变化中的三角形

北师大版初中七-九年级数学目录数学北师大版七年级上册第一章丰富的图形世界1.1生活中的立体图形1.2展开与折叠1.3截一个几何体1.4从不同方向看1.5生活中的平面图形本章综合第二章有理数及其运算2.1数怎么不够用了2.2数轴2.3绝对值2.4有理数的加法2.5有理数的减法2.6 有理数的加减混合运算2.7水位的变化2.8有理数的乘法2.9有理数的除法2.10有理数的乘方2.11有理数的混合运算2.12计算器的使用本章综合第三章字母表示数3.1字母能表示什么3.2代数式3.3代数式求值3.4合并同类项3.5去括号3.6探索规律本章综合第四章平面图形及其位置关系4.1线段、射线、直线4.2比较线段的长短4.3角的度量与表示4.4角的比较4.5平行4.6垂直4.7有趣的七巧板本章综合第五章一元一次方程5.1你今年几岁了5.2解方程5.3日历中的方程5.4我变胖了5.5打折销售"希望工程"义演5.7能追上小明吗5.8教育储蓄本章综合第六章生活中的数据6.1认识100万6.2科学记数法6.3扇形统计图6.4你有信心吗6.5统计图的选择本章综合第七章可能性7.1一定摸到红球吗7.2转盘游戏"四位数"大本章综合数学北师大版七年级下册第一章整式的运算1.1整式1.2整式的加减1.3同底数幂的乘法1.4幂的乘方与积的乘方1.5同底数幂的除法1.6整式的乘法1.7平方差公式1.8完全平方公式1.9整式的除法本章综合第二章平行线与相交线2.1余角与补角2.2探索直线平行的条件2.3平行线的特征2.4用尺规作线段和角本章综合第三章生活中的数据3.1认识百万分之一3.2近似数和有效数字3.3世界新生儿图本章综合第四章概率4.1游戏公平吗4.2摸到红球的概率4.3停留在黑砖上的概率本章综合第五章三角形5.1认识三角形5.2图形的全等5.3全等三角形5.4探索三角形全等的条件5.5作三角形5.6利用三角形全等测距离5.7探索直角三角形全等的条件本章综合第六章变量之间的关系6.1小车下滑的时间6.2变化中的三角形6.3温度的变化6.4速度的变化本章综合第七章生活中的轴对称7.1轴对称现象7.2简单的轴对称图形7.3探索轴对称的性质7.4利用轴对称设计图案7.5镜子改变了什么7.6镶边与剪纸本章综合数学北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1 探索勾股定理1.2 能得到直角三角形吗1.3 蚂蚁怎样走最近本章综合第二章实数2.1 数怎么又不够用了2.2 平方根2.3 立方根2.4 公园有多宽2.5 用计算器开方2.6实数本章综合第三章图形的平移与旋转3.1 生活中的平移3.2 简单的平移作图3.3 生活中的旋转3.4 简单的旋转作图3.5 它们是怎样变过来的3.6 简单的图案设计本章综合第四章四边形性质探索4.1 平行四边形的性质4.2 平行四边形的判别4.3 菱形4.4 矩形、正方形4.5 梯形4.6 探索多边形的内角和与外角和4.7中心对称图形本章综合第五章位置的确定5.1 确定位置5.2 平面直角坐标系5.3变化的鱼本章综合第六章一次函数6.1 函数6.2 一次函数6.3 一次函数的图象6.4 确定一次函数表达式6.5 一次函数图象的应用本章综合第七章二元一次方程组7.1谁的包裹多7.2解二元一次方程组7.3 鸡兔同笼7.4 增收节支7.5 里程碑上的数7.6 二元一次方程与一次函数本章综合第八章数据的代表8.1 平均数8.2 中位数与众数8.3 利用计算器求平均数本章综合学北师大版八年级下册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系1.2 不等式的基本性质1.3 不等式的解集1.4 一元一次不等式1.5 一元一次不等式与一次函数1.6 一元一次不等式组本章综合第二章分解因式2.1 分解因式2.2 提公因式法2.3 运用公式法本章综合第三章分式3.1 分式3.2 分式的乘除法3.3 分式的加减法3.4 分式方程本章综合第四章相似图形4.1 线段的比4.2 黄金分割4.3 形状相同的图形4.4 相似多边形4.5 相似三角形4.6 探索三角形相似的条件4.7 测量旗杆的高度4.8 相似多边形的性质4.9 图形的放大与缩小本章综合第五章数据的收集与处理5.1 每周干家务活的时间5.2 数据的收集5.3 频数与频率5.4 数据的波动本章综合第六章证明〔一〕6.1 你能肯定吗6.2 定义与命题6.3 为什么它们平行6.4 如果两条直线平行6.5 三角形内角和定理的证明6.6 关注三角形的外角本章综合学北师大版九年级上册第一章证明〔二〕1.1你能证明它们吗1.2直角三角形1.3线段的垂直平分线1.4角平分线本章综合第二章一元二次方程2.1花边有多宽2.2配方法2.3公式法2.4分解因式法2.5为什么是0.618本章综合第三章证明〔三〕3.1平行四边形3.2特殊平行四边形本章综合第四章视图与投影4.1视图4.2太阳光与影子4.3灯光与影子本章综合第五章反比例函数5.1反比例函数5.2反比例函数的图象与性质5.3反比例函数的应用本章综合第六章频率与概率6.1频率与概率6.2投针试验6.3生日相同的概率6.4池塘有多少条鱼本章综合数学北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1从梯子的倾斜程度谈起1.2 30°、45°、60°角的三角函数值1.3三角函数的有关计算1.4船有触礁的危险吗1.5测量物体的高度本章综合第二章二次函数2.1二次函数所描述的关系2.2结识抛物线2.3刹车距离与二次函数2.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象2.5用三种方式表示二次函数2.6何时获得最大利润2.7最大面积是多少2.8二次函数与一元二次方程本章综合第三章圆3.1车轮为什么做成圆形3.2圆的对称性3.3圆周角和圆心角的关系3.4确定圆的条件3.5直线和圆的位置关系3.6圆和圆的位置关系3.7弧长及扇形的面积3.8圆锥的侧面积本章综合第四章统计与概率4.150年的变化4.2哪种方式更合算4.3游戏公平吗本章综合。

