完整word版,高中数学抛物线教案

高中数学选修2 抛物线教案一、教学内容本节课选自高中数学选修2第三章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。

具体内容包括：抛物线的定义、标准方程、图形及性质；抛物线焦点、准线、对称轴等相关概念；抛物线在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、标准方程及图形性质。

2. 学会利用抛物线的性质解决实际问题。

3. 培养学生的几何想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程及图形性质。

难点：抛物线焦点、准线、对称轴等概念的理解及其应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规。

2. 学具：练习本、铅笔、直尺、圆规。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中的抛物线实例，如篮球投篮、卫星通信等，引导学生发现抛物线的特点。

2. 知识讲解（10分钟）（1）抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）的距离等于到一条直线（准线）的距离的点的轨迹。

（2）抛物线的标准方程：y^2=2px、x^2=2py。

（3）抛物线的图形性质：开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线等。

3. 例题讲解（15分钟）（1）求解抛物线y^2=8x的焦点和准线。

（2）已知抛物线x^2=12y，求顶点坐标、对称轴及焦点坐标。

4. 随堂练习（5分钟）（1）求抛物线y^2=4x的焦点和准线。

（2）已知抛物线x^2=6y，求顶点坐标、对称轴及焦点坐标。

5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 定义：平面上到一个定点（焦点）的距离等于到一条直线（准线）的距离的点的轨迹。

2. 标准方程：y^2=2px、x^2=2py。

3. 图形性质：开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线。

4. 例题及解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线x^2=16y的焦点和准线。

（2）已知抛物线y^2=10x，求顶点坐标、对称轴及焦点坐标。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，使学生掌握了抛物线的定义、标准方程、图形性质等基本概念。

抛物线教案完整篇引言本教案旨在帮助学生理解和掌握抛物线的基本概念和性质。

通过本教案的研究，学生将能够解决与抛物线相关的问题，并应用抛物线的知识进行实际推理和分析。

教学目标- 理解抛物线的定义和特点- 掌握抛物线的标准方程和顶点形式- 能够绘制给定抛物线的图像- 了解抛物线在实际生活中的应用，并能够应用抛物线解决相关问题教学内容1. 抛物线的定义和特点- 抛物线的定义- 抛物线的焦点和准线- 抛物线的对称性和轴线2. 抛物线的表示形式- 抛物线的标准方程- 抛物线的顶点形式3. 绘制抛物线的图像- 根据给定的方程绘制抛物线的图像- 理解抛物线图像的特点和形状4. 抛物线的应用- 抛物线在物体运动中的应用- 抛物线在桥梁和建筑设计中的应用- 解决与抛物线相关的实际问题教学方法- 讲解：通过课堂讲解介绍抛物线的定义、特点和相关概念。

- 案例分析：通过分析实际案例，引导学生理解抛物线的应用场景。

- 问题解答：提供一系列与抛物线相关的问题，让学生进行思考和解答。

- 实践操作：通过绘制抛物线的图像和解决实际问题，加深学生对抛物线的理解和掌握。

教学评估- 完成课堂练：检查学生对抛物线定义、特点和方程的掌握情况。

- 解决实际问题：要求学生应用抛物线知识解决一些实际问题。

- 课堂讨论：鼓励学生在课堂上主动参与讨论，分享自己的思考和理解。

教学资源- 抛物线的相关课件和教学PPT- 抛物线的绘图工具和实际应用案例教学扩展- 进一步探索抛物线的性质和变形，如离心率和焦点运动轨迹等。

- 探究其他曲线的性质和应用，如椭圆、双曲线等。

总结通过本节课的学习，学生将能够全面理解抛物线的定义、特点和表示形式，掌握绘制和解决抛物线相关问题的方法，并了解抛物线在实际生活中的应用。

这将为他们进一步学习数学和应用数学打下坚实的基础。

《抛物线及其标准方程》教学设计一、教学内容分析解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，它是通过建立平面直角坐标系，将平面上的点与一个有序实数建立了一一对应的关系，从而体现了形与数的统一与转化。

圆锥曲线是解析几何的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。

本节的主要内容是抛物线的概念和抛物线的标准方程。

抛物线标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换。

而要得到标准方程，必须适当建立坐标系，抛物线作为“无心”的二次曲线(圆、椭圆、双曲线都是有心的二次曲线)，方程对坐标系的依赖关系有其独特的地方。

抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系，这是抛物线标准方程有四种形式而不是两种形式的内在原因(椭圆、双曲线只有两种形式的标准方程)。

因此，对抛物线标准方程的推导是培养辩证唯物主义观点的好素材二、学情分析：“抛物线及其标准方程”一节，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用，学生已经学习了椭圆、双曲线的定义，经历了根据他们的几何特征，建立适当坐标系的过程，与它们类比，弄清抛物线上的点所满足的几何条件，也可建立适当的坐标系，进而推出标准方程，这一步骤让学生自行完成，提高他们探究问题的能力。

三、教学目标1.知识与技能通过学习掌握抛物线定义和抛物线四种形式标准方程;在此过程中培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力.领会求抛物线标准方程的步骤，特别是领会建立适当的坐标系的思路.掌握用待定系数法求抛物线标准方程.2.过程与方法采用小组实验和多媒体演示抛物线轨迹生成的动画来引入本节内容，容易吸引学生，调动学生学习的积极性和兴趣。

