变化的三角形

三角形变变变大班数学教案反思教案标题：三角形变变变大班数学教案反思教案目标：1. 让学生了解三角形的基本概念和属性。

2. 培养学生观察、比较和归纳总结的能力。

3. 提高学生的几何思维和解决问题的能力。

4. 培养学生的合作与团队精神，促进互相学习和互助。

教学准备：1. 教师准备彩色三角形卡片。

2. 学生准备纸和铅笔。

3. 准备小组合作学习的活动材料。

教学过程：导入：1. 教师用手中的三角形卡片向学生介绍三角形的概念，并让学生观察卡片上的三角形形状和边数。

2. 教师引导学生讨论并总结三角形的特点，如边长相等、角度相等等。

探究：1. 教师提供一系列大小不同的三角形卡片，让学生分成小组，通过比较卡片上的三角形的大小关系，找出规律。

2. 学生在小组内讨论并总结他们的观察结果。

教师引导学生归纳总结出三角形的大小与边长的关系。

拓展：1. 学生通过在纸上画图，来实践体验三角形边长变化时的效果，进一步巩固边长和大小的关系。

2. 教师提供一些例题，让学生根据已有的知识解决问题，如给定一个三角形，如何通过变化边长使其变成另一个形状的三角形。

展示与交流：1. 学生向全班展示他们的讨论成果和解决问题的方法。

2. 教师引导学生进行思考和讨论，一起分析和比较不同解题方法的优缺点。

巩固与评价：1. 学生在小组中进行小组合作学习，解决一些与三角形大小和边长有关的问题。

2. 教师对学生的表现进行评价，鼓励他们相互学习和互相帮助，培养合作与团队精神。

反思：教师对整堂课进行反思，包括学生的表现、教学设计、教学方法等方面，总结得失经验并为进一步教学做出调整。

注：根据不同年级和教学资源的具体情况，可以适当调整教案内容和教学方法，以达到适合学生发展需求的教学效果。

恒等三角变换恒等三角变换是指通过改变三角形的内部关系而使其保持相似的变换。

在恒等三角变换中，所有的角度和比例都保持不变，只是三角形的位置、大小和形状发生了变化。

这种变换在几何学中起着重要的作用，可以用来证明和推导一些几何定理和性质。

恒等三角变换的一种常见形式是平移变换。

平移变换是指将三角形沿着平行于某一方向的直线移动一定的距离，保持三角形的大小、形状和角度不变。

平移变换可以用来证明平行线的性质，例如平行线的夹角相等和平行线之间的距离相等等。

另一种常见的恒等三角变换是旋转变换。

旋转变换是指以某一点为中心，将三角形绕着这个点旋转一定的角度，保持三角形的大小、形状和角度不变。

旋转变换可以用来证明正方形的对角线相等和相互垂直等性质。

除了平移变换和旋转变换，还有一种常见的恒等三角变换是翻转变换。

翻转变换是指将三角形绕着一条直线翻转，使得三角形关于这条直线对称，保持三角形的大小、形状和角度不变。

翻转变换可以用来证明等腰三角形的性质，例如等腰三角形的底角相等和等腰三角形的高线对称等。

在实际应用中，恒等三角变换广泛应用于建筑、设计和计算机图形学等领域。

例如，在建筑设计中，可以通过平移、旋转和翻转等恒等三角变换来布置和调整建筑物的位置和形状。

在计算机图形学中，恒等三角变换可以用来实现图像的平移、旋转和翻转等操作，从而实现图像的变换和处理。

恒等三角变换是一种保持三角形相似的变换，通过改变三角形的位置、大小和形状，但保持三角形的角度和比例不变。

恒等三角变换在几何学中起着重要的作用，可以用来证明和推导一些几何定理和性质，同时也广泛应用于建筑、设计和计算机图形学等领域。

掌握恒等三角变换的原理和应用，对于理解和应用几何学知识具有重要意义。

第十三讲三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC 的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12（平方厘米）．例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF 平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S △FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．习题十三一、选择题（有且只有一个正确答案）：1．