三角形的外心与旋转的关系三角形的外心是指三角形的三条垂直平分线的交点，也就是三角形内接圆的圆心。

旋转是指围绕某一点旋转一个物体，使其在平面上成为一个新的位置。

三角形的外心与旋转之间存在着一定的关系。

首先，我们来看一个等边三角形。

一个等边三角形的外心恰好是它的顶点之间的垂直平分线的交点。

如果我们绕着这个外心点进行旋转，等边三角形也会跟着一起旋转。

无论旋转多少度，等边三角形的形状不会改变，因为每个角度的对称轴都通过外心点，保持了等边三角形的对称性。

其次，我们来看一个不等边三角形。

不等边三角形的外心不在三角形内部，而是在垂直平分线的延长线上。

如果我们选择以外心为中心进行旋转，不等边三角形会绕着外心点进行旋转。

不同于等边三角形，不等边三角形在旋转过程中会发生形状的变化。

旋转角度的不同，会使得不等边三角形的形状发生变化，但仍然保持了对称性。

在旋转过程中，如果我们选择以外心为中心旋转，三角形的顶点将在旋转过程中保持相对稳定的位置。

这是因为外心具有特殊的几何属性，它与三角形的顶点和垂直平分线之间存在着一定的关系。

这种关系使得在旋转过程中，三角形的顶点相对于外心点的位置基本保持不变。

我们还可以观察到一个有趣的现象：当我们以外心为中心旋转三角形时，三角形的角度大小保持不变。

这是因为旋转不会改变三角形内部的角度关系。

虽然形状会发生变化，但三角形的内部角度大小仍然保持不变，即使在整个旋转过程中。

综上所述，三角形的外心与旋转之间存在着一定的关系。

在旋转过程中，等边三角形的外心处于旋转中心的位置，保持了对称性，并且形状保持不变；不等边三角形的外心不在三角形内部，而是在垂直平分线的延长线上，三角形会绕着外心点进行旋转，并且形状会发生变化，但仍然保持了对称性。