在讲授抛物线的定义及求标准方程的过程时，采用互动的方法，让学生大胆发言、大胆尝试再进行比较，引导学生准确理解定义和掌握最佳建系方法。

高中抛物线数学教案
主题：抛物线
一、教学目标：
1. 理解抛物线的定义和性质；
2. 掌握抛物线的标准方程及相关计算方法；
3. 熟练运用抛物线相关知识解决实际问题。

二、教学重点和难点：
重点：抛物线的定义、标准方程及相关性质；
难点：抛物线的几何意义及应用问题的解决。

三、教学过程：
1. 导入新知识（5分钟）
通过展示抛物线的图片和实际应用场景，引导学生了解抛物线的形态和特点。

2. 学习抛物线的定义和性质（15分钟）
讲解抛物线的定义，并介绍抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质，让学生理解抛物线的基本概念。

3. 学习抛物线的标准方程（20分钟）
教师讲解抛物线的标准方程及其推导过程，让学生掌握如何根据给定的抛物线特点确定其标准方程。

4. 练习抛物线相关计算（20分钟）
让学生通过练习题目，熟悉抛物线的计算方法，包括焦点、顶点、焦距等的计算。

5. 解决实际问题（15分钟）
通过实际应用问题的讨论与解答，引导学生灵活运用抛物线知识解决实际问题，并培养学生的数学建模能力。

6. 总结和作业布置（5分钟）
对抛物线相关知识进行总结，并布置相关练习作业，巩固学生的学习成果。

四、教学手段：
1. 教师讲解；
2. 课堂练习；
3. 实际应用问题讨论。

五、教学反思：
本节课主要围绕抛物线的定义、标准方程及相关计算展开，注重培养学生的问题解决能力和建模能力。

通过实践与讨论，让学生真正理解抛物线的几何意义和应用价值，为他们的数学学习打下坚实基础。

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的第二节《抛物线》。

详细内容包括：1. 抛物线的定义与标准方程；2. 抛物线的简单几何性质；3. 抛物线的焦点、准线及其应用；4. 实践活动中抛物线的绘制。

二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；2. 培养学生运用抛物线的焦点、准线解决实际问题的能力；3. 激发学生学习兴趣，培养空间想象力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程、简单几何性质及焦点、准线。

难点：抛物线焦点、准线的求解与应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 引入：通过展示生活中抛物线的实例（如抛物线运动、拱桥等），引出本节课的主题——抛物线。

2. 新课导入：讲解抛物线的定义，引导学生观察抛物线的特点，推导抛物线的标准方程。

3. 知识讲解：（1）抛物线的定义与标准方程；（2）抛物线的简单几何性质；（3）抛物线的焦点、准线及其应用。

4. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线的焦点、准线；（3）抛物线在实际问题中的应用。

5. 随堂练习：针对例题进行变式训练，巩固所学知识。

6. 实践活动：分组讨论，利用学具绘制抛物线，观察抛物线的性质，加深对知识的理解。

六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 简单几何性质：对称性、开口方向、顶点、渐近线；4. 焦点、准线：F（p,0），x=p；5. 例题与解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）求抛物线x^2=4y的顶点、对称轴；（3）抛物线y^2=4x与直线y=2x+1相交，求交点坐标。

2. 答案：（1）焦点F（2,0），准线x=2；（2）顶点（0,0），对称轴y轴；（3）交点（2,5）。

抛物线教学设计抛物线优质教案一、教学内容本节课选自高中数学教材第二册第四章第四节《抛物线》，详细内容包括：1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 抛物线在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程；2. 能够分析抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 学会运用抛物线知识解决实际问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线的性质及其在实际问题中的应用；2. 教学重点：抛物线的定义、标准方程及性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入：利用多媒体展示抛物线在实际生活中的应用，如篮球投篮、抛物线运动等，引导学生观察并思考抛物线的特点。

2. 例题讲解：（1）抛物线的定义及标准方程；（2）抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；（3）抛物线在实际问题中的应用。

3. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线，并给出理由；（2）求抛物线 y = 2x^2 + 4x + 3 的顶点、对称轴、焦点和准线；（3）已知抛物线的顶点为（1, 3），过顶点的直线与抛物线相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。

4. 小组讨论：学生分组讨论，共同解决随堂练习中的问题，教师巡回指导。

六、板书设计1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质；3. 例题解答步骤；4. 随堂练习解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线 y = x^2 + 4x + 5 的顶点、对称轴、焦点和准线；（2）已知抛物线的焦点为（2, 0），求抛物线的标准方程；（3）抛物线 y = 2x^2 + 4x 3 与直线 y = x + 1 相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。

2. 答案：（1）顶点：（2, 9），对称轴：x = 2，焦点：（2, 3），准线：y = 3；（2）抛物线的标准方程：y = 4(x 2)^2；（3）中点C的坐标：（1/2, 7/4）。

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。

具体内容包括：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。

二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、性质和标准方程。

2. 能够运用抛物线的性质解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质和标准方程。

难点：抛物线标准方程的推导及其在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线实例，如拱桥、篮球抛物线等，引导学生思考抛物线的性质和用途。

2. 基本概念：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的起源，引导学生理解抛物线的定义。

（2）抛物线的性质：通过动画演示，让学生观察抛物线的对称性、顶点、焦点等性质。

（3）抛物线的标准方程：引导学生根据性质推导出抛物线的标准方程。

3. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程。

（2）已知抛物线上一点，求该点处的切线方程。

4. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线。

（2）求下列抛物线的标准方程。

5. 应用拓展：（1）抛物线在实际问题中的应用。

（2）抛物线与圆、直线等图形的位置关系。

六、板书设计1. 定义、性质、标准方程。

2. 例题解答步骤。

3. 课后作业及答案。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列抛物线的标准方程：① y²=4x；② x²=4y；③ y²=8x；④ x²=8y。

