2019-2020学年高中数学 2.3.2抛物线的简单几何性质教学案 新人教版选修1-1.doc

2.3.2抛物线的简单几何性质教学目标1.知识与技能(1)理解抛物线的几何性质及应用．(2)掌握与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系．2．过程与方法通过对抛物线几何性质的探究与应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受激发学生对美好事物的追求．教学重点：(1)抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．教学难点：抛物线各个几何性质的灵活应用，直线与抛物线的位置关系问题．抛物线的几何性质问题导思类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？[答案]范围、对称性、顶点、离心率．p p p p直线与抛物线的位置关系 问题导思1．结合直线与椭圆、双曲线的位置关系，请你思考怎样讨论直线与抛物线的位置关系？ [答案] 联立直线与抛物线的方程，消元后，用“Δ”法．2．如果直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切，对吗？为什么？ [答案] 不对．因为直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况：①相切；②直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行．直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交三种情形，可以通过联立方程，判定解的个数来确定.典例精析例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M （2，），求它的标准方程.解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （2，），所以，可设它的标准方程为因为点M 在抛物线上，所以 即p =2.因此,所求抛物线的标准方程是例2斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.[解析]由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l 的斜率为1，所以可以求出直线l 的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A ,B 两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB ｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.如图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由抛物线的定义可知|AF |等于点A 到准线的距离|AA ’|设|AA ’|=d A ,而d A =x 1+1，于是|AF|= d A =x 1+1.同理|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1，于是得|AB |=|AF |+|BF |= x 1+x 2+2由此可见，只要求出点AB 的横坐标之和x 1+x 2,就可以求出|AB|.--22(0)y px p =>2(22,p -=⨯24.y x =解：由题意得，p =2,，焦点F (1，0),准线l :x =-1.如图，设设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），A ,B 到准线的距离分别为d A , d B .由抛物线的定义可知|AF|= d A =x 1+1，|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1， 于是AB =|AF|+|BF |=x 1+x 2+2，由已知得抛物线的焦点为F (1，0),所以直线AB 的方程为y =x -1.① 将①代入方程y 2=4x ，得 （x -1）2=4x 化简得x 2-6x +1=0 由求根公式得x 1, x 2, 于是|AB |= x 1+ x 2=8. 所以，线段AB 的长是8.例3 过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.[解析]我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D 的纵坐标与点B 的纵坐+标相等即可.证明：如图，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系.设抛物线的方程为12p=22y px, (1)=过点A 的坐标为（，y 0）,则直线OA 的方程为抛物线的准线方程是联立(2)(3)，可得点D 的纵坐标为因为点F 的坐标为（，0），所以直线AF 的方程为联立(1)(5)，可得点B 的纵坐标为由(4)(6)可知，DB ∥x 轴. 当y 2=p 2时，结论显然成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴.例4 已知抛物线的方程为y 2=4x ，直线l 过定点P （-2,1），斜率为k , k 为何值时，直线l 与抛物线y 2=4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[解析]用[解析]法解决这个问题，只要讨论直线l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l 与抛物线的位置关系.202y p0020py x(y ), (2)y =≠2px . (3)=-2p y . (4)y =-2p022022022py py (x ), (5)y p y p .=--≠其中2p y . (6)y =-由方程组()12 ,y k x .-=+解：由题意设直线的方程为l ()2124y k x ,y x ,⎧-=+⎪⎨=⎪⎩()*()244210-++=可得ky y k ()101k ,y .==当时由方程得21144y y x,x .===把代入得114,(,).这时直线与抛物线只有一个公共点l ()()2201621k , k k .≠∆=-+-当时方程的判别式为211021012,k k ,k ,k .︒∆=+-==-=由即解得或112,k ,k ,,.,.=-=*于是当或时方程①只有一个解从而方程组（）只有一个解这时直线与抛物线只有一个公共点l 212021012,k k ,k .︒∆>+-<-<<由即解得1102,k k ,,.,.-<<≠于是当,且时方程有两个解从而方程组有两个解这时直线与抛物线有两个公共点l 112,k ,k ,,.,.<->于是当或时方程 没有实数解从而方程组没有解这时直线与抛物线没有公共点l ,综上我们可得1102k ,k ,k .=-==当或或时，直线与抛物线只有一个公共点l课堂检测1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x[解析] 由题意知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴标准方程为y 2＝8x .[答案] B2．直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的公共点的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个[解析] 直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点． [答案] B3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.[解析] |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. [答案] 84．通过抛物线的焦点且垂直于抛物线的对称轴的直线与抛物线交于两点，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，求证：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的通径长为2p .证明 如图，过通径的两端点A 、B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，由题意四边形AA ′B ′B 是矩形，由抛物线的定义知：AA ′＝AF ＝p ，BB ′＝BF ＝p ，1102k k ,.-<<≠当，且时直线与抛物线有两个公共点l 112k ,k ,,.<->当或时直线与抛物线没有公共点l∴通径AB的长为：AF＋BF＝2p.课堂小结1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线动点的规律，一般用定义法．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，设而不求，能避免求交点坐标的复杂运算．3．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质等.。

2.3.2 抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形性质焦点⎝⎛⎭⎫p2，0⎝⎛⎭⎫－p2，0⎝⎛⎭⎫0，p2⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R性质对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋b，y2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4xC [由准线方程为x ＝－2，可知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p ＝4，所以抛物线的方程为y 2＝2px ＝8x .]2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．直线y ＝2x －1与抛物线x 2＝12y 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2＝12y ，得2x 2－2x ＋1＝0，即Δ＝4－8<0， ∴y ＝2x －1与x 2＝12y 无交点，故选C ．]抛物线的几何性质求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[解] 当焦点在x 轴的正半轴上时，设方程为y 2＝2px (p >0)． 当x ＝p2时，y ＝±p ，由|AB |＝2p ＝8，得p ＝4.故抛物线方程为y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2. 当焦点在x 轴的负半轴上时，设方程y 2＝－2px (p >0)．由对称性知抛物线方程为y 2＝－8x ， 焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，为p 2.[跟进训练]1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33xC [设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C ．]抛物线的焦点弦问题(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．[思路点拨] (1)设出l 的方程，与抛物线联立，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用|AB |＝x A ＋x B ＋p 求解．(2)由代数法或几何法求解．[解] (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.法二：如图，作AC ⊥l ，BD ⊥l ，ME ⊥l ，易知|ME |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝12×9＝92.1．已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (3)S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .[跟进训练]2．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且A ，B 两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C 的方程．[解] 由于抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，故可设直线AB 的方程为x ＝my ＋p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1y 2＝－p 2， ∴－p 2＝－4. 由p >0，可得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .直线与抛物线的位置关系1．过点(1,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个公共点的直线有几条？ 提示：两条，如图．2．借助直线与抛物线的方程组成的方程组解的个数能否说明直线与抛物线的位置关系？ 提示：不一定．当有两解或无解时，可以说明两者的关系，但只有一解时，需分清相交还是相切．【例3】 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有：(1)一个公共点？ (2)两个公共点？(3)没有公共点？ [思路点拨]联立方程组――→消元关于x 的方程――――――――――――→讨论x 最高项的系数再分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三类求解[解] 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k 2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．[跟进训练]3．求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． [解] 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，设为k ，则过P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0， 当k ＝0时，得x ＝12，y ＝1.故直线y ＝1与抛物线相交，只有一个公共点． 当k ≠0时，由直线与抛物线只有一个公共点， 则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，此时直线y ＝12x ＋1与抛物线相切，只有一个公共点．∴y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．1．判断正误(1)在抛物线y 2＝2px (p >0)中，p 值越大，抛物线的开口越开阔，p 值越小，开口越扁狭．( ) (2)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形． ( ) (3)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上． ( ) (4)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切． ( ) (5)直线与抛物线相交时，直线与抛物线不一定有两个公共点． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]3.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝3xB ．y 2＝9xC ．y 2＝32xD ．y 2＝92xA [过A 、B 作l 的垂线，分别交l 于A 1、B 1点． 因为|BB 1|＝|BF |，|BC |＝2|BF |，所以∠B 1BC ＝60°， 所以∠A 1AF ＝60°，又因为|AA 1|＝|AF |，所以|A 1F |＝3， 所以|O 1F |＝32＝p ，所以抛物线的方程为y 2＝3x .]4．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．[解] (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，因为P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离，所以4＋p2＝6，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.因为直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A ，B ，则有k ≠0，Δ＝64(k ＋1)>0， 解得k >－1且k ≠0. 又x 1＋x 22＝2k ＋4k2＝2，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)，所以k 的值为2.。