无论是等边三角形还是不等边三角形，外心都具有特殊的几何属性，使得在旋转过程中三角形的顶点相对于外心点的位置基本保持不变。

旋转过程中，三角形的角度大小保持不变，保持了三角形内部角度关系的稳定性。

CCCCBA 6．2．变化中的三角形（教案）一、教学目标：1、 经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。

2、 能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。

3、 能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。

二、教学的重点与难点：1、教学的重点：认识关系式是表示变量之间关系的另一种方法，学会用关系式表示某些变量之间的关系。

2、教学的难点：根据关系式找自变量与因变量之间的对应关系。

三、教学过程： （一）复习引入：（二）关系式的学习： 1、想一想：如果△ABC 底边BC 上的高是6厘米。

当三角形的顶点C 沿底边BC 所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？ （1）这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 。

（2）如果三角形的底边长为 x （厘米），那么三角形 的面积 y （厘米2）可以表示为 ________________。

（3）根据三角形的底边长为 x （厘米）和三角形的面积 y （厘米2）的关系式填表：（4）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从 厘米 2变化到 厘米2。

小结： 是表示变量之间关系的另一种方法。

2、变式练习：提出问题：底面半径为r ，高为h 的圆锥的体积计算公式是 。

变式练习一：如图所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化。

(1)在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是_____________。

(2)如果圆锥底面半径为r （厘米），那么圆锥的体积V （厘米3）与 r 的关系式是____________。

(3)当底面半径由1 厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由______厘米3变化到______厘米3。

变式练习二：如图所示，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之而发生了变化。

(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________。

初中数学三角形边角关系的公式初中数学三角形边角关系的公式大全数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

下面是小编整理的初中数学三角形边角关系的公式大全，欢迎阅览。

初中数学三角形边角关系的公式1三角形边角关系(1)三角形三内角和等于180°，这个定理的证明方法有很多种(即辅助线的做法)，体现了几何中的一题多解的思维方法，这也是几何与众不同的地方。

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

(5)在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

(6)三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。

(注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠;②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半)(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.(8)三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。

注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部。

②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

(三条高的延长线交于一点，在三角形的外部)③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。

(直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。

)④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

三角形有三条边，同时又三个内角，和三个外角，这样的说法就是正确的。

关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

莱洛三角形绕自己转的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:莱洛三角形是一种特殊的几何形状，具有独特的特性和性质。