如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2．如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3．如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对4．如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是______．（A）1∶1 （B）1∶1.1（C）1∶1.2 （D）1∶1.45．如右图，长方形AEGK四周上共有12个点，相邻两点的距离都是1厘米，以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个．（A） 24个（B） 25个（C） 26个（D） 27个二、填空题：1．如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的______．2．如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是______．3．如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，S△BEG∶S△CEG=2∶1，S△CFG∶S△DFG=1∶1，那么这四个小三角形面积之和______．4．如上右图，在△ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______．三、解答题：1．如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．3．如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．4．如上页右图，将四边形ABCD各边都延长一倍至 A'、B'、C'、D'．连接这些点得到一个新的四边形 A' B' C' D'．如果四边形ABCD的面积是1，求四边形A'B'C'D'的面积．5．如右图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF=CE，BG=DE，如果四边形ABCD的面积是1，求△EFG的面积？习题十三解答一、选择题：1．（D） 2．（D） 3．（D） 4．（A） 5．（C）．提示：以KH为边，再在对边的五个点A、B、C、D、E中任取一点为顶点，可分别构成5个面积为3平方厘米的三角形．同理，以JG、AD、BE为边也各自可以构成5个面积为3平方厘米的三角形．又因为△AFI、△BFJ、△CFK、△ELI、△DLH和△CLG也是面积为3平方厘米的三角形．所以面积为3平方厘米的三角形一共有26个．二、填空题：提示：如右图连结BD，设Ⅰ=S△BEG，Ⅱ=S△CEG，Ⅲ=S△CFG，Ⅳ=S△DFG，设S1=Ⅰ+Ⅱ，S2=Ⅲ+Ⅳ，S3=S△BDG．∵Ⅲ=Ⅳ∴F为CD中点，有：S△BCF=S△BDF，又∵Ⅲ=Ⅳ，∴ S△BGD=S△BCG，即 S3=S1，由已知Ⅰ为Ⅱ的2倍，∴BE=2EC，S△BDE=2S△CDE，两边分别减去Ⅰ和2Ⅱ，可得：S△BDG=2S△CDG，即 S3＝2S2，因此：4．甲∶乙∶丙=1∶2∶6，提示：∵ EF∥BC， AB=2AE∴ AC=3AF，BC=3EF，∵甲∶乙=1∶2，又∵（甲+乙）∶丙=1∶2∴甲∶乙∶丙=1∶2∶6．三、解答题：4．如右图所示，连结AB'、AC，∴ S△AA'B'=S△ABB'即 S△A'BB'=2S△ABC同理 S△D'DC'=2S△ADC∴ S△A'BB'+S△C'DD'=2△C'DD'=2S四边形ABCD同理 S△AA'D'+S△B'CC'=2S四边形ABCD∴四边形A'B' C' D' 的面积=5×S四边形ABCD=5．5．解：连结AG、CG，如右图所示，∵ AF=EC，有S△AGF=S△CGE，又∵ED=BG，有S△AED=S△ABG且 S△CDE=S△BCG，由此可见：△EFG的三个部分中S△ABG补到了S △EAD，S△AFG补到了S△CEG之后，又将其中的S△BCG补到了S△CDE 而S△AEG的位置不变，由此一来相当于将△EFG等积变形到了四边形ABCD，两者面积相同，即：S△EFG=1。

