第五章 连续系统的s域分析

jω
, Re[s] . 无界 不定 ， 1 (s ) ，
对于反因果信号，当Re[s]=< 时， 其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
0
β
σ
5.1 拉普拉斯变换
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
e t , t 0 f 3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) t e , t 0
三、时移（延时）特性 若f(t) <--->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则f(t-t0)(t-t0)<--->e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合 f(at-t0)(at-t0)←→
1 e a
t0 s a
s F a
0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
jω
仅当>时，其收敛域为 <Re[s]< 的一个带状区域。
α 0 β σ
5.1 拉普拉斯变换
例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
5.2 拉普拉斯变换的性质
二、尺度变换
若L f t F s
Re[s ] 0 a 0, Re[s ] a 0
则L[ f ( at)]
e s s s ( 1 e s e ) 例2：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = 2 s f(t )
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
jω
0
α
σ
5.1 拉普拉斯变换
例2 反因果信号f2(t)= e t(-t) ，求其拉普拉斯变换。
解
e ( s )t F2b (s) e e d t (s )
0
t st
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例1、求L[cos(t ) (t )]
1 1 解：L[cos t (t )] L[ e jt (t ) e jt (t )] 2 2 1 1 1 1 1 1 s L[e jt (t )] L[e jt (t )] 2 2 2 2 s j 2 s j s 2 1 L[sin(t ) (t )] L[ (e jt (t ) e jt (t ))] 2j 1 1 1 1 2 2 j s j 2 j s j s 2
1 s F( ) a a
1 0 1 y(t ) 2 4 t
y(t)= 4f(0.5t) 解： Y(s) = 4×2 F(2s)
8 e 2 s
2s
2
(1 e
2 s
2s e
2 s
)
0
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
2
4
t
5.2 拉普拉斯变换的性质
由复频移性质得
e-tf(3t-2) ←→
s 1 ( s 1) 2 9
2 ( s 1) e 3
5.2 拉普拉斯变换性质
五、时域的微分特性（微分定理）
若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0 , 则 f’(t) ←→ sF(s) – f(0-) f’’(t) ←→ s2F(s) – sf(0-) –f’(0-)
n 1
f(n)(t) ←→ snF(s) –
m 0
n 1 m ( m ) s f (0 )
若f(t)为因果信号，则 f(n)(t) ←→ snF(s)
5.2 拉普拉斯变换性质
例9 已知 cos t (t ) S 求 sin t ( t )的 LT 2 S 1 f ' ( t ) ( t ) sin t ( t ) 设 f ( t ) cos t ( t )
则f (t )e t 满足绝对可积条件，它 的付里叶变换为： F[ f (t )e
t
]


f (t )e
t
e
jt
dt


f (t )e ( j )t dt F ( j )
— —衰减因子 — —振荡因子
令s j , 则上式为 Fb ( s)
为基底构成函数空间， 用来展开信号。
5.1 拉普拉斯变换
二、收敛域
收敛区：使f (t )e t 满足绝对可积条件的值的范围称为收敛区， 在收敛区内，f (t )拉氏变换存在，在收敛 区外，f (t )拉氏变换不存在。
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解
F1b (s) e e
解： L[ (t )]
lim[ (t )e t ] 0
t


0
(t )e dt e
st 0

st
1 st dt e s

0
1 s
0， 收敛区为 s平面的右半平面。
例6、求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
t
0 st
e ( s )t dt (s )
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
1 s , Re[s ] 不定 ， 无界 ， 对于因果信号，当Re[s]=>时，
0 0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 2 -1 4 t t
例5:求f(t)= e-2(t-1)ε(t) ←→ F (s)=?
5.2 拉普拉斯变换性质 四、复频移（s域平移）特性 若f(t) ←→F(s) , Re[s]>1 , 且有复常数s0=0+j0, 则f(t)es0t ←→ F(s-s0) , Re[s]>1+0 例6：求 L[e– t sin t (t) ] , L[e– tcos t (t) ]
1 f (t ) 2j

j
j
F ( s )e st ds
t0
①积分下线定为 0 ，是为了包括 (t )。
②f (t )拉氏变换存在的充分条 件：f (t )在t 0时分段连续， 且满足下式 f (t )e t dt
0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[ (t )]
5.2 拉普拉斯变换性质
六、时域积分特性
若 f (t) ←→ F( S），Re [s] >s0
1 F (S ) n 0 S t 1 1 ( 1) 则 f (t ) f ( x)dx F ( S ) f ( 1) (0 ) S S n 1 1 (n) f ( t ) n F ( S ) n i 1 f ( i ) (0 ) S i 1 S f
解：由L[sin( t ) (t )]

s
2 2
，得
Re S > 1 + 0 =
e– t sint (t)
由L[cos(t ) (t )]
2
, 2 2 (S )
s
2
其中 1 0
Re S > 1 + 0 =
s
，得
e– tcost (t)

S , 2 2 (S )
其中 1 0
5.2 拉普拉斯变换性质
s 例7:已知因果信号f(t)的象函数F(s)= 2 s 1 求e-tf(3t-2)的象函数。 解： 由时移性质得
s f (t 2) 2 e 2 s s 1 由尺度变换得 s 2 2 s s 1 s 3 e 3 3 f (3t 2) e 3 ( s )2 1 s2 9 3
0

有界的非周期信号的拉 氏变换一定存在，其收 敛坐标为
0 ，收敛区为全部 s平面。
本书主要讨论单边拉氏 变换，其收敛区必定存 在，故不再讨论 是否收敛的问题。
5.2 拉普拉斯变换的性质
properties of laplace transform
一、线性性质 若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2



f (t )e jt dt 收敛。
当 lim f (t ) 0时，f (t )不存在付里叶变换
t 或t
但若 lim f (t )e t (为实数)收敛。
t 或t
即



f (t )e t dt , e t — 收敛因子
5.1 拉普拉斯变换
例3:求如图信号的单边拉氏变换。
解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1)
1 (1 e s ) F1(s)= s
F2(s)= F1(s)
-1
0
1
t
5.2 拉普拉斯变换的性质
例4:已知f1(t) ←→ F1(s),求f2(t)←→ F2(s)
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s) f1 [0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)