2019-2020年高中数学《2.3.2 抛物线的简单几何性质》教案2 新人教A版选修1-12019-2020年高中数学《2.3.2平面向量的基本定理》教学案新人教版必修4【学习目标】会利用向量基本定理解决简单问题；掌握线段中点的向量表达式． 【重点、难点】平面向量基本定理及其应用．平面向量基底的理解和定理的应用【温故而知新】向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个 ,使 . 【教材助读】 阅读课本P83面并回答问题如果e 1和e 2(如图2－3－7①)是同一平面内的 的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在 一对实数λ1，λ2，使 (如图2－3－7②)，其中 的向量e 1和e 2叫作表示这个平面内所有向量的一组 ．答案：两个不共线 唯一 a ＝λe 1＋λ2e 2 不共线 基底【预习自测】1.设e 1,e 2是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是( B ).A .和B .C .D .2.如图所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量等于( A ).A .B .C .D .【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ、μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量． 【思路探究】 根据平面向量基本定理和基底的概念加以判断．【自主解答】 (1)正确．若λ≠0，则e 1＝－μλe 2，从而向量e 1，e 2共线，这与e 1，e 2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．(3)正确．平面α内的任一向量a 可表示成λe 1＋μe 2的形式，反之也成立．(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe 1和μe 2确定后，其和向量λe 1＋μe 2便唯一确定．变式：设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__③______．(写出所有满足条件的序号) 【例2】； 课本P84【例4】 【例3】课本P84【例5】 【我的收获】三、课后知能检测课本84面第1、第2题 课本85面第5，6，7题1．已知平行四边形ABCD ，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.AD →，CB →D.AB →，DA →【解析】 结合图形及基底的概念知D 正确，故选D. 2．下列关于基底的说法正确的序号是( ) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的． A ．①② B ．①③C ．②③ D ．①②③【解析】 由基底的定义可知①③正确．【答案】 B3．(xx·四川高考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.【解析】 由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →. 又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 【答案】 2图2－3－94．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、 AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →. 【解】 连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形．依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－(a －12b )－12×12b ＝14b －a .5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 原式可化为OP →－OA →＝λ(e 1＋e 2)，其中e 1，e 2分别是AB →，AC →方向上的单位向量．∴AP →＝λ(e 1＋e 2)，(λ≥0)，因此，AP 平分∠BAC ，∴P 必落在∠A 的平分线上， 即P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选B.6．设G 是△ABC 的重心(即三条中线的交点)，AB →＝a ，AC →＝b .试用a ，b 表示AG →＝________.【解析】 延长AG 交BC 于D ，【答案】 13a ＋13b7．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__________．【解析】 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 即得λ≠48．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【解析】 由于AN ＝3NC ，∴CN ＝14CA ，∴MN →＝MC →＋CN →＝12AD →－14AC →＝12AD →－14(AB →＋AD →)＝14AD →－14AB →＝14b －14a .【答案】 14b －14a9．判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．【解】 (1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立．(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线矛盾．所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．10．已知AP →＝λAB →(λ∈R )，O 是平面内任意一点(O 不在直线AB 上)． (1)试以OA →，OB →为基底表示OP →； (2)当λ＝12时，试确定点P 的位置．【解】 (1)∵AP →＝OP →－OA →，AB →＝OB →－OA →.由AP →＝λAB →得(OP →－OA →)＝λ(OB →－OA →)， ∴OP →＝λOB →＋(1－λ)OA →.(2)当λ＝12时，由(1)可知OP →＝12OB →＋12OA →＝12(OA →＋OB →)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P 为线段AB 的中点．。