三角形旋转解题技巧初中篇一：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。

在初中数学中，三角形旋转通常用于解决角度问题和面积问题。

以下是一些初中三角形旋转的解题技巧:1. 了解三角形旋转的性质：三角形旋转后，其顶点的位置不会改变，而边的长度会发生变化。

同时，三角形的面积也可以通过旋转来变化。

2. 利用旋转角求解角度问题：在初中数学中，常常需要求解三角形中的某个角度。

可以利用三角形旋转的性质，将求解的问题转化为已知角度的问题，然后再通过旋转来解决。

3. 利用旋转来解决面积问题：在解决面积问题时，可以利用三角形旋转的性质，将原来的问题转化为面积相等的三角形，然后再通过旋转来解决。

4. 熟悉三角形旋转的基本公式：三角形旋转的基本公式为:旋转角度=原角度 - 旋转角度，旋转角度=旋转角度 + 原角度。

这些公式可以帮助更好地理解和解决三角形旋转的问题。

三角形旋转在初中数学中是一种常见的几何变换，可以帮助我们更好地理解和解决一些问题。

通过不断练习和积累，可以逐渐掌握三角形旋转的解题技巧，提高解题能力。

篇二：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。

在初中阶段，三角形旋转通常作为求解几何问题的一种技巧来介绍。

下面是一些常见的三角形旋转解题技巧:1. 了解三角形旋转的基本性质：三角形旋转是一个沿固定轴旋转的变换，可以保持不变的性质有面积、周长、对称中心、对称轴等;可以改变的性质有方向、位置、形状等。

2. 利用旋转变换求解几何问题：在初中阶段，常见的利用三角形旋转求解的几何问题有：求解对称轴、对称中心、重心等;将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而实现化繁为简、化难为易的目的。

3. 掌握常见的旋转变换公式：在三角形旋转中，存在一些常用的旋转公式，如旋转角度、旋转角度与旋转中心的关系、旋转前后面积的变化等。

熟悉这些公式可以更好地理解和解决旋转问题。

4. 实践三角形旋转的技巧：在初中阶段，可以通过一些简单的例子来实践三角形旋转的技巧，如求解三角形的重心、对称中心、对称轴等。

莱洛三角形绕自己转的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:莱洛三角形是一种特殊的几何形状，具有独特的特性和性质。

