41)log (22)x x x f x x ，为偶函数，∵0x ，∴21x ，∴22x x y 递增，即2()log (41)x f x x 在[0,) 上单调递增；B 、C 选项为偶函数，但在[0,) 上不是单调递增；D 选项定义域为(0,) ，不是偶函数15. 选B ，如图，正方体中，平面 、 、 两两垂直，直线a 、b 、c 满足：两两异面且两两垂直. 过点A 的三条棱所在直线两两相交. 综上，不可能两两平行，故选B16. 选B ，sin cos )a x b x x x ， ∵221 cos sin ，cos sin cos ))x x x，此时sin tan cos ba. 当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(0,)2 ，∴arctan ba ，A 正确；当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(,0)2 ，∴arctan ba ，B 错误；当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(,)2 ，∴arctan ba，C 正确；当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(,2，∴arctan b a ，D 正确三. 解答题17.（1）1sin 60sin 6022EBCD S AB AD AE AD， ……2分11132C EBCD V S AA . ……6分（2）211910EB ，由余弦定理得：21422cos1207EC ， ∴217916EC ， ……8分∵AD ∥1B C ，∴即11B C E 为所求异面直线1C E 和AD 所成的角， ……10分 由余弦定理得：5cos8， ……13分∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8. ……14分18.（1）2cos 21()sin cos 222x f x x x x x ， ∴1()sin(262f x x， ……2分 ∴()f x 的最小正周期T ， ……4分 令11()sin(2622f x x ，解得：212k x，∴()f x 的对称中心是1(,)2122k ，k Z . ……6分（2）当[0,2x 时，72[,666x，……8分 由0262x 解得：06x ， ∴()f x 在区间[0,2上的递减区间是[,]62，递增区间是[0,]6， ……10分当()f x a 在区间[0,2上有两个解时，a 的取值范围是1[0,2， ……12分 此时12263x x. ……14分 19.（1）设开始时每个池中的污物为0a ，用n a 、n b 表示n 小时后，A 、B 两池剩余的污物量，则10.10.9n n n n a a a a ，∴00.9n n a a ， ……2分同理00.81n n b a ，由题意000.92n n a a a ， ……4分 两边取对数得：ln 0.56.587ln 0.9n小时. ……6分 （2）设n 小时后，A 池污物余0ra ，则B 池污物余0(0.2)r a ， ……7分由题意00000.90.81(0.2)nn nn a a ra b a r a ， ……8分 化简得：0.810.90.2n n 或0.810.90.2n n ，即2(0.9)0.90.20n n ，……10分解得：10.92n， ……12分两边取对数得：0.91log 16.77172n ， ……13分答：A 池要用7小时才能把污物的量减少一半，要经过17小时后把两池水混合才能符合环保规定. ……14分20.（1）1(F，2F ，由题意知：M在抛物线2y 上， ……2分由222142y x y解得：6M x ， ……4分 （2）由题意(A t、(M t、(,B t ， ……6分则122MAB S t ， ……8分∴当t时，△MAB 的面积最大， ……9分此时(M，1)B ，解得：直线MB的方程为：y x . ……10分 （3）设00(,)M x y ，由(A t 、(,B t ，0MAk，∴直线000:)MA y y x x ， 令0y：0P x x ……11分同理得：0Q x x ，∴00||||||||OP OQ x x， ……12分计算2222000002222002()()||||2222x t x y x t y OP OQ x t t y y， ……14分 又220022x y ，因而2200||||24OP OQ x y . ……16分 21.（1）由题意211ln (ln ln )2n n n a a a，即211()2n n n b b b ， ……1分 由于11a ，2a e，2n a ，∴当2n 时，1n a ，且{}n a 递增，……2分因而0n b ，且1n n b b ，……3分∴2n b . ……4分（2）∵1121111()122n n n n n n nn nb b b b b b b b b ， ……6分 又2121ln ln 1b b a a ，∴211{}n n n nb b b b 是等比数列， ……7分∴1112111()()()22n n n n b b b b ，解得：1221[1(]32n n b， ……9分∴121[1()]32n n b ，经检验，1,2n 均成立. ……10分（3）当2n 时，∵0n b ，∴111131(1221121()1()22nn n n n b t b ， ……12分 只需要求1n n b b 的最小值，∵1111()224n ， ……13分∴113311122112221()122n n n b b ， ……16分 又211102b b ，∴对任意自然数*n N ，均有112n n b b 成立， ……17分∴t 的取值范围是1(,2. ……18分上海市松江区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. {1,2}，集合B 中符合10x 的元素有1、2，∴A B {1,2}2. 45，5r ，34sin()cos 25x r3. 1，1i2i i 1iz ，∴||1z4. 40，2232452()()40C x x x，∴4x 的系数为405. 4，12||||26PF PF a ，且12||2||PF PF ，∴1||4PF6. 2 ，24401m D m m，∴2m ，经检验，2m 时有无数解，∴2m 7. 32 ，2(12,8)a b m ，(,3)b m ，∴3(12)8m m ，即32m8. (4,3)，由题意，11(1)26(1)4(4)1f f f ，∴12(4)log 43f 9. 112(0,(,333，(1,0)(0,1)q ，∴1111133a qa q 112(0,)(,33310. 2:1:1:1 ，由渐近线可设21m y x ，代入点(0,1) ，∴3m ，∴211x y x 符合题意，即:::2:1:1:1a b c d11. 1a babc a b c c ab，∵222()2()2a b a b，∴a b ∵2221ab a b ，∴112ab ，1201ab，∴min c2a b12. 851，如右图所示，集合M 中的向量包含三类：六条 边有6个向量（如12A A ），过中心O 有6个向量（如14A A），剩余6个向量（如15A A），即集合M 中有18个元素.其中每条边上的向量（如12A A）都和两个向量（如15A A 和42A A ）垂直，然后每条过中心的向量（如14A A ）都和两个向量（如26A A 和53A A ）垂直，即概率2186262851C二. 选择题13. 选B ，存在无限多条平行直线m ，使得l m ；不存在直线m ，使得l ∥m14. 选A ，若1x 且1y ，则不可能有2x y ，∴“2x y ” “x 、y 中至少有一个数大于1”，反之则推不出，如2x ，3y ，推不出“2x y ”，故选A15. 选B ，本题重在理解，等价转化为“已知2()f x x ，[,4]x a a ，若max min 2()()M f x f x ，求M 的最小值”.化动为静，结合图像，容易得到2a 时，max min ()()f x f x 最小，为(2)(0)4f f ，∴min 2M ，选B. 本题忌讨论常数b 、c ，不然就落入命题人圈套，∵本身 与b 、c 无关，本质是2y x 的图像，∴b 、c 是障眼法16. 选C ，当1A ，此时()1M A ，这种情况共有92种（相当于{2,3,,10} 的子集， 加上1后形成的新集合），当1A ，2A ，此时()2M A ，这种情况共有82种（相当于{3,4,,10} 的子集，加上2后形成的新集合），……，依此类推，∴当A 取遍M 的所有非空子集时，9871010122232921022036S ，选C三. 解答题17.