连续系统的s域分析知识讲解

第4章 连续时间系统的S 域分析4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域（一） 定义拉氏正变换：()()()0stf t F s f t e dt ∞-==⎡⎤⎣⎦⎰拉氏逆变换：()()112j st j F s F s e ds j σσπ+∞--∞=⎡⎤⎣⎦⎰ （二） 常用函数的拉氏变换[1] 阶跃函数()01stste u t e dt ss∞-∞-==-=⎡⎤⎣⎦⎰ [2] 指数函数()01a s tatat ste ee e dt a sa s∞-+∞---⎡⎤==-=⎣⎦++⎰ （σ>a -） [3] n t 函数[]21t s =232t s ⎡⎤=⎣⎦1!nn n t s +⎡⎤=⎣⎦[4] 冲激函数()()01stt t e dt δδ-∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0000st stt t t t e dt e δδ-∞---=-=⎡⎤⎣⎦⎰4.2拉普拉斯逆变换（一） 部分分式分解[1]极点为实数，无重根例 求下示函数的逆变换()()()3259712s s s F s s s +++=++ 解 用分子除以分母（长除法）可得()()()()()()322222222225971232277323232232332323221212s s s F s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s +++=++++++=++++++++++=++++++++=++-++ 故有()()()222t t f t t t e e δδ--'=++- ()0t ≥[2]包含共轭复数极点()()12cos sin tA jB A jB e A t B t s j s j αββαβαβ--⎡⎤+-+=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-++⎣⎦例 求下面函数的逆变换()()()223252s F s s s s +=+++ 解()()()()()()()()2222220123252312231212221212s F s s s s s s s s s j s j s k k k s s j s j +=++++=⎡⎤+++⎣⎦+=+++-+=++++-++下面分别求系数012,,k k k()()02725s k s F s =-=+=()()21123121225s j s j k s j s =-++-+==+++ 也即12,55A B =-=，故而可以得到其逆变换的函数表达式 ()()()27122cos 2sin 2555t t f t e e t t --⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()0t ≥ [3]多重极点设有()()()()()()()()()()1111121111k kkk A s A s F s B s s p D s E S K K K s p D S s p s p -==-=++⋅⋅⋅++---现记()()()11kF S s p F s =-则个系数的计算公式为：()()1111111!i i i s p d K F s i ds --==-例 求下示函数的逆变换()()321s F s s s -=+解 将()F s 写成展开式()()()131112232111K K K K F s s ss s =++++++ 容易求得：()202s K sF s ===-为求出与重根有关的个系数，令()()()3121s F s s F s s-=+=故有11123S s K s=--==12122S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭213211222S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭于是有()()()323222111F s s ss s =++-+++ 所求逆变换为()232222t t t f t t e te e ---=++- ()0t ≥4.3微分方程的S 域求解对于二阶连续时间LTI 系统，描述系统的微分方程为()()()()()1010,0y t a y t a y t b x t b x t t ''''++=+≥()()0,0y y --'为系统的初始状态。

实验三 连续系统的s 域分析学号： 姓名： 成绩：一、实验目的（1）熟悉拉氏变换。

（2）掌握系统响应s 域求法。

（3）熟悉系统的频率响应。

二、实验原理连续LTI 系统，在s 域可以用系统函数H(s)描述，其实质是系统冲激响应h(t)的拉氏变换。

)()()(s A s B s H =（1） 拉氏逆变换若H(s)的极点分别为p1,…,pn ，则H(s)可表示为：部分分式+多项式∑=+-+⋅⋅⋅+-+-=Mm m m n n s c p s r p s r p s r s H 02211)(由此可以方便的求出其拉氏逆变换（即对应的时间域信号）。

（2）s 域求响应变换到s 域，系统响应等于激励信号与系统函数相乘)()()(s H s E s R =（3）系统的频率响应如果系统函数H(s)的收敛域包含虚轴，则令s=j ω，得到系统的频率响应H(j ω)。

三、验证性实验 已知系统)(9)(3)(8)(6)()1()1()2(t e t e t r t r t r+=++，其系统函数为8693)(2+++=s s s s H 。