在本文中，我们将探讨莱洛三角形绕自身旋转的过程，并分析其在旋转过程中形成的面积变化。

通过研究莱洛三角形的面积变化规律，我们可以更深入地理解几何学中的相关概念，并探讨其在实际生活和科学研究中的应用价值。

本文旨在通过对莱洛三角形的面积计算方法进行探讨，为读者展示一种新颖的数学思维方式，并激发对几何学和数学的兴趣。

1.2 文章结构本文将首先介绍莱洛三角形的基本定义和性质，包括其特殊的形状和构造方式。

接着，将详细描述莱洛三角形绕自身旋转的过程，探讨其在空间中的运动规律和变化特点。

最后，将介绍一种有效的方法来计算莱洛三角形绕自身旋转时形成的曲面的面积，以便读者能够更直观地理解和应用这一概念。

通过这些内容的展示，读者将对莱洛三角形绕自身转动的面积有一个清晰的认识，同时也能够更深入地理解其在几何学和工程学领域中的应用和意义。

1.3 目的本文旨在探讨莱洛三角形绕自身转动时所覆盖的面积，并深入研究这一几何问题的计算方法和应用。

通过对莱洛三角形的定义、旋转过程以及面积计算方法的详细介绍，旨在帮助读者更好地理解这一几何概念，并为后续相关研究提供参考。

同时，本文也旨在引起读者对几何形体旋转运动的兴趣，展示数学几何在现实生活中的丰富应用价值。

通过本文的研究，可以进一步探讨莱洛三角形的特性以及其在几何学和工程学中的实际应用，促进相关领域的学术交流和发展。

2.正文2.1 莱洛三角形的定义莱洛三角形，也称为雷洛三角形，是一种特殊的三角形。

它的特点在于，三角形的三个顶点分别位于一个正方形的三条边上，且与正方形的一个角相接。

这种三角形由纽约大学的艺术家阿奇姆•雷洛（Archim Lo）首次提出，并且被广泛应用于数学和艺术领域。

莱洛三角形可以看作是正方形上的一种特殊构造，通过将正方形的三个顶点连接起来形成的三角形。

河南必考题型专题：三角形中的动态变化问题1．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm.如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②、图③.设直尺平移的长度为x cm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为S cm2.当x＝0时，S＝________；当x＝4时，S＝________；当x＝6时，S＝________．2．(2017·南阳新野县模拟)如图①，P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB，BC 上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.(1)连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(2)何时△PBQ是直角三角形？(3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP的交点为M，则∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．3．★(2017·南阳唐河县四模)已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连接DF，CF.[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半](1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系(不用证明)；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长(直接写出结果)．参考答案与解析1．8cm 2 24cm 2 28cm 22．解：(1)∠CMQ 的大小不变，且∠CMQ ＝60°.∵在等边△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠CAP ＝60°.又由题意得AP ＝BQ ，∴△ABQ ≌△CAP ，∴∠BAQ ＝∠ACP ，∴∠CMQ ＝∠ACP ＋∠CAM ＝∠BAQ ＋∠CAM ＝∠BAC ＝60°.(2)设点P ，Q 运动时间为t s ，则AP ＝BQ ＝t cm ，PB ＝(4－t )cm.应分两种情况进行讨论：①当∠PQB ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BPQ ＝30°，∴PB ＝2BQ ，即4－t ＝2t ，解得t ＝43；②当∠BPQ ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BQP ＝30°，∴BQ ＝2BP ，即t ＝2(4－t )，解得t ＝83.综上可知，当点P ，Q 运动时间为43s 或83s 时，△PBQ 是直角三角形． (3)∠CMQ 的大小不变，且∠CMQ ＝120°.∵在等边△ABC 中，BC ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠PBC ＝∠ACQ ＝120°.又由题意得BP ＝CQ ，∴△PBC ≌△QCA ，∴∠BPC ＝∠MQC .∵∠PCB ＝∠MCQ ，∴∠CMQ ＝∠PBC ＝120°.3．解：(1)DF ＝CF 且DF ⊥CF . 解析：∵∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点，∴DF ＝12BE ，CF ＝12BE ，∴DF ＝CF .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°.∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF .∵∠DFE ＝∠DBF ＋∠BDF ，∴∠DFE ＝2∠DBF .同理得∠CFE ＝2∠CBF ，∴∠EFD ＋∠EFC ＝2∠DBF ＋2∠CBF ＝2∠ABC ＝90°，即∠DFC ＝90°，∴DF ⊥CF ，∴DF ＝CF 且DF ⊥CF .(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：此时点D 落在AC 上，延长DF 交BC 于点G .∵∠ADE ＝90°，则∠CDE ＝90°＝∠ACB ，∴DE ∥BC ，∴∠DEF ＝∠GBF ，∠EDF ＝∠BGF .∵F 为BE 的中点，∴EF ＝BF ，∴△DEF ≌△GBF ，∴DE ＝GB ，DF ＝GF .∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AD ＝DE ，∴AD ＝GB .∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ，即DC ＝GC .∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形．∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF 且DF ⊥CF .(3)CF ＝102. 解析：延长DF 交BA 于点H .∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，AD ＝DE ，∴∠AED ＝∠ABC ＝45°.由旋转可得∠CAE ＝∠BAD ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∴∠DEF ＝∠HBF .∵F 是BE 的中点，∴EF ＝BF .∵∠EFD ＝∠BFH ，∴△DEF ≌△HBF ，∴DE ＝HB ，DF ＝HF .连接CH ，CD ，∵CB ＝CA ，∠CAD ＝90°－∠BAC ＝45°＝∠CBH ，AD ＝DE ＝HB ，∴△ADC ≌△BHC ，∴∠ACD ＝∠BCH .∵∠BCH ＋∠HCA ＝90°，∴∠ACD ＋∠HCA ＝90°，即∠DCH ＝90°.又∵DF ＝FH ，∴CF ＝DF .在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝4.∵AD ＝1，∴ED ＝BH ＝1，∴AH ＝3.在Rt △HAD 中，由勾股定理得DH ＝10，∴DF ＝102，∴CF ＝102.。

河南必考题型专题：三角形中的动态变化问题1．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm.如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②、图③.设直尺平移的长度为xcm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为Scm2.当x＝0时，S＝________；当x＝4时，S＝________；当x＝6时，S＝________．2．(2017·南阳新野县模拟)如图①，P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC 边AB，BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.(1)连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(2)何时△PBQ是直角三角形？(3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP的交点为M，则∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．3．★(2017·南阳唐河县四模)已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连接DF，CF.[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半](1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系(不用证明)；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC ＝22，求此时线段CF的长(直接写出结果)．。

