2019-2020年高中数学 第二章《抛物线》教案 新人教A版选修2-1

2.4.1.1抛物线及其标准方程班级姓名小组号【学习目标】1.通过教材了解抛物线的定义，准线及焦点.2.通过教学案掌握焦点在两坐标轴上的抛物线的标准方程.3.通过教师讲解会求简单的抛物线的标准方程，解决相关题目.【重点难点】重点：掌握抛物线的定义、准线及在坐标轴上的标准方程；难点：根据标准方程判断抛物线的焦点、准线的位置，以及求抛物线的标准方程.【学情分析】初中我们学习过二次函数，知道二次函数是一条抛物线，本节课我们将继续研究抛物线及它的相关知识。

我们将先通过数形结合思想根据抛物线的定义来求解它的标准方程，进而引出准线方程。

以及在选择不同的坐标系我们得到不同形式的标准方程。

【导学流程】自主学习内容一、回顾旧知：二、基础知识感知1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2.准线的方程：设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.抛物线就是集合.准线的标准方程为：22(0)y px p=>.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2px=-.3抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px=，22y px=-，22x py=，22x py=-(0)p>。

三、探究问题:【例1】已知抛物线的标准方程是y²=6x，求它的焦点坐标和准线方程。

【例2】2．以双曲线91622yx-=1的中心为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是（）A.216y x=- B.216y x= C.28y x=- D.28y x=四、基础知识拓展与迁移抛物线还有哪些不同的形式？}|||{dMFMP==请及时记录自主学习过程中的疑难：小组讨论问题预设:已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M-，求它的标准方程。

提问展示问题预设：-的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：求过点(3,2)课堂训练问题预设：1.抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为2.到点A(－1,0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．整理内化：1.课堂小结2.本节课学习内容中的问题和疑难3.教学反思2.4.1.1抛物线及其标准方程【课后限时训练】时间50分钟第Ⅰ部分 本节知识总结第Ⅱ部分 基础知识达标一、选择题1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是A ．28y x =- B ．28y x =C ．24y x =-D ．24y x =2．若抛物线2y ax =的准线与椭圆22143x y +=的右准线重合，则a 的值是（ ） A.8 B.8- C.16 D.16- 3.抛物线21(0)y x m m=<的焦点坐标是( ) A.(0,)4m B. (0,)4m - C. 1(0,)4m D. 1(0,)4m- 4. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．45.以双曲线91622y x -=1的中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线方程是（ ） A.216y x =- B.216y x = C.28y x =- D.28y x =二、填空题6．以双曲线221169x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．7．抛物线y 2＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________． 8.焦点到准线的距离是2的准线方程是 .9.设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是 。

抛物线的几何性质一、温故而知新(1)平面内，到定点F 的距离与到定直线l 的距离比为常数e 的点的轨迹,(定点F 不在定直线l 上) 当01e <<时,是______; 当1e >时,是________; 当1e =时,是________.(2)抛物线的标准方程①开口向右22(0)y px p => ②开口向左22(0)y px p =-> ③开口向上22(0)x py p => ④开口向下22(0)x py p =-> 二、几何性质(以22(0)y px p =>为例)(1)范围(2)对称性(3)顶点 (4)离心率(5)通径归纳总结(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)、抛物线的离心率是确定的，为１,⑸、抛物线的通径为2P, 2p 越大，抛物线的张口越大. 三、典例精析例１.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -,求它的标准方程,并用描点法画出图形. 解法一:解法二:例2.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60cm ,灯深40cm ,求抛物线的标准方程和焦点位置.四、课堂练习（1）已知点A (2,3)-与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5, 则p =（2）抛物线24y x =的弦AB 垂直x 轴，若|AB|=则焦点到AB 的距离为 （3）已知直线2x y -=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 __ 五、总结归纳 (1)范围(2)对称性(3)顶点(4)离心率(5)通径(6)光学性质。

