2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编---排列组合二项式定理

2020北京各区高三二模数学分类汇编 —排列组合与二项式定理、概率与统计排列组合与二项式定理1.（2020▪昌平高三二模）在的展开式中，的系数为（A ）（B ）（C ）（D ）2.（2020▪房山高三二模）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是 （A ）12（B ）13（C ）14（D ）153.（2020▪海淀二模）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）.根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为 （A ）9（B ）10（C ）11（D ）124.（2020▪朝阳高三二模）在61x x（+）的展开式中，常数项为 （用数字作答）5. （2020▪西城高三（下）6月模拟）在()615x +的展开式中,x 的系数为.6．（2020▪密云高三二模）在的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．概率与统计7.（2020▪海淀二模）（本小题共14分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.（Ⅰ）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（Ⅱ）若以图2中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；（Ⅲ）据统计，该地区被访者的签约率约为44%. 为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.8．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；年龄（单位：岁）1 图O 21314151617181911011110.0180.0210.016频率组距0.0150.0100.0040.0050.010.0150.020.0250.00250.00050.0080.00530.337.155.761.770.075.8O18~302040608031~5051~6061~7071~8081以上年龄段%签约率（）（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．9.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了,,,A B C D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为,a b.甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为甲同学最终被招募的项目个数，已知1 (0)40 Pξ==,1(4)10Pξ==.（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；（Ⅱ）求a，b的值；（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者(不包含甲)调整到项目D，试判断Eξ如何变化(结论不要求证明). 10.（2020▪朝阳高三二模）(本小题14分)近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟.为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试.某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程(单位:万公里)将这些汽车分为4组:[)[)[)[]5,6,6,7,7,8,8,9并整理得到如下的频率分布直方图:(I)求a 的值;(II)该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本.从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X 的分布列和数学期望;(III)设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为0μ.若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1μ;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2μ.有同学认为0102μμμμ-<-，你认为正确吗?说明理由.11. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)随着科技的进步,视频会议系统的前景愈加广阔.其中,小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计,小型视频会议软件下载量前6名的依次为,,,,,A B C D E F .在实际中,存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此,某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查,统计得到这6款软件的下载量W(单位:人次)与使用量U (单位:人次),数据用柱状图表示如下:定义软件的使用率WUt =,当0.9t ≥时,称该款软件为“有效下载软件”，调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率.(Ⅰ)在这6款软件中任取1款,求该款软件是“有效下载软件”的概率;(Ⅱ)从这6款软件中随机抽取4款,记其中“有效下载软件”的数量为X ,求X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)将(Ⅰ)中概率值记为%x .对于市场上所有小型视频会议软件,能否认为这些软件中大约有%x 的软件为“有效下载软件”?说明理由.12.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.（Ⅰ）由图中数据求的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在和的人中任选3人，求其中在的人数的分布列和数学期望；（III）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）13. （2020▪丰台高三二模）（本小题共14分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.14.（2020▪房山高三二模）（本小题14分）“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16时公布实时在园人数．下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：40%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．（Ⅰ）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）15.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在、、内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和元．方案2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．2020北京各区高三二模数学分类汇编—排列组合与二项式定理、概率与统计参考答案1.C2.B3.C4.155.306.207.（本小题共14分）解: （Ⅰ）由图1可知，该地区居民中年龄在71~80岁的频率为0.00410=4%⨯.由图2可知，样本中年龄在71~80岁居民家庭医生的签约率为70.0%， 因为该地区居民人数约为2000万，所以该地区年龄在71~80岁，且已签约家庭医生的居民人数约为20004%70.0%=56⨯⨯（万人）.（Ⅱ）由题意，从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为710. 设i A 表示事件“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，其中第i 个人已签约家庭医生”（1,2i =），则7()10i P A =，73()11010i P A =-=（1,2i =）. 设事件C 为“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有1人已签约家庭医生”， 则1221C A A A A =U .所以1212733721()()()()()1010101050P C P A P A P A P A =+=⨯+⨯=. 所以这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为2150. （Ⅲ）应着重提高年龄在31~50岁居民的签约率.理由如下：①依题意，该地区年满18周岁居民签约率从44%提高到55%以上，需至少提升11%； ②年龄在31~50岁居民人数在该地区的占比约为：21%+16%=37%，占比大； ③年龄在31~50岁居民的医生签约率较低，约为37.1%； ④该地区年满18周岁居民的人数在该地区的占比约为：0.008+0.0050.7)10=0.885⨯⨯1-(；所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提升至55%，可将该地区年满18周岁居民签约率提升37%(137.1%)0.88537%62.9%23%⨯-÷>⨯≈，大于11%.8．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，……………1分 由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=， 解得 2.4a =.……………… 2分由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=， …………3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=.……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=，(25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=， (40)0.30.30.09P X ==⨯=.……………… 9分所以X 的分布列为： (1)故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分 9.（本小题14分）解：因为1(0)40P ξ==， 所以60a >，且80b >.设事件A 表示“甲同学被项目A 招募”，由题意可知，501()1002P A ==； 设事件B 表示“甲同学被项目B 招募”，由题意可知，60()P B a =； 设事件C 表示“甲同学被项目C 招募”，由题意可知，80()P C b=； 设事件D 表示“甲同学被项目D 招募”，由题意可知，1604()2005P D ==； （Ⅰ）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“4ξ=”是对立的，所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是191(4)11010P ξ-==-=.………………………………4分 （Ⅱ）由题意可知，1608041(0)()(1)(1)(1)(1)2540P P ABCD a b ξ===-⋅-⋅-⋅-=； 1608041(4)()2510P P ABCD a b ξ===⋅⋅⋅=；解得120a =，160b =.………………………………12分 （Ⅲ）E ξ变大.………………………………14分 10.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意知，1(0.10.20.4)1a ⨯+++=，所以0.3a =．……………3分 （Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[7,8)这一组的无人驾驶汽车有410410⨯=辆， 行驶里程在[8,9]这一组的无人驾驶汽车有310310⨯=辆． 由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2．24272(0)7C P X C ===，1143274(1)7C C P X C ===，23271(2)7C P X C ===．所以X 的分布列为所以X 的数学期望()0127777=⨯+⨯+⨯=E X ．……………11分 （Ⅲ）这种说法不正确．理由如下：由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果影响． 因此有可能1μ更接近0μ，也有可能2μ更接近0μ， 所以0102||||μμμμ-<-不恒成立． 所以这种说法不正确．……………14分11．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）根据数据，可得软件A ，B ，C ，D ，E ，F 的使用率，，，，，.所以软件A ，B ，E ，F 为“有效下载软件”.………………2分 记事件为“在6款软件中任取1款，该款软件是有效下载软件”，………3分则事件的概率.………………4分（Ⅱ）随机变量的可能取值为2，3，4.………………5分则，，.……8分所以随机变量的分布列为：2 3 4 (9)所以随机变量的数学期望.………………10分（Ⅲ）不能认为大约有的软件为“有效下载软件”.………………12分理由如下：若根据这6款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估计总体.用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取.但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前6名”的软件，不是从所有软件中随机抽取6款作为样本.故不能认为大约有的软件为“有效下载软件”.………………14分12.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为，所以. …………….2分因为，所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在的学生有人. …….3分所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在的概率为. …………….5分（Ⅱ）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在和的人分别有5人和3人. …………….6分 所以的所有可能取值为0,1,2,3. …………….7分， ,，. …………….9分所以的分布列为所以的期望. ………….11分（III ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在.13．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X 的分布列为：()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化． 答案示例2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．………14分14.（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，若舒适度为“舒适”，则在园人数不大于408 3.2100⨯=万， 所以10月1日至7日中下午14时舒适度为“舒适”的天数为3天，因此甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该景区游览，遇上“舒适”的概率为37．（Ⅱ）这记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X ，则X 的可能取值为0,1,210月1日至7日中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有3天，则24272(0)7C P X C ===1143274(1)7C C P X C ===23271(2)7C P X C ===X 的分布列为所以X 的期望24160127777EX =⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）从10月2日开始连续三天的在园人数的方差最大． 15. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A.由图可知，去年消费金额在内的有8人，在内的有4人，消费金额超过3200元的“健身达人”共有8+4=12（人）， 从这12人中抽取2人，共有种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有种不同方法．所以，．（Ⅱ）解：方案1按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为，，，按照方案1奖励的总金额为（元）．方案2设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为，所以，，．所以的分布列为：数学期望为（元），按照方案2奖励的总金额为（元），因为由，所以施行方案2投资较少．。

