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连续系统的s域分析.

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信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析

信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析

f
(t)

1
2


F
(
)e
j
t
d
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无
穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j
s称为复频率。
f
(t)

1
2j


F (s)e st ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为
t
所以其收敛域为s 平
面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换
1、阶跃函数
L
u(t)


0
estd t
即 u(t ) 1

est


s 0
( 0)
1 s
2、指数函数
s
L eat eatestd t
f
(t)

1
2


F
(
)e
j
t
d
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可
积，即 其中 e t称为收敛因子
F f (t)e t

F1( )


f
(t )e t e j t dt
Lt 1 s2
L t2

2 s3
L tn

n! s n1
4、冲激函数 (t)

连续时间信号与系统的S域分析课件

连续时间信号与系统的S域分析课件

VS
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是了解信号特性 的重要手段。通过s域分析，可以将时域 信号转换为频域信号，实现对信号的频谱 分析，了解信号的频率成分和功率分布等 特性。
THANKS.
系统的实现与仿真
控制系统硬件实现
根据系统设计要求，选择合适的硬件设备，如 传感器、执行器、控制器等，搭建控制系统。
控制系统软件实现
编写控制算法程序，实现控制系统的软件部分。
系统仿真
通过仿真软件对控制系统进行模拟实验，验证系统设计的正确性和有效性。
s域分析的用
05
在通信系统中的应用
信号传输
在通信系统中，信号经常需要经过长距离传输。在传输过程中，信号会受到各种 噪声和干扰的影响，导致信号质量下降。通过s域分析，可以对信号进行滤波、 均衡等处理，提高信号的抗干扰能力，保证信号的传输质量。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。

信号与系统课后习题答案第4章

信号与系统课后习题答案第4章

两边取拉氏逆变换，同样注意到系统初始状态为零，求得该系 统的微分方程描述为
(2) 依照系统方框图与信号流图表示之间的对应关系，分 别画出两系统的信号流图表示，如题解图2.23(c)、(d)所示。
108
第4章 连续信号与系统的S域分析
4.24 线性连续系统的信号流图分别如题图 4.9(a)、(b)所示, 求系统函数H(s)。
66
第4章 连续信号与系统的S域分析
解 本题分别用时域方法计算零输入响应，S域方法计算 零状态响应，然后叠加求得全响应。
(1) 因为
67
第4章 连续信号与系统的S域分析
代入初始条件: yzi(0－)=y(0－)=1, yzi′ (0－)=y′(0－)=1,求得c1=4, c2=－3。所以
又因为
68
题图 4.9
109
第4章 连续信号与系统的S域分析
110
第4章 连续信号与系统的S域分析
111
第4章 连续信号与系统的S域分析
4.25 已知线性连续系统的系统函数如下,用直接形式信号 流图模拟系统，画出系统的方框图。
112
第4章 连续信号与系统的S域分析
解 用直接形式信号流图、方框图模拟连续系统。
题解图 4.19
87
第4章 连续信号与系统的S域分析
88
第4章 连续信号与系统的S域分析
故有单位冲激响应:
89
第4章 连续信号与系统的S域分析
令式①中
再取拉氏逆变换，求得单位阶跃响应:
90
第4章 连续信号与系统的S域分析
4.20 题图4.5所示RLC系统，us(t)=12 V, L=1 H，C=1 F， R1=3 Ω, R2=2 Ω，R3=1 Ω。t＜0时电路已达稳态，t=0时开 关S闭合。求t≥0时电压u(t)的零输入响应、零状态响应和全 响应。

信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.

信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st



4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面

反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )

连续系统的S域分析法

连续系统的S域分析法

s
s
s2 8s 16
1s 2s
3
1
即 Y s 4.5 4 + 2
s 1 s 2 s 3
反变换， y t 4.5et 4e2t 1 e3t t 0
2
已知微分方程的s域分析
例3 描述某LTI系统的微分方程为： y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
且 y(0-)=1，y’(0-)=-1，f(t)=5cost (t)，求系统的全响应y(t)
解 对微分方程取拉氏变换得：
s2Y (s) sy(0 ) y(0) 5 s Y ( s ) y ( 0 ) 6Y(s) 2F (s)
(s2 5s 6)Y(s) 2 F ( s ) sy ( 0 ) y ( 0 ) 5 y ( 0 )
2F (s) Y(s) s 2 5 s 6
1 s
I ( s )
u(0 ) 1 I(s)
s
Cs
+ u(t)
-
Cs
i(t)
+
I(s)
C
1 Cs
U(s)
-
+
U (s)
C u (0-)
-
I(s)
1 Cs +
u(0 )
-s
1 复频域容抗
Cs
u(
0 ) 、 Cu(0
s 内部电源
)
:
电容并联模型（宜于节点分析） 电容串联模型（宜于回路分析）
3) 电感
zi
已知微分方程的s域分析
例2 设有方程y(t) 3y(t) 2 y(t) e3t (t)
y ( 0 ) 1, y(0 ) 2, 求 y(t)。
解 对方程取拉氏变换，得
[s 2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 3[sY (s) y(0 )] 2Y (s)