在本文中，我们将探讨莱洛三角形绕自身旋转的过程，并分析其在旋转过程中形成的面积变化。

通过研究莱洛三角形的面积变化规律，我们可以更深入地理解几何学中的相关概念，并探讨其在实际生活和科学研究中的应用价值。

本文旨在通过对莱洛三角形的面积计算方法进行探讨，为读者展示一种新颖的数学思维方式，并激发对几何学和数学的兴趣。

1.2 文章结构本文将首先介绍莱洛三角形的基本定义和性质，包括其特殊的形状和构造方式。

接着，将详细描述莱洛三角形绕自身旋转的过程，探讨其在空间中的运动规律和变化特点。

最后，将介绍一种有效的方法来计算莱洛三角形绕自身旋转时形成的曲面的面积，以便读者能够更直观地理解和应用这一概念。

通过这些内容的展示，读者将对莱洛三角形绕自身转动的面积有一个清晰的认识，同时也能够更深入地理解其在几何学和工程学领域中的应用和意义。

1.3 目的本文旨在探讨莱洛三角形绕自身转动时所覆盖的面积，并深入研究这一几何问题的计算方法和应用。

通过对莱洛三角形的定义、旋转过程以及面积计算方法的详细介绍，旨在帮助读者更好地理解这一几何概念，并为后续相关研究提供参考。

同时，本文也旨在引起读者对几何形体旋转运动的兴趣，展示数学几何在现实生活中的丰富应用价值。

通过本文的研究，可以进一步探讨莱洛三角形的特性以及其在几何学和工程学中的实际应用，促进相关领域的学术交流和发展。

2.正文2.1 莱洛三角形的定义莱洛三角形，也称为雷洛三角形，是一种特殊的三角形。

它的特点在于，三角形的三个顶点分别位于一个正方形的三条边上，且与正方形的一个角相接。

这种三角形由纽约大学的艺术家阿奇姆•雷洛（Archim Lo）首次提出，并且被广泛应用于数学和艺术领域。

莱洛三角形可以看作是正方形上的一种特殊构造，通过将正方形的三个顶点连接起来形成的三角形。

七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形2．展开与折叠3．截一个几何体4．从不同方向看（改名为：从三个方向看物体的形壮）5．生活中的平面图形（删除）第二章有理数及其运算1．数怎么不够用了（改名为：有理数）2．数轴3．绝对值4．有理数的加法5．有理数的减法6．有理数的加减混合运算7．水位的变化（删除）8．有理数的乘法9．有理数的除法10．有理数的乘方11．有理数的混合运算12．计算器的使用（改名为：用计算器进行计算）（移来科学计数法）第三章字母表示数（标题改为整式及其加减）1．字母能表示什么（改名为字母表示数）2．代数式3．代数式求值（2、3合并称代数试）4．合并同类项5．去括号（4、5合称整式的加减）6．探索规律第四章平面图形及其位置关系（标题改为：基本平面图形）1．线段、射线、直线2．比较线段的长短3．角的度量与表示（改名为：角）4．角的比较5．平行（移走）6．垂直（移走）7．有趣的七巧板（移走）8．图案设计（移走）（增加：多边形和圆的初步认识）第五章一元一次方程1．你今年几岁了（改名为：认识一元一次方程）2．解方程（改名为：求解一无一次方程）3．日历中的方程（删除）4．我变胖了（改名为水箱变高了）5．打折销售6．“希望工程”义演7．能追上小明吗（改名为：追赶小明）8．教育储蓄（删除）第六章生活中的数据（移走）1．100 万有多大2．科学记数法（移至新七下2.12）3．扇形统计图（移至新七下6.4）4．月球上有水吗（？）5．统计图的选择（移至新七下5.4）第七章可能性（移走？）1．一定摸到红球吗2．转盘游戏3．谁转出的四位数大课题学习制成一个尽可能大的无盖长方体移来：第六章数据的收集与整理1.数据的收集（来自老八下5.2）2.普查和抽样调查（？）3.数据的表示（？）4.统计图的选择（来自老七上6.5）七年级下册第一章整式的运算1．整式（移至七上3.3）2．整式的加减（移至七上3.4）3．同底数幂的乘法4．幂的乘方与积的乘方5．同底数幂的除法6．整式的乘法7．平方差公式8．完全平方公式9．整式的除法第二章平行线与相交线1．台球桌面上的角（好像是改为：两条直线的位置关系？）2．探索直线平行的条件3．平行线的特征4．用尺规作线段和角（改名为；用尺规作图？）第三章生活中的数据（删除？）1．认识百万分之一2．近似数和有效数字3．世界新生儿图课题学习制作“人口图”第四章概率（全移走，改为本册6.3）1．游戏公平吗2．摸到红球的概率3．停留在黑砖上的概率第五章三角形1．认识三角形2．图形的全等3．图案设计（删除）4．全等三角形（删除）5．探索三角形全等的条件6．作三角形（改名为：用尺规作三角形）7．利用三角形全等测距离8．探索直角三角形全等的条件（删除，可能是容入本章5.5）第六章变量之间的关系1．小车下滑的时间2．变化中的三角形3．温度的变化4．速度的变化本章另分别更名为：1．用表格表示的变量间关系2..用关系式表示的变量间关系3．用图象表示的变量间关系第七章生活中的轴对称1．轴对称现象2．简单的轴对称图形（删除）3．探索轴对称的性质4．