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第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
第十一章 压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a )所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F 较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a )，平衡是稳定的；若轴向压力F 足够大，即使(a ) 稳定平衡 图11.1 稳定平衡与不稳定平衡微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
压杆保持稳定与发生屈曲间的力F cr 称为压杆的临界载荷或临界压力。
建筑物中的立柱、桁架结构中的受压杆、液压装置中的活塞推杆、动力装置中的气门挺杆等都是工程中常见的压杆，细长压杆的稳定是设计中必需考虑的。
§11.2 两端铰支细长压杆的临界载荷压杆是否能保持稳定，取决于压杆的临界载荷或临界压力F cr 。
当F =F cr 时，压杆处于如图11.2(b)所示的微弯平衡状态。
现将二端铰支的细长压杆重画于图11.3，用静力学的方法研究其平衡问题。
一、力的平衡取任一截面，由力的平衡方程可知，杆在任一距原点o 为x 处的弯矩为：M (x )=-Fy 二、物理方程讨论弹性小变形情况，有线弹性应力-应变关系：(a )图11.2 压杆稳定概念(b)(c)图11.3 二端铰支的细长压杆σ=E ε 三、变形几何关系在弹性小变形条件下，处于微弯平衡状态的杆的挠曲线微分方程由(9-19)式给出为：将M (x )=-Fy 代入，杆的挠曲线微分方程可写为：d 2y /d x 2+k 2y =0式中，k 2=F /EI 。
上式是一个二阶齐次常微分方程，其通解为： y =Asink x +Bcosk x 式中的积分常数A 、B 由边界条件确定。
图11.3中，杆的边界条件是在二支承处挠度为零，即： 1) x =0处， y =0； 2) x =l 处， y =0。
将边界条件1）代入通解，有：B=0；再将边界条件2）代入通解，有：Asink l =0注意上式中如果A=0，则因为B 已经为零，挠曲线微分方程给出的解答将成为y ≡0，其物理意义是杆各截面处挠度均为零，不发生弯曲变形，杆仍然为直杆。
这与所研究的微弯平衡问题不符，故A ≠0。
于是，必有：sink l =0上式给出：k l =n π ( n=0，1，2，… ) 注意前面已定义k 2=F /EI ，即F = k 2EI ，利用上式，可以得到：( n=0，1，2，… )EIx M dx y d )(22=222l EI n F π=上述结果中若取n=0，则F =0，杆上无载荷，不会发生压杆稳定问题。
故由n=1可给出使二端铰支压杆发生微弯平衡(失稳)的最小临界载荷为：式(11-1)称为确定二端铰支压杆稳定临界载荷的欧拉公式。
欧拉公式指出：压杆稳定的临界载荷F cr 与杆长l 的平方成反比，l 越大，F cr 越小，杆越容易发生屈曲失稳；压杆的临界载荷F cr 与杆的抗弯刚度EI 成正比，杆的抗弯刚度越小，F cr 越小，杆越容易发生屈曲失稳。
细长杆件l 大、抗弯刚度EI 小，稳定问题是不可忽视的。
值得注意的是，对于图11.3所示的压杆屈曲问题，若二端为平面铰链支承，只允许杆在x y 平面内弯曲，则截面惯性矩I=I z ；若二端为球形铰链支承，则杆可在过轴线x 的任一平面内发生弯曲。
若截面对某轴惯性矩最小，则能承受的临界载荷也最小，将首先垂直于该轴的平面内发生屈曲失稳。
例如，对于图11.4所示之二端为球形铰支的矩形截面压杆，若h>b ，则显然有I y =hb 3/12<I z =bh 3/12，故y 为中性轴的方位将先发生屈曲失稳，即失稳时杆的轴线是在垂直于y 轴的x z 平面内发生弯曲的，临界载荷应由F cr =π2EI y /l 2计算。
例11.1 直径d=20mm 的圆截面直杆，长l =800mm ，二端铰支。
已知材料的弹性模量E=200GPa ，σys =240MPa ，试求其临界载荷和屈服载荷。
解：由二端铰支压杆临界载荷的欧拉公式(11-1)式，有：压杆的屈服条件为σ=F /A=σys ，故屈服载荷为：22lEIF cr π=---(11-1 )图11.4 失稳发生在I 最小的方位NN d l E F cr 32433422102.2480064201020064⨯=⨯⨯⨯⨯=∙=πππ显而易见，F cr <<F s ，故当轴向压力到达F cr 时，杆首先发生的是屈曲失稳。
