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05.2017年上海高三数学一模分类汇编：数列与极限

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41012283036⋅⋅⋅1（2017宝山一模）. 23lim1n n n →∞+=+ 1（2017徐汇一模）. 25lim 1n n n →∞-=+ 3（2017闵行一模）. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为5（2017虹口一模）. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则 2lim n n nS a →∞= 5（2017崇明一模）. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数 列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞= 8（2017静安一模）. 已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2 的等差数列，满足78()()0f x f x +=，则2017x 的值为8（2017虹口一模）. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 8（2017长宁/嘉定一模）. 若数列{}n a的所有项都是正数，且23n n =+（*n N ∈），则1221lim()231n n a a a n n →∞++⋅⋅⋅+=+ 8（2017青浦一模）. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增 数列，则实数b 的取值范围是10（2017金山一模）. 若n a 是(2)n x +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项 式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 10（2017奉贤一模）. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈， 0n S >恒成立，则公比q 的取值范围是11（2017金山一模）. 设数列{}n a 是集合{|33,s tx x s t =+<且 ,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列，即14a =，210a =，312a =， 428a =，530a =，636a =，⋅⋅⋅，将数列{}n a 中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为11（2017徐汇一模）. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n n S b n =⋅*()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是 12（2017闵行一模）. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}n b n中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的1b 的值为12（2017松江一模）. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞= 12（2017青浦一模）. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其 中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足 条件的1a 所有可能值的和为12（2017宝山一模）. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2）， 且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型 标准数列，则2668型标准数列的个数为12（2017静安一模）. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值 范围是（ ）A. 1(0,)2 B. 1(,1)2 C. (0,1) D. 11(0,)(,1)2214（2017普陀一模）. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是“lim 1n n S →∞=”成立的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要14（2017长宁/嘉定一模）. 若无穷等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，{}n a 的前n 项和为n S ，则以下结论中一定正确的是（ ）A. n S 单调递增B. n S 单调递减C. n S 有最小值D. n S 有最大值 15（2017浦东一模）. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120aa <<，则2a > D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16（2017崇明一模）. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2ab + 顺序构成的数列（ ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列19（2017宝山一模）. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）；（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值； 20（20172017杨浦一模）. 数列{}n a ，定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1n n n a a a +∆=-，*n N ∈；（1）若2n a n n =-，试判断{}n a ∆是否是等差数列，并说明理由；（2）若11a =，2n n n a a ∆-=，求数列{}n a 的通项公式；（3）对（2）中的数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得1212n n n n n n b C b C b C a ++⋅⋅⋅+=对一切*n N ∈都成立，若存在，求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由； 20（2017青浦一模）. 如图，已知曲线12:1x C y x =+（0x >）及曲线21:3C y x=（0x >），1C 上的点1P 的横坐标为1a （1102a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q 点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P（1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ； （1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标；（2）试求1n a +与n a 之间的关系；（3）证明：21212n n a a -<；20（2017普陀一模）. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-； （1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+；（3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得 1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；20（2017浦东一模）. 设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-；（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、r (2)q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当 排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)q r ；（3）若11a =，n n c b n =+，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数； 20（2017静安一模）. 由m (2)m ≥个不同的数构成的数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅中，若1i j n ≤<≤时，j i a a <（即后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数；如对于数列3、2、1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3、2、1的逆序数为2103++=，同理，等比数列1111,,,248--的逆序数为4； （1）计算数列219n a n =-+*(1100,)n n N ≤≤∈的逆序数；（2）计算数列1(),3,1n n n a n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数*(1,)n k n N ≤≤∈的逆序数； （3）已知数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅的逆序数为a ，求11,,,n n a a a -⋅⋅⋅的逆序数；21（2017徐汇一模）. 正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *∈，k a 是1k a -与1k b -的等差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项；（1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列；（3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *∈，指出2n c c ++与1c 的大小关系并说明理由； 21（2017长宁/嘉定一模）. 已知无穷数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =，11n n n rS a a +=-，其中1a ≠，常数r N ∈；（1）求证：2n n a a +-是一个定值；（2）若数列{}n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*n N ∈，都有n T n a a +=成立，则称{}n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列{}n a 是各项均为有理数的等差数列，123n n c -=⋅（*n N ∈），问：数列{}n c 中的所有项是否都是数列{}n a 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例； 21（2017闵行一模）. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列， 点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；21（2017崇明一模）. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和；（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设n n n a c b =，求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；21（2017宝山一模）.设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足 3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实 数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；21（2017松江一模）. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+ *()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；21（2017奉贤一模）. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤ *()n N ∈，则称{}n a 是“紧密数列”； （1）若11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”； （3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的 取值范围；21（2017金山一模）. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由； 21（2017虹口一模）. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =；（1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围；（3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；。