利用轴对称设计图案（改我为：利用轴对称进行设计5．镜子改变了什么（删除）6．镶边与剪纸（删除）多出了：简单的轴对称图形移来：（本册4章并删减）第六章频率与概率1. 感受可能性2. 频率的稳定性3. 等可能事件的概率八年级上册第一章勾股定理1．探索勾股定理2．能得到直角三角形吗（改名为：一定是直角三角形吗3．蚂蚁怎样走最近（勾股定理的运用）第二章实数1．数怎么又不够用了（改名为：认识无理数）2．平方根3．立方根4．公园有多宽（改名为：估算）5．用计算器开方6．实数增加“二次根式”标题第三章图形的平移与旋转（全章移至8下了，并做了改动）1．生活中的平移2．简单的平移作图（删除）3．生活中的旋转4．简单的旋转作图（删除）5．它们是怎样变过来的改名为：中心对称图形6．简单的图案设计第四章四边形性质探索1．平行四边形的性质2．平行四边形的判别3．菱形4．矩形、正方形5．梯形（3、4、5移至九上更名为：特殊的平行四边形）6．探索多边形的内角和与外角和（删除，去哪儿了？）7．平面图形的密铺（删除）8．中心对称图形（移至新八下3.3）另补标题：三角形的中位线第五章位置的确定（只是从本册放后了点）1．确定位置2．平面直角坐标系3．变化的鱼（改名为：轴对称与坐标变化）第六章一次函数1．函数2．一次函数（2更名为一次函数与正比例函数）3．一次函数的图象4．确定一次函数表达式（删除，去了“二元一次方程组”了）5．一次函数图象的应用第七章二元一次方程组1．谁的包裹多更名为：认识二元一次方程组2．解二元一次方程组3．鸡兔同笼4．增收节支5．里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数增加“用二元一次方程组确定一次函数表达式”增加“三元一次方程组”第八章数据的代表更名为数据的分析1．平均数2．中位数与众数3．利用计算器求平均数（删除）增加（变自老八5.2方差）3．从统图分析数据的集中趋势4．数据的离散程度八年级下册移来了九上的：证明二移来了八下的：图形的平移与旋转并做了改动第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系2．不等式的基本性质3．不等式的解集4．一元一次不等式5．一元一次不等式与一次函数6．一元一次不等式组第二章相似图形（移至九上了）1．线段的比（改名为：成比例线段）2．黄金分割3．形状相同的图形（删除）4．相似多边形5．相似三角形6．探索三角形相似的条件（改名为相似三角形的判定）7．测量旗杆的高度8．相似多边形的周长比面积比（删除）9．图形的放大与缩小补了个“平行线分线段成比例”第三章分解因式1．分解因式改名为：因式分解2．提公因式法3．运用公式法第四章分式1．分式（改名为认识分式）2．分式的乘除法3．分式的加减法4．分式方程第五章数据的收集与处理（（移走））1．每周干家务活的时间2．数据的收集3．频数与频率4．数据的波动课题学习吸烟的危害增加：第六章证明（一）（移走）1．你能肯定吗2．定义与命题3．为什么它们平行4．如果两条直线平行5．三角形内角和定理的证明6．关注三角形的外角增加：第六章平行四边形1．平行四边形的性质2．平行四边形的判别3．三角形的中位线九年级上册（移来“相似”了）第一章证明（二）（移走）1．你能证明它们吗2．直角三角形3．线段的垂直平分线4．角平分线移来：第一章特殊的平行四边形1．菱形的性质与判定2．矩形的性质与判定3．正方形的性质与判定第二章一元二次方程1．花边有多宽更名为：认识一元二次方程2．配方法3．公式法4．分解因式法5．为什么是0.618更名为：识一元二次方程的应用第三章证明（三）（移走）1．平行四边形2．特殊平行四边形第四章视图与投影1．视图2．太阳光与影子3．灯光与影子2、3合并改为“投影”其实是平行投影和中心投影合并第五章反比例函数1．反比例函数2．反比例函数的图象与性质3．反比例函数的应用第六章频率与概率1．频率与概率2．投针实验3．池塘里有多少条鱼第六章删除改为（？）第六章对概率的进一步研究1．游戏公平吗2．投针实验3．生日相同的概率九年级下册第一章直角三角形的边角关系1．从梯子的倾斜程度谈起2．30o，45o，60o 角的三角函数值3．三角函数的有关计算4．船有触礁的危险吗第二章二次函数1．二次函数所描述的关系2．结识抛物线3．刹车距离与二次函数4．二次函数的图象5．用三种方式表示二次函数6．何时获得最大利润7．最大面积是多少8．二次函数与一元二次方程第三章圆1．车轮为什么做成圆形2．圆的对称性3．圆周角和圆心角的关系4．确定圆的条件5．直线和圆的位置关系6．圆和圆的位置关系7．弧长及扇形的面积8．圆锥的侧面积第四章统计与概率1．50 年的变化2．哪种方式更合算3．游戏公平吗第四章删除改为（？）第四章统计与概率1．视力的变化2．生活中的概率3．统计与概率的应用明显优化了一：主体内容没发生变化，增加了“三元一次方程组”北师大特别的一小点二：在相似中多了“平行线分线段成比例定理”并从八下缩到九上去了。

