【步步高 学案导学设计】-学年高中数学 第3章 概率习题课1 苏教版必修3

第3章概率本章概述一、课标要求本章通过对随机现象的研究，学习认识客观世界的方法.多年来，学生学习数学，主要研究确定的现象，对于不确定现象的规律知之甚少.通过本章的学习，使学生进一步了解不仅确定性现象有规律，可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定现象也有规律可循，同样也能用数学方法去研究.使学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、用随机观念去观察、分析、研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学态度.1.在具体情境中了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.2.通过实例，理解古典概型概率的计算公式，会用列举法计算随机事件所包含的基本事件数以及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法〔包括计算机产生随机数来模拟〕根据概率，初步体会几何概型的意义.4.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式.5.通过阅读相关材料，了解人类认识随机现象的过程.6.使学生能初步利用概率知识对实际问题进行分析，并进行理性思考，学会对纷繁复杂的事物进行探索，养成透过事物表面现象把握事物本质所在的思维方法，培养学生理性思维能力与辩证思维能力、创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力，以及表达、交流的能力，增强学生的辩证唯物主义世界观，进一步树立科学的人生观、价值观.7.注重表达数学的文化价值与美学价值，增强学生的审美观，丰富学生的文化底蕴，提高学生的人文素质.二、本章编写意图与教学建议人们在认识自然的过程中，对自然现象进行大量的观察，通过观察得到大量的数据，再对得到的数据进行分析，找出其内在的规律.人们发现，有些现象并不像万有引力定律那样可以得到完全确定的规律.现实世界中发生的事件大多是随机事件，人们通过对随机事件的大量重复试验的结果进行理性的探讨，发现了随机事件也不是毫无规律可循.研究这些规律，最终导致了概率的诞生.学生在初中已经接触了概率的初步知识，本章那么是在此基础上开始系统地学习概率知识.本章又是高中阶段第一次学习这一内容，在后续的学习中还将继续学习概率的其他内容，因此，在高中阶段概率的学习中，起到了承前启后的作用，由于与概率计算密切相关的内容还没有学习，因此，在涉及有关计算的问题时采用枚举法，而在用枚举法时一定要做到既不重复也不遗漏，应该按照一定的顺序来计算有关数据，也可以用表格或树形图来进行有关数据的计算.本章包括了随机事件的概率、古典概型、几何概型以及互斥事件有一个发生的概率等内容.概率的核心问题是要让学生了解随机现象及概率的意义，为了让学生能更深入地理解，可以列举日常生活中的实例，由此正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，从而加深对概率的理解；古典概型从随机事件发生频率的稳定性导入，通过对频率稳定性研究得出随机事件的发生与否有一定的规律可循，从而得出概率的统计定义.在教学中让学生通过实例理解古典概型的特征是试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，使学生学会把一些实际问题转化为古典概型；从古典概型到几何概型，是从有限到无限的延伸，在几何概型的教学中抓住较强直观性的特点.在教学中有意识地适当地运用现代信息技术辅助教学.在教学中要能做到：(1)注意概念的区别与联系，类似的概念不能够混淆，例如概率与频率，互斥事件与对立事件；(2)在运用公式时注意是否符合公式运用的前提条件；(3)注意顺向思维与逆向思维的合理运用，遵循“正难那么反〞的原那么；(4)注意学习前辈的学习和研究的思维方法，能通过对大量事件的观察抽象出事件的本质.在本章的教学中应注重培养学生学习的信心，提高学生学习数学的兴趣，使学生形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；培养学生的数学思维能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，形成批判性的思维习惯，发展数学应用意识和创新意识；通过本章的学习，让学生感受数学与现实世界的重要联系，逐步形成辩证的思维品质；养成准确，清晰，有条理地表述问题以及解决问题的过程的习惯，提高数学表达和交流的能力；进一步拓展学生的视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.三、教学内容及课时安排建议3.1 随机事件及其概率整体设计教材分析本节课是概率这一章的第一节课，所以有必要在上新课之前向学生简要地介绍概率论的发展、概率趣话以及概率的应用，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.随机事件及其概率为一课时.本节课主要学习随机现象、必然事件、不可能事件、随机事件的概念.通过抛掷硬币试验，探究随机事件的概率，揭示概率的本质，引出随机事件概率的求法，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.通过实例说明一个随机事件的发生是存在着统计规律性的，一个随机事件发生的频率总是在某个常数附近摆.我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率.它从数量上反映了这个事件发生的可能性的大小.它是0～1之间的一个数.将这个事件记为A，用P(A)表示事件A发生的概率.对于任意一个随机事件A，P(A)必须满足如下基本要求：0≤P(A)≤1.怎样确定一个事件发生的概率呢？可以从实际问题出发，创设问题情境.具体设计如下：首先利用多媒体展示奥地利遗传学家孟德尔〔G.Mendel，1822～1884〕用豌豆进行杂交试验的结果表格，通过商讨分析得到孟德尔是用某种性状发生的频率来估计生物遗传的基本规律的.