（2）已知抛物线y²=4x上一点（1，2），求该点处的切线方程。

2. 答案：（1）① y²=4x，焦点（1，0），顶点（0，0）；② x²=4y，焦点（0，1），顶点（0，0）；③ y²=8x，焦点（2，0），顶点（0，0）；④ x²=8y，焦点（0，2），顶点（0，0）。

抛物线（第1课时）教案一、教学内容分析本节课是人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学选修2-1》第二章“圆锥曲线与方程”的起始课．解析几何的教学，一方面，应从几何角度关注图形，认识图形的几何特征；另一方面，要建立代数方程，用代数工具研究几何性质．在这一章的教学中，我们在引入代数工具研究圆锥曲线之前，让学生首先充分认识图形，尽可能充分地感受并发现几何特征，进而体会解析几何数形结合、几何与代数并重的特点．考虑到抛物线的形状学生比较熟悉，其代数方程形式也相对简单，我们将抛物线作为研究的第一种圆锥曲线．本节课是抛物线的第1课时，也是圆锥曲线这一章的起始课，主要内容是借助几何绘图软件，探索抛物线的轨迹，引出抛物线的定义，直观感受、发现抛物线的几何特征．在这个过程中，学生学习和运用轨迹交点法，提升作图能力，感悟解决问题的策略．我们将在第2，3课时建立坐标系求抛物线的方程、研究性质、完善并证明第一节课发现的几何特征．二、学生情况分析学生在初中阶段学习过一些特殊的轨迹，有一定的作图能力；初步了解几何绘图软件Geogebra，能根据需要进行简单操作．另外，授课班级的学生具有较强的求知欲，思维活跃，能积极参与数学活动和交流讨论．三、教学目标设置根据教学内容，以及学生现有的认知水平和能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：1.了解抛物线的定义，感知抛物线的几何特征；2.运用轨迹交点法，经历探索抛物线轨迹的过程，提高作图能力和分析问题、解决问题的能力；3.通过合作学习，感受数学探索的快乐．本节课的教学重难点是：依据抛物线的定义画出轨迹．四、教学策略分析本节课以探究合作为主要的学习方式，教学过程分为“复习旧知，提炼作图方法”，“应用方法，合作探索轨迹”，“明确定义，感知几何特征”，“交流总结，提出思考问题”四个环节．为了突破难点，落实重点，采取了以下措施：首先，让学生使用几何绘图软件Geogebra 画出“到两定点距离相等的点的轨迹”，并总结出利用轨迹交点法得到轨迹的基本步骤．其次，在此基础上，再让学生利用软件，用不同方法得出抛物线的完整轨迹．随即，让学生在纸上作出抛物线草图，进一步加深对抛物线的直观认识．最后，让学生分享从中发现的抛物线的几何特征，也为后续课程的学习打好基础．本节课的效果评价以当堂反馈为主，学生通过上台展示分享，体现探索的成果；每位学生在纸上作出抛物线的草图，落实本节课的教学要求．教师还将通过思考题继续激发学生的探究热情．五、教学过程环节一：复习旧知，提炼作图方法预设形式预案设计意图【复习】回顾有关轨迹的问题：（1）平面内，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么？(答：以定点为圆心，定长为半径的圆)（2）平面内，到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？(答：平行于这条直线，并和已知直线距离为定长的两条直线)（3）平面内，到两个定点距离相等的点的轨迹是什么？(答：两个定点连线的垂直平分线)【活动一】请利用图形计算器，探索：平面内，到两个定点的距离相等的点的轨迹.1，以A为圆心，r为半径作圆2，以B为圆心，r为半径作圆3，作出两圆交点，即为所求轨迹上的点4，改变r的值，形成轨迹【总结方法】利用轨迹交点法得到轨迹的步骤：当知道轨迹上的点满足的两个条件时，可以采用这样的方法得到轨迹：第一步，作出满足一个条件的点的轨迹教师提问和展示，学生口答．学生在图形计算器上探索，并分享得到轨迹的过程．学生能顺畅回答．教师可适当规范表述．若学生通过找到两点直接连线得轨迹，则提示其思考如何得到更多的点，来验证轨迹是一条直线．通过回顾已认识的一些轨迹，引出要探索的新问题，也为后面问题的解决奠定基础．通过活动一，让学生在操作中学习如何利用轨迹交点法得到轨迹．为后续探索作准备．【活动二】探索：平面内，到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是什么？（如图）Fl预案一：圆与平行线的交点1，作出与定直线平行，且距离为r的两条直线．2，作出以定点为圆心，以r为半径的圆．3，平行线与圆的交点就是所求轨迹上的点．4，改变r的值，追踪点的位置变化，得到轨迹．预案二：中垂线与垂线的交点1.在定直线上任找一点H，以H为垂足作定直线的垂线2.作定点和点H连线的垂直平分线3.垂线和垂直平分线的交点即为所求轨迹上的点4.改变H的位置，追踪点的位置变化，得到轨迹【定义】平面内，与一个定点F和一条定直线l(F l )距离相等的点的轨迹，叫做抛物线．其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．辨析：若定点在定直线上时，则所求轨迹（轨迹为：过定点的已知直线的垂线）不是抛物线【活动三】在纸上画出已知焦点和准线的抛物线．。