2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题（2020海淀一模）形如221n (n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12（2020西城一模）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.（2020东城一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020东城一模）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天（2020东城一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8（2020朝阳区一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.（2020石景山一模）长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．（2020怀柔一模）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周≈）率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14（2020密云一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.（2020顺义区一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020延庆一模）某企业生产,A B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B两种产品的年产量的增长率分别为50%和lg ）( ) 20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取20.3010A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年（2020延庆一模）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.。

北京市10区2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编排列组合二项式定理一、排列组合1、（昌平区2020届高三上学期期末考试）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种.2、（朝阳区2020届高三上学期期末考试）从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（A）20（B）40（C）60（D）1203、（东城区2020届高三上学期期末考试）从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为(A) 7(B) 9(C) 10(D) 134、（丰台区2020届高三上学期期末考试）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成种重卦．（用数字作答）5、（通州区2020届高三上学期期末考试）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为A．24 B. 12 C. 8 D. 6参考答案：1、【答案】144【解】先安排丁、戊、己共有333216A=⨯⨯=种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有3443224A=⨯⨯=种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有3334=144A A⋅。

2、C3、C4、155、C二、二项式定理1、（昌平区2020届高三上学期期末考试）在()52x-的展开式中，3x的系数为________．（用数字作答）2、（朝阳区2020届高三上学期期末考试）41(2)x x+的展开式中的常数项为________． 3、（（丰台区2020届高三上学期期末考试）在261()x x-的展开式中，常数项是 （A ）20- （B ） 15- （C ）15 （D ）304、（海淀区2020届高三上学期期末考试）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5- （B ）5 （C ）10- （D ）105、（石景山区2020届高三上学期期末考试）在62()x x -的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）6、（西城区2020届高三上学期期末考试）在()51x -的展开式中,2x 的系数为___________.参考答案：1、402、243、C4、A5、－1606、10。

2020北京新高考数学高三二模汇编04复数排列组合二项式定理1．（海淀11）若复数(2i)(i)a -+为纯虚数，则实数a =_______.答案 12-2. （昌平2）在复平面内，复数i(i )a -对应的点的坐标为(12)-，，则实数a = （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2- 答案 D3. （东城11） 复数1iiz -=的共轭复数z 为_________. 答案 1i -+4.（丰台11）已知复数2i z =-，则z = ．答案5.（西城2）设复数 z =1+i,则 2z =( A)-2i ( B)2i ( C)2-2i ( D)2+2i 答案 A6.（房山11）若(i)(1i)13i m ++=+（m ∈R ），则m = ． 答案 27.（朝阳1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限 答案B8. （顺义2）在复平面内，复数()i 1i z =+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限答案B9.（西城11）.在6(15)x +(展开式中, x 的系数为 . 答案 3010.（昌平3）在()52x -的展开式中，2x 的系数为（A ）40- （B ） 40 （C ）80- （D ）80 答案 C11.（丰台14）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年. 答案 己卯；6012.（密云12）在61()x x+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．答案 2013. （朝阳12）在61)x的展开式中，常数项为________．（用数字作答） 答案 15。

2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）复数（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城一模）2.若复数z =(3−i)(1+i),则|z|= (A)2√2(B)2√5(C)√10(D)20（2020东城一模）(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-（2020朝阳一模）（11）若复数21iz =+，则||z =________． （2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i（2020丰台一模）3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限集合（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B ={ 1 }，则集合B 可以是（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(−∞,0)(B)(2,3) (C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则AB =（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，（A ）{}3（B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{}1,2,3,4,5（2020石景山一模）1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---（2020西城5月诊断）01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--（2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，（2020石景山一模）15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．计数原理（2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（2020石景山一模）5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 81二项式定理（2020海淀一模）（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120- （B ）120（C ）160- （D ）160（2020西城一模）11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)（2020东城一模）(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)三角函数与解三角形（2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32 （C ）22（D ）12（2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④（2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为(,)1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(,)3122 (B) (,)-1322(C) (,)-3122(D) (,)--3122（2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020石景山一模）（2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为9（2020西城5月诊断）05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）35（2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．（2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为.（2020海淀一模）（14）在△ABC中，AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD = ，sin ABD ∠= .（2020海淀一模）（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,7.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线6x π=对称C. 32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1-]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