连续系统的S域分析

连续系统的S域分析
则
fT t
特例：δT(t)
sT)
2T
3T
t
F s
1
sT e
←→ 1/(1 –e ■
第4-15页
0、引言
5.2
质
5.2 拉普拉斯变换性
质
拉普拉斯变换性
利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换
的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对
f(t) ←→ F(s)
jω
仅当β>α时，其收敛域
为 α<Re[s]<β的一个带
状区域，如图所示。
α
0
β
σ
第4-7页
■
5.1
换
拉普拉斯变
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t)
f2(t)= – e -3t ε(–t) –e - 2t ε(–
t)
- 2t ε(–t)
1
f3(t)=f e(t)-3t
ε(t) –e
F1 (s)

Re[s]= σ > – 2
解
1
f 2 (t) F2 (s)
s 3
21
s

1
s 3 s 1
2
f 3 (t) F3 (s)

1
s 3 s 1
2
Re[s]= σ < – 3
–3 < σ < –2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必
且有实常数t0 0
Re[s]
st0
0
Re[s] σ 0
F(s)
则 f (t t0 )ε (t t ) e

第五章 连续系统的s域分析


w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s

0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t


0
e (t )e dt e
st 0

st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，

第4章 拉氏变换--1


15
例4-1：求 f (t ) = sin (ωt ) 的拉氏变换 F(s) 解： 由欧拉公式，有：
1 f (t ) = sin (ωt ) = e jωt − e − jωt ) ( 2j
∵
L
e
± jω t
1 = s jω
(σ
> 0)
故由线性叠加性质，得：
L
1 1 1 ω sin ω t = = − ( ) 2 j s − jω s + jω s 2 + ω 2
17
补充例题：
求三角脉冲的拉氏变换。
E
0
f (t )
E f ' ' ( t ) = [δ ( t ) − δ ( t − T )] − Eδ ' ( t − T ) T
两边同时进行拉氏变换，得：
f ′(t )
E T
T
t
E F2 ( s ) = (1 − e − sT ) − Ese − sT T
由时域微分性质，有：
at
− σt
(σ > a )
e −σt u( t ). cos ω1 t
5

拉氏正变换*
F1 (ω ) = F f ( t )u( t ) ⋅ e
因果
[
−σ t
] = [ f (t )u(t ) e ]⋅ e
+∞ −σ t −∞
− jω t
dt
=
+∞
0
f ( t ) ⋅ e − (σ + jω ) t d t = F (σ + jω )
∞
若L[ f ( t )] = F ( s )，则

拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

若f (t)满足以下条件时，才存在付里叶变换 1 狄氏条件：1) f (t)在有限闭区间连续或有有限个第一类间断点； 2) f (t)在有限闭区间只有有限个极值点。
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j

4拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析讲解


求出k1 , k2 , k3 kn ,即可将F s 展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数 3. 第三种情况：有重根存在 4. F(s)两种特殊情况: 含e s的非有理式 非真分式—— 化为真分式＋多项式
收敛坐标 σ0
O
σ
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
一些常用函数的(单边)拉氏变换:P181表4-1
1.阶跃函数: F ( ) F [ f (t )] u(t )e j t dt [ 1 1 sgn( t )]e j t dt π ( ) 1
f (t )e j0t F 0
f (t ) jF ( )
f (t ) eα t F(s α)
sF ( s ) f (0 )
F ( s ) f 1 (0 ) s s
d F ( s) ds