（1）由题意得：2OA ，6PO ，∴PA，……2分∴圆锥的侧面积为2S rl ； …… 4分体积为221126833V r h . ……6分（2）取PO 的中点E ，连接DE 、CE ，则CDE 或其补角即为所求，如图所示 …8分∵AO EO ，AO CO ，EO CO O ，∴AO 平面ECO ，又DE ∥AO ，∴DE 平面ECO ，∴DE EC ， ∴△DEC 是直角三角形， ……10分 由112DE OA， ……11分CE ， ……13分∴CDE ，即异面直线AB 与CD 所成的角为. ……14分18.（1）2()cos 2sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x x，…4分∴max ()(2116f x f ，……6分 此时2262x k，则6x k（k Z ）.（2）由()0f A 得：1sin(262A，∴2266A k 或2266A k， ∵0A ，∴3A，……9分 由b 、a 、c 成等差数列得：2a b c ，…10分∵2AB AC，∴cos 2bc A ，∴4bc ， ……11分由余弦定理得：22222cos ()3a b c bc A b c bc ， ……12分 ∴22434a a ，∴2a . ……14分19.（1）由题意得0123()d v d d d d ， ……1分∴21()2020d v v v k ， ……3分 当0.9k 时，2()2018v d v v ，……4分20()1112 3.1183v t v v （秒）. ……7分（2）根据题意, 要求对于任意[0.5,0.9]k ，()80d v 恒成立， ……9分 即对于任意[0.5,0.9]k ，21208020v v k，即2160120k v v恒成立， 由[0.5,0.9]k 得：111[,]201810k ，∴2160110v v即2106000v v ，……12分解得：3020v ，∴020v （米/秒），360020721000（千米/小时）……13分 ∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时. ……14分 20.（1）由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x ，设11(,)A x y ，由||3FA 及抛物线定义知：12x ，代入24y x得y ， ∴A点的坐标A或(2,A . ……4分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程是：2x my ， 联立224x my y x，消去x 得：2480y my ，由韦达定理得121248y y my y，……6分2221212112212121212()(,)(,)4804416y y y y OA OB x y x y x x y y y y y y ，∴AOB 恒为钝角，∴原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部. ……10分（3）设11(,)A x y ，则110x y ，∵||||FA FM ，则1|1|1m x ，由0m ：12m x ， ∴1(2,0)M x ，∴直线AB 的斜率12AB y k，设直线1l 的方程为12yy x b ， 代入抛物线方程得211880b y y y y ，由题意21164320by y 得：12b y ， ……12分 设(,)E E E x y ，则14E y y ，21141E x y x ，11111111014111||222141OAEy xS x y x y x y ，……14分当且仅当11114y x x y，即22114y x 时等号成立，由221121144y x y x 得：21144x x ， 解得：11x 或10x （舍），……15分∴M 点坐标为(3,0)M ，min ()2OAE S .……16分21.（1）∵21a ，12a a ，且1a 是自然数，∴10a ； ……2分42a ，340a a ，且3a 、4a 都是自然数；∴30a 或31a ； ……3分168a ，9101608a a a ，且i a N （*i N ），∴90a 或91a . ……4分（2）122k k a （*k N ），当122k k n （*,n k N ）时，1111212223202k k k k k a a a a ， ∵n a N ，∴121k m a m 或m （11,2,3,,21k m ）， ……6分 ∴64max ()(01)(12)(1234)(128)(1216)S 23458916173233(1232)171422222， 128max 6465()71427942S， ∵71420202794 ，∴64128n ， ……8分又20207141306 ，123501275130612350511326 ， ∴min 6451115n . ……10分（3）必要性：若242n n S S n ，则122422n n n S S ， ①122214(21)2n n n S S ②① ②得：1121222141n n n a a a （*n N ） ③ ……11分由于11212201n n a a或11212212n n a a 或1121222n n a a ，且210n a 或1， 只有当211n a ，1211n a ，1222n a 同时成立时，等式③才成立， ∴211n a （*n N ）； ……13分充分性：若211n a （*n N ），由于1212223212n n n n n a a a a ， ∴2n k a k （*n N ，*k N ，2n k ），即211n a ，222n a ，233n a ，…，12121n n a ，又122n n a ， ∴对任意的*n N ，都有2211n n a a ， （I ） ……14分 另一方面，由2n k a k ，1222n k a k （*n N ，*k N ，2n k ）， ∴对任意的*n N ，都有22n n a a ， （II ） ……15分 ∴21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a2422232()24()n n a a a n a a a a n由于10a ，21a ，∴2124()242n n n S a a a n S n ，证毕.……18分上海市崇明区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. {1,2}，集合A 中符合02x 的元素有1、2，∴A B {1,2}2. (1,3)，|2|112113x x x3. 4 ，1r ，244S r4. 2n ，11a ，2d ，21(1)2n n n S na d n5. 12()1f x x (0)x ，21x y x，0x6. 3，分子分母同除3n，113230lim 33210n n nn n 7. 160，33362(160C x x8. 221916x y ，由3a ，5c ，焦点在x 轴上，∴22216b c a ，即221916x y9. 18，法向量之积为0，(1,2)(1,)0a b ，∴21a b 18ab 10. 2，∵周期为2，∴(1)(1)f f ，∵奇函数，∴(1)(1)f f ，∴(1)(1)f f ， 即(1)0f ，∴(1)202f a a11. 78，总共有45P 种情况，其中甲从事翻译工作有34P 种情况，乙从事导游工作有34P种情况，然后甲从事翻译工作同时乙从事导游工作有23P 种情况，∴432543278P P P12. 7 ，设2(1)OQ OP OB OC，由向量共线定理，可知点Q 在直线BC 上，P 为OQ 中点，∴PM PN222()()PO OM PO ON PO OM ON PO OM ，∵min ||1PO ，max ||OM ，∴min ()7PM PN二. 选择题 13. 选C ，A 选项，110a b；B 、D 选项，反例1a ，2b ；C 选项正确 14. 选B ，若0z z ，则推不出“z 为纯虚数”，反之可以推出“0z z ”15. 选D ，将抛物线放入坐标系，如图所示，∵1OE ，OC OD ，∴(C ，设抛物线22y px ，代入C 点，可得22y x ，∴焦点为1(,0)2，即焦点为OE 中点，设焦点为F ，则12EF，1PE ，∴PF 2，故选D16. 选B，设()(||)f x x a b，()sin(6g x x，[1,1]x ，∵()()0f xg x ，15()()066g g，∴分析图像得15()()066f f，1151()2663a ，12b ，∴56a b，故选B三. 解答题17.