然后依次展示抛掷硬币的模拟试验结果、π的前n位小数中数字6出现的频率、鞋厂某种成品鞋质量检验结果，通过商讨分析分别得出：掷硬币的模拟试验结果中，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动；π的前n位小数中数字6出现的频率中数字6在π的各位小数数字中出现的频率值接近于常数0.1，并在其附近摆动；鞋厂某种成品鞋质量检验结果中，当抽取的样品数很多时，优等品的频率接近于常数0.95，并在其附近摆动.三维目标1.通过具体的例子了解随机现象，了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.采用实验探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学.使学生了解一个随机事件的发生既有随机性，又在大量重复试验中存在着一种客观规律性——频率的稳定性，以引出随机事件概率的意义和计算方法.2.理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性.3.掌握概率的统计定义及概率的性质.引导学生对身边的事件加以注意、分析，发挥学生的主体作用，设计好探究性试验.指导学生做简单易行的试验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性，理论联系实际，激发学生的学习积极性.4.通过概率论的介绍，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.发动学生动手试验，体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识.重点难点教学重点:1.随机现象的定义，必然事件、不可能事件、随机事件的定义.2.概率的统计定义，概率的基本性质.教学难点:随机事件的定义，随机事件发生存在的统计规律性.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一：〔情境导入〕在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战〞搞得盟军焦头烂额.为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性.一定数量的船〔为100艘〕编队规模越小，编次就越多〔为每次20艘，就要有5个编次〕，编次越多，与敌人相遇的概率就越大.美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应.设计思路二：〔问题导入〕观察以下现象，各有什么特点？(1)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾；(2)抛一石块，下落；(3)同性电荷互相吸引；〔4〕实心铁块丢入水中，铁块上浮；〔5〕射击一次，中靶；〔6〕掷一枚硬币，反面向上.解答：〔1〕、〔2〕两种现象必然发生，〔3〕、〔4〕两种现象不可能发生，〔5〕、〔6〕两种现象可能发生，也可能不发生.推进新课新知探究由上述事例可知现实生活中有很多现象，这些现象在一定条件下，可能发生也可能不发生.在一定条件下事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验，试验的每一种可能的结果，都是一个事件.在上述现象中，我们如果把〔1〕、(2)的条件实现一次，那么〔1〕、(2)的现象一定会出现“沸腾〞与“下落〞，“沸腾〞与“下落〞都是一个事件.对于在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件(certain event)；我们如果把(3)、〔4〕的条件各实现一次，那么“吸引〞与“上浮〞也都是一个事件，但这两个事件都是不可能发生的.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件(impossible event)；当(5)、(6)的条件各实现一次，那么“中靶〞与“反面向上〞也都是一个事件，这两个事件，可能发生，也可能不发生.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件(random event).必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的是随机现象.我们一般用大写的英文字母表示随机事件，例如随机事件A、随机事件B等，另外我们常常将随机事件简称为事件.由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性.但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复试验中，它却呈现出一种完全确定的规律性.历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：从表中我们可以看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它左右摆动.对于给定的随机事件A，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率mn 总在某个常数附近摆动并趋于稳定，因此，可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率〔probability〕，记作P(A).必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.因此0≤P(A)≤1 .对于概率的统计定义，教师应说明以下几点：〔1〕求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；〔2〕只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；〔3〕概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；〔4〕概率反映了随机事件发生的可能性的大小.