2．4．2抛物线的简单几何性质预习课本P68～72，思考并完成以下问题抛物线有哪些几何性质？[新知初探]抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象性质焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0 对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴()(2)抛物线y＝－18x2的准线方程是x＝132()答案：(1)√(2)×2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为() A．8B．16C．32D．64答案：B3．若双曲线x23－16y2p2＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．答案：4抛物线方程及其几何性质[典例] 已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上不同的两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．[解] 如图所示．设A (x 0，y 0)，由题意可知，B (x 0，－y 0)， 又F ⎝⎛⎭⎫p 2，0是△AOB 的垂心，则AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， 即y 0x 0－p 2·⎝⎛⎭⎫－y 0x 0＝－1，∴y 20＝x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2， 又y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ＋p 2＝5p 2． 因此直线AB 的方程为x ＝5p2．根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．[活学活用]已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，则 焦点F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，直线l ：x ＝a2， ∴A ，B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫a 2，a ，⎝⎛⎭⎫a 2，－a ， ∴|AB |＝2|a |． ∵△OAB 的面积为4， ∴12·a2·2|a |＝4，∴a ＝±22． ∴抛物线方程为y 2＝±42x ．直线与抛物线的位置关系[典例] OA ⊥OB ．[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0．∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16．∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝ x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴OA ⊥OB ，即OA ⊥OB ．将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．[活学活用]过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解：显然，直线斜率k 存在， 设其方程为y －2＝k (x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x ＋3)，y 2＝4x ， 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0．①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根．由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0，Δ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，16－4k (8＋12k )＝0，得k ＝13或k ＝－1．所以直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0．故所求直线有三条，其方程分别为：y ＝2，x －3y ＋9＝0，x ＋y ＋1＝0．抛物线中的最值问题[典例] 离的最小值．[解] 法一：设p (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则点P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0＋3|2＝y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22， 当y 0＝1时，d min ＝524，∴P ⎝⎛⎭⎫12，1． 法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×2m ＝0，∴m ＝12．∴平行直线的方程为x －y ＋12＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则d min ＝3－122＝524，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1．解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．[活学活用]设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x 轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a ＜3)，则由条件知圆的方程是(x －a )2＋y 2＝(3－a )2．由⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，y 2＝2x ，消去y 得x 2＋2(1－a )x ＋6a －9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a )]2－4(6a －9)＝0且0＜a ＜3，即a ＝4－6时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a ＝6－1．答案：6－1层级一 学业水平达标1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11xB ．y 2＝11xC ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中， 令y ＝0得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫－112，0，即p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C ．2．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ·AF ＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2 2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，① 又OA ＝(x ，y )，AF ＝(1－x ，－y )， 所以OA ·AF ＝x －x 2－y 2＝－4．② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2．4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1)， 即y ＝－2x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－2x ＋2，得x 2－4x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1．∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋4)(16－4)＝5×12＝215．5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212．由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94．6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________．解析：将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3，∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2． ∴所求点的坐标为(3,2)． 答案：(3,2)7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52．因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72．答案：728．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________． 解析：由题意可得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A －33p ，16p ，B 3p ，32p ，所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13．答案：139．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程．解：设弦的两个端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2．两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．① ∵y 1＋y 2＝2，代入①得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3． ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0．10．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p 2，从而x 1＝4－1＝3．代入y 2＝4x ，解得y 1＝±23．∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．∵直线与抛物线相交于A ，B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4k2．由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4．层级二 应试能力达标1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33x解析：选C 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x ．故选C ． 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7．又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，所以这样的直线有两条．故选B ．3．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．1或－1 C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0．又由Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，得k >－1．则由4(k ＋2)k 2＝4，得k ＝2．故选C ． 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA ·MB ＝0，则k ＝( ) A ．12B ．22C ． 2D ．2解析：选D 由题意可知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝4.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ， ②y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]. ③ ∵MA ·MB ＝0，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0． ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0．④ 由①②③④解得k ＝2．故选D 项．5．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3，消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48．答案：486．顶点为坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得的弦长为15，则抛物线方程为________．解析：设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，2x －y ＋1＝0，得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0，则Δ＝(4－a )2－16>0，得a >8或a <0．设直线与抛物线的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a －44，x 1x 2＝14． 所以|AB |＝(1＋22)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －442－4×14＝15，解得a ＝12或a ＝－4．所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ． 答案：y 2＝12x 或y 2＝－4x7．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10 时，求实数k 的值．解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x ，得ky 2＋y －k ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知k ≠0，则y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1．由A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，可知y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，则y 21y 22＝x 1x 2．因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB ．(2)设直线与x 轴交于点N ． 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON |·|y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12×1×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12⎝⎛⎭⎫－1k 2＋4＝10． 解得k ＝±16．8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p ． 所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p．由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2．所以C 的方程为y 2＝4x ． (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4． 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝4(m 2＋1)．高中数学-打印版精心校对完整版 又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3． 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0．设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4| ＝1＋1m 2·(y 3＋y 4)2－4y 3y 4 ＝4(m 2＋1) 2m 2＋1m 2． 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |， 从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4． 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1．所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．。