（1）∵BC∥11B C，∴1ACB就是异面直线11B C与1AC所成的角或补角，……2分在△1A CB中，1BC，1BA1A C ，∴2221111cos26BC CA A BA CBBC CA，……5分∴16ACB，……6分∴异面直线11B C与1A C所成角的大小是6.……7分【说明：方法二：先证明BC 平面11ABB A（2分），后证明△1A CB是直角三角形，然后求1A CB（2分），若缺少线面垂直扣2分，缺少由线面垂直得线线垂直扣1分】（2）∵1BC BB，BC BA，∴BC 平面11ABB A，∴111113C BB A BB AV S BC，设点1B到平面1A BC距离为h，则11113B BCA BCAV S h，由1111C BB A B BCAV V得：5h .18.（1）11()sin2(1cos2)222f x x x，……2分sin(216x，……4分∴函数()f x的最小正周期是T，……5分由222262k x k得：()f x的增区间是[,63k k，k Z.……7分（2）由()0f C ，sin(2)16C，(0,)C，∴262C，3C，……9分由sin2sinB A及正弦定理得：2b a①，……11分由余弦定理得：2222cosc a b ab C，得：223a b ab②，……13分由①②解得：1a ，2b . ……14分19.（1）由14500(100)95x x， ……2分 得：214545000x x ，∴45100x ， ……4分 又∵60120x ，∴x 的取值范围是[60,100]. ……6分 （2）设该汽车100公里油耗为y 升，10014500(100)5y x x x（60100x ）…8分 2118090000(909x ，……10分 ∵60120x ，∴111[,12060x ，……12分∴当90x 时，该汽车行驶100公里的油耗取得最小值809升. ……14分 20.（1）由题意得：(2,0)A ，(2,0)B ，∴圆O 的方程是224x y .……4分 （2）由题意得：(0,1)C 、(0,1)D ，设00(,)E x y ，00(,)F x y （01x ）， 则直线CE ：0011y xy x ，∴00(,0)1x M y ，……6分 同理00(,0)1x N y ，……8分 ∵220014x y ，∴22002200414x x OM ON x y . ……10分 （3）显然直线AP 的斜率存在，设其方程为：(2)y k x ，代入椭圆得：22222(14)161640k x k x k ，设11(,)P x y ，则21216(2)14k x k，∴1|||(2)|AP x ，……12分 ∵圆心O 到直线AP的距离d，∴||AQ ……14分 假设存在点P ，使得13AP PQ ，则||4||AQ AP，∴ （*），而方程（*）在实数范围内无解，∴原假设错误，即不存在点P ，使得13AP PQ.…16分21.（1）40a ，41b ，41c . ……4分 （2）若11a ，12b ，记1c x ，则22||a x ，2||1b x ，21c ，22||0||111||2||1||2x x d x x x， ……6分3|||1|1a x ，31|2|||b x ，3|2||||||1|c x x ，当0||1x 时，3||a x ，3||1b x ，31c ，31d ，由32d d 得：||1x ，不符合； 当1||2x 时，3||2a x ，3||1b x ，332||c x ，32||1|| 1.5||1 1.5||2x x d x x，由32d d ，得：||1x ，符合；当||2x 时，3||2a x ，33||b x ，31c ，312||3||2||3x d x x ，由32d d ，得：||2x 符合； ……9分综上：1c 的所有取值是2 ，1 ，1，2. ……10分（3）先证明“存在正整数3k ，使k a 、k b 、k c 中至少有一个为0”， 假设对任意正整数3k ，k a 、k b 、k c 都不为0，由1a 、1b 、1c 是非零整数，且1||a 、1||b 、1||c 互不相等，得*1d N ，*2d N ， 若对任意3k ，k a 、k b 、k c 都不为0，则*k d N ，即对任意1k ，*k d N ， 当1k 时，1||||||||max{||,||}k k k k k k a b c b c d ，1||||||||k k k k b c a d ，1||||||||k k k k c a b d ，∴1111max{||,||,||}k k k k k d a b c d ，∴{}k d 单调递减，由2d 为有限正整数，∴必存在正整数3m ，使得0m d ，矛盾， ∴存在正整数3k ，使k a 、k b 、k c 中至少有一个为0. ……14分 不妨设0k a ，且10a ，20a ， ，10k a ，则11||||k k b c ，且111||||||k k k b c a ，否则，若111||||||k k k b c a ， ∵1110k k k a b c ，则必有1110k k k a b c ，矛盾， 于是11||||0k k k b c a ，11||||0k k k c a b ，且k k b c ， ∴10k a ，1||k k b c ，1||||k k k c b c ，依次递推，即有：对任意n k ，0n a ，1||n k b c ，1||n k c c ，且||0k c ， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0， 综上：结论成立. ……18分上海市虹口区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. [0,1]，212110(1)0x x xx x x x ，∴0x 或1x ，∴U A [0,1]2. ，|3i ||||1i |z3. 1，2211111x x x x ，当且仅当1x 时等号成立4.4，2sin 22cos 0x x ，∴22sin cos 2cos x x x ，∵x 为锐角，∴tan 14x x5. 23n *()n N ，由48S 得234a a ，∵2712a a ，∴482d d ， ∴23112341a a a d a ，∴1(1)23n a a n d n ，*n N6. 1，2263x py y p ，焦点为3(0,)2，∴1d7. 36，即求5x 的系数，∴2421515662(1)(1)(1)36x C x C x x ，即536a 8. 1，124log (41)()log (21)y x x f x ，∴24log (41)2log (21)x x ，即4121x x ，∴4220(22)(21)01x x x x x9. 若①③，则②（或若②③，则①），∵m 、n 是平面 外的两条不同直线，∴m n ，m 可以推出n ∥ ；或者n ∥ ，m 推出m n 10. 1 ，由题意，1OA ，∴2()01OD AB OA AD AB OA AB OA11.3，∵2F A AB ，∴A 为2BF 中点， AO ∥1BF ，∵120F B F B，∴AO 垂直平分2BF ，∴2AOF 160AOB BOF ，即1tan 60a，∴213a ，243c ，即23c 12.274，由题意，当(6,8]x ， ()8(6)(8)f x x x ，结合图像可知，由158(6)(8)2x x，解得274x 或 294x ，数形结合可得max 274a二. 选择题13. 选A ，|1|102x x ，2422x x ，范围小的推出范围大的，故选A 14. 选D ，()2sin(26f x x，∵为偶函数，∴62k，排除A 、C 选项；若3，()2sin(2)2cos26f x x x，在[0,2上为减函数，∴排除B 选项； 若23，()2cos2f x x ，符合题意，故选D 15. 选A ，()f x 对称轴为2x ，()g x 对称轴为x t ，∵()(2)F x F x ，关于1x 对称，∴2142tt 16. 选B ，即正四面体切去四个小正四面体，111482三. 解答题17.（1）在△ABC 中，由1cos 3A得：sin 3A， ……2分由正弦定理得：sin 3sin 682b A B a，……5分 于是由角A 为钝角知：B.……7分（2）∵4sin sin()cos )26C A B A A， ……10分 设△ABC 的BC 边上的高为h ，则由11sin 22ABC S ah ab C得：4sin 646hb C 即△ABC 的BC 边上的高等于4. ……14分18.