山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测(三模)数学(理)试题

，
考点：导数与切线斜率的关系，存在性问题的转化
,对勾函数的值域．
4.若
，则
是
A. 充分不必要条件
的 条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 【答案】 B
D. 非充分非必要条件
，故选 C．
1
【分析】
根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
若
，则
成立，即必要性成立
又当
2019 年 5 月山东省淄博实验中学、 淄博五中 2019 届高三上
学期第一次教学诊断理科数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
试题分析：由题意可得：集合 考点：集合的运算
2. 是等差数列， A. 64 【答案】 B
， B. 100
，所以
，故选择 C
，则该数列前 10 项和 等于（）
C. 110
D. 120
试题分析： a1+a2=4 ，a7 +a8=28，解方程组可得 考点：等差数列通项公式及求和 【此处有视频，请去附件查看】
3.若函数 A. C. 【答案】 C
存在与直线
平行的切线 ,则实数 取值范围是 B. D.
试题分析：
有解。
，所以
．
∴
．选 A．
6.在
中，
，
，
的面积为 则
A. 13
B.
C.
D.
【答案】 C

【分析】
2
由已知利用三角形的面积公式可求 的值，进而根据余弦定理可求的值．

山东省淄博市2019届高三理综三模考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ATP合酶是一种结构复杂的蛋白质，位于生物膜上，能催化ATP的合成。

下列叙述错误的是A．ATP和ATP合酶都含有核糖B．ATP合酶可催化高能磷酸键的合成C．真核细胞中ATP合酶分布于线粒体内膜和叶绿体类囊体膜上D．ATP合酶在温和的条件下发挥作用2．胰岛素可通过调节细胞膜上葡萄糖转运蛋白GLU4的数量来稳定血糖，GLU4转运葡萄糖时会发生构象的改变。

葡萄糖进入细胞后发生磷酸化，从而降低细胞内葡萄糖的浓度，有利于葡萄糖持续进入细胞。

下列叙述错误的是A．GLU4构象的改变有利于葡萄糖与其结合和分离B．GLU4将葡萄糖运入细胞的方式为主动运输C．正常情况下，血糖升高可使胰岛素靶细胞膜上GLU4数量增加D．GLU4由附着在内质网上的核糖体合成3．细菌是生物学常用的实验材料，下列相关叙述错误的是A．恩格尔曼以水绵和好氧细菌为实验材料证明叶绿体是进行光合作用的场所B．赫尔希和蔡斯以大肠杆菌和噬菌体为实验材料证明DNA是噬菌体的遗传物质C．格里菲思以小鼠和肺炎双球菌为实验材料证明DNA是R型菌的转化因子D．科学家以大肠杆菌为实验材料通过同位素标记法证明DNA复制为半保留复制4．甲状腺功能减退的致病原因有：缺碘、甲状腺病变、下丘脑病变或垂体病变。

为探究甲、乙两只甲状腺功能减退小鼠的致病原因，科研人员测定了甲、乙及健康小鼠体内促甲状腺激素释放激素(TRH)、促甲状腺激素(TSH)和甲状腺激素(TH)的含量，结果见下表。

2019届山东省淄博市部分学校高三阶段性诊断考试数学（理）试题一、单选题 1．已知复数1a iz i-=-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ） A ．1- B ．1C ．2D ．2-【答案】A【解析】化简复数1a iz i-=-，根据纯虚数的定义即可求出实数a 的值。

【详解】()(1)1(1)1(1)=1(1)(1)222a i a i i a a i a a z i i i i --+++-+-===+--+ ∴要使复数1a iz i -=-（i 是虚数单位）是纯虚数，则10,1022a a -+≠=，解得：1a =-，故答案选A 。

【点睛】本题主要考查复数的化简以及纯虚数的定义，属于基础题。

2．已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则z C A =（ ） A ．{0} B ．{1}C ．{0,1}D ．{-1,0,1,2}【答案】C【解析】利用一元二次不等式解出集合A ，利用补集的运算即可求出z C A 。

【详解】由集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，解得：{}|21A x x x =∈≥≤-Z 或∴}{z 0,1C A =，故答案选C 。

【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。

3．已知非零向量6π，→b ，若(3)0a a b →→→⋅+=，2a b →→=，则向量6π和→b 夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．32-C ．23 D ．32-【答案】B【解析】直接利用平面向量的数量积的运算律即可求解。

【详解】 设向量6π与向量→b 的夹角为θ， ||2||a b =，∴由(3)0a a b ⋅+=可得：2222()33cos 46cos 0a a b a a b b b θθ→→→→→→→→+⋅=+⋅=+=，化简即可得到：2cos 3θ=- ， 故答案选B 。

【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，向量夹角余弦值的求法，属于基础题。

淄博市 2019届高三模拟考试试题数学理科2019.3第Ⅰ卷（ 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D. 13.命题“，”的否定是（）A. 不存在，B. ，C.， D. ，4.设Sn为等差数列{a n}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9＝( )A. 72B. 36C. 18D. 95.已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是( )A. 若l//α，l⊥β，则α⊥βB. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC. 若l//α，l//β，则α// βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β6.在某项测量中，测得变量 .若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（）A. 0.2B. 0.1 X. 0.8 ∆. 0.47.一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为（）A. B. 9 C. D. 38.已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.9.已知，，点的坐标满足，则的最小值为（）A. B. C. D.10.已知，，设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.11.已知直线：与圆：，直线与圆相交于不同两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.12.函数，若最大值为，最小值为，则（）A. ，使B. ，使C. ，使D. ，使第Ⅱ卷(共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.展开式的常数项是__________．14.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n＝2，3，4，…)的分数的分解：，按此规律，＝_____(n＝2，3，4，…)．15.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC＝120︒，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．16.已知抛物线：上一点，点是抛物线上的两动点，且，则点到直线的距离的最大值是__________．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 60 分．17.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.18.如图，在四棱锥PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2， PAD＝60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅱ)若直线PA// 平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．19.已知点A，B的坐标分别为(－2，0)，(2，0)．三角形ABM的两条边AM，BM所在直线的斜率之积是－．(Ⅰ)求点M的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AM方程为，直线l方程为x＝2，直线AM交l于P，点P，Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D.若△APD面积为2，求m的值．20.春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在范围内取值（每天进1次货）.商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元.设该礼盒每天的需求量为盒，进货量为盒，商店的日利润为元.（1）求商店的日利润关于需求量的函数表达式；（2）试计算进货量为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值.21.已知函数.（1）若是的极大值点，求的值；（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