教学目标：1. 让学生理解抛物线的定义和性质，掌握抛物线的标准方程。

2. 通过实例和练习，让学生学会如何求解抛物线上的点、弦和切线等。

3. 培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学应用能力。

教学重难点：1. 抛物线的定义和性质2. 抛物线的标准方程3. 抛物线上的点、弦和切线的求解教学过程：一、导入1. 复习二次函数的定义和性质，引导学生回顾二次函数的图像特点。

2. 提出问题：如果二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线，我们称它为什么？二、新课讲解1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

2. 抛物线的性质：a. 抛物线是关于其对称轴对称的。

b. 抛物线的顶点是焦点和准线的中点。

c. 抛物线的开口方向由焦点和准线的位置关系决定。

3. 抛物线的标准方程：$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）。

4. 抛物线的求解：a. 求抛物线上的点：给定横坐标$x$，代入抛物线方程求解纵坐标$y$。

b. 求抛物线上的弦：给定两个横坐标$x_1$和$x_2$，代入抛物线方程求解对应的纵坐标$y_1$和$y_2$，得到弦的两个端点坐标。

c. 求抛物线上的切线：给定横坐标$x$，代入抛物线方程求解纵坐标$y$，得到切点的坐标，再根据导数的几何意义求解切线方程。

三、例题讲解1. 例1：已知抛物线$y=x^2-2x+1$，求其焦点和准线。

2. 例2：已知抛物线$y=-2x^2+4x-3$，求其开口方向、顶点坐标和焦点坐标。

四、课堂练习1. 完成课后习题，巩固所学知识。

2. 求解下列抛物线上的点、弦和切线：a. $y=x^2-3x+2$，求点$(1,0)$处的切线方程。

b. $y=-2x^2+8x-7$，求点$(2,3)$处的切线方程。

五、总结1. 回顾本节课所学内容，强调抛物线的定义、性质和求解方法。

2. 鼓励学生在日常生活中发现和应用抛物线，提高数学素养。

教学反思：1. 通过本节课的学习，学生应该掌握了抛物线的定义、性质和求解方法。

高三数学《抛物线》教案教学文档一、教学内容本节课选自高中数学教材选修21第三章《圆锥曲线与方程》中的第四节《抛物线》。

详细内容包括抛物线的定义、标准方程、几何性质以及应用。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和简单性质。

2. 能够运用抛物线知识解决实际问题和相关数学问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：抛物线标准方程的推导和应用。

教学重点：抛物线的定义、标准方程及几何性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中的抛物线实例，如抛物线运动、拱桥等，引导学生思考抛物线的特点。

2. 知识讲解（1）抛物线的定义（2）抛物线的标准方程（3）抛物线的几何性质3. 例题讲解（1）求抛物线y^2=4x的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F(p/2,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。

4. 随堂练习（1）求抛物线x^2=4y的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线x^2=8y的焦点为F(0,2)，求抛物线上一点M 到焦点F的距离与到准线的距离之和。

5. 小结六、板书设计1. 黑板左侧：抛物线的定义、标准方程、几何性质。

2. 黑板右侧：例题及解答、随堂练习。

七、作业设计1. 作业题目（1）求抛物线y^2=8x的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线y^2=12x的焦点为F(3,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。

2. 答案八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义、标准方程和几何性质掌握程度，以及对例题和随堂练习的完成情况。

2. 拓展延伸：引导学生思考抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等，激发学生的学习兴趣。

重点和难点解析1. 抛物线标准方程的推导过程。

2. 例题的选取和讲解，尤其是涉及抛物线性质的应用。

高中数学选修1-1《抛物线》教案一、教学目标：1. 理解抛物线定义和性质；2. 掌握平面直角坐标系、顶点式、一般式和焦点、准线的定义和计算方法；3. 理解抛物线与实际问题的应用。

二、教学重点：1. 抛物线的定义和性质；2. 平面直角坐标系、顶点式、一般式和焦点、准线的定义和计算方法；3. 抛物线与实际问题的应用。

三、教学方法：1. 讲授法；2. 实践演练法；3. 体验式教学法。

四、教学过程：1. 抛物线的定义和性质：1) 引入：通过一张抛物线的图片，引导学生认识抛物线，并简要说明抛物线的一些性质。

2) 讲解：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的动点轨迹。

通过图像，讲解抛物线的定义，强调其特点和性质。

2. 平面直角坐标系、顶点式、一般式和焦点、准线的定义和计算方法：1) 引入：通过实例，引导学生逐步掌握平面直角坐标系、顶点式、一般式和焦点、准线的计算方法。

2) 讲解：平面直角坐标系是用一组标准单位建立的，是处理平面内两点之间距离、角度和面积等问题时不可或缺的基础工具。

顶点式是抛物线的一种表示方式，具有明显的几何意义，通过其顶点、拱度半径和开口方向可以全面了解抛物线的性质。

一般式是求解焦点、准线、顶点等问题的一个有效表示方法，可以将抛物线转换为基本的二次函数形式。

焦点、准线是抛物线的两个重要元素，计算方法是抛物线研究的基础。

焦点是抛物线上每个点到准线距离的垂足形成的轨迹，准线是焦点到抛物线上每个点距离的轨迹。

3) 演示：通过实例演示计算平面直角坐标系、顶点式、一般式和焦点、准线的方法，让学生进一步认识和掌握。

3. 抛物线与实际问题的应用：1) 引入：通过精心设计的实例，引导学生了解抛物线与实际问题的紧密联系，并掌握应用方法。

2) 讲解：抛物线在实际生活中的应用非常广泛，例如弹道学、天线设计、建筑设计等等。

通过学习抛物线的基本定义和计算方法，可以更好地理解和应用抛物线的知识，从而解决各种实际问题。

抛物线概念及性质抛物线的定义平面上到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

抛物线的标准方程y^2=2px（p>0）或x^2=2py（p>0）。

抛物线的性质抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-p或y=-p；抛物线有一个顶点，即抛物线与对称轴的交点；抛物线有一个焦点和一条准线，焦点在直线x=-p/2或y=-p/2上，准线方程为x=-p或y=-p。