动点等腰三角形的分类讨论等腰三角形是指两边长度相等的三角形，动点等腰三角形则是指在等腰三角形中，其中一个顶点在动态变化的情况下，讨论不同情况下的动点等腰三角形的特点和分类。

一、动点在底边上的情况：当动点在底边上时，等腰三角形的另外两个顶点分别位于底边的两侧。

此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。

1. 动点在底边的中点上：当动点在底边的中点上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧，且与底边的两个顶点的连线相等。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且底角为直角。

2. 动点在底边的延长线上：当动点在底边的延长线上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为直角。

3. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为锐角。

二、动点在底边外的情况：当动点在底边外时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。

此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。

1. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为锐角。

2. 动点在底边的延长线上且与底边相交：当动点在底边的延长线上且与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。

这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为钝角。

动点等腰三角形可以根据动点在底边上或底边外以及动点位置的具体情况进行分类。

不同情况下，等腰三角形的两个等边边长和顶角的大小都会有所不同。

通过对动点等腰三角形的分类讨论，可以更加全面地了解等腰三角形的特点和性质。

三角形变变变小班数学教案标题：三角形变变变小班数学教案一、教学目标1. 让学生了解和认识三角形的基本特征，能够识别和命名三角形。

2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和合作意识。

3. 通过对三角形的认识，培养学生的空间观念和几何直觉。

4. 引导学生体验数学的乐趣，激发学生对数学学习的兴趣。

二、教学内容1. 三角形的定义和特征2. 三角形的分类3. 三角形的稳定性4. 三角形的周长和面积三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形的定义、特征和分类。

2. 教学难点：三角形的稳定性和周长、面积的计算。

四、教学准备1. 教具：三角形模型、图片、尺子、彩笔等。

2. 学具：学生用书、练习本、彩笔等。

五、教学过程1. 导入新课（1）引导学生观察教室内的物体，找出三角形的例子，激发学生对三角形的兴趣。

（2）提出问题：什么是三角形？它的特征有哪些？2. 探究新知（1）让学生观察三角形模型，引导学生发现三角形的特点：三条边、三个角。

（2）教师讲解三角形的定义：由三条线段首尾相连围成的封闭图形。

（3）引导学生认识三角形的基本元素：边、角、顶点。

（4）让学生尝试画出三角形，并用自己的语言描述三角形的特征。

3. 三角形的分类（1）引导学生观察不同类型的三角形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

（2）让学生根据边的长度和角的大小对三角形进行分类。

（3）讨论各类三角形的特点，如等边三角形的三条边都相等，等腰三角形的两条边相等，直角三角形有一个角是直角等。

4. 三角形的稳定性（1）让学生通过折叠、拉扯等操作，感受三角形的稳定性。

（2）讨论三角形的稳定性在实际生活中的应用，如自行车架、房架等。

5. 三角形的周长和面积（1）让学生测量三角形的边长，计算三角形的周长。

（2）引导学生发现三角形的面积计算公式：底×高÷2。

（3）让学生练习计算不同类型三角形的周长和面积。

6. 课堂小结（1）让学生回顾本节课所学的内容，总结三角形的定义、特征、分类、稳定性以及周长和面积的计算方法。

三角形变变变的小班教案教案名称：三角形变变变课时：1课时年级：小班教学目标：1. 让学生认识三角形，知道三角形的基本特征。

2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和创新能力。

3. 引导学生发现生活中的三角形，激发学生对数学的兴趣。

教学重点：1. 让学生掌握三角形的基本特征。

2. 培养学生的动手操作能力和创新能力。

教学难点：1. 帮助学生理解三角形的概念。

2. 引导学生发现生活中的三角形。

教学准备：1. 课件或黑板、粉笔。

2. 三角形模型或图片。

3. 彩纸、剪刀、胶水等手工材料。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师出示三角形模型或图片，引导学生观察并说出三角形的名称。