利⽤“旋转变换”解决三⾓形中的最值问题本⽂题⽬摘⾃'初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总'本系列⽂章摘⾃“初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总”PDF书，该书是《初中数学典型题思路分析》书的新增赠送内容之⼀！买全套典型题思路分析书赠送内容达300G.特⾊资料如下：1、《初中数学解题思路⽅法⼤汇总》2、《初中数学动点问题思路⽅法⼤汇总》3、《初中数学典型超级易错题》4、《初中⼏何典型解题模型》以上pdf⽂件均包含典型例题分析.qq群1：453495932（已满），qq群2：994823340群⽂件分享过该系列⽂章⽂档！点击⽂末左下⾓”阅读原⽂“进⼊微店查看！所谓“动点问题”是指图形中有⼀个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的⼀类开放性题⽬，⽽解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运⽤相关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路．数学压轴题正逐步转向数形结合、动态⼏何、动⼿操作、实验探究等⽅向，加强了对⼏何图形运动变化的考核，从变化的⾓度来研究三⾓形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究⼿段和⽅法来探究图形性质及变化．让学⽣经历探索的过程，培养学⽣分析问题、解决问题的能⼒，把运动观点、⽅程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想有机地结合起来．利⽤“三点共线”解决最值问题典型例题未完，更多内容见《初中数学典型题思路分析》的附赠资料《初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总》.利⽤“旋转变换”解决最值问题【典型例题1】难度★★【思路分析】构造包含所求线段的三⾓形，通过三边关系求解；解直⾓三⾓形求出AB 、BC ，再求出CD ，连接CG ，根据直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半求出CG ，然后根据三⾓形的任意两边之和⼤于第三边判断出DC 有最⼤值再代⼈数据进⾏计算即可得【答案解析】解：待续...《初中数学典型题思路分析》书，全套7册共14本书（七上—九下+综合）；每册分解析版和原题版；有和教材同步的多个版本可选。

a60第4题图NPOA第六讲：三角形知识梳理知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。

它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。

另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。

三角形中有三条边，三个角，三个顶点。

重点：三角形分类的依据 难点：三角形分类的划分 （1）(2)例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、正三角形 解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。

答案B练习：如图，已知OA ＝a ，P 是射线ON 上一动点（即P 可在射 线ON 上运动），∠AON ＝600，填空： （1）当OP ＝时，△AOP 为等边三角形；（2）当OP ＝时，△AOP 为直角三角形；（3）当OP 满足时，△AOP 为锐角三角形； （4）当OP 满足时，△AOP 为钝角三角形。

答案：（1）a ；（2）a 2或2a ；（3）2a ＜OP ＜a 2；（4）0＜OP ＜2a或OP ＞a 2重点：掌握三角形三条重要线段的概念 难点：三角形三条重要线段的运用三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。

这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。

并且对这三条线段必须明确三点： （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。

（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。

而三角形的高线在当△ABC 是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。

（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。

三角形理论模型
三角形理论模型是一种用来描述社会关系的模型，它把社会关系比喻成一个三角形，每个角代表一种关系，比如父母与孩子的关系，朋友之间的关系，甚至是领导与下属之间的关系。

三角形理论模型的核心思想是，社会关系是一种相互依存的关系，每个角都是相互依存的，如果其中一个角发生变化，整个三角形都会受到影响。

比如，父母与孩子之间的关系，如果父母发生变化，孩子也会受到影响，反之亦然。

三角形理论模型的另一个重要思想是，社会关系是一种动态的关系，它不断发生变化，每个角都会受到影响。

比如，父母与孩子之间的关系，随着孩子的成长，父母与孩子之间的关系也会发生变化，父母会更加关心孩子，孩子也会更加尊重父母。

三角形理论模型的最后一个重要思想是，社会关系是一种复杂的关系，它不仅仅是一个三角形，而是一个复杂的网络，
每个角都会受到其他角的影响，比如父母与孩子之间的关系，孩子的朋友也会影响父母与孩子之间的关系。