03掌握抛物线的定义、标准方程和性质；理解抛物线的几何意义；了解抛物线的应用。

知识目标能够运用抛物线的定义、标准方程和性质解决相关问题；能够运用数形结合的思想分析抛物线问题；能够运用数学语言准确地表达抛物线问题。

能力目标培养学生对数学的兴趣和爱好，提高学生的数学素养；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；培养学生严谨、认真的学习态度。

情感目标课程目标与要求教学方法与手段教学方法采用启发式教学法、讲练结合法、小组讨论法等，引导学生主动思考、积极探究。

教学手段利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，使教学内容更加形象、直观。

同时，鼓励学生使用计算器、计算机等工具进行数值计算和图形绘制，提高解题效率。

平面直角坐标系平面直角坐标系的定义在平面上画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

点的坐标对于平面内任意一点C，过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对(a,b)叫做点C的坐标。

二次函数图像及性质二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。

二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴为$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, c -frac{b^2}{4a}right)$。

高中数学抛物线教案一、教学目标1、知识与技能目标理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程。

能根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程，能根据已知条件求出抛物线的标准方程。

2、过程与方法目标通过观察抛物线的图像，引导学生归纳抛物线的定义，培养学生的观察能力和归纳能力。

通过推导抛物线的标准方程，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的简洁美和对称美，激发学生学习数学的兴趣。

通过抛物线在实际生活中的应用，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生用数学知识解决实际问题的意识。

二、教学重难点1、教学重点抛物线的定义和标准方程。

抛物线标准方程的推导及应用。

2、教学难点抛物线标准方程的推导。

抛物线的定义中“定点不在定直线上”的理解。

三、教学方法讲授法、讨论法、演示法、练习法四、教学过程1、导入新课展示生活中常见的抛物线形状的物体，如拱桥、投篮时篮球的运动轨迹等，引导学生观察这些物体的形状特点，引出抛物线的概念。

2、讲授新课（1）抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l（l 不经过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

强调“定点不在定直线上”这一条件，通过实例帮助学生理解。

（2）抛物线的标准方程以过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，以线段 F 到准线 l 的垂线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系。

设焦点 F 到准线 l 的距离为 p（p ＞ 0），则抛物线的标准方程为：当焦点在 x 轴正半轴上时，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0）；当焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0）；当焦点在 y 轴正半轴上时，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0）；当焦点在 y 轴负半轴上时，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0）。

（3）推导抛物线的标准方程以焦点在 x 轴正半轴上的抛物线为例，设动点 M（x，y），焦点 F （＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线 l 的方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