绝密★启用前2020届北京市东城区高三一模考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}10A x x =->，{}1,0,1,2B =-，那么A B =()A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．1,0,1,2D ．{}2答案：D先化简集合A ，再利用交集的定义求解. 解：∵{}1A x x =>，{}1,0,1,2B =-， ∴{}2A B ⋂=. 故选：D. 点评：本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．函数()f x =() A ．(]1,2- B ．[)2,+∞C ．()[),11,-∞-+∞D ．()[),12,-∞-+∞答案：B首先根据()f x =2201x x -≥+，再解不等式即可. 解：函数()f x =，令2201x x -≥+，得20x -≥， 解得2x ≥，所以()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：B 点评：本题主要考查函数的定义域，属于简单题.3．已知()211i a R ai=-∈+，则a =（） A ．1B ．0C ．1-D ．2-答案：A利用复数的除法得出211ai i+=-，进而可求得实数a 的值. 解：211i ai=-+，()()()21211111i ai i i i i +∴+===+--+，因此，1a =. 故选：A. 点评：本题考查利用复数相等求参数，考查复数除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．若双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则b 的值为()A ．1 BC D ．2答案：D求出双曲线C 中斜率为正数的渐近线方程，根据该直线与直线21y x =+平行可求得b 的值. 解：双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线y bx =与直线21y x =+平行，可得2b =.故选：D. 点评：本题考查利用双曲线的渐近线与直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．6C ．8D ．12答案：A利用三视图作出几何体的直观图，然后利用锥体的体积公式可求得该几何体的体积. 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥1D BCD ，根据三棱锥的三视图的数据，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是4DC =，3BC =，12DD =，因此，三棱锥的体积是11432432⨯⨯⨯⨯=. 故选：A. 点评：本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是结合三视图还原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是() A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>答案：D利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 解：1x <-，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x x x x+++++==<，又sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D. 点评：本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为12⎛ ⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是()A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,22⎛-⎝⎭C ．221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭答案：C计算出运动3分钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为32122ππ⨯=.设点M 的初始位置的坐标为()cos ,sin αα，则1cos 2α=，sin 2α=， 运动到3分钟时动点M 所处位置的坐标是cos ,sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得3cos sin 2παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，1sin cos 22παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 所以，点M '的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.点评：本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B在不等式AB AC AB AC +>-两边平方并化简得0AB AC ⋅>，判断出角A 的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 解：三角形ABC 中，“AB AC AB AC +>-”0AB AC ⇒⋅>，可得A 为锐角，此时三角形ABC 不一定为锐角三角形.三角形ABC 为锐角三角形A ⇒为锐角.∴三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.9．设O 为坐标原点，点1,0A ，动点P 在抛物线22y x =上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为() A ．(]0,1 B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎦ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案：C设点2,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，可得出线段PA 的中点M 的坐标，利用基本不等式可求得直线OM 的斜率的取值范围. 解：设2,2y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0y >，所以PA 的中点22,42y y M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以222222224OMyy k y y y y ===+++，因为2y y +≥102y y<≤=+，所以0,2OM k ⎛∈ ⎝⎦， 故选：C. 点评：本题考查直线斜率取值范围的计算，涉及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是（）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值 答案：C根据图形可判断A 选项的正误；根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误；取()10x t =，()100y t =可判断D 选项的正误. 解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C. 点评：本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题. 二、填空题11．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，若a b -与c 共线，则实数m =______. 答案：3求出向量a b -的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值. 解：向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，()1,3a b m ∴-=-，a b -与c 共线，1323m -∴=，解得实数3m =. 故答案为：3. 点评：本题考查利用向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．在622()x x+的展开式中，常数项为_____．（用数字作答） 答案：60根据二项式展开式的通项公式，利用x 项的指数为0，即可求出常数项. 解： 在622()x x+的展开式中,通项公式为： 66316622()2r r r r r r r T C x C x x--+== 令6302r r -=∴=所以展开式的常数项为：226260C = 故答案为：60 点评：本题考查了二项式定理的通项公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 13．圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为______.答案：()22112x y -+=设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，根据圆与直线1l 、2l 都相切可求得a 、r 的值，由此可得出所求圆的方程. 解：设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，因为圆()()2220x a y r r -+=>与直线1:l y x =和2:2l y x =-r ==，解得1a =，22r，所以圆的方程为()22112x y -+=.故答案为：()22112x y -+=. 点评：本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线与圆相切的处理，考查计算能力，属于中等题.14．设函数()()1,0,22,0.x a a xa x x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①对0a ∀>，t R ∃∈，使得()f x t =无解；②对0t ∀>，a R ∃∈，使得()f x t =有两解；③当0a <时，0t ∀>，使得()f x t =有解；④当2a >时，t R ∃∈，使得()f x t =有三解.其中，所有正确结论的序号是______. 答案：③④取3a =，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数()f x 的值域，可判断①的正误；取0a =，判断函数()f x 的单调性，即可判断②；考虑0a <时，求得函数()f x 的值域，即可判断③；当2a >时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数()f x 的图象，即可判断④.综合可得出结论. 解：对于①，可取3a =，则()()3331,0,22,0.x xx x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩， 当0x <时，()()()31,3f x x =+∈-∞；当0x ≥时，()3333222222x x x x f x ----=+≥⋅=，当且仅当3x =时，取得等号， 故3a =时，()f x 的值域为R ，t R ∀∈，()f x t =都有解，故①错误；对于②可取0a =时，()0,022,0x xx f x x -<⎧=⎨+≥⎩，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增， 对0t ∀>，()f x t =至多一解，故②错误；对于③，当0a <时，0x <时，()()1f x a x =+单调递减，可得()f x a >； 又0x ≥时，0x a ->，即有21x a ->.可得222x a a x --+>，则()f x 的值域为(),a +∞，0t ∀>，()f x t =都有解，故③正确；对于④，当2a >时，0x <时，()()1f x a x =+递增，可得()f x a <；当0x ≥时，()222x a a x f x --=+≥，当且仅当x a =时，取得等号，由图象可得，当23t <<时，()f x t =有三解，故④正确. 故答案为：③④.点评：本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题. 三、双空题15．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，27BD =，则CD =______；sin ABD ∠=______.答案：2321由3AD CD =可得2AC CD =，在BCD 中利用余弦定理可求得CD 的长，在ABD △中，利用正弦定理可求得sin ABD ∠的值. 解：如图所示，等边ABC 中，3AD CD =，所以2AC CD =.又7BD =2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，即(()22227222cos120CD CD CD CD +-⋅⋅⋅=，解得2CD =，所以6AD =；由sin sin AD BD ABD A =∠∠，即67sin sin 60ABD =∠，解得321sin 14ABD ∠=. 故答案为：2；32114. 点评：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，1AB AC ==，1PD =.（Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值的大小. 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3-. （Ⅰ）根据四边形ABCD 是平行四边形得出//AD BC ，再利用线面平行的判定定理可证得//AD 平面PBC ；（Ⅱ）过D 作平行于AC 的直线Dx ，以D 为坐标原点，DC 、DP 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角D PC B --的余弦值. 解： （Ⅰ）证明：底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD ∴平面PBC ；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ，AB AC ⊥，Dx DC ⊥，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.则()0,1,0C 、()0,0,1P 、()1,2,0B ，()1,1,0CB =，()0,1,1CP =-，设平面PCB 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n CB x y n CP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，得()1,1,1n =-.取平面PCD 的一个法向量()1,0,0m =，则cos ,31m n m n m n⋅<>===-⨯⋅.由图可知，二面角D PC B --为钝角，∴二面角D PC B --的余弦值为3-点评：本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17．已知函数()()2sin 22cos 066f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足_______. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭.这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 答案：满足①或②或③；（Ⅰ）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（Ⅱ）47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，根据①或②或③中的条件求得1a =，可得出()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3x k ππ=+，k Z ∈，可得出方程()1f x =在区间[]0,m 上的实数根，进而可得出实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）函数()2sin 22cos 66f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2163a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 21662a x x πππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2166a x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1sin 216a x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，若满足①()f x 的最大值为1，则12a +=，解得1a =，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为22T ππ==； （Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2262x k πππ-=+，k Z ∈，即3x k ππ=+，k Z ∈；若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，则3x π=或43π； 所以实数m 的取值范围是47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 若满足②，()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π， 且()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以()113a -+-=-，解得1a =； 以下解法均相同.若满足③，()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 1066f a ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得1a =；以下解法均相同. 点评：本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数方程的根的个数求参数，考查计算能力，属于中等题.18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“⋅”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率； （Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四个点位中随机选出两个，记X 为其中纵坐标误差的值小于4-的点位的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明） 答案：（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）分布列见解析，1；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A ，B ，C ，D 四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C ，D ，则X 的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.06 50=；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，()022416CP XC===，()112224213C CP XC===，()2224126CP XC===，所以X的分布列为所以X的期望为()1210121636E X=⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.点评：本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.19．已知椭圆E：22221x ya b+=（0a b>>），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为1F，2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l ，2l ，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值.答案：（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（Ⅰ）由题意可得22212222b c c b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，2l 的方程为2y kx m =+，联立直线与椭圆方程并消元得韦达定理的结论，根据弦长公式可求得CD ，MN ，由四边形CDMN 为菱形可得0MC ND ⋅=，可得2213220m k --=，再根据基本不等式即可求出最值．解：解：（Ⅰ）∵四边形12AF BF 为正方形，且面积为2，∴22212222b cc b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程2212x y +=；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ， 设2l 的方程为2y kx m =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立12222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()22211124220k x km x m +++-=， 由>0∆可得()()22221116412220k m km-+->，化简可得221210k m +->，①1122412km x x k -=++，211222212m x x k-+=，12CD x x-===，同理可得MN =， ∵四边形CDMN 为菱形，∴CD MN =，∴2212m m =，又∵12m m ≠，∴12m m =-，∴1l ，2l 关于原点对称，又椭圆关于原点对称， ∴,C M 关于原点对称，,D N 也关于原点对称，∴3131x x y y =-⎧⎨=-⎩且4242x x y y =-⎧⎨=-⎩，∴()112,2MC x y =，()222,2ND x y =， ∵四边形CDMN 为菱形，可得0MC ND ⋅=， 即12120x x y y +=，即()()1211210x x kx m kx m +++=， 即()()2121122110kx xkm x x m ++++=，可得()221111222224012121m km km m k kk -+=--++++=⋅， 化简可得2213220m k --=，∴菱形CDMN的周长为4l CD ==28312k=+()222122142312k k k +++≤=+ 当且仅当222214k k +=+，即212k =时等号成立， 此时211m =，满足①，∴菱形CDMN 的周长的最大值为 点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查椭圆的几何性质，考查一元二次方程根与系数的应用，考查基本不等式的应用，考查转化与划归思想，考查计算能力，属于难题． 20．已知函数()()ln f x x x ax =-（a R ∈）.（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a >，求()f x 在区间(]0,2a 上的最小值.答案：（Ⅰ）y x =-；（Ⅱ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）()22ln 22a a a ⎡⎤-⎣⎦.由题意得()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，求得()11f '=-，()11f =-，根据点斜式方程即可求出切线方程；（Ⅱ）由题意得1ln 2xa x +=两个不等的正根，令()1ln x g x x +=，则()2ln x g x x -'=，由此可得函数()g x 的单调性，由此可求出答案；（Ⅲ）由题意可得()12f x a x''=-，由二阶导的取值符号可得到f x 的单调性，得到()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，由此可求出函数()f x 在(]0,2a 上单调递减，从而求出最值．解：解：∵()()ln f x x x ax =-， ∴()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，()11f '=-，()11f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y x --=--， 即y x =-；（Ⅱ）∵若()f x 有两个极值点，∴()1ln 20f x x ax '=+-=有两个不等的正根，即1ln 2xa x+=两个不等的正根， 令()1ln xg x x +=，0x >，()2ln x g x x-'=， 令()01g x x ='⇒=，当()0,1x ∈时0g x，此时()g x 单调递增，01g e ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭()(,1)g x ∈-∞；当()1,x ∈+∞时0g x ，此时()g x 单调递减，()(0,1)g x ∈∴函数()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值()11g =，因为1ln 2xa x+=两个不等的正根， ∴021a <<，得102a <<， ∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵()()ln f x x x ax =-，∴()1ln 2f x x ax '=+-，()12f x a x''=-， ∵1a >，(]0,2x a ∈，令()102f x x a''=⇒=， 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ''>，此时f x 单调递增，当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ''<，此时f x 单调递减，故()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭， ∴()f x 在(]0,2a 上单调递减，故()f x 在(]0,2a 上的最小值为()()222ln 22f a a a a ⎡⎤=-⎣⎦．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．21．数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，对于给定的t （1t >，t +∈N ），记满足不等式：()*n t x t x t n -≥-（n +∀∈N ，n t ≠）的*t 构成的集合为()T t ．（Ⅰ）若数列2:n A x n =，写出集合()2T ； （Ⅱ）如果()T t （t +∈N ，1t >）均为相同的单元素集合，求证：数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）如果()T t （t +∈N ，1t >）为单元素集合，那么数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．答案：（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）是等差数列，证明见解析．（Ⅰ）由题意得，()2*42n tn -≥-，分1n =和2n >两类讨论解出不等式，再根据()2T 的定义即可求出；（Ⅱ）由题意，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，当1n t =+时，由题意可得1t t x x a +-≥，当1n t =-时，有1t t x x a --≤，则1t t x x a +-=成立，从而得出证明；（Ⅲ）不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由题意可得()j i x x a j i -≥-，()j i x x b j i -≤-，则()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，则a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，则i j t t ≤，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，由212x x t -≤，()2T 为单元素集，则212x x t -=；再证332t x x =-，由3t 和2t 的定义可证323x x t -=，则3322t x x t =->，则存在正整数4m ≥使得()222m m t x x -=-，而()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，得出矛盾，从而32t t =，同理可证2345t t t t ====，由此可得结论． 解：（Ⅰ）解：由题意得，()2T 为满足不等式()*22n n x x t-≥-的*t 构成的集合，∵数列2:n A x n =， ∴()2*42n t n -≥-，即()()()*222n n n t ≥--+，当1n =时，上式可化为*3t ≤，当2n >时，上式可化为*2n t +≥，得*5t ≥，∴()[],235T =；（Ⅱ）证：对于数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，下面证明数列A 为等差数列，当1n t =+时，有1t t x x a +-≥，①当1n t =-时，有1t t x x a --≤，②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴1t t x x a +-=成立，∴数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）解：对于数列A ：1x ，2x ，…，n x ，…，不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由(){}T i a =，知()j i x x a j i -≥-，由(){}T j b =，知：()i j x x b i j -≥-，即()j i x x b j i -≤-，∴()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，∴a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，这说明1i j <<，则i j t t ≤，∵对于数列A ，()T t 中均只有一个元素，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，∵212x x t -≤，又()2T 为单元素集，∴212x x t -=，再证332t x x =-，证明如下：由3t 的定义可知：332t x x ≥-，3132x x t -≥，∴31332max 2,x x t x x -⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 由2t 的定义可知32221x x t x x -≥=-， ∴32213133222x x x x x x t x x -+--≥-≥=，∴323x x t -=， ∵32t t >，∴3322t x x t =->，则存在正整数()4m m ≥，使得()222m m t x x -=-，③∵212323431k k x x t x x t x x x x --=≤-≤≤-≤≤-≤， ∴()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，这与③矛盾，∴32t t =，同理可证2345t t t t ====，即232314x x x x x x =-=--⋅⋅⋅， ∴数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列．点评：本题主要考查数列的新定义问题，考查定义法证明等差数列，考查计算能力与推理能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．。