（1）以点O 为原点，直线OB 、1OO 分别为y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则相关点的坐标为(0,0,0)O 、(0,1,0)B 、1(0,1,2)B 、(0,1,1)C 、1(0,1,2)A 、1(0,0,2)O 、1(1,0,2)C ，于是(0,1,1)OC ，11(1,1,0)A C， ……2分∴1111111cos ,2||||OC A C OC A C OC A C， ∴异面直线OC 与11A C 所成角的大小为3. ……4分（2）由于1(0,0,2)OO 是圆柱1OO 底面的一个法向量，又1(1,1,1)CC， ……6分设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为 ，则111111||sin|cos,|3||||CC OOCC OOCC OO，∴直线1CC与圆柱1OO底面所成角的大小为arcsin3. ……9分（3）由于三棱锥11C OAC的顶点1C到面1OA C的距离为111C O ，……11分而1111111113221211212222 OA C OAA OBC A B CABB AS S S S S正方形，∴11111113113322C OA C OA CV S O C. ……14分19.（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要时间（单位：天）分别为1()T x、2()T x、3()T x，由题意得：1230001000()6T xx x，2230002000()3()T xkx kx，330001500()2[200(1)]200(1)T xk x k x，即11000()T xx，22000()T xkx，31500()200(1)T xk x，……4分其中x、kx、200(1)k x均为1到200的正整数，且*k N. ……6分（2）完成订单所用的时间为123()max{(),(),()}f x T x T x T x，其定义域为200{|11x xk且*,,2}x k kN，由于11000()T xx、22000()T xkx均为减函数，31500()200(1)T xk x为增函数，并注意到212()()T x T xk，……8分①当2k 时，12()()T x T x，12310001500()max{(),(),()}max{,}2003f x T x T x T xx x，其中{|166x x且*}x N，由1()T x、3()T x的单调性可知：当100015002003x x时，()f x取得最小值，解得：4009x ，由于40044459，而1250(44)(44)11f T，3300(45)(45)13f T，(44)(45)f f，∴当44x 时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天；……11分②当2k 时，12()()T x T x，由于*k N，∴3k ，此时3375()()50T x T xx，且()T x为增函数，于是1311000375()max{(),()}max{(),()}()max{,}50f x T x T x T x T xg xx x，由1()T x、()T x的单调性可知：当100037550x x时，()g x取得最小值，解得：40011x ，由于400363711，而1250250(36)(36)911g T，3375250(37)(37)1311g T，此时完成订单任务的最短时间大于25011天；综上：当2k 时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天， 此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44、88、68人. ……14分 20.（1）联结1PF ，设2PF 的中点为C ，则1||2||PF CO ， 由圆C 与圆O 相内切得：2||||2CO CF ，∴122||||2(||||)4PF PF CO CF ， ……3分 ∴动点P 的轨迹是：以1F 、2F 为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为2214x y . ……5分（2）证明：设直线l的方程为：x my 11(,)M x y 、22(,)N x y ，则由2244x my x y得22(4)10m y，∴1224y y m ，12214y y m ，从而12122()4x x m y y m，于是22(,)44Q m m ， ……7分∴2(4,)4OQ m m，于是直线OQ 的方程为40mx y ，由403mx y x解得：()33R m，从而2()(1,)333F R m m ， ∵直线l 的法向量(1,)m ∥2F R ，∴2F R l. ……10分（3）由（2）知：1224y y m，12214y y m ， ∴1111||||2||2S AB y y ，2221||||2||2S AB y y ， ……12分而120y y，∴1212122||||2||||||2||4m S S y y y y m ， ……14分 由于12||S S 最大时0m，∴12||4||||S S m m当且仅当||2m时，等号成立，∴12max ||S S ，此时直线l的方程为20x y或20x y . ……16分 21.（1）证明：∵10a ，且对任意的*m N ，21m a 、2m a 、21m a 构成以2m 为公差的等差数列，∴当1m 时，10a ，2122a a ，3224a a ；当2m 时，34a ，4348a a ，54412a a ； ……2分 当3m 时，512a ，65618a a ，76624a a ；于是655432a a a a ，∴4a 、5a 、6a 成等比数列. ……4分 （2）由题意：对任意的*m N ，有21214m m a a m ， ∴2121212123311()()()m m m m m a a a a a a a a(1)44(1)41042(1)2m m m m m m， 结合10a 得：212(1)m a m m （m N ），令21m n ，则12n m ，得：21112222n n n n a （n 为奇数）， ……7分由题意：对任意的*m N ，有222122(1)22m m a a m m m m m ，∴对正偶数n 有222()22n n n a ，∴数列{}n a 的通项公式为22122n n n a n n 为奇数为偶数或2(1)124n n n a （*n N ）.…10分（3）对任意的*k N ，有2222(2)422k k k a k，2221(21)441111122()2(1)2(1)21k k k k a k k k k k k ， ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：① 当n 为偶数时，设2n k （*k N ），22222S a ，则当2k 时，222222242352124(2)35(21)11()()22(1))22n k k k k S k k a a a a a a11111131((42(1223122k n k k k n ，3122n S n n；……15分 ② 当n 为奇数时，设21n k （*k N ），则当2k 时，222222242352124(2)35(21)1111()()22[(1)(2223n k k k k S k k a a a a a a111131()]4(1212121k n k k k n ，于是31221n S n n ，综上：313,212312n n n n S n n n为奇数为正偶数，∴2n S n 存在极限，且3lim(2)2n n S n . ……18分上海市杨浦区2020届高三一模数学答案一. 填空题 1. (0,) ，()f x，∴0x 2. 211130 ，增广矩阵定义3. 12，121()log 12f x x x ，∴111(1(1)22f f 4. 2，220a a 且10a ，∴2a 5.3，1r ，22S rl l 侧，1cos 23r l6. 2，4372802C a a7.35，122||||6||1PF PF PF ，12||F F ，由余弦定理12cos F PF 358. 72，212lim 1212n n S729. [2，设)P ，∴)PA PB1)22) [210. 12，①②为偶函数，④⑤为奇函数，分类讨论：（1）奇奇偶，12C ；（2）奇偶偶，12C ； （3）奇偶非，1112228C C C ；综上，共22812 种. 或从对立面，33364412C C C11. 34(,]23，设()f x t ，∴2230t mt m ，数形结合两种情况：① 10t ，201t ，代入10t ，此时230m ，32m ，232t ，不符；② 11t ，201t ，二次函数如图所示，设2()23g t t mt m ，∴(0)0g ，(1)0g ，得3423m12. ①②④，理解题意等价转化为点集问题，即“平面中有点集S ，若对于S 中的任意两点A 、B ，线 段AB 上的点均属于S ，则称点集S 为C 类集”. 