绝密★启用前【市级联考】山东省淄博市2019届高三3月模拟考试数学理试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ．2．若复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部为（ ） A ． B ． C ． D ．13．命题“ ， ”的否定是（ ）A ．不存在 ，B ． ，C ． ，D ． ， 4．设Sn 为等差数列{a n }的前n 项和，且4＋a 5＝a 6＋a 4，则S 9＝( ) A ．72B ．36C ．18D ．95．已知直线l 和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是( ) A ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β C ．若l //α，l //β，则α// βD ．若α⊥β，l //α，则l ⊥β6．在某项测量中，测得变量 .若 在 内取值的概率为0.8，则 在 内取值的概率为（ ） A ．0.2B ．0.1C ．0.8D ．0.47．一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为 ，则侧视图中的 的值为（ ）…线…………○………线…………○……A ．B ．9C ．D ．38．已知直线 与双曲线交于 两点，以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ．2 D ．9．已知 ， ，点 的坐标 满足，则 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知 ，，设， ， ，则 的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知直线 ： 与圆 ： ，直线 与圆 相交于不同两点 .若 ，则 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．12．函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ，则（ ） A ． ，使 B ． ，使 C ． ，使 D ． ，使…………○………：___________班级：_____…………○………第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．展开式的常数项是__________．14．古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人 ，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n ＝2，3，4，…)的分数的分解：，按此规律， ＝_____(n ＝2，3，4，…)．15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．16．已知抛物线 ： 上一点 ，点 是抛物线 上的两动点，且 ，则点 到直线 的距离的最大值是__________．17．在 中，角 的对边分别为 ，且满足 . （1）求角 ；（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长. 三、解答题18．如图，在四棱锥PABCD －中，AB//CD ，AB ＝1，CD ＝3，AP ＝2，DP ＝2 ，∠PAD ＝60°，AB⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上． (Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD ；(Ⅱ)若直线PA// 平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．…线…………○………线…………○……19．已知点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)．三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是－． (Ⅰ)求点M 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AM 方程为 ，直线l 方程为x ＝2，直线AM 交l 于P ，点P ，Q 关于x 轴对称，直线MQ 与x 轴相交于点D.若△APD 面积为2 ，求m 的值． 20．春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在 范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在 范围内取值（每天进1次货）.商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元.设该礼盒每天的需求量为 盒，进货量为 盒，商店的日利润为 元.（1）求商店的日利润 关于需求量 的函数表达式；（2）试计算进货量 为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值.21．已知函数 . （1）若 是 的极大值点，求 的值；（2）若 在 上只有一个零点，求 的取值范围.22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（t 为参数，0 ）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为2 ，求直线l 的普通方程． 23．已知 ．(Ⅰ)当m ＝－3时，求不等式 的解集；(Ⅱ)设关于x 的不等式 的解集为M ，且，求实数m 的取值范围.参考答案1．C【解析】试题分析：考点：集合运算2．D【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【详解】，，则z的共轭复数的虚部为1．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．C【解析】由全称命题的否定是特称命题可得命题的否定是“”选C4．B【解析】【分析】根据已知条件求得，然后求得的值.【详解】由于数列是等差数列，故，所以，故选B. 【点睛】本小题主要考查等差数列的基本性质，考查等差数列前项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.5．A【解析】【分析】根据线面、面面平行和垂直有关的知识，对四个选项逐一分析，得出正确的结论.【详解】对于A选项，一条直线和一个平面垂直，即是这个平面的法向量，这条直线和另一个平面平行，也即和另一个平面的法向量垂直，故两个平面垂直，A选项是真命题.对于B选项，直线可能在平面内，故B选项是假命题.对于C选项，两个平面可能相交，故C选项是假命题.对于D选项，直线可能在平面内，故D选项是假命题.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查空间线面、面面平行和垂直有关命题的真假性判断，属于基础题.6．D【解析】【分析】本题首先可以根据题意得知曲线的对称轴方程，然后根据在内取值的概率为0.8以及曲线的对称轴方程即可得出结果。