2. 教师简要介绍三角形的基本特征，如三条边、三个角等。

二、探究（10分钟）1. 教师引导学生观察三角形模型或图片，让学生找出三角形的特点。

2. 教师组织学生进行小组讨论，让学生互相交流自己的发现。

3. 教师邀请学生代表分享自己的观察结果，并进行总结。

三、实践（10分钟）1. 教师发放彩纸、剪刀、胶水等手工材料，引导学生动手制作三角形。

2. 教师巡回指导，帮助学生解决制作过程中遇到的问题。

3. 学生完成制作后，教师组织学生进行作品展示，互相欣赏和评价。

四、拓展（10分钟）1. 教师引导学生观察生活中的三角形，如三角尺、交通标志等。

2. 教师组织学生进行小组讨论，让学生互相交流自己的发现。

3. 教师邀请学生代表分享自己的观察结果，并进行总结。

五、总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课的学习内容，让学生用自己的话总结三角形的特征。

2. 教师对学生的表现进行评价，给予鼓励和表扬。

教学反思：本节课通过观察、讨论、实践、拓展等环节，让学生掌握了三角形的基本特征，并培养了学生的观察能力、动手操作能力和创新能力。

在教学过程中，教师应注重引导学生主动参与，关注学生的个体差异，给予每个学生充分的表现机会。

同时，教师还应加强对学生的评价，及时给予鼓励和表扬，激发学生的学习兴趣。

第六章变量之间的关系2．变化中的三角形一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习了变量之间的关系、在平时的生活中中又经常接触到一些具有变化关系的量，初步理解了自变量及因变量之间的关系，具备了从一个具体问题中辨别自变量与应变量的能力。

二、教学任务分析本节内容是建立在学生已理解变量、自变量、因变量的意义和体会到了因变量是随自变量变化而变化的基础上，教材通过对三角形的底边的变化引起三角形面积的变化问题的探索，探索出了变量间的变化规律可用关系式来表达，运用表达式可以描述出自变量和因变量具体变化的情况。

教材通过机器图直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系，即“输入”一个x值就可以“输出”一个y值，隐含了函数的思想。

教材通过“做一做”和“随堂练习”进一步地体现了这一数学思想，特别是教材通过“读一读”不仅深化了本节的数学思想，而且扩展了学生的知识面，让学生体会到变量与变量之间的相互依赖关系是生活中广泛存在的。

通过本节的学习，让学生学会了用数学工具直观地表示事物的变化情况。

本节的教学目标如下：1．知识与技能目标：(1)经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。

(2)能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。

(3)能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。

2．过程与方法目标：(1)如何将生活中的实际问题转化为数学问题。

(2)如何用数学方法解决实际生活中的问题。

3．情感态度与价值观目标：培养学生动手的能力，探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力。

通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法。

三、教学过程设计分析：本节课共设计了八个教学环节：复习回顾、观察思考、诱导探究、体会归纳、变式探究、课堂练习、知识总结、布置作业。

第一环节：复习回顾1．在《小车下滑的时间》中：支撑物的高度h 和小车下滑的时间t 都在变化，它们都是变量. 其中小车下滑的时间t 随支撑物的高度h 的变化而变化 , 支撑物的高度h 是自变量小车下滑的时间t 是因变量。