举两个例子，左图区域内任选两点所连线段依然在区域内，符合C 类集定义，而右图并不符合，不妨称符合C 类集的这种图形为“凸形”. 命题①，相当于将“凸形”放大或缩小，变化后 还是“凸形”，正确；命题②，可以进一步将“凸形”简化为圆，即M 在圆1O 内，N 在圆2O 内，MN 的中点轨迹为“凸形”，结合命题①，乘以2仍为“凸形”，②正确；命题③，两个 “凸形”的并集不一定为“凸形”，错误；命题④，两个“凸形”的交集还是“凸形”，正确.二. 选择题13. 选D ，A 、B 、C 反例，如1a ，2b ，排除A 、B 、C 选项14. 选A ，2sin(2)2sin[2()]36y x x，由2sin 2y x 向左平移6个单位可得15. 选C ，A 反例，12i z ，21i z ；B 反例，134i z ，243i z ；D 反例， 1i z ，21z ；综上，选C16. 选D ，当x A B ，此时x A 、x B 、x A B 同时成立，()()A B f x f x()1A B f x ，∴()()()A B A B f x f x f x 不恒成立，故D 错误. 其余选项均正确三. 解答题17.（1）连接EF ，∵E 、F 分别为PD 、PA 的中点，∴EF ∥AD ， ……2分 又∵BC ∥AD ，可得：EF ∥BC ， ……4分 ∴B 、C 、E 、F 四点共面. ……6分 （2）解法一：设AC 与BD 交于点Q ，连接EQ ， 由E 、Q 分别为DP 、DB 的中点，可得：EQ ∥PB ， ∴AEQ 或其补角为异面直线PB 与AE 所成的角， ……8分 由PA 平面ABCD 可得：PA AB ，PA AD ， ∵1AB AP，AD，∴PB，2PD ， ……10分122EQ PB，112AE PD ，112AQ AC ， ……12分（给在12的关系上）222111cos 24AE EQ AQ AEQ AE EQ，arccos (0,42AEQ ，异面直线PB 与AE 所成角的大小为arccos 4. ……14分解法二：建立如图空间直角坐标系，(1,0,0)B、D 、(0,0,1)P、1)22E ，……10分 (1,0,1)PB，1(0,,22AE ， ……12分PB 与AE 所成的角满足||cos 4||||PB AE PB AE， ∴异面直线PB 与AE所成角的大小为4. ……14分 18.（1）由(0)17f a ，∴6a ，方程6252x x ，即2(2)5260x x ，可得：22x 或23x ，……4分 解得：1x 或2log 3x .……6分（2）解法一：函数的定义域为R ， ……8分 当1a 时，1()22x x f x ，对任意x R ，均有11()22()22x xx xf x f x ， ∴1()22x xf x为偶函数； ……10分 当1a 时，1()22x x f x ，对任意x R ，均有11()22()22x x x x f x f x ，∴1()22x x f x 为奇函数； ……12分当1a 且1a 时，()22x x a f x ，由(1)22a f ，1(1)22f a ，55(1)(1)022f f a ，33(1)(1)022f f a ，∴()22x x af x 为非奇非偶函数. ……14分解法二：函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数当且仅当()()0f x f x 对任意x R 恒成立，22022x x x x a a，即1(2)(1)02xxa ， ∵x 任意，∴10a 即1a ， ……10分【说明】(0)01f a ，须将1a 代回解析式验证()()f x f x 恒成立，()f x 为偶函数当且仅当()()0f x f x 对任意x R 恒成立，22022x x x x a a，即1(2)(1)02xxa ， ∵x 任意，∴10a ，即1a ， ……12分综上：当1a 时()f x 为偶函数；当1a 时()f x 为奇函数； 当1a 时()f x 为非奇非偶函数. ……14分19.（1）△ACE 中，30ACE ，45AEC ， ……2分 ∵sin sin AE ACACE AEC ，……4分 ∴2sin 30sin 45AE，∴1AE AC AE ，会受影响. ……6分 （2）△ABC 中，∵sin 30sin 75AB AC，∴AB ， ……8分BE BC ，∴道口B 不受影响， ……9分BD过道口A：时间12 4.4A t分钟， ……11分过道口B：时间2 4.3B t 分钟，……13分 走道口B 更快. ……14分20.（1）设(,)A x y ，222450,0y x x y x y，……2分 解得：1x ，2(1,2)y A .……4分（2）设00(,)A x y ，00y ，∵△AFD 为等腰直角三角形，且90FAD ，∴:(1)AF y x ，……6分 代入24y x，解得：03x ，……8分0215t x（5舍去），即：(5D . ……10分（3）证明：11(,)A x y 是抛物线上异于原点的点， 经过A 的直线l 方程：11()x x m y y ，112()4x x m y y y x，得：211104y my my x ， 若直线l 与抛物线相切，则21114()04m my x ，即221104y m my ，∴12y m ，即切点为11(,)A x y 的切线斜率为12k y ，……12分设弦AB 所在直线的方程为(0)x t n y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，2(0)4x t n y y x，24()y ny t ，即2440y ny t ， ∵1y 、2y 是方程的根，∴124y y n ，124y y t ，【充分性】已知P 为弦AB 的中点，则122Q P y y y y， 代入过点A 的切线方程111()2y x x y y ，得：21121121()2244y y y y y y x y t ，∴点Q 在过点A 的切线上，即直线AQ 与抛物线相切； ……14分 【必要性】设直线AQ 与抛物线相切，直线的AQ 方程为111()2y x x y y，令x t ，则111()2Q y t x y y ，即212111()442Q y y y y y y，∴122P Q y y y y ， ∴P 为弦AB 的中点. ……16分21.（1）1(2)n n a ，1(2)3nn S （*n N ）， ……1分∴2121123n n S （*n N ），……2分 221203n n S （*n N ），……3分∴该无穷等比数列{}n a 具有性质P . ……4分（2）证明：∵1231234n n n n n n n n a a a a a a a a （*n N ）成立， ∴4n n a a （*n N ）成立，……6分 ∵数列{}n a 具有性质P ，∴40S ， 而对于任意正整数k ，都有41410k S kS a ， ……8分 假设40S ，则14a k S（与k 为任意正整数相矛盾），……9分 ∴40S . ……10分 （3）设1(1)n c c n d ，前n 项和1(1)2n n n T nc d ，∴22(121)02n n n n nS T n T（*n N ）， 221210n n n n S S c n T （*n N ）， ……12分∴2121(1)02(1)(2)(1)02n n n nc d n n n n c d对任意*n N 成立， 即1211(1)(0223(1)()()022d d n c d d n c n d c 对于任意*n N 成立， ……14分 ∴102d ，102d，得到2d ， ……15分即有11110(3)(2)0c c n c 对于任意*n N 成立，解得：131c ， ……16分∴20191120184036[4039,4037]c c d c . ……18分上海市普陀区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. 2，1122pp ，∴2222y px x m 2. 3，分子分母同除3n，13230lim 33110n n nn 3. (0,1)，111001x x x x4. 12，111i (i 122z m m ，∴12m 5. 2，1(2)0(0)2f f ，∴log 422a a6. 9，225526631()()9C x C x x x，即含2x 项的系数为9 7. 8，222810888234202a a a a a a ，∴82b ，∴3491188b b b b8. ，(0,)P a ，由2PQ QA ，∴2(,33a a Q ，代入椭圆24199a ，∴2a 9. 