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2017年高三一模汇编——数列与数学归纳法

2017年高三一模汇编——数列与数学归纳法

2017年一模数列与数学归纳法汇编题型一：数列知识点常规题型（公式、性质、极限）1（2017宝山一模1）23lim 1n n n →∞+=+【参考答案】 22（2017崇明一模5）. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞=【参考答案】 43（2017奉贤一模7）. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为【参考答案】 54（2017虹口一模5）数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2limnn nS a →∞=5（2017闵行一模3）. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为 【参考答案】 12n n a -=6（2017长宁+嘉定一模8）若数列{}n a 的所有项都是正数，且*221,3...N n n n a a a n ∈+=+++，则_____1...321lim212=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→n a a a n n n【参考答案】 27（2017徐汇一模1）25lim1n n n →∞-=+ 【参考答案】 28 （2017徐汇一模9）在数列{}n a 中，若对一切*n N ∈都有13n n a a +=-，且24629lim()2n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=，则1a 的值为 【参考答案】12-题型二：数列和其他知识点的结合（集合不等式、函数、二项式定理、概率等）8（2017杨浦一模8）设常数0a >，9(x +展开式中6x 的系数为4，则()2l i m n n a a a →∞+++= 。

【参考答案】129（2017青浦一模20）. 如图，已知曲线12:1x C y x =+（0x >）及曲线21:3C y x=（0x >），1C 上的点1P 的横坐标为1a （1102a <<），从1C 上的点nP （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q 点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P（1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ； （1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标； （2）试求1n a +与n a 之间的关系； （3）证明：21212n n a a -<；【参考答案】（1）12(,)23；（2）116n n n a a a ++=；（3）略； 10（2017普陀一模14）. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是“lim 1n n S →∞=”成立的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 【参考答案】 B11（2017普陀一模10）. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最 大值为 （结果用最简分数表示） 【参考答案】2312（2017浦东一模15）. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则2a > D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 【参考答案】 C13（2017金山一模10）.若n a 是()()2,2,nx n N n x R *+∈≥∈展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim n n a a a →+∞⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭ 【参考答案】 214（2017虹口一模21）. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =；（1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；【参考答案】21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞ ； （3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+； 15（2017奉贤一模7）. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为【参考答案】 516（2017崇明一模16）. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+列（ ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【参考答案】 D17（2017宝山一模21）. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；【参考答案】（1）{1,0,1,3,4,5}-；（2）92；（3）略；18（2017宝山一模19）. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；【参考答案】（1）14()3n n x -=；（2）5；19（2017闵行一模21）. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；【参考答案】（1）1(1,2)P ；（2）9n =；（3）4066272；题型三：数列的单调性和恒成立问题20（2017奉贤一模10）. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，0n S >恒成 立，则公比q 的取值范围是 【参考答案】(1,0)(0,)-+∞21（2017金山一模21）.数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有()12n n n S +=。