总之，三角形理论模型是一种有效的描述社会关系的模型，它把社会关系比喻成一个三角形，每个角代表一种关系，它把社会关系描述成一种相互依存的关系，一种动态的关系，一种复杂的网络。

它可以帮助我们更好地理解社会关系，更好地处理社会关系，从而更好地发展社会关系。

三角形整理形态包括上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种形态。

三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分 为对称、上升、下降三种形态。

三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形；如果上 方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形；如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三角形整理形态称之 为下降三角形。

一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。

一、三角形整理的定义三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分为对称、上升、下降三种形态。

三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形；如果上方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形；如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三角形整理形态称之为下降三角形。

一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。

在很多情况下，三角形态都不能事 先确定股价的波动方向，其突破是否有效取决于两个方面：其一是向上突破必须有成交量的配合，向下突破不一定要有量的配合；其二是三角形突破只有在从起点至 终点(末端)的大约三分之二处发生突破，才会有效或具有相当的突破力度，股价若运行至末端才出现突破，其突破往往不会有效或缺乏力度。

二、三角形整理形态的种类主要包括：上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种。

2.1、 上升三角形上升三角形是众多盘整形态中的其中一种，是一种持续形态，即后市依然会延续先前趋势。

上升三角形2.2、 下降三角形。

下降三角形同上升三角形正好反向，是看跌的形态。

它的基本内容同上升三角形可以说完全相似，只是方向相反。

下降三角形2.3、 底部三角形它的形成 与下降三角形相同，不同地是：1、所处的 位置不同。

引言概述：三角形是几何学中最基本的形状之一，有着广泛的应用。

在本文中，我们将继续探讨三角形的变化和性质。

通过对三角形的不同变形和相关理论的介绍，我们可以更好地理解这一重要几何图形的特点和应用。

正文内容：一、特殊三角形的性质1.等边三角形的特点2.等腰三角形的性质及其相关定理3.直角三角形的性质和勾股定理4.锐角三角形和钝角三角形的性质5.不等边三角形的性质及其相关定理二、三角形的顶点位置变化1.顶点位置对三角形性质的影响2.顶点位置变化的三角形分类3.顶点位置变化对三角形角度的影响4.顶点位置变化对三角形边长的影响5.顶点位置变化对三角形面积的影响三、三角形的边长比例变化1.边长比例对三角形形状的影响2.边长比例变化的三角形分类3.边长比例变化对三角形角度的影响4.边长比例变化对三角形顶点位置的影响5.边长比例变化对三角形面积的影响四、三角形的角度变化1.角度变化对三角形性质的影响2.角度变化的三角形分类3.角度变化对三角形边长的影响4.角度变化对三角形顶点位置的影响5.角度变化对三角形面积的影响五、三角形的面积性质1.三角形面积的计算公式2.基本三角形面积性质的证明3.三角形面积相关性质的应用4.三角形面积的类比问题5.三角形面积的实际应用总结：通过对不同类型的三角形的变化和性质进行详细讨论，我们可以更好地理解三角形的特点和应用。