应用示例思路1例1 给出以下事件：①某人练习打靶，一枪命中十环；②手机没电，接听；③抛一枚硬币，结果正面向上；④冰棒在烈日下融化；⑤一粒植物种子，播种后发芽；⑥向上抛一只不锈钢杯子，结果杯口向上.其中随机事件的个数是〔〕A.3B.4解析：判断事件是否是随机事件，可以依据随机事件的概念判断，也就是该事件在一定条件下，是否可能发生也可能不发生，如果可能发生也可能不发生，那么该事件为随机事件.由随机事件的概念可知：①③⑤⑥是随机事件.答案：B点评：判断某一事件是否是随机事件依据随机事件的概念，同样判断某一事件是否是必然事件或是不可能事件也是依据相应的概念，因此，此题中的②是不可能事件，④是必然事件.例2 指出以下事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？〔1〕假设a、b、c 都是实数，那么a(bc)=(ab)c ；〔2〕没有空气，动物也能生存下去；〔3〕在标准大气压下，水在温度90°时沸腾；〔4〕直线y=k(x+1)过定点(－1,0)；〔5〕某一天内某人接听20次；〔6〕一个袋内装有形状、大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球.分析：根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义来判断.解：由必然事件的定义可知〔1〕、〔4〕是必然事件；由随机事件的定义知〔5〕、〔6〕是随机事件；由不可能事件的定义可知(2〕、〔3〕是不可能事件.点评：要判断一个事件是必然事件、随机事件还是不可能事件，应紧紧抓住这些事件的定义，从定义出发来作出判断.例3 任取一个由50名同学组成的班级〔称为一个标准班〕，至少有两位同学的生日在同一天〔记为事件T〕的概率是0.97，据此，我们知道( )A.取定一个标准班，事件T发生的可能性为97%B.取定一个标准班，事件T发生的概率大约是97%C.任意取定10 000个标准班，其中必有9 700个班有事件T发生D.随着抽取的班级数n的不断增大，事件T发生的频率逐渐接近0.97，并在它附近摆动解析：根据随机事件的概率的定义必须进行大量试验，才能得出某一随机事件的概率，因此，此题应从定义出发来研究.对于取定的一个标准班来说，T要么发生要么不发生，所以A，B都不对；对任意取定的10 000个标准班，也可能出现极端情况，如T都不发生，因此C也不对；据概率的统计定义知，选项D正确.答案：D点评：利用概率的统计定义计算随机事件的概率，需要大量重复的试验.对某一个随机事件来说，在一次试验中不一定发生，但在大量重复试验下它的发生又呈现一定的规律.通过对概率的定义的感悟，感受数学学科的实验性，体会偶然与必然的辩证统一.例4 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：〔1〕计算表中优等品的各个频率；〔2〕该厂生产的电视机优等品的概率是多少？分析：利用概率的定义来求解此题.解：〔1〕各次优等品的频率为 0.8， 0.92， 0.96， 0.95， 0.956， 0.954；〔2〕优等品的概率是0.95.点评：通过此题进一步理解概率的定义，领悟概率其实是某一随机事件发生的可能性的大小.例5 历史上曾有人做过抛掷硬币的大量随机试验，结果如下：〔1〕计算表中正面向上的频率；(2)试估计事件“正面向上〞的概率.分析：先运用频率计算的方法计算频率，再运用概率的定义确定事件“正面向上〞的概率.解：(1)表中频率自上而下依次为：0.518 1，0.506 9，0.501 6，0.500 5，0.499 6；〔2〕由(1)的结果发现：当抛掷的次数很多时，“正面向上〞的频率接近于常数0.5，在它附近摆动，所以抛掷一枚硬币，正面向上的概率约为0.5.点评：通过计算随机事件发生的频率来估计随机事件的概率是求随机事件概率常用的方法.思路2例1 指出以下事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.〔1〕我国东南沿海某地明年将受到3次热带风暴的侵袭；〔2〕假设a为实数，那么|a|≥0；〔3〕某人开车经过10个交叉路口都遇到绿灯；〔4〕一个正六面体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，将该正六面体连续抛掷两次，向上的一面数字之和大于12.分析：要判断某一事件是必然事件、随机事件还是不可能事件，可以依据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义来判断.解：由必然事件、随机事件和不可能事件的定义可知：〔2〕是必然事件；〔1〕、〔3〕是随机事件；〔4〕是不可能事件.点评：对于某一事件是必然事件、随机事件还是不可能事件的判断依据是定义，其关键是看事件本身是如何发生的.例2 在一只口袋中装有形状与大小都相同的2只白球和3只黑球，从中任意取出3只球，试编拟一些事件，使它们分别为随机事件、必然事件和不可能事件.分析：要编拟一些事件，使其为随机事件、必然事件和不可能事件，就是在一定条件下，所编拟的事件必定发生那么为必然事件，必定不发生那么为不可能事件，可能发生也可能不发生那么为随机事件.解：事件A ：任意取出3只球，恰有1只球是白球，那么事件A 是随机事件；事件B ：任意取出3只球，至少有1只球是黑球，那么事件B 是必然事件；事件C ：任意取出3只球，都是白球，那么事件C 是不可能事件.点评：此题在编拟随机事件、必然事件和不可能事件时，是开放性问题，因此根据相应的概念来编拟，答案不唯一.除了上述解答外，还可以是其他答案，例如：事件A ：任意取出3只球，至少有1只球是白球，那么事件A 是随机事件；事件B ：任意取出3只球，至多有2只球是白球，那么事件B 是必然事件；事件C ：任意取出3只球，没有一只黑球，那么事件C 是不可能事件.例3 用一台自动机床加工一批零件，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100个螺母中，任意抽取一个，求事件A 〔6.92<d≤6.94〕，事件B 〔6.90<d≤6.96〕，事件C 〔d>6.96〕，事件D 〔d≤6.89〕的频率并求这几个事件发生的概率约为多少？