2.3.2 抛物线的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解抛物线的几何性质．(2)与抛物线有关的轨迹的求法，直线与抛物线的位置关系．2．过程与方法(1)灵活运用抛物线的性质．(2)培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)训练学生分析问题、解决问题的能力．(2)培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．●重点、难点重点：(1)掌握抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．难点：抛物线各个几何性质的灵活应用．(教师用书独具)●教学建议本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．学法指导包括：联想法、观察分析法、练习巩固法．这样，本节课的重点与难点就迎刃而解了．●教学流程提出问题：你能说出抛物线y2＝2px p＞0的几何性质吗？⇒引导学生结合图象得出抛物线四种形式的几何性质，并对比它们的区别与联系.⇒通过引导学生回顾直线与椭圆的位置关系问题，引出直线与抛物线的位置关系知识.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握抛物线的性质及应用问题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握抛物线的焦点弦问题.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第39页)课标解读1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系．(难点)抛物线的几何性质类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？【提示】范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形续表标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线有哪几种位置关系？【提示】三种：相离、相切、相交．2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？【提示】不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．直线与抛物线的位置关系与公共点位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点(对应学生用书第40页)抛物线简单几何性质的应用如图2－3－3所示，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A图2－3－3是抛物线上的一点，其横坐标为4，且在x 轴的上方，点A 到抛物线的准线的距离等于5，过A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求直线MN 的方程． 【思路探究】 (1)根据题意你能求出p 的值吗？ (2)M 点的坐标是多少？直线MN 的斜率呢？【自主解答】 (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)，F (1,0)， ∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)，直线MN 的方程为y －2＝－34x ，即3x ＋4y －8＝0.研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，离心率不变总为1.已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p2，∴A 、B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ，∴|AB |＝2|p |. ∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线标准方程为y 2＝±42x .直线与抛物线的位置关系问题已知：直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？【思路探究】 (1)联立直线l 与抛物线C 的方程，得到的关于x 的方程是什么形式？(2)能直接用判别式法判断公共点的情况吗？【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程变为－4x ＋1＝0，x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与C 只有一个公共点(14，1)，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：Δ＝(2k －4)2－4k 2×1＝16－16k①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时l 与C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时l 与C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与C 有一个公共点； (2)当k ＜1，且k ≠0时，直线l 与C 有两个公共点； (3)当k ＞1时，直线l 与C 没有公共点．1．直线与抛物线的位置关系判断方法．通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，利用判别式解决．Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离．(2)当a ＝0时，方程只有一解x ＝－cb，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合． 2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的．若过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 有两个公共点，求直线的斜率k 的取值范围． 【解】 设直线方程为y －2＝k (x ＋3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x ＋3y 2＝4x消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为y ＝2，直线y ＝2与抛物线y 2＝4x 相交，有一个公共点，不合要求； (2)当k ≠0时，Δ＝16－4k (8＋12k )＞0. ∴－1＜k ＜13，因此－1＜k ＜13且k ≠0.综上可知，斜率k 的取值范围为{k |－1＜k ＜13且k ≠0}.抛物线的焦点弦问题已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．【思路探究】 (1)焦点在x 轴上的抛物线方程如何设？(2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？【自主解答】 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时， 可设抛物线标准方程是y 2＝2px (p ＞0)， 则焦点F (p 2，0)，直线l 为y ＝x －p2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线AA 1、BB 1，垂足分别为A 1、B 1.则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝x 1＋x 2＋p ＝6，∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得(x －p2)2＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .1．本题是通过抛物线的性质求其方程的典型例题，抛物线的方程有两种形式，解答时切勿漏掉．2．过焦点F 和抛物线相交的弦叫做抛物线的焦点弦，在解决与焦点弦有关的问题时，一是注意用焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数关系解题，二是注意抛物线定义的灵活运用，特别应注意整体代入的方法．本例中，若把直线的倾斜角改为135°，被抛物线截得的弦长改为8，其他条件不变，试求抛物线的方程．【解】 如图，依题意当抛物线方程设为y 2＝2px (p ＞0)时， 抛物线的准线为l ，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.于是x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2. 故所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .(对应学生用书第41页)忽略特殊直线致误求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 【错解】 设直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点； 当k ≠0时，Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求的直线方程为y ＝1或y ＝12x ＋1.【错因分析】 本题直接设出了直线的点斜式方程，而忽视了斜率不存在的情况，从而导致漏解．【防范措施】 在解直线与抛物线的位置关系时，往往直接把直线方程设成点斜式方程，这样就把范围缩小了，而应先看斜率不存在的情况是否符合要求，直线斜率为0的情况也容易被忽略，所以解决这类问题时特殊情况要优先考虑，画出草图是行之有效的方法．【正解】 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y 2＝2x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由错解可知，y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以求出抛物线的方程．2．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，求焦点弦长，一般不用弦长公式． 3．直线和抛物线的位置关系问题的通法与椭圆、双曲线一样，即联立方程消未知数，产生一元二次方程，用判别式Δ、根与系数关系解决问题．(对应学生用书第42页)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的对称轴为( ) A ．y 轴 B ．x 轴 C ．x ＝－a2D ．x ＝－a4【解析】 形如y 2＝±2px (p ＞0)的抛物线的对称轴为x 轴． 【答案】 B2．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程( ) A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y【解析】 依题意，p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y . 【答案】 C3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－12，则a ＝________.【解析】 抛物线方程可化为x 2＝1a y ，由题意14a ＝12，∴a ＝12.【答案】 124．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，求点P 的坐标．【解】 根据题意可知：|PF |＝|PO |，其中O 为原点，F 为焦点，∴x P ＝x F 2＝18，∴y P ＝±18＝±122＝±24，∴P (18，±24).(对应学生用书第101页)一、选择题1．(2013·泰安高二检测)已知抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝8，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝±8xD ．x 2＝±8y【解析】 由抛物线的定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝2p ＝8，∴p ＝4，故标准方程为y 2＝±8x .【答案】 C2．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于( ) A.18 B.14C.12D ．1【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x ，消y 得ax 2－x ＋1＝0.∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2＋1相切， ∴方程ax 2－x ＋1＝0有两相等实根． ∴判别式Δ＝(－1)2－4a ＝0，∴a ＝14.【答案】 B3．(2013·长沙高二检测)过点M (2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线共有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由于M (2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x 轴平行的线，另一条是过M 的切线，如果点M 不在抛物线上，则有3条直线．【答案】 B4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是( )A ．11.25 cmB ．5.625 cmC ．20 cmD ．10 cm【解析】 如图建立直角坐标系，则A (40,30)，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，将点(40,30)代入得p ＝454，所以p2＝5.625即光源到顶点的距离．【答案】 B5．若点P 在y 2＝x 上，点Q 在(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.3－1 B.102－1 C ．2 D.112－1 【解析】 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为Q ′(3,0)，要求|PQ |的最小值，只需求|PQ ′|的最小值．设P 点坐标为(y 20，y 0)，则|PQ ′|＝y 20－32＋y 2＝y 202－5y 20＋9＝y 20－522＋114. ∴|PQ ′|的最小值为112， 从而|PQ |的最小值为112－1. 【答案】 D 二、填空题6．(2013·台州高二检测)设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝______.【解析】 设P (x,12)，代入到y 2＝16x 得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.【答案】 137．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．【解析】 由已知得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B (p4，1)将其代入y 2＝2px 得p＝2，则点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.【答案】342 8．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．【解析】 ∵y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0， 即3x 2－10x ＋3＝0. ∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3. ∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.【答案】 3三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，A (x 0，y 0)，由题知 M (0，－p2)．∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17， ∴x 20＋(y 0＋p2)2＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p (3－p2)，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2＝4y 上，点M (0,4)满足MA →＝λMB →(λ≠0)，求证：OA→⊥OB →.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．∵MA →＝λMB →，∴M 、A 、B 三点共线，即直线AB 过点M . 设l AB ∶y ＝kx ＋4(易知斜率存在)，与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －16＝0， Δ＝(－4k )2－4×(－16)＝16k 2＋64＞0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－16， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋4)(kx 2＋4) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋4k (x 1＋x 2)＋16＝(1＋k 2)·(－16)＋4k ·(4k )＋16＝0， ∴OA →⊥OB →.11．(2013·泰州高二检测)已知抛物线x 2＝ay (a ＞0)，点O 为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点．(1)若直线l 过点D (0,2)且a ＝4，求△AOB 的面积；(2)若直线l 过抛物线的焦点且OA →·OB →＝－3，求抛物线的方程． 【解】 (1)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线方程x 2＝4y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ＋2，消去y ，得x 2－4x －8＝0.则Δ＝16－4×(－8)＝48＞0恒成立．设l 与抛物线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2. ∴x 1＝2－23，x 2＝2＋2 3. 则|x 2－x 1|＝4 3.∴S △AOB ＝12·|OD |·|x 2－x 1|＝12×2×43＝4 3.(2)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋a4.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a 4，x 2＝ay ，⇒x 2－ax －a 24＝0，∵Δ＞0，设直线l 与抛物线交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－a 24.又已知OA →·OB →＝－3， 即x 1x 2＋y 1y 2＝－3，∴x 1x 2＋(x 1＋a 4)(x 2＋a4)＝－3，∴2x 1x 2＋a 4(x 1＋x 2)＋a 216＝－3， ∵a ＞0，∴a ＝4.∴所求抛物线方程为x 2＝4y .(教师用书独具)已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 【解】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )， 则|PA |2＝(x －23)2＋y 2＝(x －23)2＋2x＝(x ＋13)2＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增， ∴当x ＝0时，|PA |min ＝23，距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一 设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点， 则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝|y 22－y 0＋3|2＝|y 0－12＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为(12，1)．法二 设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为(12，1)，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离， 即d min ＝524.已知抛物线y 2＝4x 与直线x ＋y －2＝0的交点为A 、B ，抛物线的顶点为O ，在AOB 上求一点C ，使△ABC 的面积最大，并求出这个最大面积．【解】 设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为x ＋y －b ＝0，将它与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去x 得方程y 2＝4(b －y )，即y 2＋4y －4b ＝0.由Δ＝42－4(－4b )＝0得b ＝－1，故切线为x ＋y ＋1＝0. 求得切点C (1，－2)．因直线x ＋y ＋1＝0与x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋2|2＝322.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y 2＝4x ，解得交点坐标为A (4＋23，－2－23)、B (4－23，－2＋23)． ∴|AB |＝4 6.于是S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×46×322＝6 3.所以当C 点为(1，－2)时，S△ABC的最大值为6 3.。