2017年上海市普陀区高三一模数学试卷和参考答案

2017年上海市普陀区高三一模数学试卷和参考答案

上海市普陀区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若集合2{|,}A x y x y R ==∈，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则A B =I 2. 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 3. 函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1()fx -=4. 若550125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+=5. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 6. 设m R ∈，若23()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是7. 方程22log (95)2log (32)x x-=+-的解x =8. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直 线与圆C 相切，则k 的取值范围是9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，若1A C 与平面11B BCC 所成的角为6π， 则三棱锥1A ABC -的体积为10. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最大值 为 （结果用最简分数表示）11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为4R ，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示） 12. 已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）A. 11a b> B.11a b a >- C. 1133a b < D. 22a b >14. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是 “lim 1n n S →∞=”成立的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要15. 设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂 直，则（ ）A. a 与b 可能垂直，但不可能平行B. a 与b 可能垂直，也可能平行C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行16. 设θ是两个非零向量a r 、b r 的夹角，若对任意实数t ，||a tb +r r的最小值为1，则下列判断正确的是（ ）A. 若||a r 确定，则θ唯一确定B. 若||b r确定，则θ唯一确定C. 若θ确定，则||b r 唯一确定D. 若θ确定，则||a r唯一确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知a R ∈，函数1()||f x a x =+； （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；（2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[2,1]--上有解，求实数a 的取值范围；18. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12PF F ∠=12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.83/g cm ，总重量为 5.8kg ，其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）； （1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要 耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？ （结果精确到0.01）20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有 2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-；（1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+； （3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；21. 已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ， 均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对；（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化，求证：2()f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同； （3）若1m 、2m R ∈，且1(,)2m π、2(,)4m π均为函数2()cos f x x =（04x π<≤）的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围；上海市普陀区2017届高三一模数学试卷参考答案一. 填空题1. [0,1]2.7243. 12x -(1)x ≥4. 315. )+∞6. [0,)+∞7. 1x =8. 2k <-或0k >9. 6 10. 2311. 3R π12. 15二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）[1,)+∞；（2）9[,3]2--；18.（1）221123x y +=；（2）(M -，max ||2MQ =+ 19.（1）252个；（2）0.05千克；20.（1）21nn a =-；（2）11202；（3）2m =，12n =；21.（1）是；（2）平衡数对(2,0)；（3）(1,8]。

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．已知，则复数z的虚部为．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．当实数x ，y 满足x 2+y 2=1时，|x +2y +a |+|3﹣x ﹣2y |的取值与x ，y 均无关，则实数a 的取范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m ，n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行B ．若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直C ．若m ⊥α，m 、n 不平行，则n 与α不垂直D ．若m ⊥α，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14．已知函数在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．15．如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则的值（ ）A ．只与圆C 的半径有关B ．既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C ．只与弦AB 的长度有关D ．是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16．定义f （x ）={x }（其中{x }表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ） ①f （2x ）=2f （x ）； ②若f （x 1）=f （x 2），则x 1﹣x 2＜1；③任意x 1，x 2∈R ，f （x 1+x 2）≤f （x 1）+f （x 2）；④．A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．已知，则复数z的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．【考点】数列的极限．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n==n2．a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【分析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，=C6r2r x r，∴T r+1当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：6011．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或22．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【考点】圆方程的综合应用．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n ⊂α，故不正确．故选A．14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+≤，求得a的范围．【解答】解：∵函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则2a+≤，求得a≤，故有0＜a≤，故选：B．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=．则答案可求．【解答】解：如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则=||||•cos∠CAB=．∴的值只与弦AB的长度有关．故选：C．16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】函数与方程的综合运用．【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f （2x）≠2f（x）；①错．对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2∉Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM ⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．∵△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC．又∵PB=PC，∴PM⊥BC．∵AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，则PA⊥BC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴．∴，，∵，∴；．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，，再由求得速度的最小值．【解答】解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，∴，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在Rt△DEH中，HE=，∴，又AE=，∴sin∠EAH=，则≈41.81°．外国船只到达点E的时间（小时）．∴海监船的速度（海里/小时）．又90°﹣41.81°=48.2°，故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．则A（0，0），D（18，0），，设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）．则，，∴监测船的航向东偏北41.81°．∴海监船的速度（海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当，即0＜a≤2时，当，即a＞2时求出最小值即可．【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且，解得ac=4．…∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴此函数是非奇非偶函数．…（2）函数的单调递增区间是[，+∞）．设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，∴．又a＞0，∴，从而，即，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[，+∞）上是单调递增．…（3）f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0，，x∈[1，+∞）当，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a＞2时，最小值综上，最小值…当0＜a≤2时，最小值g（a）=0当a＞2时，最小值综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B （x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a n=f（n）=n+3．（2）如果{a n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|=，…又n≥1且n∈N*，∴a n=f（n）=n+3．…（2）如果{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1=d，a n=a n﹣1+d，由f（x）知一定有a n=a n﹣1+3，公差d=3．当a1≥﹣1时，符合题意．当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3．…（3）当a≥﹣1时，a n=f（a n﹣1）=a n﹣1+3，∴数列{a n}是以a为首项，公差为3的等差数列，．…当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）…当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）．综上所述：S n=．…．。