分析：分别求出事件A 〔6.92<d≤6.94〕，事件B 〔6.90<d≤6.96〕，事件C 〔d>6.96〕，事件D 〔d≤6.89〕的频率，再根据这几个事件的频率得出概率.解：事件A 的频率为17+10026=0.43，概率约为0.43； 事件B 的频率为10081526171710+++++=0.93，概率约为0.93； 事件C 的频率为10022+=0.04，概率约为0.04；事件D 的频率为1001=0.01，概率约为0.01. 点评：根据概率的统计定义求随机事件的概率的常用方法是先求随机事件发生的频率，再由频率得出随机事件发生的概率.例4 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：〔1〕填写表中击中靶心的频率；〔2〕这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？分析：击中靶心的频率=击中靶心的次数÷射击的次数，再根据概率的统计定义可知：击中靶心的概率应为频率在某一常数P 的左右摆动，那么常数P 即为该事件的概率.解：〔1〕表中击中靶心的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89；〔2〕因频率在常数0.89的左右摆动，所以射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89. 点评：在运用概率的统计定义求某一事件的概率时，应该先求频率，再根据频率来求该事件的概率.知能训练一、课本随机现象练习.解答:2.(1)随机事件；(2)不可能事件；(3)必然事件；(4)不可能事件；(5)随机事件；(6)随机事件.3.必然事件：③；不可能事件：⑤；随机事件：①②④.4.必然事件：太阳每天都从东方升起；不可能事件：电灯在断电时发亮；随机事件：同时抛两枚硬币，正面都向上.二、课本随机事件的概率练习.解答：1.不对.2.不同意，随机事件的发生概率与该事件以前是否发生无关，故下次发生的概率仍为21. 3.不一定，第10个人治愈的概率仍为10%.点评：通过练习，进一步加深必然事件、不可能事件、随机事件以及概率的概念的理解. 课堂小结本节课主要研究了以下内容：1.随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.随机事件A 的概率：一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈nm .3.由于随机事件A 在各次试验中可能发生，也可能不发生，所以它在n 次试验中发生的次数〔称为频数〕m 可能等于0〔n 次试验中A 一次也不发生〕，可能等于1〔n 次试验中A 只发生一次〕，……也可能等于n 〔n 次试验中A 每次都发生〕.我们说，事件A 在n 次试验中发生的频数m 是一个随机变量，它可能取得0、1、2、…、n 这n+1个数中的任一个值.于是，随机事件A 的频率nm 也是一个随机变量，它可能取得的值介于0与1之间，即0≤P 〔A 〕≤1.特别，必然事件的概率为1，即P(Ω)=1，不可能事件的概率为0，即P()=0.这里说明随机事件的频率究竟取得什么值具有随机性.然而，经验说明，当试验重复多次时随机事件的频率又具有稳定性.4.说明：①求一个事件概率的基本方法是做大量的重复试验；②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A 的概率；③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；④概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P〔A 〕≤1.作业课本习题3.1 1、2.设计感想本节课是概率这一章的第一节课，所以有必要在上新课之前向学生简要地介绍概率的发展、概率趣话以及概率的应用，以激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.随机事件及其概率分为两部分，第一部分主要学习随机现象、必然事件、不可能事件、随机事件的概念.通过抛掷硬币试验，探究随机事件的概率，揭示概率的本质，引出随机事件概率的求法，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.第二部分是随机事件的概率.怎样确定一个事件发生的概率呢？设计时，从实际问题出发，创设问题情境.除了已有设计之外还可以有如下设计：首先利用多媒体展示奥地利遗传学家孟德尔〔G.Mendel ，1822～1884〕用豌豆进行杂交试验的结果表格，通过商讨分析得到孟德尔是用某种性状发生的频率来估计生物遗传的基本规律的.然后依次展示抛掷硬币的模拟试验结果、π的前n 位小数中数字6出现的频率、鞋厂某种成品鞋质量检验结果，通过商讨分析分别得出：掷硬币的模拟试验结果中，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动；π的前n 位小数中数字6出现的频率中数字6在π的各位小数数字中出现的频率值接近于常数0.1，并在其附近摆动；鞋厂某种成品鞋质量检验结果中，当抽取的样品数很多时，优等品的频率接近于常数0.95，并在其附近摆动.最终得出概率的统计定义.习题详解1.〔1〕随机事件 〔2〕不可能事件 〔3〕随机事件 〔4〕必然事件 〔5〕不可能事件〔6〕必然事件 〔7〕随机事件 〔8〕随机事件2.D.3.(1)〔2〕概率约为0.81.4.。

江苏省响水中学高中数学第3章《概率》复习导学案苏教版必修
个不同的数
内投一点，则该点落在正方形内的概率是
张奖券中有
甲中奖的概率
张扑克牌（分别是红桃2, 4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．
大的概率是多少？
）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此游
米的概率为 .