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝．12．在（x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝，sin∠ABD＝．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数，令0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵，∴2＝（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（a﹣1）i，∴，即a＝1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线的一条渐近线y＝bx与直线y＝2x+1平行，可得b＝2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D1﹣BCD，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC＝4，BC＝3，DD1＝2∴三棱锥的体积是4×3×2＝4故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为2π；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（，）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（，y），y＞0，所以PA的中点M（，），所以k OM，因为y，所以0，所以k OM∈（0，]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x（t）∈（25，30），y（t）∈（0，50），此时二者总和x（t）+y（t）∈（25，80），由图象可知存在点x（t）＝10，y（t）＝100，x（t）+y（t）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝3．【分析】先求出（m﹣1，3），再由与共线，列方程能求出实数m．解：∵向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），∴（m﹣1，3），∵与共线，∴，解得实数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x）6的展开式中常数项为160．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：在的展开式中的通项公式为T r+1•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则r，解得a＝1，r，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2．故答案为：（x﹣1）2+y2．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝2，sin∠ABD＝．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由，即，解得sin∠ABD．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是③④．【分析】可取a＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f（x）的值域，即可判断①；取a＝0，判断f（x）的单调性，即可判断②；考虑a＜0时，求得f（x）的值域，即可判断③；当a＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f（x）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a＝3，则f（x），当x＜0时，f（x）＝3（x+1）∈（﹣∞，3）；当x≥0时，f（x）＝2x﹣3+23﹣x≥22，当且仅当x＝3时，取得等号，故a＝3时，f（x）的值域为R，∀t∈R，f（x）＝t都有解，故①错误；对于②可取a＝0时，f（x），可得f（x）在R上单调递增，对∀t＞0，f（x）＝t至多一解，故②错误；对于③，当a＜0时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递减，可得f（x）＞a；又x≥0时，x﹣a＞0，即有2x﹣a＞1，可得2x﹣a+2a﹣x＞2，则f（x）的值域为（a，+∞），∀t＞0，f（x）＝t都有解，故③正确；对于④，当a＞2时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递增，可得f（x）＜a；当x≥0时，f （x）＝2x﹣a+2a﹣x≥2，当且仅当x＝a时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），（1，1，0），（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x），若满足①，利用最大值求出a的值，写出f（x）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f（x）＝1求得方程的解，根据方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足③，利用f（x）的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．解：（Ⅰ）函数f（x）＝a sin（2x）﹣2cos2（x）＝a sin（2x）﹣cos（2x）﹣1＝a sin（2x）﹣sin（﹣2x）﹣1＝（a+1）sin（2x）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin（2x）﹣1；f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x）＝1，解得2x2kπ，k∈Z；即x kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为Tπ，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），所以X的分布列为X12P所以X的期望为E（X）＝0121；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c，bc＝2，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得l1，l2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：（Ⅰ）因为四边形AF1BF2为正方形，且面积为2，所以b＝c，且•2c•2b＝2，解得b＝c＝1，a2＝2，所以椭圆的标准方程：y2＝1；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立可得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2＝0，由△＞0可得16k2m12﹣4（1+2k2）（2m12﹣2）＞0，化简可得2k2+1﹣m12＞0，①x1+x2，x1x2，|CD|•|x1﹣x2|•••，同理可得|MN|•，因为四边形CDMN为菱形，所以|CD|＝|MN|，所以m12＝m22，又因为m1≠m2，所以m1＝﹣m2，所以l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，（2x1，2y1），（2x2，2y2），因为四边形CDMN为菱形，可得•0，即x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）＝0，即（1+k2）x1x2+km1（x1+x2）+m12＝0，可得（1+k2）•km1•m12＝0，化简可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN的周长为l，则l＝4|CD|•4，当且仅当2+2k2＝1+4k2，即k2时等号成立，此时m12＝1，满足①，所以菱形CDMN的周长的最大值为4．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a两个不等的正根．令g（x），x＞0，g′（x），令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x，当x∈（0，）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：，T（2）为满足不等式（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，，∴，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：===1+i，故选C．2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴∁U N={x|x≥1或x≤0}，∴M⊆（∁U N），故选：D．3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”等价于a＞b，可得“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．∴“”是“e a＞e b”的充分不必要条件．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；a2+a6+a10+…+a4n+10=（n+3）（4n+11）．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，∴a4=1+3d=7，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t 为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1的方程为x2+y2=2，可得（2﹣t）2+t2=2，解得t=1，可得交点的直角坐标为（1，1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，可得θ=．可得交点的极坐标为（，）．故答案为：（，）．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．此时0＜a≤．综上所述，a≤．故答案为：．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．【解答】解：如图，由得：；∴；∴；∴；∴；∴实数n的取值范围是．故答案为：．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|，1≤i≤12，∵d i的奇偶性和（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）=0一样，∴d i是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，又S≥7×3=21．则S≥22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：，22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当ω=1时，==．令．解得．所以f（x）的单调递增区间是．…（Ⅱ）由==．因为，所以．则，n∈Z．解得．又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，所以当ω=时，T的最大值为4π．…16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．…（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值．…（Ⅲ）．…17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），由，得取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以===．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a ＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=2+aln2．依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，切线方程为．因为切线过点P（1，3），则．即．…①令（x＞0），则．（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当a＜0时，切线的条数为0．（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取，则．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取，则=．设，u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．所以△PF1F2的周长为．易得椭圆的离心率．…（Ⅱ）证明：由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则======．因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．所以|PM|=|PN|．…20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a n}的前若干项，观察可得等比数列{b n}的公比最小为4，即可得到所求；（ⅱ）由（ⅰ）可知{b n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．证明k n为正整数即可；（Ⅱ）设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{a n}的项，运用归纳法，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）观察数列{a n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{a n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．又，所以，即．再证k n为正整数．显然k1=1为正整数，n≥2时，，即，故为正整数．所以，所求通项公式为；（Ⅱ）证明：设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列{c n}各项为整数，所以q为整数．取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．只要证是数列{a n}的项，即证3k n﹣1=5•（3m+1）n﹣1．只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．又n≥2时，，即，又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，故n≥2时，k n也都是正整数．所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．2020年9月12日。