2019-2020年高三数学抛物线的几何性质教案新人教A版（1）抛物线的几何性质下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．（2）例题的讲解与引申例3有2种解法；解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p例4涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．附教学教案2019-2020年高三数学抽样方法教案同步教案新人教A版一、本讲进度1．1抽样方法1．2总体分布的估计课本第4页至第14页二、本讲主要内容1．三种抽样方法的概念及比较2．总体分布的估计——总体密度曲线三、学习指导1．随着当今社会信息化程度的日益提高，为了及时获取信息，我们往往不是对所研究的对象进行全面调查，而是采取抽样调查的方法，通过样本推测全体对象的情况，“抽样调查”一词已成为常用词汇。

那么，怎样根据问题的需要和对象的特征，合理地抽取样本呢？一般有常用的三种抽样方法：（Ⅰ）简单随机抽样：定义见课本P.4（1）特点：被抽取样本的总体的个体数有限，从总体中逐个地进行抽取且不放回抽样。

它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，这样就保证了这种抽样方法的公平性。

《抛物线的简单几何性质》教学设计中山市杨仙逸中学梁永毅一、本节课内容分析与学情分析1、教材的内容和地位本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版《数学》选修1—1第二章第三节的内容。

它是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，是高中数学的重要内容。

本节内容的学习，是对前面所学知识的深化、拓展和总结，可使学生对圆锥曲线形成一个系统的认识，同时也是一个培养学生数学思维和让学生体会数学思想的良好机会。

2、学生情况分析在此内容之前，学生已经比较熟练的掌握了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质，以及研究问题的基本方法。

本节课，学生有能力通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程去探索抛物线的几何性质。

可培养学生的自主学习能力和创新能力。

二、教学目标1、知识与技能：（1）理解并掌握抛物线的几何性质。

（2）能够运用抛物线的方程探索抛物线的几何性质。

能力目标：2、过程和方法：注重对研究方法的思想渗透，掌握研究曲线性质的一般方法；培养运用数形结合思想解决问题的能力。

3、情感态度价值观：通过对几何性质的探索活动，亲历知识的构建过程，使学生领悟其中所蕴含的数学思想，数学方法，体会新知识探索过程中带来的快乐和成就感。

让学生养成自主学习，合作探究的习惯。

三、教学重点、难点教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

难点是抛物线各个知识点的灵活应用。

四、教学方法及手段采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。

五、教学程序教 学 过 程教学内容教师导拨与学生活动设计意图一、知识回顾1、 抛物线的定义：在平面内,与一个定点F 和一条定直线不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 2、 抛物线的标准方程2, 22-图形标准方程 焦点坐标准线方程抛物线的定义及标准方程由学生口述，老师展示结论 强化)0(22>=p px y )0,2(p 2p x -=)0(22>-=p px y )0,2(p -2p x =)0(22>=p py x )2,0(p2p y -=)0(22>-=p py x )2,0(p -2p y =22(0)y px p =>0≥x 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。

课题：2.3.2抛物线的简单几何性质（第1课时）教学目标：知识和技能目标：理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．过程与方法目标：能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论情感态度与价值观目标：培养合作学习的意识，通过对抛物线几何性质的讨论体会成功，注意数与形的结合与转化的喜悦。

教学重点、难点重点：能够推导抛物线的性质并掌握抛物线性质的应用难点：利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程及解决其它问题教学模式：启发探究式教学辅助手段：多媒体辅助教学教学过程（一）、提出问题我们已经学习了椭圆及双曲线的几何性质，请同学们回忆一下，是从哪几个方向研究的？（二）、新课教学探究：类比椭圆、双曲线几何性质，探究抛物线的几何性质以y2=2px（p>0）为例推导抛物线的简单几何性质，其余3种情况由学生推导（三）、思考交流1、抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的几何性质有什么区别？2、椭圆的圆扁程度，双曲线的张口大小用离心率e来刻画，那么抛物线的开口大小由什么决定？（在同一坐标系中画出抛物线比较开口）（四）、基本例题分析例1、已知抛物线以x轴为对称轴，顶点是坐标原点，并且经过点M（2,-22），求抛物线的准线方程。

变式1：已知顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点M（2,-22），求抛物线方程。

规律方法：从方程形式上看，求抛物线标准方程只需确定一个待定系数p ，但在实际问题中要根据草图对开口方向和p 进行讨论。

例2、已知抛物线y 2=4x ，过焦点F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于A 、B 两点，求AB 。

补充说明2p 的几何意义：2p 是通径的长度变式1：斜率为1的直线l 经过抛物线x y 42=的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长。

结论：直线l 经过抛物线px y 22=（0>p ）的焦点交抛物线于A （11,y x ）、B ()22,y x 两点，则线段AB 的长度为 （用含p x x ,,21的式子表达）。

2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。

二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。

2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。

三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。

【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。

1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。

我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。

【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。

问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为0,0>≥y x问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程0,22>=p px y 中，y 并无限制，因此R y ∈。