走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点
学好高中数。

第3章 概 率3.1 随机事件及其概率课时目标 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．1．随机现象在一定条件下，____________________________，这种现象就是确定性现象．在一定条件下， ____________________________________________________________，这种现象就是随机现象．2．事件对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次________．而试验的每一种可能的结果，都是一个________．3．随机事件在一定条件下，______________的事件叫做必然事件．____________________叫做不可能事件．__________________叫做随机事件．4．随机事件的概率(1)定义：一般地，对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的________会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的________，记作________．(2)性质：对于任意一个随机事件A ，P (A )的范围是__________．(3)用Ω和Ø表示必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝____，P (Ø)＝____.一、填空题1．下列事件中：①如果a >b ，那么a －b >0；②将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；③三个小球全部放入两个盒中，其中一个盒子里有三个球；④若x ∈R ，则x 2<0.其中是随机事件的为________．(填序号)2．将一颗骰子抛掷600次，掷出点数大于2的次数大约是________次．3．一个口袋内装有大小相同且编号为1,2,3,4的四个乒乓球，从中任意摸出2球，则这一试验共有______种可能性．4．在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，事件A 发生的概率P (A )与m n的关系是______________．5．在一篇英文短文中，共使用了6 000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e ”共使用了900次，则字母“e ”在这篇短文中的使用的频率为________．6．同时向上抛掷100个质量均匀的铜板，落地时这100个铜板全都正面向上，则这100个铜板更可能是下面哪种情况________．(填序号)①这100个铜板两面是一样的；②这100个铜板两面是不一样的；③这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不一样的；④这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不一样的．7．盒中装有4只白球5只黑球，从中任意取出1只球．(1)“取出的球是黄球”是________事件，它的概率是________；(2)“取出的球是白球”是________事件，它的概率是________；(3)“取出的球是白球或黑球”是________事件，它的概率是________．8．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上数据可以估计该池塘约有________条鱼．9．从12个同类产品(其中10个正品，2个次品)，任意抽取6件产品，下列说法中错误的是________．(填序号)①抽出的6件产品中必有5件正品，一件次品；②抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品；③抽取6件产品时逐个不放回抽取，前5件是正品，第6件必是次品；④抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，一件次品．二、解答题10．结果如下：从这100(1)事件A (6.92<d ≤6.94)的频率；(2)事件B (6.90<d ≤6.96)的频率；(3)事件C (d >6.96)的频率；(4)事件D (d ≤6.89)的频率．11．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分别被这种血清感染的概率．能力提升12．掷一枚骰子得到6点的概率是16，是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点？13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)3．1 随机事件及其概率知识梳理1．事先就能断定发生或不发生某种结果某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果 2.试验事件 3.必然会发生肯定不会发生的事件可能发生也可能不发生的事件 4.(1)频率概率P(A)(2)0≤P(A)≤1(3)10作业设计1．②③解析 ①是必然事件，④是不可能事件，②、③是随机事件．2．400解析 N ＝46×600＝400. 3．6解析 可能出现以下情形：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．4．P(A)≈m n5．0.15解析 频率＝9006 000＝0.15. 6．①解析 一枚质量均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5，从题意中知抛掷100枚结果正面都向上，因此这100个铜板两面是一样的可能性最大．7．(1)不可能 0 (2)随机 49(3)必然 1 8．750解析 设池塘约有n 条鱼，则含有标记的鱼的概率为30n ，由题意得：30n×50＝2， ∴n ＝750.9．①③④解析 由于12个产品的正品率为1012＝56， 次品率为212＝16，故抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品． 10．解 (1)事件A 的频率f(A)＝17＋26100＝0.43. (2)事件B 的频率f(B)＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93. (3)事件C 的频率f(C)＝2＋2100＝0.04. (4)事件D 的频率f(D)＝1100＝0.01. 11．解 (1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A ，由题意知，A 为不可能事件，∴P(A)＝0.(2)记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B ，由题意知P(B)＝50250＝15＝0.2. (3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C ，由题意知事件C 为必然事件，所以P(C)＝1.12．解 抛掷一枚骰子得到6点的概率是16，多次抛掷骰子，出现6点的情况大约占16，并不意味着掷6次一定得到一次6点，实际上，掷6次作为抛掷骰子的6次试验，每一次结果都是随机的．13．解 (1)这种鱼卵的孵化概率P ＝8 51310 000＝0.851 3. (2)30 000个鱼卵大约能孵化30 000×8 51310 000＝25 539(尾)鱼苗． (3)设大概需备x 个鱼卵，由题意知5 000x ＝8 51310 000. ∴x ＝5 000×10 0008 513＝5 900(个)．∴大概需备5 900个鱼卵．。

江苏省响水中学高中数学第3章《概率》几何概型（1）导学案苏教版必修3学习目标：1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算．重点难点：几何概型中概率的计算公式、简单的几何概率计算．课前预习：1.以下两个问题是古典概型吗？①取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？②射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？2.几何概型的概念：3.几何概型的基本特点：4.几何概型的概率计算公式：课堂探究：１．取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．2.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m 的概率.变式：已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.求乘客到达站台立即乘上车的概率.3.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?变式：有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.技能检测：1.某人上班前，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。