2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编----数学文化1.（2020海淀一模）形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可. 【详解】32521F =+Q ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===⨯=.9.63291010m =≈，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=简化计算.2.（2020北京市模拟）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ． 3.（2020北京市模拟）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①② 【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ．4.（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈o ）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14【答案】C 【分析】假设圆的半径为r ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为36024o，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果. 【详解】设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形 且顶角为3601524=o o ，所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152⋅⋅⋅⋅=o o r r r 所以2212sin1512sin15 3.11ππ=⇒=≈o o r r ，故选：C【点睛】本题考查分割法使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.5.（2020房山一模）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．如图的统计图反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（ ）A ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减B ．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D ．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图能求出结果．由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得：在A 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，故A 正确；在B 中，2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，故B 正确；在C 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少：9899﹣551＝9348万，故C 正确；在D 中，2019年，全国各省份的农村贫困发生率有可能超过0.6%，故D 错误．故选：D ．本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（2020通州一模）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）8,15n-7。

十三、排列、组合及二项式定理1（西城一模理13）.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_60_____种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有__48__种.2（朝阳一模理10）在二项式62)的展开式中，第四项的系数是 160 .3（丰台一模理2）．6的展开式中常数项是(A) (A) -160 (B) -20(C) 20 (D) 160 4(门头沟一模理7)．一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体育不在第一节上,数学不在第六、七节上，这天课表的不同排法种数为（A ）7575A A - （B ）2545A A （C ）115565A A A （D ）61156455A A A A +5（石景山一模理6）．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）A ．16B ．18C ．24D ．32解答1（门头沟一模理（本小题满分13分）已知n n x x f )1()(+=，（Ⅰ）若20112011012011()f x a a x a x =+++，求2011200931a a a a ++++ 的值；（Ⅱ）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6x 项的系数； （Ⅲ）证明：1121(1)1232m m mm m m m m m n m n m n n m C C C C C ++++-+++⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦解：（Ⅰ）因为n n x x f )1()(+=,所以20112011()(1)f x x =+,又20112011012011()f x a a x a x =+++, 所以20112011012011(1)2f a a a =+++= （1）20110120102011(1)0f a a a a -=-++-= （2）（1）-（2）得：201113200920112()2a a a a ++++=所以：201013200920112011(1)2a a a a f ++++== …………………2分 （Ⅱ）因为)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，所以678()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++ )(x g 中含6x 项的系数为667812399C C +⨯+= …………………4分（Ⅲ）设11()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x ++-=++++++ (1) 则函数()h x 中含m x 项的系数为112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++ …………………7分12(1)()(1)2(1)(1)m m m n x h x x x n x ++++=++++++ (2) (1)-(2)得121()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++++-+(1)[1(1)]()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x ++-+-=-+-+ 2()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x ++=+-+++()h x 中含m x 项的系数，即是等式左边含2m x +项的系数，等式右边含2m x +项的系数为21m m m n m n C nC ++++-+ (11)分()!()!(2)!(2)!(1)!(1)!(1)(2)()!2(1)!(1)1m n n m n m n m n n n m m nm m n ++=-++-+---+++=⨯++-所以112m m mm m m n C C nC ++-+⨯++1(1)12m m n m n C m ++++=+ …………13分1(1)12m m nm n C m ++++=+。