432，分析对立面，若()()()abcdef 为奇数，则a b 、c d 、e f 均为奇数， ∴3323332()288P P P ，∴()()()a b c d e f 为偶数的排列的个数为66288432P 10. 11[,]83，将函数展开后，奇次项有3(8)a b x 、(815)c b x ，∴80a b ，8150c b ，∴8b a ，15c a ，方程21ax bx c ，即(3)(5)1a x x ，∵[1,2]x ，∴1(3)(5)x x a[3,8] ，即11[,]83a11. 取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN2224PC CM PC ，max ||2PC OC，min ||2PC OB OC ，∴2[10PC ，即[6PM PN12. (3 ，数形结合，画出()f x 的图像，并作出其关于1x 对称的图像()f x ，由题意，即()f x 与()g x 有两个交点，∴a 取值范围的界值在()g x 与半圆y (2,0) 到直线1y x a 和直线1y x a 的距离均为222 ，∴1a 3a a (3 .二. 选择题13. 选A ，“ln 1m ” “0m e ”，∵范围小的推出范围大的，∴选A 14. 选D ，{1,1}A a a ，两元素之差为2，① 5b ，4a ；② 1b ，此时2a 或0a ；③ 3b ，2a ；综上，对应的实数对(,)a b 有4对15. 选D ，A 、B 选项反例如图所示；C 选项，存在无数条直线与a 、b 、c 都相交；D 选 项，直线a 、b 分别与c 共面，若c 既不与a 相交，也不与b 相交，则a 、b 、c 两两平行，与“异面直线a 、b ”矛盾，∴c 必与a 或b 相交16. 选B ，由题意，0a ，0b ，211(2)()a b a b a b ，同乘(2)()a b a b ，∴2222222344a b a b b aa b ab a b a b恒成立，∵2223a b ab3ab ，∴34ab ，即4ab 222a b三. 解答题 17.（1）当12时，AD DC ，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则ED ∥BC ，即PDE 是异面直线PD 与BC 所成角或其补角， ……2分又PA 、AB 、AC 两两互相垂直，则1PD DE EP ，即△PDE 是正三角形，则3PDE， ……5分则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3. ……6分（2）∵PA 、AB 、AC 两两互相垂直，∴AB 平面PAC ， ……9分 则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC，即23DC ，……13分 又AD AC （0 ），2AC ，则23. ……14分【说明：利用空间向量求解请相应评分】18.（1）当4a 时，由22541x x得：24250x x ， ……2分 令2x t ，则2540t t ，即14t ， ……4分 即02x ，则所求的不等式的解为(0,2). ……6分（2）任取122x x ，∵函数()22x x f x a 在区间[2,) 上单调递增， ∴12()()0f x f x 在[2,) 上恒成立， ……8分 则112222220x x x x a a 恒成立，即121212222202x x x x x x a ，1212(22)(102x x x x a ， ……10分又12x x ，则1222x x ，即122x x a 对122x x 恒成立， ……12分又12216x x ，即16a ，则所求的实数a 的取值范围为[16,) .……14分 19.（1）由平行四边形OMPN 得：在△OPN 中，120ONP ，60OPN ， 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON ，即60sin(60)sin120sin ON PN，即)ON，PN ， ……4分则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP ，即sin(60)S ，其中060 . ……6分（2）由（1）得：1sin(60)cos sin )2S ， 即23600sin cos1800sin 2S ……10分则30)S ……12分 ∵060，∴30230150，则23090 时，max 11039.2S 平方米， ∴当30 时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……14分 【说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分】 20.（1）当0m ，直线l 与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得：2221tan 303b a ，又焦距为4，则224a b ， ……3分解得：a 1b ，则所求双曲线 的方程为22=13x y . ……4分 （2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由22=1340x y x my，得：22(3)8130m y my ，则12283m y y m，122133y y m ，且2226452(3)12(13)0m m m ，又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE，即12120x x y y ，即1212(4)(4)0my my y y ，即212124()(1)160m y y m y y ，则22221313816033m m m m ，……8分 即223503m m，则3m或3m ，即实数的取值范围为((33. ……10分 （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是||p q x x ，设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD的中点，则点00(22x y P ， ……12分 直线BD，直线AD，又BD PQ ，则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y，即200000322x x y y x y y ，又直线AD的方程为y x，联立方程20000322x x y y x y y y x，消去y化简整理得：2220003)22x y x x x ，又220013x y ， 代入消去20y得：20002(3)1)(33x x x x x ，即02(1(33x x x，则024x x ，即Q横坐标为024x ，……15分则002||||244p q x x x x，∴线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……16分 【说明：看作是PQ 在OB或(1,0)i 方向上投影的绝对值，请相应评分】21.（1）由条件得：1()3n n b ，*n N ，即11()3n n n a a ， ……1分则2113a a ，23211(39a a，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a ，又1(1)3a q ，则14a ， ……3分当14a ，13q 时，111()43n n a ，*n N ，则111111111111((()[()](434334433n n n n n n a a 满足题意，∴所求的a 的值为14. ……4分 （2）当2n 时，1121n n n b b ，21221n n n b b ， ，2121b b ，以上1n 个式子相加得：12312222(1)n n n n b b n ， ……6分又12123b a a a ，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a， 即224n n b n a ，由1210n n n b b 知数列{}n b 是递增数列， ……8分又1n n n b a a ，要使得4n a a 对*n N 恒成立，则只需34345400b a a b a a ，即32421080b a b a ，则281a . ……10分（3）由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n ，2(422)32n n n S n n，则223222n n n nS n n C， ……12分 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C， 当3n 时，224233428282(2)40n n ，即3n 时，1n n C C ，则当3k l 时，k l C C 与k l C C 矛盾. ……14分又1l ，即2l 时，232522k k k， 当5k 时，225325352202216kk k， 又205207207(2)3016216168，即当5k ，2l 时，232522k k k 与232522kk k 矛盾， 又2k l ，则3k 或4，当3k 时，2233233325222kk k，解得：1 ， 当4k 时，2243243425222k k k，解得：2 ，综上： 的所有可能值为1 和2 . ……18分。