2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷(解析版)

2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷(解析版)

2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z=．2．抛物线y2=2x的准线方程是．3．若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是．6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是．7．已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为．8．已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g （x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=﹣3a n，且+1=，则a1的值为．10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有．11．已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．12．已知为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x ∈R ，则“x ＞1”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）A ．若l ∥α，α∩β=m ，则l ∥mB ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥mC ．若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥mD ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α15．在直角坐标平面内，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan ∠PAB•tan ∠PBA=m （m 为非零常数）的点P 的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．16．若函数y=f （x ）在区间I 上是增函数，且函数在区间I 上是减函数，则称函数f （x ）是区间I 上的“H 函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H 函数”；②函数是（0，1）上的“H 函数”．下列判断正确的是（ ）A ．①和②均为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①和②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 是边长为6的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且PB 与底面ABC 所成的角为．（1）求三棱锥P ﹣ABC 的体积；（2）若M 是BC 的中点，求异面直线PM 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．19．现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．20．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．21．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n﹣a n（n=1，2，3，…）．+1（1）若b n=10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n=a n+2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n}为等差数列”的充分必要（n=1，2，3，…）”．条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+12017年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z={0，1，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩Z即可．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2，x∈R}={x|﹣1＜x＜3，x∈R}，则A∩Z={0，1，2}．故答案为{0，1，2}．2．抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣3．若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=18．【考点】圆的切线方程．【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程．【解答】解：将直线x+y=7化为x+y﹣7=0，圆的半径r==3，所以圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=18．故答案为（x﹣2）2+（y+1）2=18．6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是10．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据题意求得n=5，再在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：∵二项式的展开式共有6项，故n=5，=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=4，∴r=2，则此展开式的通项公式为T r+1中含x4的项的系数=10，故答案为：10．7．已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为+1．【考点】向量的模．【分析】利用≤+r即可得出．【解答】解：设O（0，0），P（1，2）．=≤+r=+1=+1．∴的最大值为+1．故答案为：．8．已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g （x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【考点】反函数．【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=﹣3a n，且+1=，则a1的值为﹣12．【考点】数列的极限．【分析】由题意可得数列{a n}为公比为﹣的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求．【解答】解：在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=﹣3a n+1，可得数列{a n}为公比为﹣的等比数列，=，可得====，可得a1=﹣12．故答案为：﹣12．