3.3几何概型课时目标 1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．1．几何概型的定义设D是一个________的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)．每个基本事件可以视为从________内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点，这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、________、________等)成正比，与d的形状和位置________．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)＝____________________.一、填空题1．用力将一个长为3米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为________．2．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是________．3．在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是________．4．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．5．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)＝______________________________________________________________.6．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为________．(填序号)7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．二、解答题10．过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD<AC的概率．11．如图，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？能力提升12．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率为________．13．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度(角度、面积或体积)，而这往往会遇到计算困难，这是本节难点之一．实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题．为此可参考如下办法：(1)选择适当的观察角度；(2)把基本事件转化为与之对应的几何区域；(3)把随机事件A转化为与之对应的几何区域；(4)利用概率公式计算；(5)如果事件A对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景出发去判断．3．3 几何概型知识梳理1．可度量 区域D 面积 体积 无关2.d 的测度D 的测度作业设计1.13解析 P ＝2－13＝13. 2.π4解析 由题意，P ＝S 圆S 正方形＝π×122×2＝π4. 3.1100解析 取出10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则P(A)＝取出种子的体积所有种子的体积＝101 000＝1100. 4．1－π4解析 当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4. 5.π4解析 如图，集合S ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y)与圆面x 2＋y 2<1内的点一一对应，∴P(A)＝π4. 6．①解析 ①中P 1＝38，②中P 2＝26＝13， ③中设正方形边长2，则P 3＝4－π×124＝4－π4， ④中设圆直径为2，则P 4＝12×2×1π＝1π. 在P 1，P 2，P 3，P 4中，P 1最大．7.815解析 P(A)＝4030＋5＋40＝815. 8.13解析 由几何概型知所求的P ＝1－02－(－1)＝13.9.334π解析 设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC＝3·12AC·OD ＝3·CD·OD ＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24， ∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π. 10.解 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE(如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD<AC.易知∠ACE ＝67.5°，∴AD<AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75. 11．解 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为S ＝16×16＝256 (cm 2)． 记“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则事件A 所占区域面积为S A ＝π×62＝36π(cm 2)；事件B 所占区域面积为S B ＝π×42－π×22＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为S C ＝(256－36π)cm 2.由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝S A S ＝964π； (2)P(B)＝S B S ＝364π；(3)P(C)＝S C S ＝1－964π. 12.310解析 令x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，与x 轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图象在x 0轴下方，即f(x 0)≤0的x 0的取值范围为x 0∈[－1,2]，∴P ＝2－(－1)5－(－5)＝310. 13．解 由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为15， 所以红色所占角度为周角的15， 即α1＝360°5＝72°. 同理，蓝色占周角的13， 即α2＝360°3＝120°， 所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每个绿色扇形的圆心角为42°.。