专题45立体几何中的向量方法（二）——求空间角和距离 最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题．2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.基础知识融会贯通1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则l 1与l 2所成的角θa 与b 的夹角β范围 ⎝⎛⎦⎤0，π2 [0，π] 求法cos θ＝|a ·b ||a ||b |cos β＝a ·b|a ||b |2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |.3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 【知识拓展】利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |.重点难点突破【题型一】求异面直线所成的角【典型例题】如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC ﹣A 1B 1C 1，在底面ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点． （1）求的值；（2）求证：BN ⊥平面C 1MN ．【解答】解：以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系C ﹣xyz ， （1）依题意，A 1（1，0，2），C （0，0，0），B 1（0，1，2），B （0，1，0）， ∴（1，﹣1，2），（0，1，2），∴•1×0+（﹣1）×1+2×2＝3， 又||，||，∴cos，6分证明：（2）A1（1，0，2），C1（0，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1），∴M（，，2），∴（，，2），（1，0，﹣1），（1，﹣1，1），∴•1（﹣1）+1×0＝0，同理可求•0，∴⊥，⊥，C1M∩C1N＝C1，∴BN⊥平面C1MN…12分．【再练一题】如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，，0），点D在平面yOx上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．（1）求向量的坐标．（2）求与的夹角的余弦值．【解答】解：（1）过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD•sin30°，OE＝OB﹣BD cos60°＝1，∴D的坐标为D（0，，，又∵C（0，1，0），∴（0，，）．（2）依题设有A点坐标为A（，，0），∴（），（0，2，0），则与的夹角的余弦值：cos．思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．【题型二】求直线与平面所成的角【典型例题】如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BA AD＝m，VA⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面VAC；（2）若VA m，求CV与平面VAD所成角的大小．【解答】（1）证明：连结AC，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，取AD中点G，连CG，因为BC∥AD，所以四边形ABCG为正方形．所以CG＝GD，∠CGD＝90°，∴∠DCG＝45°，∴∠DCA＝90°……………………所以CD⊥CA，又VA⊥平面ABCD，所以CD⊥VA，CD⊥平面VAC………………（2）解：法1：连VG由⇒CG⊥面VAD，∴∠CVG是CV与平面VAD所成的角………………VC2m；CG＝m，∴∠CVG＝30°∴CV与平面VAD所成角为30°………………法2：以A为原点，射线AB，AD，AV所在直线为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，则平面VAD 法向量（m，0，0），又，设向量与夹角为θ，则cosθ，θ，CV与平面VAD所成的角为．【再练一题】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝2CD＝4，P A⊥CD，在锐角△P AD 中，E是边PD上一点，且AD＝PD＝3ED．（1）求证：PB∥平面ACE；（2）当P A的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为30°？【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，∵AB∥CD，∴△OCD∽△OAB，∴，又，∴OE∥PB，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE．（2）解：过A作AF⊥PD，垂足为F，连接CF，∵CD⊥AD，CD⊥P A，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥AF，又AF⊥PD，PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，∴∠ACF为AC与平面PCD所成的角，即∠ACF＝30°．AC，∴AF AC，∴sin∠ADF，cos∠ADF，∴P A．∴当P A时，AC与平面PCD所成的角为30°．思维升华利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．【题型三】求二面角【典型例题】四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，∠P AB＝90°．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）若直线BD与平面P AB所成角的正弦值为，求二面角C﹣P A﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）因为平面PCD⊥平面ABCD，且∠BCD＝90°．所以BC⊥平面PCD，所以PD⊥BC．又因为AB⊥P A，AB⊥AD，所以AB⊥平面P AD，所以PD⊥AB．又因为PD⊥BC，所以PD⊥平面ABCD．解：（2）以D为原点，DA，DP，DC方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系．作DE⊥P A于E，连接BE，因为平面P AD⊥平面P AB，所以DE⊥平面P AB，∠DBE即为直线BD与平面P AB所成的角，故，所以DE．Rt△P AD中，令PD＝x，则x•3•，解得x＝3，故A（3，0，0），P（0，3，0），C（0，0，4）．（﹣3，3，0），（﹣3，0，4），设平面P AC的一个法向量为（a，b，c），则，取（4，4，3）．又因为平面P AD的一个法向量为（0，0，4），故cos．综合图形可知，所求二面角的余弦值为．【再练一题】如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，∵MN，EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵EF⊥BE，EF⊥DE，BE∩EF＝E，∴EF⊥平面BDE，∴EF⊥EN，∴MF⊥MN，在△DFC中，DF＝FC，又∵M为CD的中点，∴MF⊥CD，又∵MF∩MN＝M，∴MF⊥平面BCD．解：（Ⅱ）∵DE⊥BE，DE⊥EF，BE∩EF＝E，∴DE⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC＝2，则E（0，0，0），F（0，1，0），C（﹣2，2，0），M（﹣1，1，1），∴（0，1，0），（﹣1，0，1），（2，﹣1，0），设面EMF的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，0，1），同理，得平面CMF的法向量（1，2，1），设二面角E﹣MF﹣C的平面角为θ，则cosθ，∴二面角E﹣MF﹣C的余弦值为．思维升华利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【题型四】求空间距离【典型例题】四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PB＝PD．（1）求证：PD⊥AB；（2）若AB＝6，PC＝8，E是BD的中点，求点E到平面PCD的距离．【解答】（1）证明：由于四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是正三角形．设AB的中点为K，连接PK，DK，如图所示，则AB⊥DK，又P A＝PB，所以AB⊥PK．又PK，DK相交于K，所以AB⊥平面PKD．又PD⊂平面PKD，所以AB⊥PD．（2）解：由（1）可知，AB⊥平面PKD．又AB∥CD，所以CD⊥平面PKD．又CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PKD，设点E到平面PCD的距离为h，则由于BD＝2ED，得点B到平面PCD的距离为2h．由于KB∥平面PCD，所以K，B两点到平面PCD的距离均为2h．所以点K到直线PD的距离就是2h．设△ABD的中心为H，则PH⊥平面ABD．HC＝4HE＝4，在rt△PHC中，PH4，在Rt△PHD中，PH＝4，DH＝2，所以PD2．由DH＝2HK，得点H到直线PD的距离为，即，得h．所以点E到平面PCD的距离为．【再练一题】如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，P A＝AD＝2，M、N分别是A B．PC的中点．（1）求证：平面MND⊥平面PCD；（2）求点P到平面MND的距离．【解答】解：（1）∵P A⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B （2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，0，0），N（1，1，1），∴（0，1，1），（﹣1，1，﹣1），（0，2，﹣2）设（x，y，z）是平面MND的一个法向量，可得，取y＝﹣1，得x＝﹣2，z＝1，∴（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一个法向量，同理可得（0，1，1）是平面PCD的一个法向量，∵•2×0+（﹣1）×1+1×1＝0，∴，即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD；（2）由（1）得（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一个法向量，∵（0，2，﹣2），得•0×（﹣2）+2×（﹣1）+（﹣2）×1＝﹣4，∴点P 到平面MND 的距离d ．思维升华 求点面距一般有以下三种方法：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． (2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．基础知识训练1．【天津市部分区2019届高三联考一模】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB，求线段DH 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）56π；（3）32. 【解析】 （1）平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系， 则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .依题意，易证：()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴ 0QB AD ⋅=， 又直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面. （2）()()2,2,2,=0,22PB PC =--，.设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量， 则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =.设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量， 又()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-，则220n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =，∴ 1212123cos<,nn n n n n ⋅>==⋅， 又二面角C PB Q --为钝二面角，∴二面角C PB Q --的大小为56π. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，又()2,2,2PB =-，又73cos<,15PB AH >=，即24273234h h--=⋅+，∴ 2625240h h -+=，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为32.2．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】已知正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60的二面角，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；（2）是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）10,4±. 【解析】（1）因为直线MF ⊂平面ABFE ， 故点O 在平面ABFE 内也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线上（如图所示）因为AOBF ，M 为AB 的中点，所以OAM MBF ∆≅∆，所以OM MF =，AO BF =，所以点O 在EA 的延长线上，且2AO = 连结DF 交EC 于N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是EC 的中点 连结MN ，因为MN 为DOF ∆的中位线，所以MN OD ，又因为MN ⊂平面EMC ，所以直线OD平面EMC .（2）由已知可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，所以平面ABEF ⊥平面ODE ，取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,0,0)E -，3)D ，(0,3)C ，(1,4,0)F -， 所以3)ED =，(1,3)EC =， 设(1,,0)(04)M t t ≤≤，则(2,,0)EM t =，设平面EMC 的法向量(,,)m x y z =，则2000430x ty m EM m EC x y z ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩， 取2y =-，则x t =，3z =，所以8,2,3t m t -⎛=- ⎪⎝⎭， DE 与平面EMC 所成的角为60，所以2232(8)243t t =-++，所以22332419t t =-+，所以2430t t -+=，解得1t =或3t =， 所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60，取ED 的中点Q ，则QA 为平面CEF 的法向量，因为13,0,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以33,0,22QA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,2,3m t ⎛=- ⎪⎝⎭， 设二面角M EC F --的大小为θ，所以222|||cos |||||(8)419343QA m QA m t t t t θ⋅===⋅--+++，因为当2t =时，cos 0θ=，平面EMC ⊥平面CDEF ， 所以当1t =时，θ为钝角，所以1cos 4θ=-. 当3t =时，θ为锐角，所以1cos 4θ=. 3．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试】如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为6，求PF 的长度. 【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥， 又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB = 由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-，设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩， ∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， ∴26cos ,21411m AB m AB m ABλλ⋅===⎛⎫⋅++ ⎪-⎝⎭，得13λ=或1λ=-（舍去）， ∴5PF =.4．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（23【解析】（1）因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥. 因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥. 因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =，所以11ACC A 是菱形，11A C AC ⊥. 因为1111AC B C C ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB C .又1AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C . （2）取AC 的中点M ，连接1A M ，因为11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒， 所以1ACA ∆是正三角形，所以1A M AC ⊥，且13A M AC =. 令122AA AC CB ===，则13A M =所以以C 为原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()11,0,3C -，()0,1,0B，()11,0,3A ，()2,0,0CA =，()()111111,0,30,1,0CB CC CB CC CB =+=+=-+()1,1,3=-，()11,0,3CA =. 设平面1ACB 的一个法向量为(),,n x y z =，则10n CA n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以2030x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，令1z =，则3y =-，所以()0,3,1n =-.由（1）知1A C ⊥平面11A B C ，所以()11,0,3CA =是平面11A B C 的一个法向量， 所以111cos ,CA n CA n CA n⋅<>=⋅3341331==+⋅+. 所以二面角11C AB C --的余弦值为3.5．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中点，3BC =.(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，求BNBD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）3（3）线段BD 上存在点N,使得直线//CE 平面AFN ，且2=3BN BD ，详见解析. 【解析】(1)证明：因为ADEF 为正方形， 所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF ⋂平面ABCD AD =， 所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF BD ⊥．(2)取AD 中点O,EF 中点K ，连接OB ，OK.于是在△ABD 中，OB OD ⊥，在正方ADEF 中OK OD ⊥，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，故OB ⊥平面AFEF ，进而0B OK ⊥， 即OB, OD, OK 两两垂直． 分别以,,OB OD OK 为x 轴，y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系（如图）．于是，3B ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3C ⎫⎪⎪⎝⎭,1E 0,,12⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,311M ,0,F 0,,142⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以3335,,1,,,0,(0,0,1)4422MF CD DE ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00CD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即35020x y z ⎧-⋅-⋅=⎪⎨⎪=⎩令5x =-，则3y =，则(5,3,0)n =-．设直线MF 与平面CDE 所成角为θ，||3sin |cos ,|14||||MF n MF n MF n θ⋅=<>==(3) 要使直线//CE 平面AFN ，只需AN //CD ，设,[0,1]BN BD λλ=∈,则331,,,,02n n n x y z λ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,331,,02n n n x y z λλ=-==, 331,,02N λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3311,,022AN λλ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 又 35(,,0)2CD =--，由//AN CD 得33112222 5322λλ-+=--解得2=[0,1]3λ∈所以线段BD 上存在点N,使得直线//CE 平面AFN ，且2=3BN BD ． 6．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试】如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：平面BDG ⊥平面ADG ； （2）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（221【解析】（1）证明：在BAD ∆中，因为22AB AD ==，60BAD ∠=︒. 由余弦定理得，2222cos60BD AD AB AB AD =+-⋅︒， 解得3BD =， ∴222AB AD DB =+，∴AD DB ⊥， 在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， ∴GD DB ⊥ 又AD GD D ⋂=， ∴BD ⊥平面ADG ，∴平面BDG ⊥平面ADG . （2）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，因为45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，所以()1,0,0A ，()3,0B ，()3,2E ，()0,0,1G ，()3,2AE →=-，()1,0,1AG →=-，()3,1GB →=-.设平面AEFG 的法向量(),,n x y z →=，3200n AE x z n AG x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令1x =，得33y -=，1z =，∴31,,13n→⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.设直线GB和平面AEFG的夹角为θ，所以()()30,3,11,,1321sin cos,730,3,11,,13GB nGB nGB nθ→→→→→→⎛⎫-⋅-⎪⋅⎝⎭====⎛⎫⋅-⋅-⎪⎝⎭，所以直线GB与平面AEFG所成角的正弦值为217.7．