10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有200．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，甲、乙所选的课程中至多有1门相同，其包含两种情况：①甲乙所选的课程全不相同，②甲乙所选的课程有1门相同；分别计算每种情况下的选法数目，相加可得答案．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①甲乙所选的课程全不相同，有C63×C33=20种情况，②甲乙所选的课程有1门相同，有C61×C52×C32=180种情况，则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有180+20=200种情况；故答案为：200．11．已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，求出的坐标，代入，结合隐含条件求得实数λ的值．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．12．已知为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意可知，当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min，利用对勾函数的单调性质可求g（x2）min=g（1）=3；再对f（x）=2ax2+2x中的二次项系数a分a=0、a＞0、a＜0三类讨论，利用函数的单调性质可求得f（x）在区间[1，4]上的最大值，解f（x）max≤3即可求得实数a的取值范围．【解答】解：依题意知，当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min，由“对勾'函数单调性知，=2x+=2（x+）在区间[1，4]上单调递增，∴g（x2）min=g（1）=3；∵=2ax2+2x，当a=0时，f（x）=2x在区间[1，4]上单调递增，∴f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a≠0；∴f（x）=2ax2+2x为二次函数，其对称轴方程为：x=﹣，当a＞0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a＞0不成立；当a＜0时，1°若﹣≤1，即a≤﹣时，f（x）在区间[1，4]上单调递减，f（x）max=f（1）=2a+2≤3恒成立，即a≤﹣时满足题意；2°若1＜﹣＜4，即﹣＜a＜﹣时，f（x）max=f（﹣）=﹣≤3，解得：﹣＜a≤﹣；3°若﹣≥4，即﹣≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max=f（4）=32a+8≤3，解得a≤﹣∉（﹣，0），故不成立，综合1°2°3°知，实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣]．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1 （如x=﹣1时），故x＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：A．14．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l与m平行或异面；在B中，l与m相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．【解答】解：由直线l，m及平面α，β，知：在A中，若l∥α，α∩β=m，则l与m平行或异面，故A错误；在B中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质定理得l⊥m，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥l，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：C．15．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan ∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】设P（x，y），则由题意，（m≠0），化简可得结论．【解答】解：设P（x，y），则由题意，（m≠0），化简可得，故选C．16．若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H函数”；②函数是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①和②均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对函数，G（x）=在（0，1）上的单调性进行判断，得命题①是真命题．对函数=，H（x）=在（0，1）上单调性进行判断，得命题②是假命题．【解答】解：对于命题①：令t=，函数=﹣t2+2t，∵t=在（0，1）上是增函数，函数y=﹣t2+2t在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上是增函数；G（x）=在（0，1）上是减函数，∴函数是（0，1）上的“H函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数=是（0，1）上的增函数，H（x）=是（0，1）上的增函数，故命题②是假命题；故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）在Rt△PAB中计算PA，再代入棱锥的体积公式计算；（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，分别求出△PMN的三边长，利用余弦定理计算cos∠PMN即可．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又AB=6，∴，∴．（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，∵M，N分别是棱BC，AC的中点，∴MN∥BA，∴∠PMN为异面直线PM与AB所成的角．∵PA⊥平面ABC，所以PA⊥AM，PA⊥AN，又，AN=AC=3，BM=BC=3，∴AM==3，，，所以，故异面直线PM与AB所成的角为．18．已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的标准方程．【分析】（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直线方程．【解答】解：（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c，则c=2，，a=1，…所以b2=c2﹣a2=3，故双曲线C的方程为．…双曲线C的渐近线方程为．…（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3=0（*）…△=4t2+8（t2+3）=12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根，所以，又由，可知x1x2+y1y2=0，…即x1x2+（x1+t）（x2+t）=0，可得，故﹣（t2+3）+t2+t2=0，解得，所以直线l方程为．