1 辨析频率与概率概率与频率虽只有一字之差，但意义大不相同，同时二者之间又有一定的联系．下面和同学们一起认识一下这对“孪生兄弟”． 一、频率与概率的区别频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，它的值等于随机事件发生的次数与试验总次数的比．频率是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的某事件发生的频率不一定相同．而概率是一个确定的值，是客观存在的，与每次试验无关，与试验次数也无关． 例1 连续抛掷一枚硬币10次，落地后正面向上出现了6次，设“抛一次硬币，正面向上”为事件A ，则下列说法正确的有________． ①P (A )＝35；②P (A )≈35；③再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数还是6； ④事件A 发生的频率为35；⑤无论哪一次抛，硬币落地后正面向上的概率相同．解析 ④⑤正确．在一次试验中，事件A 发生的概率为12，再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数不确定． 答案 ④⑤点评 频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别． 二、频率与概率的联系1．在大量重复进行同一试验时，频率总是在某个常数附近摆动．由于事件的随机性，有时候频率也可能出现偏离该“常数”较大的情形，但随着试验次数的增加，这种情形出现的可能性会减小．概率是频率的稳定值，可看作是频率在理论上的平均值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．2．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切的得到，因此我们常常通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率．例2 一个不透明的袋中装有大小质地相同的红、白两种颜色的小球，某学习小组做摸球试验，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸．试验的部分数据如下表：(1)将表格补充完整(所求频率保留3位小数)；(2)估计从中随机摸一个球，求摸到红球的概率P(保留2位小数)．解(1)第二行依次填：18,74.第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248.(2)由(1)知，虽然抽取次数不同，所得频率值不同，但随试验次数的增加，频率在常数0.250附近摆动，故P≈0.25.点评现实生活中很多事件的概率是难以确切得到的，鉴于随机事件的发生带有随机性的同时又存在一定的规律性，故一般通过大量的重复试验，用随机事件的频率来估计概率．2概率加法公式应用点拨概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．概率的加法公式可推广为：若事件A1，A2，…，A n彼此互斥(两两互斥)，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)，即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和．用此公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．下面举例说明概率加法公式的应用．一、计算互斥事件和的概率例1 由经验得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：求：(1)(2)至少2人排队的概率．解(1)记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，则A，B ，C 彼此互斥．P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D ，“少于2人排队”为事件A ∪B ，那么事件D 与事件A ∪B 是对立事件，则P (D )＝P (A ∪B )＝1－[P (A )＋P (B )]＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.点评 应用概率加法公式求概率的前提有两个：一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥．在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和，再应用公式求解所求概率． 二、求解“至少”与“至多”型问题例2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关(事件A )的概率为0.198，恰有2人过关(事件B )的概率为0.38，恰有3人过关(事件C )的概率为0.302,4人都过关(事件D )的概率为0.084.求： (1)至少有2人过关的概率P 1； (2)至多有3人过关的概率P 2.分析 “至少有2人过关”即事件B ∪C ∪D .“至多有3人过关”即事件A 、B 、C 与事件“4人均未过关”的并事件，其对立事件为D .(注意“4人均未过关”这种可能情况) 解 由条件知，事件A 、B 、C 、D 彼此互斥． (1)P 1＝P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.766. (2)P 2＝P (D )＝1－P (D )＝1－0.084＝0.916.点评 处理“至多”“至少”型问题，既可以分情况讨论，也可以从反面考虑，即借助对立事件的概率间接求解．当事件包含的情况较多时，常利用P (A )＝1－P (A )求P (A )． 三、列方程求解概率问题例3 某班级同学的血型分别为A 型、B 型、AB 型、O 型，从中任取一名同学，其血型为AB 型的概率为0.09，为A 型或O 型的概率为0.61，为B 型或O 型的概率为0.6，试求任取一人，血型为A 型、B 型、O 型的概率各是多少？分析 设出所求事件的概率，将题中涉及到的事件用所求事件表示出来，借助这些事件的概率及公式，列方程求解即可．解 记“任取一人，血型为A 型”、“任取一人，血型为B 型”、“任取一人，血型为AB 型”、“任取一人，血型为O 型”分别为事件E ，F ，G ，H ，显然事件E 、F 、G 、H 两两互斥．故⎩⎪⎨⎪⎧P (G )＝0.09，P (E )＋P (H )＝0.61，P (F )＋P (H )＝0.6，P (E )＋P (F )＋P (G )＋P (H )＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧P (E )＝0.31，P (F )＝0.3，P (H )＝0.3.所以任取一人，血型为A 型、B 型、O 型的概率分别为0.31、0.3、0.3.点评 本题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点．挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题的关键，同学们应注重这种能力的培养.3 随机事件的概率结论1 概率大的随机事件不一定意味着肯定发生．在一次试验中，概率大的随机事件的发生不一定优于概率小的随机事件的发生．释义 对于概率的大小问题，只能说明相对于同一随机事件而言，概率大的发生的可能性大，概率小的发生的可能性小．例1 在一次试验中，随机事件A 发生的概率是0.3，随机事件B 发生的概率是0.7，你认为如果做一次试验，可能出现B 不发生A 发生的现象吗？为什么？解 这是可能的．因为随机事件B 的发生概率大于随机事件A 的发生概率，但并不意味着在一次试验中随机事件B 的发生一定优于随机事件A 的发生，随机事件的发生是不确定的． 点评 结论1实现实际生活中小概率事件发生的可能性．对于概率问题，必须注意的是概率是相对于大量重复试验的前提下得到的理论值，但在少数的有限试验中，概率不一样的随机事件发生的可能性无法确定．结论2 概率是由巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体的趋势；而频率是数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．概率可以看作频率在理论上的期望值．释义 概率与频率的关系是整体与具体、理论与实践、战略与战术的关系，频率随着随机事件次数的增加会趋向于概率．在处理具体的随机事件时，用概率作指导，以频率为依据． 例2 在某次射击比赛中，射击运动员甲在决赛中以0.2环的微弱优势战胜了射击运动员乙，摘得该项的金牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计： 甲运动员：(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；(2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员在奥运会上每次击中10环以上的概率．解(1)两运动员击中10环以上的频率分别为：甲运动员：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；乙运动员：0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906；(2)由(1)中的数据可知两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以可以预测两位运动员在奥运会上每次击中10环以上的概率为0.9，即两人的实力相当．点评结论2实现频率与概率既有联系又有区别，频率随着随机事件的试验次数的不断增加而趋向于概率.4点击互斥事件一、互斥事件、对立事件的概念1．“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，也就是说互斥事件至多有一个发生，也有可能两个都不发生，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件．