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试】如图，等边三角形PAC所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，且有AD BC∥，2AB AD DC===，4BC=.（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）求二面角B PC D--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）513.【解析】（1）证明：取BC中点M，连接AM，则四边形AMCD为菱形，即有12AM MC BC==，所以AB AC⊥.又AB平面ABCD，平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD平面PAC AC=，∴AB⊥平面PAC，又AB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.（2）由（1）可得23AC =，取AC 中点O ，连接PO ，则PO AC ⊥，3PO =， 又PO ⊂平面PAC ， 平面PAC ⊥平面ABCD ， 平面PAC平面ABCD AC =，∴PO ⊥平面ABCD .以A 为原点建系如图，则()2,0,0B ，()3,3P ，()0,23,0C ，()3,0D -，()2,23,0BC =-，()3,3PC =-，()1,3,0CD =--，设平面BPC 的法向量为()1,,n x y z =，则2230330x z ⎧-+=⎪-=，取1z =，得()13,3,1n =. 设平面PCD 的法向量为()2,,n x y z =，则30330x y z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，取1z =，()23,1n =-，1212125cos ,131313n n n n n n ⋅<>===-⨯.∴二面角B PC D --的余弦值为513.8．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、G 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 中点.且22AB AC ==，14BC AA ==.（1）求证：BC ⊥平面ADE ； （2）求二面角1G EF B --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）6- 【解析】（1）∵22AB AC ==，4BC =，∴AB AC ⊥. ∵D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，∵111ABC A B C -为直三棱柱，D ，E 为BC ，11B C 中点， ∴DE ⊥平面ABC ，∴DE BC ⊥，∴BC ⊥平面ADE .（2）由（1）知建系如图，且()002F ，，，()122,0,0B ，()2,2,0E ，()0,22,2G ，∴()2,2,2EF =--，()12,2,0B E =-，()0,22,0FG =.设平面1B EF 的法向量为(),,m x y z =，由100m EF m B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2220220x y z xy ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩. 取()1,1,2m =，同理得平面EFG 的法向量()2,0,1n =.∴226cos ,323m n <>==，而二面角1G EF B --为钝二面角， ∴二面角1G EF B --的余弦值为6-. 9．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AFFC .（1）证明：1//CB 面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）52929. 【解析】解：（1）连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ． 因为11AGA B GE ∆∆，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC =，所以1AF AG FC GB =，所以1//FG CB ，又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .（2）过C 作CO AB ⊥于O ，因为CA CB =，所以O 是线段AB 的中点． 因为面CAB ⊥面11ABB A ，面CAB面11ABB A AB =，所以CO ⊥面1ABA ．连接1OA ，因为1ABA ∆是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以1OA AB ⊥.如图以O 为原点，OA ，1OA ，OC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设2AB =，则(1,0,0)A ，1(0,3,0)A ，(0,0,1)C ，(1,0,0)B -，12(,0,)33F， 由11AA BB =，得(2,3,0)B -，1BB的中点33(,,0)2E -，133(,,0)2A E =--，112(,3,)33A F =--. 设面1A FE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111100A E n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111230333302x y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，得方程的一组解为111135x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即1(1,3,5)n =-.面1ABA 的一个法向量为2(0,0,1)n =，则121212529cos ,n n n n n n ⋅<>==， 所以二面角1F A E A --的余弦值为52929.10．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，EF 平面ABCD ．（1）求证：平面ACF ⊥平面BDF ；（2）若60CBA ∠=︒，求二面角A BC F --的大小． 【答案】(1)见证明；(2) 4π【解析】（1）∵菱形ABCD ，∴AC BD ⊥， ∵FD ⊥平面ABCD ，∴FD AC ⊥， ∵BD FD D ⋂=，∴AC ⊥平面BDF ， ∵AC ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BDF ． （2）设ACBD O =，以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则3,0,0)B ，()0,1,0C -，(3,0,3)F ，(3,1,0)BC =--，(3,0,3)BF =-，设平面BCF 的法向量(,,)n x y z =，则302330n BC y n BF x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得(1,3,2)n =-， 平面ABC 的法向量(0,0,1)m =， 设二面角A BC F --的大小为θ， 则||2cos ||||28m n m n θ⋅===⋅， ∴4πθ=．∴二面角A BC F --的大小为4π． 11．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】如图，在三棱锥V ABC -中，,90,2VC AB ABC AB BC ︒<∠===，侧面ACV ⊥底面ABC ，45ACV ︒∠=，D 为线段AB 上一点，且满足AD CV =.（1）若E 为AC 的中点，求证：BE CV ⊥； （2）当DV 最小时，求二面角A BC V --的余弦值. 【答案】(1)见证明；(2) 33【解析】（1）在ABC ∆，因为90ABC ∠=,AB BC =，E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥，因为面ACV ⊥面ABC ，面ACV 面ABCAC =，所以BE ⊥面ACV ，又VC ⊂面ACV ，BE VC ⊥（2）以B 为坐标原点，分别以射线,BC BA 和垂直于面ABC 向上的方向为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系-B xyz ，设BD t =，则有(0,0,0),(2,0,0),(0,,0)B C D t ，因为侧面ACV ⊥底面ABC ，45ACV ∠=， 所以(1,1222t t V +-， 所以222232(1)(1)()344222tt t DV t t -=++-+=-+ 当2(0,2)3t =∈时，DV 最小， 此时2(0,,0)3D ，4222(,33V ，4222(2,0,0),(,33BC BV ==设(,,)x y z =n 为平面VBC 的一个法向量，则有0,0BC BV ==n n ，所以204222033xx y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令2z =，则(0,2,2)=-n ， 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ， 所以23cos ,16n m <>==⋅， 故二面角A BC V --的余弦值为33. 12．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形1111ADD A CDD C ，为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：11B C ⊥平面1CC E ；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）277. 【解析】（Ⅰ）因为11B A ⊥平面11ADD A ， 所以111B A DD ⊥，又11111111DD D A B A D A A ⊥⋂=，，所以1DD ⊥平面1111D C B A ，又因为11//DD CC ，所以1CC ⊥平面1111D C B A ，11B C ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B C ⊥，因为平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，平面11ADD A ⋂平面111CDD C DD =，111C D DD ⊥，所以11C D ⊥平面11ADD A ， 经计算可得1111523B E BC EC ===，，， 从而2221111B E B C EC =+，所以在11B EC 中，111B C C E ⊥，又11CC C E ⊂，平面1111CC E CC C E C ⋂=，，所以11B C ⊥平面1CC E .（Ⅱ）如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()10001,0,00,2,2A C B ，，，，， ()()11,2,10,1,0C E ，.∵1(1,1,1)(1,2,1)CE B C =--=--，，设平面1B CE 的一个法向量(,,)m x y z =则100m B C m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，，消去x 得20y z +=，不妨设1z =，可得()3,2,1m =--，又()111,0,1B C =-，设直线11B C 与平面1B CE 所成角为θ， 于是111111427sin cos ,7142||m B C m B C m B C θ⋅-====⨯⋅， 故直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值为277. 13．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】如图，在三棱锥P ABC -中，20{28x x ->-≥，2AB BC =，D 为线段AB 上一点，且3AD DB =，PD ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成的角为45.（1）求证:平面PAB ⊥平面PCD ；（2）求二面角P AC D --的平面角的余弦值。