而因为022≥=y px ，且0>p ，所以0≥x 。

【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。

《抛物线的简单几何性质》教学案教学目标：1、掌握抛物线的几何性质，能应用性质解决有关问题；2、从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.教学重点：抛物线的几何性质及其运用.教学难点：抛物线几何性质的运用.教学过程设计：一、温故知新1．抛物线的定义.2．抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程.二、探索新知同学们觉得这节课应该研究 什么内容？类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课应该来研究“抛物线的几何性质”. 提醒学生从数(方程)和形(图像)两个角度去研究抛物线的几何性质.请学生自己先类比椭圆双曲线的几何性质的研究方法，必要时可与同桌讨论.类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022>=p px y 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：1．范围数：由抛物线y 2 =2px (p >0)所以抛物线的范围为 0x ≥形：抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.2．对称性数： (),x y Q 与 (),x y -关于 x 轴对称，若点 (),x y 在抛物线上，即满足 22y px =， 则 ()22y px -=，即点(),x y -也在抛物线上， 0p >220px y =≥o x )0,2(p F P(x,y)故抛物线22y px =()0p >关于x 轴对称.形：从图像观察，关于x 轴对称，显而易见.注意：抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.3．顶点定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.数：()220y px p ∴=>中，令0y =则0x =即抛物线()220y px p =>的顶点是()0,0 形：从图像看，显然原点既是顶点.注意：这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.4.离心率定义：抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率. 由定义知， 抛物线y 2 = 2px (p >0)的离心率为e =1.探究：对于其它几种形式的方程，它们的性质如何，学生分析回答：(通过对照完成表) 练习1：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？(1)抛物线只位于___________个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有___________条对称轴，___________对称中心；(3)抛物线只有___________个顶点、___________个焦点、___________条准线；(4)抛物线的离心率是确定的，其值为___________．思考：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响？P 越大开口越开阔补充性质：1、通径：标准方程中2P 的几何意义.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度=2P P 越大开口越开阔 2、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径焦半径公式：02p PF x =+ 其他三种标准的抛物线对应的焦半径公式呢？三、典例分析：o x )0,2(p F P(x,y)例1：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2， )，求它的标准方程. 通径长=？MF长＝？变式：把“关于x轴对称”改成“关于坐标轴对称”，结果会有什么不同？设计意图：应用抛物线几何性质求出标准方程，及通径长，焦半径公式应用.练习题：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.2、已知点A(-2，3)与抛物线的焦点的距离是5，则P=_________________.四、课堂小结：知识点：1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；2、对称性：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于1；5、通径：抛物线的通径为2P，2p越大，抛物线的张口越大.6、焦半径公式：数学思想及方法：类比，归纳，数形结合.。

2019-2020学年高中数学 2.3.2 抛物线的几何性质（2）教案 新人教版选修1-1【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。

【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。

（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。

（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。

【教学重点】：抛物线的几何性质及其运用。

【教学难点】：抛物线几何性质的运用。

【课前准备】：Powerpoint 或投影片 教学环节教学活动 性质：212121211()4y y y y y k -=++-22121211()4x x k x x x -=++-正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线|OA|，2=解：如图，由抛物线的标准方程可知，练习与测试：1．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ）(A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C ) x 2＝2y (D) y x 212=2．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）3． 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( )A. 4B. 2C. 41D. 214．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为5．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积．7．已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点 ,①求证;OB OA ⊥;②当OAB ∆的面积等于10时,求k 的值.测试题答案： 1．A2．D 3．A 4．x 2＝±8y5．9)23(22=++y x 6257．解析(证明):设 ),(),,(222121y y B y y A --; )0,1(-N),1(),1(222121y y NB y y NA -=-=,由A,N,B 共线21222211y y y y y y -=- )()(212112y y y y y y -=-∴, 又21y y ≠121-=∴y y --------------------------------------------------------------③OB OA y y y y y y y y ⊥∴=+=+=∙∴0)1(2121222121② 12121y y S OAB-⋅⋅=∆ 由⎩⎨⎧+=-=)1(2x k y x y 得02=-+k y ky 61,104121121212±=∴=+=-⋅⋅=∴∆k k y y S OAB。

2.3.2 抛物线的简单几何性质1【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。

【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。

（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。

（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。

【教学重点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。

【教学难点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。

【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：三、例题讲解例1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,23），求这条抛物线的准线方程。

解：⑴若抛物线开口向右，设抛物线的标准方程为22(0)y px p=>∵()22324p=∴32p=∴抛物线的标准方程为34x=-⑵若抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为22(0)x py p=>∵24223p=∴433p=∴抛物线的标准方程为233y=-例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。

已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。

三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为22(0)y px p=>，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：230240p=，254p=所以所求抛物线的标准方程为2452y=，焦点坐标是.例3 过抛物线pxy22=的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。

2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；2．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质： 标准方程 图形顶点 对称轴 焦点 准线 离心率()022>=p pxyx y O F l ()0,0 x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -= 1=e()022>-=p px y x yO F l()0,0x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p 2p x = 1=e ()022>=p py x ()0,0 y 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2p y -= 1=e()022>-=p py x ()0,0 y 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p 2p y = 1=e注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=-= 2．直线与抛物线：（1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0≠k ，设b kx y l +=:将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点（相离）抛物线的简单几何性质(三）2．直线与抛物线：（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=，其中a 和∆分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式相应的变为： d =（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

3.3.2抛物线的简单几何性质(第一课时)教学设计（一）教学内容：抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质，抛物线几何性质的应用.（二）教学目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率的简单几何性质；2.根据抛物线的几何性质,利用数形结合思想，会求解抛物线的标准方程；3.通过抛物线几何性质的应用提升学生直观想象、数学运算、逻辑推理素养（三）教学重点和难点重点：抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质；难点：抛物线几何性质的应用（四）教学过程设计1、复习引入问题1：(1)抛物线的定义是什么？抛物线的标准方程是什么？【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。

问题2：上一节我们学习了抛物线的标准方程，对于这个新的曲线，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？【师生活动】学生独立思考．教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“椭圆与双曲线”；然后指引学生回顾椭圆、双曲线研究了哪些内容，如椭圆、双曲线中研究了范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；最后确定本节课抛物线简单几何性质的研究问题：范围、对称性、顶点、离心率．【设计意图】引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比椭圆与双曲线，提出要研究的问题．问题3：阅读教科书第134页“思考”，类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线22(0)=>的哪些几何性质？如何研究y px p这些性质？【师生活动】学生独立观察，充分思考．根据学生思考的结果，教师可以适时地选择以下问题进行追问．追问：（1）你认为研究抛物线的哪些简单几何性质？（从椭圆、双曲线的简单几何性质入手）.（2）你从哪个角度来分析抛物线的简单几何性质. （直观感知图形的性质，再用方程进行论证，将方程具体结合到几何进行论证）.【师生活动】教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，得到抛物线的简单几何性质的内容．【设计意图】让学生充分经历从观察、分析到证明的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学直观想象、逻辑推理的时机．2、合作学习探究新知探究：类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法，y2=2px(p> 0)你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？【师生活动】要求学生自学，再在小组讨论，小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导。