一、教课目的(一)知识教育点使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．(二)能力训练点要修业生进一步娴熟掌握分析几何的基本思想方法，提升剖析、对照、归纳、转变等方面的能力．(三)学科浸透点经过一个简单实验引入抛物线的定义，能够对学生进行理论根源于实践的辩证唯心主义思想教育．二、教材剖析1．要点：抛物线的定义和标准方程．(解决方法：经过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义对比较引入抛物线的定义；经过一些例题加深对标准方程的认识． )2．难点：抛物线的标准方程的推导．(解决方法：由三种成立坐标系的方法中选出一种最正确方法，防止了硬性规定坐标系． )3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点 F 不在定直线 l 上”的限制．(解决方法：向学生加以说明．)三、活动设计发问、回首、实验、解说、演板、归纳表格．四、教课过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今日我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思虑两个问题：问题 1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被以为是抛射物体的运转轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题 2：在二次函数中研究的抛物线有什么特色？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y 轴、张口向上或张口向下两种情况．指引学生进一步思虑：假如抛物线的对称轴不平行于y 轴，那么就不可以作为二次函数的图象来研究了．今日，我们打破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回首平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹，当 0 ＜e＜1 时是椭圆，当 e＞1 时是双曲线，那么当 e=1 时，它又是什么曲线？2．简单实验如图 2-29 ，把一根直尺固定在绘图板内直线l 的地点上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边沿；把一条绳索的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A，截取绳索的长等于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳索另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳索，紧靠着三角板的这条直角边把绳索绷紧，而后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．频频演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义这样，能够把抛物线的定义归纳成：平面内与必定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 ( 定点 F 不在定直线 l 上 ) ．定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0) ．下边，我们来求抛物线的方程．如何选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生谈论一下，教师巡视，启迪指导，最后简单小结成立直角坐标系的几种方案：方案 1：( 由第一组同学达成，请一优等生演板．)以 l 为 y 轴，过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴成立直角坐标系 ( 图 2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的会合为： p={M||MF|=|MD|} ．化简后得： y2=2px-p 2(p ＞0) ．方案 2：( 由第二组同学达成，请一优等生演板)以定点 F 为原点，平行 l 的直线为 y 轴成立直角坐标系 ( 图 2-31) ．设动点 M 的坐标为 (x ， y) ，且设直线 l 的方程为 x=-p ，定点 F(0 ， 0) ，过 M作 MD⊥l 于 D，抛物线的会合为：p={M||MF|=|MD|}．化简得： y2=2px+p2(p ＞0) ．方案 3：( 由第三、四组同学达成，请一优等生演板．)取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴， x 轴与 l 交于 K，以线段 KF的垂直均分线为 y 轴，成立直角坐标系 ( 图 2-32) ．抛物线上的点M(x，y) 到 l 的距离为 d，抛物线是会合p={M||MF|=d} ．化简后得： y2=2px(p ＞ 0) ．比较所得的各个方程，应当选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？指引学生剖析出：方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不单拥有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍．因为焦点和准线在座标系下的不一样散布状况，抛物线的标准方程有四种情况( 列表如下) ：将上表画在小黑板上，解说时出示小黑板，并讲清为何会出现四种不一样的情况，四种情况中 P＞0；并指出图形的地点特色和方程的形式应联合起来记忆．即：当对称轴为 x 轴时，方程等号右端为± 2px，相应地左端为 y2；当对称轴为 y 轴时，方程等号的右端为± 2py，相应地左端为 x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题： (1) 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0 ， -2) ，求它的标准方程．方程是 x2=-8y ．练习：依据以下所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 F(3 ，0) ；(3)焦点到准线的距离是 2．由三名学生演板，教师予以校正．答案是： (1)y 2=12x；(2)y 2=-x ；(3)y 2=4x，y2=-4x ，x2=4y，x2=-4y ．这时，教师小结一下：因为抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，所以只需给出确立 p 的一个条件，就能够求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定此后，它的标准方程就独一确立了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、部署作业到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2．求以下抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x 2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y 2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．依据以下条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)极点在原点，对称轴是 x 轴，并且极点与焦点的距离等于 6；(2)极点在原点，对称轴是 y 轴，并经过点 p(-6 ，-3) ．4．求焦点在直线3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程．作业答案：3．(1)y2=24x，y2=-2x(2)x 2=-12y(图略)4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，进而可得抛物线方程为 x2=-12y 或 y2=16x六、板书设计一、教课目的(一)知识教课点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，进而培育学生剖析、归纳、推理等能力．(三)学科浸透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系观点的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材剖析1．要点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决方法：指引学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决方法：经过几个典型例题的解说，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决方法：指引学生证明并加以记忆．)三、活动设计发问、填表、解说、演板、口答．四、教课过程(一)复习1．抛物线的定义是什么？请一起学回答．应为：“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一起学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px (p ＞ 0) ，y2=-2px(p ＞0) ，x2=2py(p ＞0) 和 x2=-2py(p ＞0) ．下边我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p ＞ 0) 出发来研究它的几何性质．(二)几何性质如何由抛物线的标准方程确立它的几何性质？以y2=2px(p ＞0) 为例，用小黑板给出下表，请学生对照、研究和填写．填写完成后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质对比，抛物线的几何性质有什么特色？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，固然它也能够无穷延长，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与极点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个极点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为 1．注意：这样不单引入了抛物线离心率的观点，并且把圆锥曲线作为点的轨迹一致起来了．(三)应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法绘图的基本方法，给出以下例1．例 1 已知抛物线对于 x 轴对称，它的极点在座标原点，并且经过点解：因为抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点，并且经过点程是 y2=4x．后一部分由学生演板，检查一放学生对用描点法绘图的基本方法掌握状况．第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就能够画出抛物线的另一部分( 如图 2-33) ．例 2已知抛物线的极点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点 M(-3 ，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y =-2px(p ＞0) ，则准线方2因为抛物线上的点M(-3， m)到焦点的距离 |MF| 与到准线的距离得 p=4．所以，所求抛物线方程为y2=-8x ．又点 M(-3 ，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3) ．解法二：由题设列两个方程，可求得p 和 m．由学生演板．由题意在抛物线上且 |MF|=5 ，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离 ( 即此点的焦半径 ) 等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设 P(x 0，这个性质在解决很多相关焦点的弦的问题中常常用到，所以一定娴熟掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设 AB是过抛物线焦点的一条弦 ( 焦点弦 ) ，若 A(x 1，y1) 、B(x 2，y2) 则有 |AB|=x 1+x2+p．特别地：当 AB⊥x 轴，抛物线的通径 |AB|=2p( 详见课本习题 ) ．例 3 过抛物线 y2=2px(p ＞0) 的焦点 F 的一条直线与这抛物线订交于 A、B 两点，且 A(x 1，y1) 、B(x 2，y2)( 图 2-34) ．证明：(1) 当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是 A、 B 两点的纵坐标，则有y1y2=-p 2．或 y1=-p ，y2=p，故 y1y2=-p 2．综合上述有y1y2=-p 2又∵ A (x 1，y1) 、B(x 2，y2) 是抛物线上的两点，本例小结：(1)波及直线与圆锥曲线订交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，获得对于另一变量的一元二次方程，而后用韦达定理求解，这是解决这种问题的一种常用方法．(2)本例命题 1 是课本习题中结论，要修业生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求 |AB| 的值．由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x 1+x2+p=82．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．请一起学演板，其余同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程故抛物线 y2=2px 与平行于其轴的直线只有一个交点．(五)全课小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线的应用．五、部署作业1．在抛物线y2=12x 上，乞降焦点的距离等于9 的点的坐标．2．有一正三角形的两个极点在抛物线y2=2px上，另一极点在原点，求这个三角形的边长．3．图2-35是抛物线拱桥的表示图，当水面在l 时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水降落 11m后，水面宽多少？4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．作业答案：3．成立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py ，可得抛物线4．由抛物线的定义不难证明六、板书设计你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。