第7讲抛物线1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解抛物线的简单应用.1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质1.y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为(a4，0)，准线方程为x＝－a 4 .2.过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O(0，0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A，B.则直线AB过定点M(2p，0)；反之，若过点M(2p，0)的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于两点A，B，则必有OA⊥OB.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()(3)过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦，是抛物线过焦点最短的弦.()(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标是x＝－a4.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2.回源教材(1)抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是.解析：抛物线的方程为y2＝10x，则p＝5，所以抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是5.答案：5(2)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为.解析：当抛物线的焦点在x轴上时，设其方程为y2＝mx，又过点P(－2，3)，则9＝－2m，得m＝－9 2，故抛物线方程为y2＝－92 x，当抛物线的焦点在y轴上时，设其方程为x2＝ny，又过点P(－2，3)，则4＝3n，得n＝43，故抛物线方程为x2＝4 3 y.答案：y 2＝－92x 或x 2＝43y(3)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上一点，若|AF |＝3，则点A 的横坐标为.解析：设A (m ，n )，由抛物线的方程可知p ＝2，由抛物线的定义可知，|AF |＝m ＋p2＝m ＋1＝3，所以m ＝2.答案：2抛物线的方程与几何性质例1(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD ⊥l ，交l 于D .若|AF |＝4，∠DAF ＝60°，则抛物线C 的方程为.解析：根据抛物线的定义可得|AD |＝|AF |＝4，又∠DAF ＝60°，所以|AD |－p ＝|AF |cos 60°＝12|AF |，所以4－p ＝2，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为.解析：法一：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.法二：由题意得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.答案：x ＝－32反思感悟1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.训练1(1)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A.y 2＝9xB.y 2＝6xC.y 2＝3xD.y 2＝3x解析：C如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ，故选C.(2)已知F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM→＝2MN →，则|FN |＝.解析：易知焦点F 的坐标为(4，0)，准线l 的方程为x ＝－4，如图，抛物线准线与x 轴的交点为A ，作MB ⊥l 于点B ，NC ⊥l 于点C ，AF ∥MB ∥NC ，则|MN ||NF |＝|BM |－|CN ||OF |，由3FM→＝2MN →，得|MN ||NF |＝35，又|CN |＝4，|OF |＝4，所以|BM |－44＝35，|BM |＝325，|MF |＝|BM |＝325，|MF ||NF |＝25，所以|FN |＝16.答案：16抛物线的定义及应用求轨迹方程例2(2024·福州质检)在平面直角坐标系Oxy 中，动点P (x ，y )到直线x ＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P 的轨迹方程为()A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝－4xD.y 2＝－8x解析：D 由题意知动点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以(－2，0)为焦点，x ＝2为准线的抛物线，所以p ＝4，轨迹方程为y 2＝－8x .最值问题例3若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为.解析：如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A ，P及P 到准线的垂足Q 三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为(－14，1).答案：(－14，1)反思感悟与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.训练2(1)已知抛物线y ＝mx 2(m ＞0)上的点(x 0，2)到该抛物线焦点F 的距离为114，则m 等于()A.4B.3C.14D.13解析：D 由题意知，抛物线y ＝mx 2(m ＞0)的准线方程为y ＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x 0，2)到焦点F 的距离等于到准线y ＝－14m的距离，可得2＋14m ＝114，解得m ＝13(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135C.145D.3解析：A由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.抛物线的综合问题例4已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.解：设直线l的方程为y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F(34，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋3 2 .又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝5 2 .＝32x＋t，2＝3x，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)＞0，则x1＋x2＝－12（t－1）9，从而－12（t－1）9＝52，得t＝－78(满足Δ＞0)，所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→，可得y1＝－3y2.＝32x ＋t ，2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t ＞0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.所以A (3，3)，B (13，－1)，故|AB |＝4133.反思感悟1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.训练3过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程.解：(1)抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F (0，p2).∵当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝（－2）24＝1.又F (0，1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.＝kx ＋1，2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)，MB →＝(x 2＋2，y 2－1).∵MA ⊥MB ，∴MA→·MB →＝0，∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M ，舍去，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.限时规范训练(六十三)A 级基础落实练1.(2023·临汾第一次适应性训练)已知抛物线C 的焦点F 关于其准线对称的点为(0，－9)，则C 的方程为()A.x 2＝6yB.x 2＝12yC.x 2＝18yD.x 2＝36y解析：B由题可知，抛物线C 开口向上，设C 的方程为x 2＝2py (p ＞0)，则抛物线C 的焦点坐标为(0，p 2)，准线方程为y ＝－p 2，所以p2＋（－9）2＝－p 2，解得p ＝6，所以C 的方程为x 2＝12y ，故选B.2.(2024·昆明一中月考)过抛物线y 2＝8x 的焦点的直线l 与抛物线相交于M ，N 两点.若M ，N 两点到直线x ＝－3的距离之和等于11，则这样的直线l ()A.不存在B.有且仅有一条C.有且仅有两条D.有无穷多条解析：C由题意知M ，N 两点到准线x ＝－2的距离之和等于9，由抛物线定义得|MN |＝9.又抛物线y 2＝8x 的通径长为2p ＝8＜|MN |＝9根据过焦点的弦的对称性知，这样的弦有且仅有两条，故选C.3.(2024·榆林模拟)如图①，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图②所示的抛物线C ：x 2＝－2py (p ＞0)的一部分，P为抛物线C上一点，F为抛物线C的焦点.