2.3.2抛物线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养发展直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）能借助抛物线的几何图形与标准方程理解抛物线的简单几何性质 （2）能用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题，如判断直线与抛物线的位置关系以及定值、最值问题 3.学习重点抛物线的简单几何性质 4.学习难点用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材6063P P -，思考直线与抛物线的位置关系有哪些? 任务2 完成63P 的练习 2．预习自测1. 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：B解析：考查抛物线的简单几何性质2．过抛物线22y px =(0)p >的焦点作一条直线交抛物线于A 11(,)x y 、22(,)B x y ，则1212y y x x 为（ ）A ．4B ．－4C ．2pD ．2p - 答案：B解析：考查抛物线的简单几何性质3．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点．若126x x +=，则AB =____ ． 答案：8解析：考查抛物线的简单几何性质 （二）课堂设计 1.知识回顾关于抛物线的标准方程:①p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数． ②方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.③焦点的非零坐标是一次项系数的14. 2.问题探究 问题探究一 抛物线的简单几何性质1．抛物线 ()220y px p =>有哪些简单几何性质呢？(1)对称性：以－y 代y ，方程()220y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p(5)范围：由220,0y px p =≥>知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y | 也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，P 值越大，它开口越开阔2.直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交.（1）直线的斜率存在时，设直线y kx m =+与抛物线()220y px p =>相交于()()11122,,,A x y B x y 两点，将y kx m =+代入()220y px p =>，消去y 并化简，得2222()0k x mk p x m +-+=①当0k =时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点.②当0k ≠时， 0∆>⇔直线与抛物线相交⇔直线与抛物线有两个公共点；0∆=⇔直线与抛物线相切⇔直线与抛物线有且只有一个公共点0∆<⇔直线与抛物线相离⇔直线与抛物线无公共点（2）直线的斜率不存在时，设直线:l x m =，抛物线：()220y px p =>，显然 当0m <时，直线与抛物线相离，无交点；当0m =时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0m >时，直线与抛物线相交，有两个交点.（3）过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的焦点弦．（4）通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 称为抛物线的通径，通径|AB |的长等于2p（5）抛物线上的点到焦点的距离，叫做焦半径，当y 2＝2px (p >0)时，抛物线上的点的坐标()00,P x y ，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则焦半径02p PF x =+.问题探究二 用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题例1.已知抛物线的方程为x y 22=，直线l 的方程为)(1R k kx y ∈+=，当k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点;有两个公共点；没有公共点.【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论；数学思想：数形结合，分类讨论】详解：221y xy kx ⎧=⎨=+⎩01)22(22=+-+⇒x k x k11.0-210,,2k x x 当时,则此时直线与抛物线只有一个公共点;=+== 2212.04140,,2k k k k 时,（）则直线与抛物线只有一个公共点;≠∆=--== 13.000,2k k k 当时,且直线与抛物线有两个公共点;≠∆>⇒<≠14.00,2k k 时,直线与抛物线没有交点.≠∆<⇒>例2.已知过抛物线x y 42=的焦点F 的弦长为36，求此弦所在的直线的方程 【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论；数学思想：数形结合】详解：∵过焦点的的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率不为0设直线为)1(-=x k y ，与抛物线的交点坐标为),(),,(2211y x B y x A()214y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，则有2221222242)0(0)42(k k x x k k x k x k +=+⇒≠=++- 3624222221=++=++=+=∴k k x x BF AF AB)1(42,42-±=±=∴x y k 所求直线的方程为 例3.求过抛物线()220y px p =>的焦点F 的弦长的最小值．【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合】详解一：如图，设抛物线()220y px p =>的焦点弦的两个端点为()()1122,,A x y B x y 、并设焦点弦所在直线方程为2px my =+①，于是有112222p px my x my =+=+，，将①代入22y px =， 得2220y pmy p --= 所以212122,y y pm y y p +==-.因为()()()2222121212441y y y y y y p m -=+-=+．所以()221AB p m ==+所以2AB p ≥，故当0m =，即过焦点的弦垂直于x 轴时，它的长度最小，其最小值为2p .详解二：如图所示，设焦点弦AB 的中点为E ，分别过,A E B ，作准线l 的垂线，垂足为,,D H C ，由抛物线定义知AD AF =，BC BF =，所以2AB AF BF AD BC EH =+=+=由图可知HE GF ≥，当且仅当AB 与x 轴垂直时，=HE GF ，即min 22AB GF p ==.点拔： 解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x 轴时，此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，则此弦不可能过焦点．例4.设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； (2)若()3,2B ，求PB PF +的最小值．【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合】详解： (1)如图，易知抛物线的焦点为()1,0F ，准线方程是1x =-，由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点()1,1A -的距离与点P 到()1,0F 的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P(2)如图把点B 的横坐标代入24y x =中，得2y =>，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于1P . 此时，由抛物线定义知：11PQ PF =.那么11+=314PB PF PB PQ BQ +≥=+= 即最小值为4.例5.已知抛物线22y x =.(1)设点A 的坐标为2,03⎛⎫⎪⎝⎭，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离PA ；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线30x y -+=的距离最短，并求出距离的最小值．【知识点：点到直线的距离，抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合，函数的思想】详解： (1)设抛物线上任一点(),P x y ，则22222221123333PA x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵0x ≥，且在此区间上函数单调递增，故当0x =时， min 23PA =，故距点A 最近的点的坐标为()0,0.(2)解法一：设点()00,P x y )是22y x =上任一点，则P 到直线30x y -+=的距离为d ===当01y =时，min 4d ==， ∴点P 的坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.解法二：设与直线30x y -+=平行的抛物线的切线为0x y t -+=，与22y x =联立，消去x ，得22+20y y t -=，由=0∆，得12t =，此时11,2y x ==，∴1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离，即min 4d =. 点拔： 有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义，将到焦点的距离与到准线的距离相互转化，用几何意义解决，二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有关距离的函数关系式，转化为目标函数最值解决.例6.已知AOB ∆是一个顶点为抛物线x y 22=的顶点O ,B A 、两点都在抛物线上，且90AOB ∠=o（1）求证：直线AB 必过一定点 （2）求AOB ∆面积最小值【知识点：抛物线的定义，直线的方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】详解：（1）解法一：直线OA 斜率存在且不为0，设OA 所在直线方程为)0(≠=k kx y ,OB 所在直线方程为x ky 1-= 2222022,(,)022x y kx x k A y k k y x y k ⎧=⎪==⎧⎧⎪⇒∴⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩或 同理)2,2(2k k B -，则直线的方程为)2(22222222k x k k kk k y --+=+即22121k kx k k y ---=，过定点)0,2( 解法二：设直线n x my AB +=为，),(),,(2211y x B y x A22122,220,2,480.2my x ny my n y y n m n y x=+⎧⇒-+=⇒=∆=->⎨=⎩ 2222121221212,20,22,0,0y y x x n n n n x OA OB OA OB x x y y n 且∴==∴+=⇒=-⊥∴⋅=+=≠uu r uu u rQ22,0my x ∴=-直线为过定点（）. （2）设AB 直线方程为),(),,(,22211y x B y x A my x +=2+22x my y x =⎧⎨=⎩4,204221212-=+=⇒=--⇒y y m y y my y121211222AOBy y S OP y y Δ-==⇒=⋅-=⋅⋅当AOB S m ∆=,0的面积取得最小值4. 3.课堂总结 【知识梳理】（1）焦半径 抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点()00,A x y ，则四种标准方程形式下的焦半径公式为（2）焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线()220y px p =>)过焦点F 的一条弦，设()()1122,,A x y B x y 、，AB 的中点()00,M x y ，抛物线的准线为l . ①以AB 为直径的圆必与准线l 相切；②0=22p AB x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (焦点弦长与中点关系)；③12=AB x x p ++；④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即212=4p x x ，212=y y p -.【重点难点突破】（1）抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线．（2）为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．（3）要注意根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．（4）在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．（5）p 表示焦点到准线的距离，0,p p >值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄． 4.课堂检测1. 抛物线28x y =-的准线方程是( )A ．132x =B ．2y =C ．14x =D ．4y = 答案：B【知识点：抛物线的几何性质】2.已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M -，求它的方程（ ）A ．2x y =B ．2y =C ．2x y =D ．2x = 答案：A解析：【知识点：抛物线的几何性质】3. 已知抛物线的顶点在原点，准线与其平行线2x =的距离为3，求抛物线的方程．答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质】 与直线2x =的距离为3的平行直线有两条，即：1x =-和5x =． 设抛物线的方程为2y mx =，则14m -=-，或54m-=，∴4m =或20m =-． 故所求抛物线的方程为24y x =或220y x =-． （三）课后作业 基础型 自在突破1．已知()8,P a 在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16 答案：B解析：【知识点：抛物线的几何性质】2. 过抛物线28y x =的焦点，作倾斜角为45︒的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．61 答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】3．