特殊三角形的性质、顶点位置、边长比例和角度的变化以及三角形的面积性质都是我们深入探索和应用三角形的重要方面。

对于几何学的学习和实际问题的分析，深入了解三角形的变化和性质将大有裨益。

高中数学德尔塔在高中数学学习中，德尔塔(Δ)是一个非常重要的符号，它代表着"差"、"改变量"、"增量"等概念，在不同的数学题型中都有很重要的作用。

以下是围绕"高中数学德尔塔"的详细介绍。

一、基本概念德尔塔(Δ)是一个希腊字母，代表着一个量的增量、变量、差距等概念。

在高中数学中，我们经常使用Δ符号表示某个量的差距或变化。

二、应用1.Δ在函数的应用中在函数中，Δx表示自变量x的变化量，Δy表示因变量y的变化量。

Δy/Δx表示函数的导数或斜率，即表示函数在x处的变化快慢程度。

这种变化量的概念往往应用在函数的极限、微分、积分、泰勒公式等高级数学学科中。

2.Δ在三角形中的应用在三角形中，Δ常常代表着三角形的面积，其公式为Δ=1/2×底×高。

这个公式在很多三角形的面积问题中都有应用。

3.Δ在物理学中的应用在物理学中，Δ常常是指某物理量的变化量，比如位移、速度、加速度的变化量，它们都是通过Δ的概念来进行计算。

三、应用技巧1.应用方程式解题在很多问题中，Δ的概念会出现在方程式中，通过应用方程式并解出未知变量，我们可以求出Δ的值。

比如在三角形面积的公式中，如果我们知道了底和高，那么通过应用方程式便可以求出Δ。

2.利用几何知识解题在三角形面积、体积等问题中，往往会涉及到利用几何知识求解，通过构造图形、利用三角形形状来计算Δ的值。

3.应用物理量解题在物理学中，Δ的概念往往以物理量的形式出现，比如速度的变化量，位移的变化量等等。

通过应用物理公式进行计算，我们可以求出Δ的具体值。

总之，德尔塔(Δ)在高中数学学习中有着广泛的应用，它不仅在数学中有着重要的意义，还在物理学、工程学、金融学等学科中都有着应用。

掌握Δ概念的应用技巧，可以帮助我们更加熟练地解决各种数学问题。

【三角形重心外心垂心欧拉线】-图解初中数学任何三角形都存在一条神奇的欧拉线, 它跟三角形的一些特殊点紧密相关. 在解开欧拉线面纱之前, 让我们先来看看三角形内这些特殊的点都是什么吧.第一个特殊点: 重心(The Centroid)找出重心的方法就是先做出各条边上的中点, 再与相应的顶点连线- 这就是三角形中线. 三条中线会交于一点. 我们可以拖动下面图中顶点, 尝试其他不同的三角形, 但无论怎样变化, 看起来所有的三角形的三条中线都相较于一点 G 上. 这个交点称为质量中心, 即重心.注: AG: GE = 2:1 , 其他两条中线也是这样.第二个特殊点: 外心(Circumcenter)外心, 就是经过这3 个顶点的圆的圆心, 有时它会被用来解决现实中的某些问题 - 比如在三个小区中间修建一个公交站, 要求做到距离这三个小区路程相等.当外心在三角形某条边上的时候, 该三角形是直角三角形; 当外心移到三角形外的时候, 那么就为钝角三角形了.第三个特殊点:垂心(Orthocenter)这次让我们来从三个顶点作垂线, 可以看到三边的高也是交于一点, 这个点就是三角形垂心, 通常用字母 H 来表示. 也可以观察下图看看是否仅仅为巧合.可以尝试将垂心移动与任何一个顶点重合, 可以看到会变成直角三角形; 或者也可以把垂心移到三角形外试试看, 观察这时候三角形为钝角三角形, 不过怎样变化三条高还是相交于垂心一点.欧拉线(The Euler line)上面就是我们看到的第三个巧合了. 我们有三个不同点: 重心, 外心和垂心, 它们之间存在着非常特殊的位置关系, 观察下面的图像, 看看这3 个点是否总是在一条直线上.不论我们怎样调整三角形, 这三个点总是成一条直线, 这条直线, 称为"欧拉线".注: 莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此外三角形还有另外一个特殊点 - 内心, 它跟这条欧拉线上有没有什么位置关系呢?第四个特殊点: 内心(incenter)内心就是三角形的内切圆的圆心, 可以看到下面图形中的圆与各边相切.那么问题来了, 内心也在欧拉线上吗? 我们可以努力进行各种尝试.但观察到内心一般都不会在同一条直线, 除非当三角形为等腰三角形. 实际上在这个情况下, 欧拉线, 中线, 垂线, 垂直平分线重合在一起, 也与顶点 C 的平分线重合. 如果是三角形为等边三角形呢? 其实这些特殊点就完全重合在一起啦.上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解初中数学例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他初中数学相关概念的动图.因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列. 感谢关注! Thanks!。