因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说对立事件是互斥事件的充分不必要条件．2．从集合的角度理解：两个互斥事件对应的基本事件所组成的集合的交集为空集，并集可能是全集，也可能不是全集；当A、B是对立事件时，其交集为空集，并集是全集．3．互斥事件之间的关系中的“不能同时发生”体现了分类讨论的原则“不重复”，而“不遗漏”则表现在所有互斥事件的和是整个事件(必然事件)．二、例题点击1．互斥事件、对立事件的判断例1从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是() A．至少有1个红球与都是红球B．至少有1个黑球与至少有1个红球C．恰有1个黑球与恰有2个红球D．至少有1个黑球与都是红球解析“从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球”这一事件共包含3个基本事件：(红，红)，(黑，黑)，(红，黑)，故恰有1个黑球与恰有2个红球互斥但不对立，所以选C.答案 C点评借助于列举基本事件，结合定义，易判断出互斥与对立事件．例2 一个不透明的袋中装入4个白球和4个黑球，从中任意摸出3个球． (1)可能发生哪些事件？(2)指出其中每个事件的互斥事件；(3)事件“至少摸出1个白球”是哪几个事件的和事件？它的对立事件是哪个事件？ 解 (1)以白球或黑球的个数作为讨论标准，可能发生下列事件：①摸出3个白球，记为事件A ；②摸出2个白球，1个黑球，记为事件B ；③摸出1个白球，2个黑球，记为事件C ；④摸出3个黑球，记为事件D . (2)事件A 、B 、C 、D 彼此互斥．(3)“至少摸出1个白球”的事件为A 、B 、C 的和事件，即“至少摸出1个白球”的对立事件是D .点评 理解对立事件与互斥事件的联系与区别．特别在解答一些问题时，在把复杂事件加以分解的事件个数不是太多的情况下，可以把所有的事件罗列下来，结合互斥事件与对立事件的概念加以辨析． 2．互斥事件的计算例3 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中任取1只，有放回地抽取3次，求3只颜色不全相同的概率．解 记“3只颜色全相同”为事件A ，则所求事件为A 的对立事件．因为“3只颜色全相同”又可分为“3只全是红球(事件B )”，“3只全是黄球(事件C )”，“3只全是白球(事件D )”，且它们彼此互斥，故3只颜色全相同即为事件B ∪C ∪D ，由于红、黄、白球的个数一样，故有P (B )＝P (C )＝P (D )＝127，所以P (A )＝P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝19，因此有P (A )＝1－19＝89.答 3只颜色不全相同的概率是89.点评 本题可将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，但比较麻烦，故转化为其对立事件求解，体现了“正难则反”的思想．注意“3只颜色全相同”可分为三个彼此互斥的基本事件，它的对立事件为“3只颜色不全相同”．5 解古典概型的几个注意解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点：(1)有限性：做一次试验，可能出现的结果为有限个，即只有有限个不同的基本事件．(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的．其计算公式P (A )＝mn 也比较简单，但是这类问题的解法多样，技巧性强，下面列举出了解题中需要注意的几个问题．注意1——有限性和等可能性例1 掷两枚均匀的硬币，求出现一正一反的概率．分析 这个试验的基本事件(所有可能结果)共有4种：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A “出现一正一反”的所有可能结果为：(正，反)，(反，正)． 解 P (A )＝14＝12.点评 均匀硬币在抛掷过程中出现正、反面的概率是相等的，并且试验结果是有限个． 注意2——计算基本事件的数目时，需做到不重不漏例2 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)A ＝{三个数字中不含1和5}；(2)B ＝{三个数字中含1或5}．分析 这个试验的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种． 解 (1)事件A 为(2,3,4)，故P (A )＝110.(2)事件B 的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9种．故P (B )＝910.点评 在计算事件数目时，要做到不重不漏，如B 中可分为含1的：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)．含5的：(1,2,5)，(1,3,5)，(2,3,5)，(3,4,5)，(1,4,5)，(2,4,5)．在归于集合B 中时，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)这三个不能重复计算． 注意3——利用事件间的关系例3 有3个完全相同的小球a ，b ，c ，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．分析 先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件，再确定两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空所包含的事件，从而确定该事件的概率． 解 a ，b ，c 三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为：空；甲盒子空，乙盒子a ，b ，c ，共两个，故P ＝1－28＝34.点评 在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得．6 走出解几何概型的几个误区几何概型和古典概型是概率中典型的问题，几何概型和古典概型有共同点，也有很多不一样的地方．我们在求解几何概型问题时，经常会出现一些典型的错误．下面用具体的例子帮同学们走出误区．一、若P (A )＝0，则A 未必是不可能事件；若P (A )＝1，则A 未必是必然事件例1 有一个底面是圆形的容器，底面圆半径是一枚硬币半径的10倍，现在把这枚硬币随机地扔进容器，求硬币与底面恰好相切的概率．解 记“硬币与底面圆相切”为事件A ，由题意知所求问题是以面积为测度的几何概型的概率问题，事件A 对应的面积可以认为是0，故P (A )＝0.点评 在古典概型中，P (A )＝0⇒A 是不可能事件；而在几何概型P (A )＝0，则A 未必是不可能事件；P (A )＝1，A 也未必是必然事件．二、背景相似的问题，当试验的角度不同时，其测度不一样例2 (1)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，过点A 作一射线交线段BC 于点M ，求BM ≤AB 的概率．(2)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，在线段BC 上取一点M ，求BM ≤AB 的概率． 解 (1)记“过点A 作一射线交线段BC 于点M ，使BM ≤AB ”为事件Ω，由于是过点A 作一射线交线段BC 于点M ，所以射线在∠BAC 内是等可能出现的，又当AB ＝BM 时∠BAM ＝67.5°，所以P (Ω)＝d 的测度D 的测度＝67.5°90°＝34.(2)设AB ＝AC ＝1，则BC ＝2，设“在线段BC 上取一点M ，使BM ≤AB ”为事件Ω， 则P (Ω)＝d 的测度D 的测度＝12＝22.点评 当试验是“过点A 作一射线”时，用角度作测度；当试验是“在线段BC 上取一点”时，线段长度作测度．一般地，试验是什么，可以确定基本事件是什么．基本事件累积起来，就可以确定区域是角度、长度还是面积等． 三、错用测度类型例3 在区间[0,2]中随机地取出两个数，求两数之和小于1的概率．错解 两数之和小于1，那么每一个数是[0,1]之间，故每一个数对应的概率为12，那么所求两个数的概率为12×12＝14.错因分析 因为两数之和小于1，故两个数之间有相互制约的关系，即两个变量之间不是相互独立的，不可将两个变量的概率相乘，故这种做法是错误的，应用面积做测度，计算概率． 正确答案 设x ，y 表示所取得任意两个数，由于x ∈[0,2]，y ∈[0,2]，∴以两数x ，y 为坐标的点在以2为边长的正方形区域内，设“两数和小于1”为事件A ，则事件A 所在区域为直线x ＋y ＝1的下方且在正方形的区域内，设为S . ∴P (A )＝S 4＝18.。