山东省淄博市部分学校2019届高三数学阶段性诊断考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1a i z i -=-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ） A. 1-B. 1C. 2D. 2- 【答案】A【解析】【分析】 化简复数1a i z i -=-，根据纯虚数的定义即可求出实数a 的值。

【详解】()(1)1(1)1(1)=1(1)(1)222a i a i i a a i a a z i i i i --+++-+-===+--+ ∴要使复数1a i z i -=-（i 是虚数单位）是纯虚数，则021=+a ，解得：1a =-， 故答案选A 。

【点睛】本题主要考查复数的化简以及纯虚数的定义，属于基础题。

2.已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则z C A =（ ）A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {-1,0,1,2}【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式解出集合A ，利用补集的运算即可求出z C A 。

【详解】由集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，解得：{}|2,1A x x x =∈≥≤-Z∴}{z 0,1C A =，故答案选C 。

【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。

3.已知非零向量6π，→b ，若(3)0a a b →→→⋅+=，2a b →→=，则向量6π和→b 夹角的余弦值为（ ） A. 23 B. 32- C. 23 D. 32- 【答案】B【解析】【分析】直接利用平面向量的数量积的运算律即可求解。

【详解】设向量6π与向量→b 的夹角为θ， ||2||a b =，∴由(3)0a a b ⋅+=可得：2222()33cos 46cos 0a a b a a b b b θθ→→→→→→→→+⋅=+⋅=+=， 化简即可得到：2cos 3θ=-， 故答案选B 。

第1页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………山东省淄博市2019届高三理数3月模拟考试试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)，则 的共轭复数的虚部为（ ） A . B . C . D . 12. 命题“ ， ”的否定是（ ） A . 不存在 ，B . ，C . ，D .，3. 已知直线 和两个不同的平面 ， ，则下列结论正确的是（ ） A . 若 ， ，则 B . 若 ， ，则 C . 若，，则D . 若，，则4. 一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的 的值为（ ）答案第2页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B . 9C .D . 35. 已知直线 与双曲线 交于 两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）A .B .C . 2D .6. 已知 ， ，点 的坐标 满足 ，则 的最小值为（ ） A . B . C . D .7. 已知， ，设 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A . B . C .D .8. 已知直线 ： 与圆 ：，直线 与圆 相交于不同两点 .若 ，则 的取值范围是（ ） A . B .C .D .9. 设全集 ，集合 ，，则 （ ）A .B .C .D .10. 设为等差数列的前 项和，且 ，则 （ ）A . 72B . 36C . 18D . 911. 在某项测量中，测得变量 .若 在 内取值的概率为0.8，则 在 内取值的概率为（ ）A . 0.2B . 0.1C . 0.8D . 0.4。

部分学校高三阶段性检测题理 科 数 学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则{}2|1A x x =<{}2|log 0B x x =<A B =I A ． B ． C ． D ．(,1)-∞(0,1)(1,0)-(1,1)-2．在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则z 1+i z i=A ．B ．C ．D ．1i +1+i -1i --1i-3．已知等差数列的前项和为，，则数列的前2019项和为{}n a n n S 454,15a S ==11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭A ．B ．C ．D ．201820192018202020192020201720194．已知函数，的图象如图所示，令，则下列()cos()(00f x A x A ωϕω=+>>，π||)2ϕ<()()()g x f x f x '=+关于函数的说法中正确的是()g xA ．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为()()+2h x g x =12,x x 12||x x -π2B ．函数的最大值为()g x 2C ．函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行()g x P P 3+1y x =-D ．函数图象的对称轴方程为()g x 5ππ()12x k k =+∈Z 5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互90联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是A ．互联网行业从业人员中后占一半以上90B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多9080D ．互联网行业中从事运营岗位的人数后比后多90806．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．B ．3π+49π+42C ．D ．4π+211π+427．已知双曲线的左焦点为，22221(0,0)x y a b a b-=>>F 右顶点为，直线与双曲线的一条渐近线的交点为．若，则双曲线的离心率为A x a =B 30BFA ∠=oe AB． D ．238．已知实数满足线性约束条件，则的取值范围是,x y 1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩1y x +A ． B ． C ． D ．2,1]-（-1,4](-[2,4)-[0,4]9．若，，则的大小关系为||()2x f x x =⋅331(log (log (ln 3)2a fb fc f ===,,a b c A ． B ． C ． D ．c b a >>b c a >>a b c >>c a b>>10．数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且{}n a {}b n ，则56a b =A ． B ．3748a a b b +≤+3748a ab b +≥+C ． D ．3748a a bb +≠+3748=a a b b ++11．如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段ABCD =24,AB DC AD BC E ===DC P 上的动点，则的最小值是BC EP BP ⋅ A ． B ． C ． D ．95-045-112．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法错误的是1111ABCD A B C D -F 1BC A ．当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为F 1BC 1A F 1BDC 60︒B ．无论点在上怎么移动，都有F 1BC 11A F B D⊥C ．当点移动至中点时，才有与相交于一点，F 1BC 1A F 1B D记为点，且E 12A E EF=D ．无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是F 1BC 1A F CD 30︒第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的xOy αx 交点横坐标为，则的值是________________．13-cos 2α14．某学校将甲、乙等名新招聘的老师分配到个不同的年级，每个年级至少分配64名教师，且甲、乙两名老师必须分到同一个年级，则不同的分法种数为________．115．过点的直线与圆交于两点，为圆心，当1(1)2P ，l 22(1)4C x y -+=：,A B C ACB ∠最小时，直线的方程为____________________．l 16．已知函数且在上单调递增，且关于24,0,()1log |1|,0,a x a x f x x x ⎧+>⎪=⎨+-≤⎪⎩(0a >1)a ≠R 的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________．x |()|3f x x =+a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）在中,角所对的边分别为,ABC ∆C B A ,,c b a ,,满足．B A B AC cos sin 22cos cos cos =+（1）求的值；（2）若，求的取值范围．B cos 2=+c a b 18．（12分）已知正方形的边长为，分别为的中点，4,E F ,AD BC 以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点EF ABCD 60 在线段上．M AB（1）若为的中点，且直线与由三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证M AB MF ,,A D E O O 明直线平面；//OD EMC（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此M DE EMC 60 时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．M EC F --19．（12分）某医院治疗白血病有甲、乙两套方案，现就名患者治疗后复发的情70况进行了统计，得到其等高条形图如图所示（其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为）．5:2（1）补充完整列联表中的数据，并判断是否有的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发22⨯99%有影响；（2）从复发的患者中抽取人进行分析，求其中接受“乙方案”治疗的人数的数学期望．3X 附：，．n a b c d =+++22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．（12分）已知圆，抛物线．22:4O x y +=2:2(0)C x py p =>（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；C F O A C O AF （2）若直线与抛物线和圆分别相切于两点，设，当l C O ,M N 00(,)M x y []03,4y ∈时，求的最大值．MN 21．（12分）已知函数，．()ln f x x x =-21()2g x mx =（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；()f x ()g x m（2）设，已知在上存在两个极值点，()()()F x f x g x =-()F x (0,)+∞12,x x 且，求证：（其中为自然对数的底数）．12x x <2122x x e >e （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修4―4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中设倾斜角为的直线的参数方程为 （为参数）．在以坐标xOy ,αl cos ,2sin ,x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ααt 原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线O x 的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点．C ρ=l C ,A B （1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；π6α=l C （2）若为与的等比中项，其中，求直线的斜率．OP PA PB P l 23．（10分）选修4―5：不等式选讲已知函数，．()12af x x a =--a ∈R （1）若将函数图象向左平移个单位后，得到函数，要使恒成立，求实数()f x m ()g x ()()1g x f x ≥-的最大值；m （2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围．12a >()()21h x f x x =+-a。