高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为()A．8B．6C．14D．48【答案】D【解析】方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有23=8(种)选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=6(个)不同的三位数.由分步乘法计数原理知共可得到8×6=48(个)不同的三位数.方法二:第一步,排百位有6种选择,第二步,排十位有4种选择,第三步,排个位有2种选择.根据分步乘法计数原理,共可得到6×4×2=48(个)不同的三位数.2.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记.若，且，则的值可以为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因此除的余数为，即，因此的值可以为，故选A.【考点】1.二项式定理；2.数的整除性3.5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有____种．【答案】150【解析】将5名志愿者分到3个不同的地方参加义务植树，且每个地方至少有一名志愿者，则分配至3地的人数模式只有“1、1、3”与“1、2、2”这两种模式.设这3地分别为甲、乙、丙.(1)当分配的人数模式是“1、1、3”时，即甲、乙、丙3地中有一地是3个人，其他两地都只有1人,则共有（种）.即先从三地中选一地是分配3个人的，再从5名志愿者中选三人派到该地.剩余2人再分配至其余两地.(2) 当分配的人数模式是“1、2、2”时,即甲、乙、丙3地中有一地是1个人，其他两地都有2人,则共有（种）.即先从三地中选一地是只分配1个人的，再从5名志愿者中选1人派到该地.剩余4人再选出2人分配至其余两地中的某地，那剩余2人即是最后一地所得.综上所述，共有60+90=150种方案.【考点】排列与组合4.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依次类推，则（1）按网络运作顺序第n行第一个数字（如第2行第一个数字为2，第3行第一个数字为4，…）是；（2）第63行从左至右的第4个数应是．【答案】（1）。

2020年北京市各区一模试题分类汇编( 二 )函数与导数：海淀区：（7）已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减，则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-（10）形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数，记为n F .数学家费马根据0F ,1F ,2F ,3F ,4F 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那么5F 的位数是（参考数据：lg20.3010≈） （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12（15）如图，在等边三角形ABC 中，6AB =. 动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为()f x ，给出下列三个结论：①函数()f x 的最大值为12；②函数()f x 的图象的对称轴方程为9x =； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。

全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

（19）（本小题共15分）已知函数()e xf x ax =+．（Ⅰ）当1a =-时，①求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； ②求函数()f x 的最小值；C（Ⅱ）求证：当(2a ∈-，0)时，曲线()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点． 西城区：3.下列函数中,值域为R 且为奇函数的是 (A)y =x +2(B)y =sinx(C)y =x −x 3(D)y =2x10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101](B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx +x 2−(a +2)x,其中a ∈R.(Ⅰ)若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4,求a 的值;(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x ∈(1,e)时,f(x)>−e 2.东城区：(2) 函数22()1x f x x -=+ (A) -(,]12 (B) [,)2+∞ (C) -(,)[,)11+-∞∞U (D) -(,)[,)12+-∞∞U (10) 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：(A) 若在12t t ，时刻满足：12()=()y t y t ，则12()=()x t x t ； (B) 如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降；(C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值； (D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值.(15) 设函数(1),0,()22,0.x a a xa x x f x x --+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩给出下列四个结论： ① 对0∀>a ，t ∃∈R ，使得()f x t =无解；② 对0∀>t ，a ∃∈R ，使得()f x t =有两解；③ 当0a <时，0t ∀>，使得()f x t =有解； ④ 当2a >时，t ∃∈R ，使得()f x t =有三解.其中，所有正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。

2020年北京市西城区高三一模数学考试逐题解析2020.4 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合{|3},A x x =<{|0B x x =<,或2}x >,则A B =（A ）(,0)-∞ （B ）(2,3)（C ）(,0)(2,3)-∞（D ）(,3)-∞ 【答案】C【解析】本题考查集合的运算.{|3}A x x =<,{|0B x x =<,或2}x >由集合的运算法则可知:{|0A B x x =<或23}x <<故选C.2. 若复数(3i)(1i)z =-+,则||z =（A ） （B ）（C（D ）20【答案】B【解析】本题考查复数.2(3i)(1i)33i i i 42i z =-+=+--=+||z ==故选B.3. 下列函数中,值域为R 且为奇函数的是（A ）2y x =+ （B ）sin y x =（C ）3y x x =-（D ）2x y = 【答案】C【解析】本题考查函数奇偶性和值域.A 选项,非奇非偶函数,值域为R ;B 选项,奇函数,值域为[1,1]-;C 选项,()()f x f x -=-,故为奇函数,且值域为R ;D 选项,非奇非偶函数,值域为(0,)+∞.故选C.4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3142,5a a a =+=,则6S =（A ）10（B ）9 （C ）8（D ）7【答案】B【解析】本题考查等差数列.设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d . 1122235a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得141a d =⎧⎨=-⎩,665(1)6492S ⨯⨯-=⨯+= 故选B.5. 设(2,1),(4,1)A B -,则以线段AB 为直径的圆的方程是（A ）22(3)2x y -+=（B ）22(3)8x y -+= （C ）22(3)2x y ++=（D ）22(3)8x y ++=【答案】A【解析】本题考查圆的标准方程.由题意可知,AB 为直径,所以圆心为AB 中点(3,0).且半径为||2AB r === 所以圆方程为22(3)2x y -+=.故选A.6. 设,,a b c 为非零实数,且,a c b c >>,则（A ）a b c +> （B ）2ab c >（C ）2a b c +> （D ）112a b c +>【答案】C【解析】本题考查不等式.当1,2,3a b c =-=-=-时,,a c b c >>,但a b c +=,A 选项错误;当1,2,3a b c =-=-=-时,,a c b c >>,但2ab c <,B 选项错误;因为,a c b c >>,所以2a b c +>,即2a bc +>,C 选项正确;当1,2,3a b c =-=-=-时,,a c b c >>,但112a b c +<,D 选项错误.故选C.7. 某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则（A ）22S ∉,且23S ∉（B ）22S ∉,且23S ∈（C ）22S ∈,且23S ∉（D ）22S ∈,且23S ∈【答案】D【解析】本题考查三视图.四棱锥的直观图如图所示:由图可知,2AB BC CD AD PA =====; 22PB PD ==; 23PC =;所以{2,22,23}S =.因此22S ∈,且23S ∈,故选D.8. 设,a b 为非零向量,则“||||||=+a +b a b ”是“a 与b 共线”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】本题考查平面向量.当两个非零向量,a b 方向相同时,cos ,cos01<>==a b ,22222||2||2||||||(||||)||||+=+⋅+=+⋅+=+=+a b a a b b a a b b a b a b 当两个非零向量,a b 方向相反时,cos ,cos1801<>==-a b ,22222||2||2||||||(||||)||||+=+⋅+=-⋅+=-=-a b a a b b a a b b a b a b 所以“||||||=+a +b a b ”是“a 与b 共线”的充分而不必要条件.故选A.9. 已知函数sin ()12sin x f x x=+的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.（A ）①③（B ）③④ （C ）②③（D ）②④ 【答案】D【解析】本题考查三角函数的图象和性质.由题可得:定义域内任意x ,sin(2π)sin (2π)=()12sin(2π)12sin x x f x f x x x++==+++, 所以2π为()f x 的周期,故可沿x 轴正方向平移*2π()k k ∈N 单位后,与原图象重合,②正确;又因为sin y x =,12sin y x =+都关于ππ,2x k k =+∈Z 对称, 所以()f x 的图象关于ππ,2x k k =+∈Z 对称,④正确; 由函数定义可得:()f x 图象不可能关于x 轴对称,③错误;由图易得函数图象不关于(,0),a a ∈R 对称,①错误.故选D.10. 设函数2101,0,()|lg |,0.x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩若关于x 的方程()()f x a a =∈R 有四个实数解(1,2,3,4)i x i =,其中1234x x x x <<<,则1234()()x x x x +-的取值范围是（A ）(0,101] （B ）(0,99]（C ）(0,100] （D ）(0,)+∞【答案】B【解析】本题考查函数的图象及性质.()f x a =有四个实数解1234,x x x x <<<即()y f x =与y a=的图象有四个不同的交点.所以(0,1].a ∈由题可得1210.x x +=-341[,1),(1,10].10x x ∈∈且34|lg ||lg |,x x =即34lg lg x x -=,所以34lg 0x x =,即343411,.x x x x ==所以34344410,.x x x x x x -<-=-又因为1y x x =-在(0,)+∞为减函数,所以44199[,0).10x x -∈-所以123434()()10()(0,99].x x x x x x +-=--∈故选B.第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