过点（0，2）且与抛物线22y px =(0)p >只有一个公共点的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：C解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】4．已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-=的距离是2d ，则12d d +的最小值是( )A.B ．C ．D ．3 答案：C解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】5.过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于A B 、两点O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值是( ) A ．12 B ． 12- C ． 3D ．3- 答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，平面向量的数量积】设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222212121212,,4416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵AB 过焦点，则有212=4y y p -=-， ∴()22212124=431616y yOA OB y y -⋅=+-=-故选D.6．若直线20x y m ++=与抛物线210y x =-恰有两个交点，那么实数m 的取值范围是___________．答案：54m >-解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，一元二次方程的解，二元二次方程的解】能力型 师生共研7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若AMF ∆与AOF ∆ (其中O 为坐标原点)的面积之比为3:1，则点A 的坐标为( )A ． (2B ．(2，-C ．(2D．(2±，答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，三角形的面积】如图，由题意可得，1OF =，由抛物线定义得， AF AM =， ∵AMF ∆与AOF ∆ (其中O 为坐标原点)的面积之比为3:1， ∴()1sin 231sin 2AMF AOFAF AM MAF S S OF AF MAF π∆∆⨯⨯⨯∠==⨯⨯⨯-∠ ∴3AM =，设22000,1344y y A ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，y ，解得20024y y =±∴=， ∴点A的坐标是(2±，，故选D. 8．若P 点在抛物线2y x =上，点Q 在圆22(3)1x y -+=上，则PQ 的最小值为_____．1解析：【知识点：抛物线的标准方程；数学思想：数形结合】9.过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A B 、两点，若A B 、在抛物线的准线上的射影是11A B 、，则11A FB ∠=____________． 答案：90︒解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质；数学思想：数形结合】 探究型 多维突破10. 已知点()()2,0,4,0A B ，动点P 在抛物线24y x =-上运动，则AP BP ⋅取得最小值时的点P 的坐标是______． 答案：()0,0解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质，平面向量的数量积，函数的最小值；数学思想：数形结合】设2,4y P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222,,4,44y y AP y BP y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222252,4,8844162y y y AP BP y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当0y =时取等号，此时点P 的坐标为()0,0．11.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆22+11652x y =的焦点，求抛物线的方程． 答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，椭圆的几何性质】 由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标，又抛物线的准线过椭圆焦点，可求参数p .椭圆22+11652x y =的焦点在p 轴上，焦点坐标为()()06,0,6-，．故抛物线的准线方程为66y y =-=或.当准线方程为6y =-时，设抛物线方程为 ()220x py p =>，则12p =，所求抛物线的方程为224x y =；当准线方程为6y =时，设抛物线方程为()220x py p =->，则12p =，所求抛物线的方程为224x y =-.故所求抛物线的方程为224x y =或224x y =-12．已知过抛物线()220y px p =>的焦点的直线交抛物线于A B 、两点，且52AB p =，求AB 所在的直线方程． 答案：见解析解析：【知识点：抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦，弦长公式，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】解法1：焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()()1122,,A x y B x y 、，若AB Ox ⊥，则522AB p p =<， 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭.由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x ，整理得22220k y py kp --=. 由韦达定理得，212122,py y y y p k+==-.∴12AB y =-21512p pk ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得2k =±.∴AB 所在直线方程为22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或22p y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭解法2：如图所示，抛物线()220y px p =>的准线为2px =-，()()1122,,A x y B x y 、，设A B 、到准线的距离分别为12,d d ，由抛物线的定义知，1122,,22p p AF d x BF d x ==+==+ 于是121253=,22pAB x x p p x x ++=+= 当12=x x 时，522AB p p =<，直线AB Ox 与不垂直． 设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()222221204k x p k x k p -++=. ()2122232p k px x k ++==，解得2k =±. ∴直线AB 的方程为22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或22p y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（四） 自助餐1. 直线=2y kx +交抛物线28y x =于A B 、两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝（ ）A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】2. 已知直线l 与抛物线28y x =交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为（8，8），则线段AB 的中点到准线的距离是（ ） A ．254 B ．252C ．258D ．25 答案：A解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】3.抛物线22y px =与直线40ax y +-=的一个交点是 ()1,2，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )A.B.C.D.2答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】4. 双曲线()2210x y mn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为( ) A. 316B. 38 C. 163D.83答案：A解析：【知识点：抛物线的几何性质，双曲线的标准方程】5.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．如果直线AF 的斜率为PF = ( )A ．B ．8C ．D ．16 答案：B解析：【知识点：直线倾斜角与斜率，抛物线的定义及几何性质】6．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =(0)p >，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是（ ）A ．28pB ．24pC ．22pD ．2p 答案：B解析：【知识点：三角形的面积，抛物线的定义及几何性质】7.抛物线2y ax =（0a >）与直线(0)y kx b k =+≠有两个公共点，其横坐标分别是1x 、2x ．而直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标是3x ，则1x 、2x 、3x 之间的关系是（ ） A ．312x x x =+B ．31211x x x =+ C ．131223x x x x x x =+ D ．121323x x x x x x =+ 答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义及几何性质，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】8.过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理】9．过（0，－2）的直线与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为2，则AB =_____________．答案：解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】10. 求过点()0,1P 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程． 答案：见解析解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】(1)若直线斜率不存在，则过点()0,1P 的直线方程为0x =，由22x y x=⎧⎨=⎩得00x y =⎧⎨=⎩即直线0x =与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点()0,1P 的直线方程为1y kx =+，由方程组2+12y kx y x=⎧⎨=⎩消去y ，得()222110k x k x +-+=. 当0k =时，得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 即直线1y =与抛物线只有一个公共点；当0k ≠时，直线与抛物线只有一个公共点，则()22=4140k k ∆--=，所以12k =，直线方程为1+12y x =.综上所述，所求直线方程为0x =或1y =或1+12y x =.11.已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，抛物线2y px =（0p >）与椭圆在第一象限内交点为Q ．若1260FQF ∠=．(1)求△12FQF 的面积； (2)求此抛物线的方程． 答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的定义及几何性质，三角形的面积；数学思想：数形结合】∵2a =，1b =，∴12F F =∴2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-∙21212()3PF PF PF PF =+-∙． 1243PF PF ∙=． ∴S △12F QF 1213sin 602PF PF =⋅=．(2)设00(,)Q x y 12012F F y =∴013y =代入椭圆方程得0x =．将1)3Q 代入2y px =得p =．∴224y x =． 12.抛物线的焦点F 是圆2240x y x +-=的圆心． (1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于,,,,A B C D ，求AB CD +.答案：见解析解析：【知识点：抛物线的定义、方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系】 (1)由圆的方程知圆心坐标为()2,0．因为所求的抛物线以()2,0为焦点，所以抛物线的标准方程为28y x =.(2)如下图，=AB CD AD BC +-，又=4BC ，所以只需求出AD 即可． 由题意，AD 所在直线方程为()22y x =-，与抛物线方程28y x =联立得()22864022y x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⎨=-⎪⎩，设()()1122,,,A x y D x y ， 所以()()121212126,4,A 2210x x x x AD F DF x x x x +===+=+++=+=， 所以==6AB CD AD BC +-.本题求出12126,4x x x x +==后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得12A AD F DF x x p =+=++，则简单利落.数学视野抛物线、椭圆、双曲线各有其所谓“光学特性”，这些“光学特性”被应用于光学、声学、热学、电子学的各个领域而大放异彩．如光学中灯具与望远镜的设计；声学中的音乐台的抛物面屏墙，椭圆听音实验；电子学中的冲击波排石及激光消痣椭圆；在微波通讯、聚热、发电（如太阳灶、太阳炉、太阳能光电站等）也都用到了圆锥曲线尤其是抛物线的“光学特性”．圆锥曲线在许多大型拱形、薄壳建筑上，在大量生产、生活用品制造上，亦有许多出众表现．如诸多著名桥梁的抛物线型设计，薄壳结构类建筑的椭圆状穹顶，热电站的双曲面冷淋塔．同样，抛物线、椭圆、双曲线也广泛存在于人们日常生活用品和生产用具上，这些妙用是由其特殊的形状和内在特性决定的．。