山东省淄博市部分学校2019届高三理综第三次模拟考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ATP合酶是一种结构复杂的蛋白质，位于生物膜上，能催化ATP的合成。

下列叙述错误的是A．ATP和ATP合酶都含有核糖B．ATP合酶可催化高能磷酸键的合成C．真核细胞中ATP合酶分布于线粒体内膜和叶绿体类囊体膜上D．ATP合酶在温和的条件下发挥作用2．胰岛素可通过调节细胞膜上葡萄糖转运蛋白GLU4的数量来稳定血糖，GLU4转运葡萄糖时会发生构象的改变。

葡萄糖进入细胞后发生磷酸化，从而降低细胞内葡萄糖的浓度，有利于葡萄糖持续进入细胞。

下列叙述错误的是A．GLU4构象的改变有利于葡萄糖与其结合和分离B．GLU4将葡萄糖运入细胞的方式为主动运输C．正常情况下，血糖升高可使胰岛素靶细胞膜上GLU4数量增加D．GLU4由附着在内质网上的核糖体合成3．细菌是生物学常用的实验材料，下列相关叙述错误的是A．恩格尔曼以水绵和好氧细菌为实验材料证明叶绿体是进行光合作用的场所B．赫尔希和蔡斯以大肠杆菌和噬菌体为实验材料证明DNA是噬菌体的遗传物质C．格里菲思以小鼠和肺炎双球菌为实验材料证明DNA是R型菌的转化因子D．科学家以大肠杆菌为实验材料通过同位素标记法证明DNA复制为半保留复制4．甲状腺功能减退的致病原因有：缺碘、甲状腺病变、下丘脑病变或垂体病变。

为探究甲、乙两只甲状腺功能减退小鼠的致病原因，科研人员测定了甲、乙及健康小鼠体内促甲状腺激素释放激素(TRH)、促甲状腺激素(TSH)和甲状腺激素(TH)的含量，结果见下表。

2020届山东省淄博市部分学校高三5月阶段性检测（三模）数学（文）试题一、单选题1．已知集合2{|1}A x x =<，集合2{|log 0}B x x =<，则A B =I （ ）A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(1,1)-D ．(,1)-∞【答案】A【解析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果. 【详解】根据题意：集合{|11}A x x =-<<，集合{|01}B x x =<<，(0,1)A B ∴=I 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i --D ．1i -【答案】C【解析】先求出复数z,再求zi得解. 【详解】 由题得z=1-i , 所以1111z i i i i i -+===---. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其数量之比依次是3:4:7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么n 等于（ ） A ．50 B ．60C ．70D ．80【答案】C【解析】求出A 型号产品的占有的比例，列出等式，求解样本容量n . 【详解】 由分层抽样方法得315347n ⨯=++，解之得70n =.【点睛】本题考查了分层抽样，考查了运算能力.4．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2πϕ<的图象如图所示，若函数()()1h x f x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12||x x -的最小值为（ ）A ．23π B ．2π C ．43π D ．π【答案】A【解析】根据图象求三角函数解析式，再根据余弦函数性质得零点，最后求12||x x -的最小值. 【详解】由图象可知，2A =，214362T πππ=-=，2T π∴=，1ω=，()2cos()f x x ϕ∴=+， ()2cos()266f ππϕ=+=Q ，且1||2ϕπ<，6πϕ∴=-，()2cos()6f x x π=-，令()()12cos()106h x f x x π=+=-+=，可得1cos()62x π-=-，解可得，2263x k πππ-=+，或4263x k k Z πππ-=+∈，， 526x k ππ=+，或322x k k Z ππ=+∈，，则12||x x -的最小值为352263πππ-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数解析式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）-年之间出生，80前指1979年及以前出生．注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】结合两图对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A, 互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确；⨯,超过总人数的对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%56%=22.176%20%，所以该选项正确；⨯=，比80前多，所以对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%该选项正确.⨯=，80后占总人数的对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确.故选：D【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．34π+B ．42π+C ．942π+ D ．1142π+ 【答案】C【解析】根据三视图还原几何体可知为34个圆柱，分别求解出几何体侧面积和底面积，加和得到结果. 【详解】由三视图可知几何体为34个圆柱 ∴几何体侧面积13212212434S ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+ 几何体底面积22331242S ππ=⨯⨯⨯=∴几何体的表面积12942S S S π=+=+本题正确选项：C 【点睛】本题考查空间几何体表面积的求解，关键是通过三视图能够准确还原几何体.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，直线x a =与双曲线的一条渐近线的交点为B ．若30BFA ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D ．3【答案】C【解析】先求解B的坐标，再由||tan ||AB BFA FA ∠==. 【详解】由题意可得A （a ，0），双曲线的渐近线方程为：ay ±bx ＝0，不妨设B 点为直线x ＝a 与by x a=的交点，则B 点的坐标（a ，b ）， 因为AB ⊥FA ，∠BFA ＝30°，所以||tan ||AB b BFA FA a c ∠====+，解得e ＝2． 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．已知实数x ，y 满足线性约束条件1020x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩………，则1y x +的取值范围是（ ）A ．(2-，1]-B ．(1-，4]C ．[2-，4)D ．[0，4]【答案】B【解析】根据条件画出如图可行域，得到如图所示的阴影部分．设(0,1)P -，可得1y k x+=表示直线P 与可行域内的点连线的斜率，得到OB 斜率的最小、PC 斜率最大，即可得到1y x+的取值范围． 【详解】作出实数x ，y 满足线性约束条件1020x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩………表示的平面区域得到如图所示的ABC ∆及其内部的区域，其中(1,1)A -，(1,1)B -，(1,3)C 设(,)Q x y 为区域内的动点，可得 1y k x+=表示直线P 、Q 连线的斜率，其中(0,1)P - 运动点Q ，可得当Q 与C 点重合时，4PQ k =最大值， 当直线OB 的斜率为1-； 综上所述，1y k x+=的取值范围为(1-，4]．故选：B ．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求1y x+的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．9．已知||()2x f x x =g ，3(log 5)a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D【解析】由函数的解析式确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后结合函数的性质比较,,a b c 的大小即可. 【详解】由函数的解析式可知函数为奇函数，当0x ≥时，()2xf x x =⋅，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数， 由于331ln 31log 50log 2>>>>, 故()(31352f ln f log f log ⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 即c a b >>. 故选：D . 【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．数列{}n a 满足点(n a ，)(1)n S n …在直线32y x =-上，则前5项和为（ ） A ．21132B ．21116C ．21164D ．21132-【答案】B【解析】先根据条件得32n n S a =-，再利用和项与通项关系得123n n a a -=，最后根据等比数列定义与与前n 项和公式得结果. 【详解】数列{}n a 满足点(n a ，)(1)n S n …在直线32y x =-上，则32n n S a =-， 当1n =时，1132S a =-，得11a =，当2n …时，113232n n n n S S a a ---=--+，即133n n n a a a -=-，得123n n a a -=， 即132n n a a -=，则数列{}n a 是公比32q =的等比数列，则前5项和为531[1()]211231612⨯-=-，故选：B ． 【点睛】本题考查利用和项与通项关系求通项以及等比数列定义与与前n 项和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 （ ） A ．线段1B C B ．线段1BCC ．1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段D ．BC 的中点与11B C 的中点连成的线段 【答案】A【解析】先根据正方体性质得1BD ⊥面1ACB ，再根据条件确定点P 的轨迹. 【详解】如图，连接AC ，1AB ，1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，有1BD ⊥面1ACB ，因为1AP BD ⊥，所以AP ⊂面1ACB ， 又点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，∴故点P 的轨迹为面1ACB 与面11BCC B 的交线段1CB ．故选：A ．【点睛】本题考查正方体性质以及线面垂直关系应用，考查基本分析判断能力，属中档题.12．已知函数32,0(),0x x x f x lnx x ⎧-=⎨->⎩…，若函数()()g x f x x a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2)B ．[0，1)C ．(-∞，2]D ．(-∞，1]【答案】A【解析】本道题先绘制()f x 图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a 的范围，即可。