…19．现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设M是CD中点，连OM，推出∠COM=∠DOM=，MD=Rsinθ，利用△CEO≌△DFO，转化求解∠DFO=，在△DFO中，利用正弦定理+S ODF+S OCE=S△COD+2S ODF的解析式即可．，求解S=S△COD（2）利用S的解析式，通过三角函数的最值求解即可．【解答】解：（1）设M是CD中点，连OM，由OC=OD，可知OM⊥CD，∠COM=∠DOM=，，MD=Rsinθ，又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得△CEO≌△DFO，故∠EOC=∠DOF，可知，…又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO=，在△DFO中，有，可得…所以S=S+S ODF+S OCE=S△COD+2S ODF=△COD=…（2）…=（其中）…当，即时，sin（2θ+φ）取最大值1．又，所以S的最大值为．…20．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）利用f（x）=3x+2，通过f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）=3x+2不属于集合M．（2）由属于集合M，推出有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，若a=6时，若a≠6时，利用判断式求解即可．（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔3×2x+4bx﹣4=0，令g （x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．【解答】解：（1）当f（x）=3x+2时，方程f（t+2）=f（t）+f（2）⇔3t+8=3t+10…此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），故f（x）=3x+2不属于集合M．…（2）由属于集合M，可得方程有实解⇔a[（x+2）2+2]=6（x2+2）有实解⇔（a ﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，…若a=6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△=16a2﹣24（a﹣6）（a﹣2）≥0，解得，故所求a的取值范围是．…（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔2x+2+b（x+2）2=2x+bx2+4+4b ⇔3×2x+4bx﹣4=0，…令g（x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，g（0）=﹣1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b＜0时，g（0）=﹣1＜0，，故g（x）在内至少有一个零点；故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解，所以对任意实数b，都有f（x）∈M．…21．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n（n=1，2，3，…）．（1）若b n=10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n=a n+2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…）”．【考点】数列与函数的综合；数列的应用；数列递推式．【分析】（1）判断{b n}是等差数列．然后化简a16﹣a5=（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）利用等差数列的性质求和即可．（2）利用a2n+3﹣a2n+1=22n+1﹣231﹣2n，判断a2n+3＜a2n+1，求出n＜7.5，a2n+3＞a2n+1求出n＞7.5，带带数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．．法二：化简，求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n=，利用基本不等式求出最小值得到数列{a2n+1}中的第8项最小．（3）若数列{a n}为等差数列，设其公差为d，说明数列{c n}为等差数列．由b n=a n+1﹣a n=d（n=1，2，3，…），推出b n≤b n+1，若数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n}的公差为D，转化推出b n+1=b n（n=1，2，3，…），说明数列{a n}为等差数列．得到结果．【解答】解：（1）由b n=10﹣n，可得b n+1﹣b n=（9﹣n）﹣（10﹣n）=﹣1，故{b n}是等差数列．所以a16﹣a5=（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）=…（2）a2n+3﹣a2n+1=（a2n+3﹣a2n+2）+（a2n+2﹣a2n+1）=b2n+2+b2n+1=（22n+2+231﹣2n）﹣（22n+1+232﹣2n）=22n+1﹣231﹣2n…由a2n+3＜a2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n＜0⇔n＜7.5，a2n+3＞a2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n＞0⇔n＞7.5，…故有a3＞a5＞a7＞…＞a15＞a17＜a19＜a20＜…，所以数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．…法二：由，…可知a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n==…（当且仅当22n+1=233﹣2n，即n=8时取等号）所以数列{a2n+1}中的第8项最小．…（3）若数列{a n}为等差数列，设其公差为d，则c n+1﹣c n=（a n+1﹣a n）+2（a n+2﹣a n+1）=d+2d=3d为常数，所以数列{c n}为等差数列．…由b n=a n+1﹣a n=d（n=1，2，3，…），可知b n≤b n+1（n=1，2，3，…）．…若数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n}的公差为D，则c n+1﹣c n=（a n+1﹣a n）+2（a n+2﹣a n+1）=b n+2b n+1=D（n=1，2，3，…），…又b n+1+2b n+2=D，故（b n+1﹣b n）+2（b n+2﹣b n+1）=D﹣D=0，又b n+1﹣b n≥0，b n+2﹣b n+1≥0，故b n+1﹣b n=b n+2﹣b n+1=0（n=1，2，3，…），…所以b n+1=b n（n=1，2，3，…），故有b n=b1，所以a n+1﹣a n=b1为常数．故数列{a n}为等差数列．综上可得，“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）”．…2017年2月18日。