9（2020嘉金一模）.近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工 、 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中 、 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了 、 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：
支付金额（元）
支付方式
大于2000
使用
18人
29人
23人
使用
10人
24人
21人ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月 、 两种支付方式
都使用过的概率为

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷排列组合和概率理创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校1.【⋅全国】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A、12种B、10种C、9种D、8种2.【⋅全国】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）3.【⋅全国】为了解某地区的中生视力情况，拟从该地区的中生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样4. 【⋅全国】从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）12（B）13（C）14（D）165.【全国1高考理第5题】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A ．81B ．83C ．85D ．87 【热点深度剖析】从这三年高考来看，对这一热点的考查，主要考查分类计数原理、分步计数原理，排列组合，等可能事件的概率，古典概型，几何概型，条件概率，相互独立事件的概率、互斥事件的概率． 高考题一道考查正态分布，也是基础题，清晰正态分布的分辨能力和公式是解题的关键；另一个题是组合数，属于基础题，高考考查抽样方法与古典概型，属于基础题；高考题主要考查古典概型，利用排列组合知识求古典概型的概率属于基础题．高考对这一部分知识的考查单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，一般在试卷的靠前部分，属于中低难度的题目，难度较低，分清事件是什么事件是解题的关键；排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；从高考试题的形式来看，排列组合和概率往往结合在一起考查，且以概率为主，单纯考察排列组合较少，试题难度不大，为中低档题，预测高考，排列、组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点，同时应注意排列、组合与概率、分布列等知识的结合，特别是几何概型有可能考查，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．【重点知识整合】1.排列数m n A 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =. (3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. 2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）（5）多排问题单排法（6）多元问题分类法（7）有序问题组合法（8）选取问题先选后排法（9）至多至少问题间接法（10）相同元素分组可采用隔板法4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以n ！5．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；6.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=n m .理解这里m 、ｎ的意义.7、互斥事件：（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）.计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B ).8、对立事件：（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生）.计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P ( )A =1－P (A )；9、独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）P(A •B)＝P(A) • P(B) .提醒：（1）如果事件A 、B 独立，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是独立事件；（2）如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （A ⋅B ）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （ ）A ⋅B ＝1－P( )A P( )B .10、独立事件重复试验：事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k 次．的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-(是二项展开式[(1)]n p p -+的第k +1项)，其中p 为在一次独立重复试验中事件A发生的概率.提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质.在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件.（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答.11.古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：(1)有限性：在一次试验中，可能出现的不同的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．古典概型中事件的概率计算如果一次试验的等可能基本事件共有n个，随机事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝m.n 12．几何概型区域A为区域Ω的一个子区域，如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型．几何概型的概率P(A)＝μA，其中μAμΩ表示构成事件A的区域长度(面积或体积)．μΩ表示试验的全部结果所构成区域的长度(面积或体积)．13、解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：①求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.【应试技巧点拨】1.求排列应用题的主要方法：(1)对无限制条件的问题——直接法；(2)对有限制条件的问题，对于不同题型可采取直接法或间接法，具体如下： ①每个元素都有附加条件——列表法或树图法；②有特殊元素或特殊位置——优先排列法；③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法；④有不相邻元素(间隔排列)——插空法；2.组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3.