若∠OFP＝120°，且|OP|＝212，则p＝()图①图②A.1B.2C.3D.4解析：A由题意知F(0，－p2)，设|PF|＝2a，则P(3a，－p2－a)，由抛物线的几何性质知p2＋a＋p2＝2a，则a＝p，所以P(3p，－3p 2 )，所以|OP|＝3p2＋94p2＝212，解得p＝1.故选A.4.(2024·河南十所名校第四次阶段测试)已知A为抛物线C：y2＝4x上在第一象限内的一个动点，M(－1，0)，O为坐标原点，F为C的焦点.若tan∠AMO＝22 3，则直线AF斜率的绝对值为()A.322B.22C.1 3D.4 3解析：B设A(y214，y1)，则tan∠AMO＝k AM＝y1－0y214＋1＝223，解得y1＝2或y1＝22，则有A(12，2)或A(2，22).又F(1，0)，所以k AF＝2－012－1＝－22或k AF＝22－02－1＝22，所以|k AF|＝22，故选B.5.(2024·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于()A.3B.4C.4 3D.7 3解析：B过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF ＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F 且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是()A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10解析：ACD由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，故B错误；则y21＝8x1，y22＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴y21－y22＝8x1－8x2，即y1－y2x1－x2＝8y1＋y2＝84＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.7.(2023·全国乙卷)已知点A(1，5)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为.解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－54，所以A到准线的距离为1－(－54)＝94.答案：9 48.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为.解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案：y2＝4x9.(2024·武汉检测)抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形的三个顶点，则该三角形的边长为.解析：由抛物线的对称性知，要使△OAB为等边三角形，则AB⊥x轴.设该三角形的边长为a，不妨取A(32a，12a).代入抛物线方程，得(12a)2＝2×32a，解得a＝43.答案：4310.已知F为抛物线C：x2＝12y的焦点，直线l：y＝kx＋4与C相交于A，B 两点.(1)O为坐标原点，求OA→·OB→；(2)M 为C 上一点，F 为△ABM 的重心(三边中线的交点)，求k .解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 的方程代入C 得，x 2－12kx －48＝0，所以x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－48，y 1y 2＝（x 1x 2）2122＝16，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32.(2)依题意得F (0，3)，设M (x 3，y 3)，因为F 为△ABM 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9，从而x 3＝－(x 1＋x 2)＝－12k ，y 3＝9－(y 1＋y 2)＝9－x 21＋x 2212＝9－（x 1＋x 2）2－2x 1x 212＝1－12k 2.因为M (x 3，y 3)在抛物线C 上，所以(－12k )2＝12(1－12k 2)，即k 2＝124.故k ＝612或k ＝－612.11.已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 相交于A ，B 两点.(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；(2)点C (－3，－2)，若∠CF A ＝∠CFB ，求直线l 的方程.解：由已知可得F (0，1)，设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，＝kx ＋2，2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，①x 1x 2＝－8.②(1)|F A |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 24＋2.当k ＝1时，由①②得|F A |＋|FB |＝10.(2)由题意可知F A →＝(x 1，x 214－1)，FB →＝(x 2，x 224－1)，FC →＝(－3，－3).由∠CF A ＝∠CFB ，得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA→·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1，所以由FA→·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|所以－3x 1－3（x 214－1）32（x 214＋1）＝－3x 2－3（x 224－1）32（x 224＋1），可得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，即4＋8k ＋8＝0.解得k ＝－32，所以所求直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0.B 级能力提升练12.已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点.过抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点B 作直线y ＝－2的垂线，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为()A.8B.2C.－1D.1解析：D 易知抛物线C 1的焦点为点(1，0)，所以其方程为y 2＝4x .2＝4x ，x －1）2＋y 2＝4，得A (1，2).易知抛物线C 2的焦点为F (0，2)，准线方程为y ＝－2，如图，连接BF ，则由抛物线的定义知|BM |＝|BF |.连接AF ，可得|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |，当且仅当A ，B ，F 三点共线，且点B 在第一象限时，等号成立.故所求最大值为|AF |＝1.故选D.13.(多选)抛物线C ：y 2＝mx (m ＞0)的焦点为F (4，0)，直线l 经过点F ，交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若PB→＝2BF →，则()A.m ＝16B.点B 的坐标为(83，±463)C.|AB |＝503D.弦AB 的中点到y 轴的距离为133解析：ACD 抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点坐标为(m 4，0)，由题意可得m4＝4，解得m ＝16，∴A 选项正确.过B 作BB ′垂直于y 轴于点B ′，由PB→＝2BF →得|PB ||PF |＝|BB ′||OF |＝23，∴|BB ′|＝23|OF |＝83，∴点B 的横坐标为83，代入抛物线的方程，可得y 2＝16×83，∴y ＝±863，∴B 选项不正确.根据抛物线的对称性，不妨取B (83，－863)，则k AB ＝k BF ＝8634－83＝26，∴直线AB 的方程为y ＝26(x －4)，与抛物线的方程y 2＝16x 联立并消元，可得3x 2－26x ＋48＝0，设A (x 1，y 1)，则x 1＋83＝263，由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝x 1＋83＋162＝263＋8＝503，∴C 选项正确.∵AB 的中点的横坐标为x 1＋832＝133，∴AB 的中点到y 轴的距离为133，∴D 选项正确.故选ACD.14.已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.解：(1)证明：设D(t，－12)，A(x1，y1)，则x21＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故y1＋12x1－t＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点(0，1 2 ).(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.＝tx＋12，＝x22，可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝1＋t2|x1－x2|＝1＋t2×（x1＋x2）2－4x1x2＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝t2＋1，d2＝2t2＋1.因此，四边形ADBE的面积S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)t2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2＋12).因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB→与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。