专题28 二项式定理一、单选题1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）A ．B ．C ．20D ．160【答案】A 【解析】展开式的通项公式为，令，可得，故展开式的常数项为，故选：A.2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【解析】的二项展开式的通项为．令，解得．含的项的系数是．故选：B3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】D 【解析】612x x æö-ç÷èø160-20-612x x æö-ç÷èø()()()66621662112r r r r rr r r r T C x x C x ----+=××-×=-×××620r -=3r =612x x æö-ç÷èø368160C -×=-10212x x æö+ç÷èø11x 10212x x æö+ç÷èø2102031101011()22r rr r r r r T C x C x x --+æöæö==ç÷ç÷èøèø20311r -=3r =11x 33101152C æö=ç÷èø()522111x x æö+-ç÷èø3-4-展开式中的第项为，当，即时，此时；当，即时，此时.则.故选:D.4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】当取 时， 取8个，则，当 取时， 取7个，则，所以 .故选：A5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）A ．第项B ．第项C ．第项D ．第项【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为：，要使系数最大，则r 为偶数，且r 只可能从2，4，6中选，故，且，所以，且，所以，且，经验证：当时，符合，所以的展开式中系数最大的项为第五项，5211x æö-ç÷èø1k +()()52101552111kkkk k k k T C C x x --+æö=-=-ç÷èø2102k -=-4k =()44515C -=2100k -=5k =()55511C -=-514-=()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++8a =45-2727-45()1x -1()91-x x 1891a C =-´()1x -x -()91-x x ()278911a C =-´´-()27189911145a C C =-´´--´=-()712x -4578()712x -()()17722+=-=-r rrr r r T C x C x ()()227722---³-rr rr C C ()()227722++-³-rr rr C C ()()()7!7!4!7!2!9!r r r r ´³×--×-()()()7!7!4!7!2!5!r r r r ³´×-+×-()()()41198³---r r r r ()()()()147621³--++r r r r 4r =()712x -6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C.7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A ．240B ．120C ．48D ．36【答案】A 【解析】由题意，解得，则，则二项式的展开式的通项公式为，令即，则.故选：A.8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5、6项D ．第6、7项【答案】A 【解析】因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等所以，所以所以展开式里系数最大的项是第6项()131x -11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-13(1)r rC -r 13(1)r rC -7r =121(2)n x x+264n=6n =1162211(2(2)n x x x x+=+1621(2)x x +6133622166122rrr r rr T C x C x x ---+æöæö=××=××ç÷ç÷èøèø3302r -=2r =6426622240r r C C -×=×=()nx y +()nx y +37n n C C =10n =二、多选题9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC 【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n ＝8或n ＝9故选：ABC .10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】CD 【解析】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项；第6项.故选：CD11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )A ．所有项的二项式系数和为32B ．所有项的系数和为0C ．常数项为D ．二项式系数最大的项为第3项【答案】BC 【解析】解：二项式展开式的通项为()na b +()na b +4n C 7n =1(nx x+27,n n C C 9n =91152-+=91162++=61x x æö-ç÷èø20-61x x æö-ç÷èø()66216611rr r r r r r T C x C x x --+æö=-=-ç÷èø令，解得，则常数项为，故C 正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D 错误；二项式系数和；令，得所有项的系数和为0，故A 错误，B 正确；故选：BC12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】对于，因为，，所以，即正确；对于，，故正确；对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；对于，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故正确.故选：ABD620r -=3r =()3346120T C =-=-012345666666666264C C C C C C C ++++++==1x =mn mn nC C -=11m m n n mC nC --=111m mmn n n C C C +++=+()()()()22220122nn nn nn nC C C C C +++×××+=A !!()!mn n C m n m =-!!()![()]!!()!n m n n n C n m n n m m n m -==----m n mn n C C -=AB !(1)!!()!(1)!()!mn n n n mC m m m n m m m n m ×-=×=×-×-×-(1)!(1)![(1)(1)]!n n m n m -=×-×---11m n nC --=BC 1m n ==221C ==1112123C C =+=+=C D 2(1)(1)(1)n n n x x x +×+=+n x 011220nn n n n n n nn n n nC C C C C C C C --×+×+×++×L 001122n n n n n n n n n n C C C C C C C C =×+×+×++×L =0212222()()()()n n n n n C C C C ++++L n x 2nn C ()()()()2222122n n nn n n n C C C C C +++×××+=D三、填空题13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.【答案】64【解析】在中，令可得，.所以故答案为：64.14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.【答案】【解析】由题得原式=.故答案为：15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是 【答案】40【解析】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x 的项的系数是__________．【答案】128 84 【解析】由题意所有二项式系数的和为，题中二项式展开式通项公式为，令，，6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+0126a a a a +++×××+=6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+1x =()6012611a a a a +=+++×××+60126264a a a a +++×××+==012393n nn n n n C C C C ++++=L 4n 0011223333(13)4n n n nn n n n C C C C ++++=+=L 4n252(x x-4x ()()()52110315522rrrrr r r T C x x C x ---+=×-=-××1034,2r r -==4x ()225240C -×=722x x æö+ç÷èø72128=77317722(2r rrr r r r T C xC x x--+==731r -=2r =所以含x 的项的系数是．故答案为：128；84．四、解答题17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求（1）的值； （2）的值.【答案】（1）；（2）1093【解析】（1）令，则；（2）令，则①令，则②由①②得，即18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：（1）含的项；（2）二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）展开式的通项为，由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，，解得，则展开式通项为，227284C =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a ++¼+0246a a a a +++1-1x =()7017121a a a ++¼=--=1x =-0123672187a a a a a a -+-+¼+-=0x =01a =12372a a a a \+++¼=-+()02462218722185a a a a +++=-=2461092a a a =++0246110921093a a a a \+++=+=1nx x æö+ç÷èø454x 4120x 2521n x x æö+ç÷èø211n rr r rr n r nn T C x C x x --+æö=×=×ç÷èø45245n C =()1452n n -=2900n n --=n N *ÎQ 10n =210110rr r T C x-+=×令，解得，因此，展开式中含的项为；（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意知，又展开式的通项为：展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项所以，（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，也即在，，，中产生，而，， ，故系数最大的项为第5项20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（xn 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）,,．【解析】2104r -=7r =4x 744810120T C x x =×=5610252T C ==2nx ö-÷ø14280T x -=-525560T x-=525560T x-=34n n C C =7n \=72x ö÷ø()()773221777222rr rrr r r rr r r T C C xC x x ---+æö=-=-=-ç÷èø()793312472280T C xx--=-=-()71254422572560T C xx--=-=0r =2461T 3T 5T 7T 721T x =12384T x =525560T x -=1127448T x -=525560T x-=5n =51T x =2352T x =5516T x=二项式展开式的通项公式为，；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得，即,解得；（2）二项式展开式的通项公式为，；当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为,,．21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求系数最大的项．【答案】（1），，（2）和【解析】(nx 32112rrn r n rr r nn T C x C x--+æö=××=××ç÷èø()0,1,2r n =×××2121122nn C C æö×=×ç÷èø()111242n n n -=×5n =3521512rrr r T C x -+æö=××ç÷èø()0,1,2r n =×××0,2,4r =00551512T C x x æö=××=ç÷èø22532351522T C x x -æö=××=ç÷èø44565515216T C x x -æö=×=ç÷èøn +（1）∵由题设可知解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项据题意，必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r≤8∴ r=0，4，8，故x 的有理项为，，（2）设第r+1项的系数t r+1最大，显然t r+1>0，故有≥1且≤1∵， 由≥1得r≤3又∵，由≤1得：r≥2∴ r=2或r=3所求项为和22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，解得：或舍去．即n 的值为6．2nx æçèn 66032160x (2nx ()()01211222n n n n n C C C n -++=++=6n =7(n =-)2由通项公式，令，可得：．展开式中的常数项为；是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为．()36662166(2)2k k k k k k k T C x C x ---+==3602k -=4k =\1264642416260T C x --+==()3n Q .\936363223162160T C x x --+==。