§11.3 不同支承条件下压杆的临界载荷采用与前节类似的方法，可以由压杆微弯平衡的力学模型，研究不同支承情况下的屈曲临界载荷。
但是应当注意，当杆端约束情况改变时，挠曲线近似微分方程中的弯矩和挠曲线的边界约束条件也将发生变化，因而临界载荷也不同。
一、二端固定的压杆二端固定的压杆如图11.5所示。
在B 端施加轴向压力F ，讨论杆在微弯状态下的平衡。
注意固定端A 的约束反力有轴向反力F A x =F ，有反力偶M A ；由对称性知B 端也应有反力偶M B =M A =M ，如图所示。
固定端还可以有y 方向的反力，但因为本问题（载荷和几何）是左右对称的，若A 端有反力F A y ，则B 端一定有同号的反力F B y =F A y ，为满足平衡方程：∑F y =F A y +F B y =0必有F A y =F B y =0。
故二端固定支承压杆，在微弯平衡状态时的受力如图11.5所示。
杆在任一截面x 处的弯矩为： M (x )=M -Fy 挠曲线近似微分方程为：NN d A F ysyss 322103.754240204⨯=⨯⨯===πσπσ图11.5 二端固定的压杆EIFyM EI x M dx y d -==)(22仍然定义k 2=F /EI ，上式成为：上述二阶常微分方程的通解为： y=Asink x +Bcosk x +M /F为确定积分常数A 、B ，将挠度方程微分得到截面转角为： y ′=θ=Akcosk x -Bksink x二端固定杆的边界条件是，二固定端处挠度和转角均为零，即： 1) x =0处， y A =0，θA =0； 2) x =l 处， y B =0，θB =0； 将4个边界条件分别代入通解，得到：B+M /F =0； Ak=0Asink l +Bcosk l +M /F =0 Akcosk l -Bksink l =0上述第一式说明B ≠0。
因为若B=0，则必有M =0，二固定端无反力偶，相当于铰支，如所讨论的问题不符。
将第二式Ak=0代入上述第四式，并注意B 、k 均不为零，则必有：sink l =0再将sink l =0代入上述第三式，并利用上述第一式给出的B=-M /F ，还有：cosk l -1=0能使sink l =0，cosk l -1=0同时满足的解答是：k l =2n π ( n=0，1，2，… )若n=0，因为杆长l ≠0，则由k=0，有F =0，杆上无载荷，不会发生微弯平衡。
n=1时，k l =2π，有k=2π/l ，代入k 2=F /EI ，即得到二端固定压杆的临界载荷为：EIM y k dx y d =+222二、欧拉公式的一般形式前节导出的二端铰支压杆的临界应力公式(11-1)式和本节导出的二端固定压杆的临界应力公式(11-2)式，可以统一写成：这就是确定压杆稳定临界载荷F cr 的欧拉公式的一般形式。
对于二端铰支的压杆，μ=1；对于二端固定的压杆，μ=1/2。
μl 可视为压杆的相当长度，即确定二端固定压杆稳定的临界载荷时，杆长相当于二端铰支压杆长度的1/2；μ则称为反映压杆不同支承情况的相当长度系数。
用类似的方法研究一端固定、另一端铰支；一端固定、另一端自由的压杆，结果表明其稳定临界载荷也可由(11-3)式描述，只不过μ值不同而已。
不同支承情况下，用欧拉公式的一般形式(11-3)式确定临界载荷时的相当长度系数μ为：μ=1 二端铰支μ=0.7 一端铰支、一端固定 μ=2 一端自由、一端固定 μ=0.5 二端固定可见，杆端支承对于压杆的临界载荷有显著影响。
杆的几何尺寸一定时，一端自由、一端固定时临界载荷最小；二端铰支，一端铰支、一端固定次之；二端固定支承时临界载荷最大。
---(11-4)224l EI F cr π=---(11-2 )22)(l EI F cr μπ=---(11-3 )Nl EI F xcra 23922228122.012.01010⨯⨯⨯⨯⨯==ππ在工程实际中，受压杆件二端的支承情况往往是复杂的。
需要根据具体情况，分析支承对于杆端的约束特性，选择适当的理想化支承模型。
如桁架中的压杆，其节点处的连接常常用焊接或铆接，但因为连接处限制杆件转动的能力并不强，简化成铰接是比较恰当且偏于安全的。
又如图11.6所示的圆柱销铰链，在x y 平面内，杆可以绕销钉转动，接头处支承是铰支。
在yz 平面内，杆不能与接头发生相对转动，若接头固定牢靠，可以简化为固定端；但若杆插入接头的深度不够或杆与接头连接的间隙较大，有相对转动的可能，则接头处仍应简化为铰支。
例11.2 矩形截面木杆如图11.7所示，b=0.12m ，h=0.2m ，l =8m 。