t

f d
F ( ) πF (0) ( ) j
1 j t F F ( ) f ( t ) F ω e dω 2 以傅里叶变换为基础的频域 分析方法的优点和不足： F f (t ) F ω f (t ) e j t d t • 有清楚的物理意义 • 只能处理符合狄利克雷条件的信号-绝对可积条件： s j f t d t
2)求 e α t cos ω0t的拉氏变换.
3)求f (t ) tu(t 1)的拉氏变换 .
π 4)已知f (t ) ＝ 2 cos(t )u(t ), 求F(s)。 4
§ 4.4 拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的方法： (一)部分分式法 (二)利用留数定理——围线积分法
(三)数值计算方法——利用计算机 拉氏逆变换的过程：部分分式法
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傅里叶变换是以复指数函数中的特例，即以 e jt
和 e j为n 基底分解信号的。对于更一般的复指数函
数 e和st ，也z n理应能以此为基底对信号进行分解。
*拉普拉斯变换法的几个显著优点；
f (t)
1.它简化了函数.
2.它简化了运算. 3.它不需要确定常数.
t
f (t)
4.有效地利用了阶跃和冲激响应.
F1()
f (t)e( j )t dt
0
F (s) f (t)estdt 0
原函数
逆LT
f (t) 1 jF (s)est ds
2j j
FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度
拉氏变换已考虑了初始条件
LT f (t) F(s)
LT
df (t dt
T e(sa)t dt 1 [1 e(sa)T ]
0
sa
有极点 s a
考查零点，令 e(sa)T 1
得 s a j 2 k
T
显然 在 s 也 有a一阶零点，由于零极点相抵
消，致使在整个S平面上无极点。 例2. x(t ) eb t
x(t) ebtu(t) ebtu(t)
ebtu(t) 1 , sb
若1 ， 0则
x(t)e1t dt T
x(t)e0te(10 )t dt T
e(10 )T x(t)e0t dt T
表明 也1 在收敛域内。
5. 左边信号的ROC是S平面内的一条平行于 j
轴的直线的左边。
若 x(t是) 左边信号，定义于 (,T , 0在
ROC 内，1 0，则
拉氏变换的收敛域
lim
t
f (t)et
0
0
指数阶函数
*几种信号的收敛情况
a.对于t< t0(t0=0)为零的右边信号,其收敛域在收敛轴 的右边.
j
u (t )
1
1
1
lim u(t)et 0
t
1 0
2 1
lim e e -(t1) t 0
t
b.对于t>t0为零的左边信号,收敛域在收敛轴的左边.
若乘一衰减因子 et
为任意实数，则
f (t ).et 收敛， 满足狄里赫利条件
u (t )e t
eat .et ( a)
et cos1t
F( j) f (t)e jt dt.......1
F[et f (t)] f (t)et e jt dt f (t)e( j)t dt
0
0
F ( j) f (t)e( j) dt.....2
.拉普拉斯变换的应用
t
1.简化线性微分方程的求解, 也
f (t)
即简化电路分析的时域求解。
t
2.利用H(s)的零极点分析系统的
f (t)
时域频域及稳定性等。
t
一、拉氏变换的定义 1、从傅氏变换到拉氏变换
有几种情况不满足狄 里赫利条件：
• u(t) • 增长信号 eat (a 0)
• 周期信号 cos1t
Re[s] b
j
b
b
ebtu(t) 1 , Re[s] b
sb
当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
X (s) 1 1
b Re[s] b
sb sb
当b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明 X (s)
不存在。
当 X (s是) 有理函数时，其ROC总是由 X (s)的极 点分割的。ROC必然满足下列规律：
0
et f (t)
1
F( j)e jt d
2
f (t)
1
F ( j )e( j )d
2
if .s j, then, d ds
j
单边
F (s) f (t)e st dt
0
f (t)
1
F (s)e st ds
2j
2.傅立叶,单边拉氏变换是双边拉氏变
换的特殊情况
1. 右边信号的ROC一定位于 X (s) 最右边极点 的右边。
2. 左边信号的ROC一定位于 X (s) 最左边极点 的左边。
3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之 间的带状区域。
例.
X
(s)
s2
1 3s
2
1 1 s 1 s 2
j
2 1
可以形成三种 ROC：
1) ROC： Re[s] 1 此时x(t)是右边信号。 2) ROC：Re[s] 2 此时x(t)是左边信号。 3) ROC：2 Re[s] 1 此时 x(t)是双边信号。
第五章 连续系统的s域分析
• 本章要点： • 拉氏变换的定义、收敛域、主要性质和
反变换； • 响应的复频域分析和s域元件模型 • 拉氏变换与傅氏变换的关系
§5.1 拉普拉斯变换
傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如 此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以 表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一 切 LTI 系统的特征函数。
)
SF (s)
f
(o )
0
f ' (t)est dt
f (t)est
0
0
f (t)(est )' dt
f ()es f (0) SF(s)
终值
初值，若有跳变则为f (o )
二、 拉氏变换的收敛域
The Region of Convergence for Laplace Transforms • 可以归纳出ROC的以下性质：
0
付氏变换
s j
f (t)( t )
双边拉氏变换
s j
f (t)( t )
L[ f (t)] F[ f (t)et ] if ,t 0, f (t) 0
t 0
f (t) 0
单边拉氏变换
s j
f (t)(0 t )
因果
f1(t) f (t)et
s j
象函数 正LT
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带状区域。
2. 在ROC内无任何极点。 3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。
4. 右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于 j
轴的直线的右边。
若 x(t是) 右边信号, T , t在 ROC内0 ， 则有 x(t)e绝0对t 可积，即：
x(t)e0t dt T
T x(t)e1t dt T x(t)e0te(10 )t dt
e(10 )T T x(t)e0t dt
表明 也1 在收敛域内。
6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内
平行于 j 轴的带形区域。
例1. x(t) eat 0
其它
X (s) T eatest dt 0
limetet 0...... 1 t
et
2 1
c.对于双边信号,其收敛域在
σ1