疱丁巧解牛知识·巧学一、抛物线1.抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（1）定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为抛物线；另一方面，抛物线上点有定义中条件的性质.（2）两个定义的综合运用是解决有些抛物线问题的捷径.（3）求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.抛物线的方程（1）抛物线的标准方程（a ＞b ＞0）①y 2=2px(p ＞0)；②y 2=-2px(p ＞0)；③x 2=2py(p ＞0)；④x 2=-2py(p ＞0).抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p 等于焦点到抛物线顶点的距离.二次函数y=ax 2(a≠0)方程满足抛物线的定义，所以它的图象是抛物线，它的焦点坐标为（2a ,0），准线方程x=2p . （2）中心在(x 0,y 0)的抛物线方程(a ＞b ＞0)利用平面向量的平移可得到上述标准方程中对应的形式，如顶点在（x 0,y 0）有对称轴为y=y 0,开口向右的抛物线方程为(y-y 0)2=2p(x-x 0)(p ＞0).要点提示 在求抛物线的方程的时候一定要考虑焦点在哪个轴上，开口方向两个方面.此外，因为抛物线有四个标准方程，确定了焦点在哪个轴上和开口方向，这个抛物线的方程大致形状也就确定了.问题·探究问题1 抛物线在现实生活中有哪些应用？探究:抛物线在现实生活中的应用很广泛，我们熟悉的汽车前灯，太阳灶，有的大桥也设计成抛物线形状，抛物线最重要的应用还是在物理学上，根据抛物线的运行轨迹，人们把它运用到了军事上的大炮、导弹.问题2 学习抛物线方程，要注意些什么？探究:抛物线的标准方程有四个，在学习它们的时候一定要注意区分，焦点在x 轴上两个，焦点在y 轴上两个，焦点坐标与准线方程都于一次项的系数有关，抛物线的方程在确定了焦点位置和一次项的系数，抛物线的形状也就确定了下来.典题·热题例1 已知点M （3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点p 在该抛物线上移动，当|PM|+|PF|取最小值时，点P 的坐标为______________________.思路分析：本题若建立目标函数来求|PM|+|PF|的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决.解：如右图所示，由定义知|PF|=|PE|，故|PM|+|PF|=|PF|+|PM|≥|ME|≥|MN|=213.取等号时，M,P,E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为(2,2).方法归纳 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离.要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换. 例2 求过点（-3，2）的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.思路分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=-2px 或x 2=2py （p ＞0），∵过点（-3，2），∴4=-2p （-3）或9=2p·2.∴p=32或p=49. ∴所求的抛物线方程为y 2=x 34-或x 2=y 29.前者的准线方程是x=31，后者的准线方程是y=89-. 误区警示 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.思路分析：可设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0).如右图所示，只须证明2||AB =|MM 1|，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明:作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1.M 为AB 中点，作MM 1⊥l 于M 1，则由抛物线的定义，可知|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|.在直角梯形BB 1A 1A 中：|MM 1|=21（|AA 1|+|BB 1|）=21（|AF|+|BF|）=21|AB|. ∴|MM 1|=21|AB|.故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切. 方法归纳 类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.例4 如右图所示，直线l 1和l 2相交于点1M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.思路分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围. 解：如图以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点. 设曲线段C 的方程为y 2=2px （p>0）（x A ≤x≤x B ，y>0），其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p=|MN|，所以M （2p -，0）、N （2p ，0）. 由|AM|=17，|AN|=3，得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A -2p ）2+2px A =9. ② ①②联立解得x A =p4，代入①式，并由p>0， 解得⎩⎨⎧==1,4A x p 或⎩⎨⎧==.2,2Ax p 因为△AMN 为锐角三角形，所以A x p >2. 故舍去⎩⎨⎧==.2,2A x p 所以⎩⎨⎧==.1,4Ax p 由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN|-2p =4. 综上，曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x≤4，y>0）.。