（1） 求零、极点。

程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 zs=roots(b); ps=roots(a);plot(real(zs),imag(zs),'go',real(ps),imag(ps),'rx'); grid;legend('zero','pole');-4-3.5-3-2.5-2问题：该系统的零点能够抵销什么形式的激励信号？（2） 求冲激响应h(t)（系统函数的逆变换） 程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 [r,p,k]=residue(b,a) 运行结果： r =1.5000 1.5000 p = -4 -2 k = [] 则t t e e t h s s s H 245.15.1)(25.145.1)(--+=+++=问题：该系统是不是稳定系统？（3） e(t)=u(t)时，求零状态响应ss s s s E s H s R st u L s E 8693)()()(1)]([)(23+++====程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8,0]; %分母多项式系数[r,p,k]=residue(b,a); %求留数、极点 t=0:0.1:10;f=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t); plot(t,f);02468100.511.5问题：响应的极点有哪些，与激励相同的极点是哪一个，对应着响应的什么分量？（4） 求频率响应H(j ω)。

实验四连续系统地s 域分析030840502赵丽伟一、实验目地（1）熟悉拉氏变换.（2）掌握系统响应s 域求法.（3）熟悉系统地频率响应.二、实验原理连续LTI 系统，在s 域可以用系统函数H(s)描述，其实质是系统冲激响应h(t)地拉氏变换.)()()(s A s B s H = （1） 拉氏逆变换若H(s)地极点分别为p1,…,pn ，则H(s)可表示为∑=+-+⋅⋅⋅+-+-=M m m m n n s c p s r p s r p s r s H 02211)( 由此可以方便地求出其拉氏逆变换（即对应地时间域信号）.（2）s 域求响应变换到s 域，系统响应等于激励信号与系统函数相乘)()()(s H s E s R =（3）系统地频率响应如果系统函数H(s)地收敛域包含虚轴，则令s=j ω，得到系统地频率响应H(j ω).三、验证性实验已知系统)(9)(3)(8)(6)()1()1()2(t e t e t r t r t r +=++，其系统函数为8693)(2+++=s s s s H . （1） 求零、极点.程序：clear;b=[3,9]; %分子多项式系数a=[1,6,8]; %分母多项式系数zs=roots(b);ps=roots(a);figure('Position',[100,100,400,200]);plot(real(zs),imag(zs),'go',real(ps),imag(ps),'rx'); %这里go 代表绿色圆圈同理 rx 代表红色小叉grid;legend('zero','pole'); 命名-4-3.5-3-2.5-2（2） 求冲激响应h(t)程序：clear;b=[3,9]; %分子多项式系数a=[1,6,8]; %分母多项式系数[r,p,k]=residue(b,a)运行结果：r =1.5000 %第一个留数1.5000 %第二个留数p =-4 %第一个极点-2 %第二个极点k =[]则t t e e t h s s s H 245.15.1)(25.145.1)(--+=+++=（3） e(t)=u(t)时，求零状态响应s s s s s E s H s R st u L s E 8693)()()(1)]([)(23+++====程序：clear;b=[3,9]; %分子多项式系数a=[1,6,8,0]; %分母多项式系数[r,p,k]=residue(b,a); %求留数、极点t=0:0.1:10;f=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t);plot(t,f);024681000.51信号稳定后大于1，被放大了（4） 求频率响应H(j ω).程序：b=[3 9]; %分子多项式地系数向量a=[1 6 8]; %分母多项式地系数向量w=0:0.01:100; %生成角频率w 地矢量h=freqs(b,a,w);figure('Position',[100,100,400,300]);subplot(2,1,1),plot(w,abs(h)); %画幅频特性title('abs(H(jw))');grid onsubplot(2,1,2),plot(w,angle(h)); %画相频特性title('angle(H(jw))');grid on020*********00.511.5abs(H(jw))020*********-2-1angle(H(jw))四、设计性实验已知系统)()()()1()2(t e t r t r =+，当e(t)=cos(t)u(t)时，写出其系统函数，利用拉氏变换求系统地零状态响应. H(s)=ss +21E(s)=12+s s R(s)= s s +21*12+s s =1123+++s s s clear;b=[1];a=[1,1,1,1];[r,p,k]=residue(b,a);t=0:0.1:10; f=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t);figure('Position',[100,100,400,300]);plot(t,f);grid;0246810-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8输入为正弦信号，输出同样为正弦信号.输出地信号在幅度上有所衰减，相位地变化是改变了π/2.五、实验要求1．运行验证性实验，观察记录结果.2．完成设计性实验，在实验报告上记录程序和结果.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures,and design. Copyright is personal ownership.RTCrp。