解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．4.事件A 的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m .因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A 是什么？它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．5．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示．6.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．牢记公式()()1n k k k n n P k C p p -=-，0,1,2,,k n =，并深刻理解其含义．7．解答条件概率问题时应注意的问题(1)正确理解事件之间的关系是解答此类题目的关键．(2)在求()p AB 时，要判断事件A 与事件B 之间的关系，以便采用不同的方法求()p AB ．其中，若B A ⊆，则()()p AB p B =)，从而()()()P B p B A P A =. 8.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意 解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【考场经验分享】1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．2．解决排列、组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．3．要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．4.几何概型求解时应注意：(1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．(2)由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．5.如果题设条件比较复杂，且备选答案数字较小，靠考虑穷举法求解，如果试题难度较大并和其他知识联系到一起，感觉不易求解，一般不要花费过多的时间，可通过排除法模糊确定，一般可考虑去掉数字最大与最小的答案 本部分内容的基础是概率，高考试题中无论是以古典概型为背景的分布列，还是以独立重复试验为背景的分布列，都要求计算概率．解此类问题的一个难点是正确的理解题意，需特别注意．【名题精选练兵篇】1. 【吉安市一中高三上学期第二次阶段考试】某进行模拟考试有80个考室，每个考室30个考生，每个考生座位号按1～30号随机编排，每个考场抽取座位号为15号考生试卷评分，这种抽样方法是（ ）A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 分组抽样2. 【襄阳市第五高三第一学期11月质检】高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（ ）A ．13B ．23C ．12D ．16 3. 设随机变量ξ服从正态分布2N 1σ（，）,若P 2)0.8ξ<=（,则(01)P ξ<<的值为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.64. 【贵阳市普通高中高三上学期期末监测】若任取x ，]1,0[∈y ，则点),(y x P 满足21x y ≤的概率为（ ） A.22 B.31 C.21 D.32 5. 【龙岩市非一级达标校高三上学期期末检查】甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列正确的是（ ）A ．x x <乙甲，甲比乙成绩稳定B ．x x >乙甲，乙比甲成绩稳定C ．x x >乙甲，甲比乙成绩稳定D ．x x <乙甲，乙比甲成绩稳定6. 【北京市丰台区高三上学期期末考试】11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（A ）1818A 种（B ）218218A A 种（C ）281031810A A A 种（D ）2020A 种 7.【宝鸡市九校高三联合检测】已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ）A.12π- B.13π- C.16π- D.112π-8. 已知集合A =2{20}x x x --<，1{lg}1x B x y x -==+，在区间(3,3)-上任取一实数x ，则x A B ∈⋂的概率为A ．18B ．14C ．13D ．112 9.已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 A.79 B.13 C.59 D.2310.【遂宁市高三第二次诊断】从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是（ ）A ．590B ．570C ．360D ．21011.【兰州市高三诊断】从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为A ．15B ．25 C ．35 D ．4512.在圆22(2)(2)4x y --＋＝内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为（ ）A ．18π B ．14π C ．12π D ．1π13.【长望浏宁四县高三3月调研】如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （0,—1），B （π,—1），C （π,1），D （0,1），正弦曲线x x f sin )(=和余弦曲线x x g cos )(=在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）． A ．π21+ B ．π221+ C ．π1 D ．π21 14.【稳派新课程高三2月】如图，大正方形的面积是34，四个全等三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为（ ）A.171B.172C.173D.174 15.【高三教学质量检测一】周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（ ）A ．0.80B ．0.75C ．0.60D ．0.4816. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为．【名师测试篇】1.某小区准备在小区活动广场建造如图所示的休闲区域，中心区域E 将建造一个喷泉，现要求在其余四个区域中种上不同颜色的花卉，现有四种不同颜色的花卉可供选择．要求每一个区域种一种颜色的花卉，相邻区域所种的颜色不同，则不同的种花卉的方法种数为( )A ．64B ．72C ．84D ．962.在小语种自主招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中韩语2名，日语2名，俄语1名．并且日语和韩语都要求必须有女生参加．学校通过选拔定下3女2男共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A ．20种B ．22种C ．24种D ．26种3.如图，设抛物线()210y ax a =-+>的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在AOB ∆内的概率是( ) A.56 B.45 C.34D.234. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm )，结果如右茎叶图：根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①；②.5.若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数2()lg(44)f x ax x b =++的值域为R （实数集）的概率为（ ）A ．12ln 24+B ．32ln 24-C ．1ln 22+D ．1ln 22- 6.在平面直角坐标系中，已知点P （4，0），Q （0，4），A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以MN 为直径的圆C 与直线PQ 相切，当圆C 的面积最小时，在四边形APQB 内任取一点，则这点落在圆C 外的概率为。