抛物线一、知识网络二、高考考点1.抛物线定义的应用；2。

抛物线的标准方程及其几何性质;焦点、准线方程;3。

抛物线的焦点弦引出的问题； 4.直线与抛物线相交（或相切)引出的求法或范围问题；5。

抛物线与三角形（或四边形）问题。

三、知识要点（一）定义与推论1.定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.2。

推论：抛物线的焦点半径公式设为抛物线上任意一点，则设为抛物线上任意一点，则其它情形从略。

（二）标准方程与几何性质1.标准方程设抛物线的焦点F到准线l的距离为p(焦参数）,则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程：①②③④认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之,焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小(形状）:恰等于焦点参数的2倍.2。

几何性质对于抛物线（1）范围: 这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性:关于x轴对称轴为这条抛物线的轴.认知：抛物线的准线与其对称轴垂直(抛物线主要共性之一）(3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）（4）离心率：（抛物线主要共性之二)（三）挖掘与引申1。

抛物线方程的统一形式1) 顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数 (一次项系数绝对值的一半)；焦点，准线；顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；焦点，准线；(2)顶点在 ,对称轴垂直y轴的抛物线方程为：，其焦点参数；顶点在，对称轴垂直x轴的抛物线方程为： ,其焦点参数；2。

《抛物线及其标准方程》教学设计陕西师范大学附属中学倪如俊教材：陕西省普通高中课本数学高二年级选修2-1（北京师范大学出版社）一、教材分析本章是选修2-1的第三章《圆锥曲线与方程》，教材内容的顺序是：椭圆—抛物线—双曲线—曲线与方程.我的认识有两点：（1）先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律.在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础.（2）椭圆学习后先学抛物线，一方面因为课程标准和考试大纲对椭圆与抛物线的要求都是掌握，而对双曲线的要求是了解.另一方面是因为椭圆与抛物线相比双曲线来说更为常见，更熟悉.本节包括抛物线的定义，标准方程和应用三个部分，分为两课时完成.本节课是第一课时，是在学生原有认知的基础上从几何与代数两个角度去认识抛物线.教材在抛物线的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识抛物线，再从画法中提炼出抛物线的几何特征，由此抽象概括出抛物线的定义，最后是抛物线定义的简单应用.这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解.教材在本节内容中只研究了顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程，以思考交流的形式让学生自己去归纳抛物线标准方程的另外三种形式.这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会.有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养.通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法.二、学情分析抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和在本节课之前，学生已经学习了椭圆，对圆锥.推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法．曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用.三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：教学目标：1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用；4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美.教学重点:1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程；教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.四、教学问题诊断本节课的教学难点是从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.对教学难点的突破我采取的策略是：1.类比学习椭圆的过程和方法去学习抛物线.2.鉴于抛物线的画法比较复杂，用教具难以操作，因此我运用多媒体来演示画抛物线的过程.另外，画法中所隐含的抛物线的本质特征不是特别明显，对学生的抽象能力要求比较高，为此，我设置了两个问题，为学生发现抛物线的几何特征作铺垫.不在直线3.上”这个条学生在抽象概括抛物线定义时，容易忽略抛物线定义中“点件.为了加深学生对这个条件的理解，教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义，并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性.另外，在建系、推导抛物线标准方程的过程中，依据学生的认知习惯，同时激励学生主动学习，我采取了以下策略：1.坐标系的建立——教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投.影仪展示出来，并进行归纳．通过比较，明.2.求抛物线的方程——全班学生分工，求出不同建系方式下的抛物线方程.确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程再组织学生以小组先让学生独立思考，明确抛物线标准方程的四种形式——给出问题4，3..交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解五、教学过程教学过程设计说明活过生通一、课堂导入使1.生活中的抛物线：线的抛物中学到）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；（1生认识学必的抛（2）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线；物线习.要性3（）卫星天线是根据抛物线的原理制造的.题问通过2.数学中的抛物线：生学引发引入的图像是一条抛一元二次函数的认知冲突，激.物线习学发学生的.欲望提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？二、抛物线的定画法比较复杂1抛物线的画）介绍作图规画抛物线，操作起.（2）动画展示作图过程来很困难，学生满足的几何关系是什提出问题：笔尖所对应的点很难完成.因此么？体媒多用运我）分析作图过程3（．提出问题：在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F信息技术来演示画抛物中，哪些没有动？哪些动了？线的过程.，，在作图过程中，绳长，，提出问题：通过两个中，哪些量没有变？哪些量变了？问题的设置，为4）结论（学生从画法中的距离等动点满足的几何关系是：动点到定点F发现抛物线的几何特征奠定于它到直尺的距离.2.抛物线的定义基础.问题1：你能给抛物线下个定义吗？生加深学抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（义定对抛物线）的距离相等的点的集合叫作抛物线.不过不中的条件“.过”的理解材这是教考思一个的第交流，目的是对的义物抛线定应用，同时也给出了课堂导入时所给问题的在直上？若点不能在定直线：问题2为什么定点一种解决方法.线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线.3.抛物线的相关概念：：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线定点..焦点到准线的距离，设抛物线的对称轴与抛物线的交点：抛物线的顶点三、抛物线的方程教材只给出了一种建系1.方程推导方式，但学生在（1）建系建系时可能不只一种.为了体现学生的主体地位，这里先让请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐学生建系，教师标系.再汇总学生的结果，并用投）推仪展以下三种建系方式，你认为哪种建系方式问好？请说明理，让学生分工求出三种建系下的方程，为标准方程的理解.奠定基础．部分学生在推导方程时存在困难，故给出提示.这是教材的第二个思考交流，目的是让学生认识到抛物线的标准方程一共有四种形式，加深学生，先将抛物线的焦点坐标和提示：设对抛物线标准准线方程求出来，再来求抛物线的方程..方程的理解三种建系方式下的抛物线方程分别为：学分大部，，.不难得出，生解决问题4所用的方法都是第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好.图像变换法.：焦点到准线的距离.3思考交问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不.学生先独立思考，再小组合作交流.要求写过程图像抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐中的课本标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式及涉了.例题只4.例题分析抛物线标准方例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.程的一种形式，（1）；（2）；固巩到法无达知识的目此，我更换了材的例题，例图由是程方求是由图像，例2例2.根据下列条件求抛物线的标准方程.并且.像求方程两个例题中的42）准线：1）焦点：.；（（个小题正好包含了抛物线标准方程的四种形式.四、课堂小结培养学生梳理知识点，总：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.问题5结知识内容，建）抛物线的定义：1.知识内容：（1构知识体系的）抛物线的标准方程：（2能力.轴正半轴焦点在：①；轴点②焦在负半轴：；③焦点在轴正半轴：；轴负半轴：点④焦在.2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程.3学习中用到的数学思想和方法）直接法；）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想.五、课后延伸是对这节课所学方法的 1.课后作业巩固.432AP76书，，组，题，题，题和对初中容内关相学所课后思考2.的同化，也是为请你思考如何用抛物线的定义来证明一元二次函下节课作好铺的图像是一条抛物线？数垫.3.课后延展感受抛物线（1）抛物线型桥梁的广泛应用和文通过图片展示南京秦淮河三山桥，湖北宜昌西陵长化价值，激发学江大桥，宁波明州大桥这三座抛物线型桥梁.生学习数学的兴提出问题：抛物线型拱桥有哪些特点？有哪些优点?在趣和研究问题的桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征？.热情（2）卫星.提出问题：我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质？对此感兴趣或者学有余力的学生，可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨.。