《抛物线的简单几何性质》教学案教学目标：1、知识与技能：(1)理解并掌握抛物线的几何性质.(2)能够运用抛物线的方程探索抛物线的几何性质.2、过程和方法：注重对研究方法的思想渗透，掌握研究曲线性质的一般方法；培养运用数形结合思想解决问题的能力.3、情感态度价值观：通过对几何性质的探索活动，亲历知识的构建过程，使学生领悟其中所蕴含的数学思想，数学方法，体会新知识探索过程中带来的快乐和成就感.让学生养成自主学习，合作探究的习惯.教学重点：探索和掌握抛物线的简单几何性质.教学难点：抛物线的几何性质在各种条件下的灵活运用.教学过程*情景引入前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据他们的标准方程，得到了它们的简单几何性质.上一节课，我们学习了抛物线的定义和标准方程，本节课，我们根据抛物线的标准方程来探索它的几何性质.师生活动【教师】开门见山点明本节要学内容.【学生】思考前面如何由椭圆双曲线得到它们的相应的几何性质.设计意图：通过类比前面所学的椭圆和双曲线，来得到抛物线的性质，来激发学生的学习兴趣，使学生快速进入课堂.复习回顾抛物线的定义和标准方程.师生活动【教师】利用多媒体投影，引导学生回顾抛物线的定义和标准方程.【学生】复习巩固抛物线的定义的标准方程，一名学生回答定义和标准方程.设计意图：为后期的探索奠定基础，使学生坚定用方程探索性质的信念.*新课讲授类比椭圆和双曲线，以22(0)px p =>y 为例探索抛物线的简单几何性质，它的主要性质如下：(1)范围：0,x y R ≥∈(2)对称性：关于x 轴对称(3)顶点：坐标原点(0,0)(4)离心率：1e =师生活动：【教师】让学生类比椭圆和双曲线的简单几何性质的推导方法，结合抛物线22(0)px p =>y 的图像，利用方程自己推导抛物线的几何性质. 【学生】类比椭圆和双曲线自己思考抛物线自己推导几何性质，每一条几何性质由一名学生代表回答推导的结论.【教师】对每一位学生的回答补充、完善，引导学生总结研究曲线性质的一般方法. 设计意图：把问题留给学生，让学生自主探索解决，培养学生独立思考、自主学习的习惯，树立学习的信心.我们知道了22(0)px p =>y 的几何性质，那么其他三种标准性质22(0)px p =->y ，22(0)x py p =>，22(0)x py p =->有哪些几何性质呢？师生活动【教师】以22(0)x py p =->为例，让学生研究其几何性质，检验学生掌握的情况，点评总结学生的回答.【学生】自己独立思考、推导，一名学生回答.设计意图：培养学生对类比思想的运用，发展学生的创新能力.*典例分析例1、正三角形的一个顶点在坐标原点，另两个顶点,A B 在抛物线24x =y 上，求这个正三角形OAB 的边长.例题分析：此例是几何性质运用的一个典型例题，解题的关键是利用抛物线的对称性找到,A B 两点的位置.学生可通过角度和长度两个方面对三角形进行限定，提出不同的解法.师生活动【教师】投影例1，让学生思考，独立解决.巡视学生的完成情况，并进行指导，板书学生的解题过程.【学生】独立思考，完成，两名学生分别从长度和角度两个方面表述此题的解法.【教师】总结例1，灵活的利用抛物线的对称性来确定,A B 两点的位置，解题的两个想法，分别是从角度和长度两个方向限定正三角形，向学生灌输数形结合的思想.设计意图：巩固所学，让学生灵活运用性质解决问题，一题多解，培养学生的发散思维. 例2、斜率为1的直线l 经过抛物线24x =y 的焦点F ，且与抛物线相交于,A B 两点，求线段AB 的长.例题分析：此例题来源于课本69页例4，一个直线和曲线相交求弦长的典型例题.此例可采取求弦长的一般方法，联立方程求交点，用两点间距离公式或者弦长公式解决.同时此题中的直线经过焦点，可以利用几何性质进行问题的转化，使计算简化.师生活动：【学生】独立完成例2.【教师】选择两名做法不一样的学生进行分析，板书其中一种方法的过程，对比两种做法的差别和优劣，总结解决此类问题的方法.设计意图：巩固所学，让学生感受到几何性质解决问题意义.*练习巩固练习1、垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =于A B 、两点，且AB =求直线AB 的方程.分析：此练习来源于课本72页练习第4题，是例1的一个变式训练题，利用的是抛物线的对称性.师生活动：【师生】学生独立完成，教师核对答案，共同评价，总结解题方法设计意图：巩固所学，检验课堂效果，是例1的一个逆过程，培养学生的逆向思维 练习2、过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A B 、两点，求AB .【学生】一名学生板演，其余学生自己完成【教师】对学生在解题思路和规范性方面进行指导，对比练习2和例2的区别，总结练习2，指出解决此类问题的一般方法.设计意图：对所学知识进一步加深巩固，对比例2，让学生辩证的分析问题.*课堂小结知识点小结：抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率.方法小结：用曲线的方程来研究曲线的性质.数学思想：类比、数形结合.师生活动【学生】回顾本节内容，从知识点和方法两个方面想想本节课的收获【教师】从知识点、方法和数学思想三个方面对本节课进行小结设计意图：引导学生养成自己归纳总结的习惯，体会知识的形成、发展、应用的过程.。