三角形曲折纹形态特征三角形曲折纹是一种常见的纹理形状，它由一系列交叉、曲折的三角形组成。

这种纹理形态具有独特的特征，可以用于各种设计和艺术创作中。

以下是关于三角形曲折纹的详细介绍。

三角形曲折纹的主要特征是其折线和曲线的组合。

它由一系列不规则的三角形组成，每个三角形的边界可以是直线或曲线。

这种组合形态使得三角形曲折纹看起来极其复杂和独特，给人一种错综复杂、纷繁多样的感觉。

三角形曲折纹的边界具有高度的变化性。

在三角形曲折纹的图案中，三角形的大小、角度和位置都可以不同。

这种变化性导致了三角形曲折纹的不规律性，使得它们在视觉上更为吸引人。

这种变化性也增加了三角形曲折纹的艺术性和设计性。

三角形曲折纹还有一种流动感和动态感。

由于折线和曲线的变化以及三角形的不规则排列，三角形曲折纹在视觉上具有一种流动的感觉，给人以活泼、动态的印象。

这种流动感可以使三角形曲折纹适用于各种艺术作品和设计项目中，从平面设计到建筑设计，都可以运用三角形曲折纹来增加动感和艺术效果。

三角形曲折纹还可以有不同的颜色和材质。

这些因素都可以对三角形曲折纹的视觉效果产生影响。

颜色可以使三角形曲折纹更加鲜明或柔和，不同的材质可以使三角形曲折纹有不同的质感。

通过调整颜色和材质，可以进一步丰富三角形曲折纹的外观和内涵。

在艺术创作中，三角形曲折纹可以作为一种独特的元素来表达创作者的想法和意图。

在平面设计中，它可以作为背景纹理或图案来增加设计的层次感和趣味性。

在建筑设计中，三角形曲折纹可以用于立面的装饰，给建筑物带来独特的外观和风格。

在服装设计中，三角形曲折纹可以用于面料的图案设计，使服装更具时尚感和个性。

总的来说，三角形曲折纹是一种具有独特特征的纹理形态，它由一系列交叉、曲折的三角形组成。

其主要特点包括折线和曲线的组合、边界的变化性、流动感和动态感以及可以有不同的颜色和材质等。

这种纹理形态可以应用于各种设计和艺术创作中，为作品增添艺术性和独特感。

关于举办“江苏大学第五届电子设计竞赛”暨“2013年江苏省电子设计竞赛”选拔赛的通知各学院及有关单位：为培养大学生的创新能力、协作精神，配合学校“创新学分”工作的实施，加强学生动手能力和工程实践能力，提高学生针对实际问题进行电子设计、制作的综合能力，激励和引导广大学生依托专业进行科技创新，吸引、鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，为优秀人才脱颖而出创造条件。

经研究决定，我校将举办江苏大学第五届电子设计竞赛，竞赛由电气信息工程学院承办，电气学院科协、电工电子实验教学示范中心、京江学院协办。

本次竞赛在继承以往相关竞赛办法的基础上，以紧密结合教学实际、着重基础、注重前沿,与全国及江苏省电子设计竞赛接轨为目标，配合学校“创新学分”工作，本着“开拓、创新、实践”的原则，以“强基础、出精品、求创新、重实践”为宗旨，进一步加强过程的理论指导和对获奖选手的后期培养力度。

为切实组织好本次竞赛活动，学校专门成立江苏大学第五届电子设计竞赛暨2013年江苏省电子设计竞赛选拔赛组织委员会、工作组和专家评审委员会。

组委会全面负责活动的组织工作，工作组负责全面宣传发动、组织报名、作品收集和组织参赛作品的评审工作，专家评审委员会委员主要由相关专家组成，专家评审委员会负责参赛作品的评审工作。

各单位应高度重视，精心组织，充分发挥学生的积极性、主动性和创造性，调动广大师生的参与热情，通过本次活动进一步推动我校大学生创新创业教育迈向一个更高层次。

附件1:第五届电子设计竞赛暨2013年江苏省电子设计竞赛选拔赛组织实施细则附件2:《江苏大学第五届电子设计竞赛参赛报名表》附件3:《江苏大学第五届电子设计竞赛实验室使用登记表》附件4:《江苏大学第五届电子设计竞赛作品登记表》附件5:《江苏大学第五届电子设计竞赛论文写作要求》附件6：《江苏大学第五届电子设计竞赛比赛赛题》二〇一二年十二月十日主题词：电子设计竞赛通知附件1：江苏大学第五届电子设计竞赛暨2013年江苏省电子设计竞赛选拔赛组织实施细则一、组织机构主办单位：教务处校团委承办单位：电气信息工程学院协办单位：电气学院科协、电工电子实验教学中心、京江学院由校领导和教务处、校团委与电气信息工程学院的领导组成江苏大学第五届电子设计竞赛暨2013年江苏省电子设计竞赛选拔赛组委会和工作组，负责协调相关工作，电气信息工程学院负责组织实施竞赛相关活动。