抛物线的几何性质教学目标：1．掌握抛物线的几何性质;能根据几何性质确定抛物线的标准方程;2．能利用工具作出抛物线的图形．提高综合解题能力教学重点及难点：1．抛物线的几何性质，抛物线定义，性质应用2．几何性质的应用，解题思路分析教学过程：第一课时抛物线的几何性质Ⅰ.复习回顾简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答)练习：①已知抛物线y2＝2px的焦点为F，准线为l，过焦点F的弦与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作AP⊥l，BQ⊥l，M为PQ的中点，求证：MF⊥ABAN、BN，图8--24则Rt△APM≌Rt△AMF,∴|PN|=|FN|,同理，|QN|=|FN|，从而|QN|=|PN|，于是有，M 与N 重合，故MF ⊥AB 说明：F 点在以PQ 为直径的圆上，故∠PFQ 为直角。

②在抛物线y 2＝2x 上方有一点M （3，310），P 在抛物线上运动，|PM|=d 1,P 到准线的距离为d 2，求当d 1 +d 2最小时，P 的坐标。

注：连MF ，与抛物线交点即为所求。

（2，2） 这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22>=p px y ①来研究它的几何性质Ⅱ.讲授新课1.范围当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线). 2.对称性抛物线关于x 轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.3.顶点抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.4.离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1.说明:①对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程.②根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。

根据焦参数p的值确定抛物线开口的大小，p越大，抛物线开口越开阔。

③抛物线没有渐近线.④垂直于对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，其长为2p。