北京四中xx 届高三第一次统测数学(试卷满分150分，时间120分钟)一、选择题(每小题4分，共56分)1.(理)设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 等于( ) A.{1} B.∅ C.∅或{1} D.∅或{2}2.(理)函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.(-31，+∞)B.(-31，1) C.(-31，31) D.(-∞，-31)3.(理)函数y=132-x (-1≤x<0)的反函数是( )A.y=-x 3log 1+(31<x ≤1) B.y=-x 3log 1+(x ≥31) C.y=x 3log 1+(31<x ≤1) D.y=x 3log 1+(x ≥31)4.(理)已知函数在f(x)=log sin1(x 2-6x+5)在(a ，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围为( )A.(5，+∞)B.[5，+∞)C.(-∞，3)D.(3，+∞)5.(理)设m ，n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是( )A.m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βB.α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nC.α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nD.α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ⇒n ⊥β 6.(理)已知直线m ，n 和平面α，那么m ∥n 的一个必要但非充分条件是( ) A.m ∥α，n ∥α B.m ⊥α，n ⊥α C.m ∥α且n ⊂α D.m ，n 与α成等角 7.(理)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正切值为( )A.62 B.42C.1717D.178.(理)设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为( ) A.±4 B.±22 C.±2 D.±29.(理)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为( ) A.-2 B.2 C.-4 D.410.(理)已知双曲线22ax -y 2=1(a>0)的一条准线与抛物线y 2=-6x 的准线重合，则该双曲线的离心率为( ) A.332 B.23C.26D.23 11.(理)在(31xx +)24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项12.(理)显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有( ) A.10 B.48 C.60 D.80 13.(理)设S n 是无穷等比数列的前n 项和，若∞→n lim S n =41，则首项a 1的取值范围是( ) A.(0，41) B.(0，21) C.(0，41)∪(21,41) D.(0，41)∪(21，0)14.(理)已知函数f(x)=2+log 3x(1≤x ≤9)，则函数y=[f(x)]2+f(x 2)的最大值为( )A.6B.13C.22D.33 二、填空题(每小题5分，共40分) 15.(理)已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m=_______________16.设g(x)=⎩⎨⎧>≤,0,ln ,0,x x x e x 则g[g(21)]=___________________.17.(理)设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2+1>0的解集是R ，②函数f(x)=log m x 是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是____________________. 18.(理)要得到函数y=3f(2x+41)的图像，只须将函数y=3f(2x)的图像向_____________移动________________个单位.19.如图，将正方形按ABCD 沿对角线AC 折成二面角D-AC-B ，使点B 、D 的距离等于AB 的长.此时直线AB 与CD 所成的角的大小为____________________.20.(理)椭圆ax 2+by 2=1与直线y=-x+1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线斜率为22，则ba=______________. 21.已知A 箱内有1个红球和5个白球，B 箱内有3个白球，现随意从A 箱中取出3个球放入B 箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放人4箱，共有_________种不同的取法，又红球由A 箱移人到B 箱，再返回到A 箱的概率等于___________.22.定义在(-∞，+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图像关于直线x=1对称； ③f(x)在[0，1]上是增函数； ④f(2)=f(0).其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上)三、解答题23.(本小题13分)(理)已知函数f(x)=2x -1的反函数为f -1(x)，g(x)=log 4(3x+1) (1)用定义证明f -1(x)在定义域上的单调性； (2)若f -1(x)≤g(x)，求x 的取值集合D ； (3)设函数H(x)=g(x)-21f -1(x)，当x ∈D 时，求函数H(x)的值域.24.(本小题13分) (理)设点P(x ，y)(x ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M(21，0)的距离比点P 到x 轴的距离大21. (1)求点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线； (2)若直线l 与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且OB OA•=0，点O 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.25.(本小题14分)(理)某人居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.(例如：A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为51，路段CD 发生堵车事件的概率为81)(1)请你为其选择一条由A 到B 的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线)，使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)若记路线A →C →F →B 中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E ξ. 26.(本小题14分)(理)如图，矩形ABCD ，|AB|=1，|BC|=a ，PA ⊥面ABCD 且|PA|=1(1)BC 边上是否存在点Q ，使得FQ ⊥QD ，并说明理由； (2)若BC 边上存在唯一的点Q 使得FQ ⊥QD ，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角的正弦值；(3)在(2)的条件下，求二面角Q-PD-A 的正弦值.北京四中xx 届高三第一次统测数学参考答案一、选择题(每小题4分，共56分)1. (理)C 【解析】本题考查了映射的概念及集合的交集运算，属基础知识考查。