专题07 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3， 故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．【母题来源二】【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源三】【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】3【解析】方法一：222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为3【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.【命题意图】高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用. 【命题规律】1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换． 【方法总结】（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.（二）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. （四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||==⋅a a a a ，或坐标公式22||x y =+a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． （2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用. （五）向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．1．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影的数量为 A ．1B 2C ．12D ．2【答案】D【解析】由()⊥-a a b 得()0⋅-=a a b ，所以1⋅=⋅=a b a a ， 所以向量a 在b 方向上的投影的数量为2cos ,22⋅===a b a a b b ， 故选D.【名师点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.求解时，先由()⊥-a a b 求出⋅a b ，再由cos ,a a b 即可求出结果.2．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试数学试题】把点()3,2A 按向量()1,4=a 移到点B ，若2OB BC =-（O 为坐标原点），则C 点坐标为A ．()1,1-B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,3D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6， 所以()4,6B ，设(),C x y ，则()4,6OB =，()4,6BC x y =--，又2OB BC =-，所以()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以()2,3C . 故选C.【名师点睛】本题主要考查了平移知识，还考查了向量数乘的坐标运算，考查计算能力及方程思想，属于较易题.求解时，点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6，设(),C x y ，求得OB ，BC ，再利用2OB BC =-列方程组可得：()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解方程组即可.3．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）数学试题】已知非零向量,m n 满足4=n m ，且()2⊥+m m n ，则,m n 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．π2D ．2π3【答案】D【解析】∵4=n m ，且()2⊥+m m n ，∴()22222||cos ,0⋅+=+⋅=+=m m n m m n m m n m n ，且0,0≠≠m n ， ∴2||cos ,0+=m n m n ，∴21cos ,2=-=-mm n n ， 又0,π≤…m n ，∴2π,3=m n ．故选D ．【名师点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，属于基础题．求解时，根据()2⊥+m m n ，得()20⋅+=m m n ，再根据4=n m 进行数量积的运算即可求出cos ,m n 的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．4．【湖南师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】连接AC ，根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =， 所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.解答本题时，根据题意得：1()2AF AC AE =+，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求.5．【山西名师联盟2019届高三5月内部特供卷数学试题】已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，且a 在b 25，则实数m = A ．2± B ．2 C ．5±D 5【答案】A【解析】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，22(0,)m =+-=a a b b ，所以20,,22m m ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭a ab ，设向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )12mm =+=⋅=θb a a b ， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos ⋅=θa b a b ，二是1212x x y y ⋅=+a b ，主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角，cos ⋅=⋅θa ba b（此时⋅a b 往往用坐标形式求解）； （2）求投影，a 在b 上的投影是⋅a bb； （3）若向量,a b 垂直，则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）.6．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】D【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ， ∴20m -=，即()1,2=-b ， ∴145⋅=--=-a b ， 故选D.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.求解时，利用向量平行的充要条件得到m ，进而利用数量积的坐标运算得到结果. 7．【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则A ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【答案】D【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+， 由23OA OB OC ++=0，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+4OM =0， 即2（OA OB -）+12OM =0， 可得AB =6OM ，即OM ∥AB ， 故选D ．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 8．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()+⊥λa b c ，则实数=λA ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ，所以()12,23-+λλλa +b =，又()+⊥λa b c ，所以()0+⋅=λa b c ，即()()412+523=0-+λλ，解得= 2-λ. 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.求解时，由,a b 的坐标，表示出λa +b ，再由()+⊥λa b c ，得到()()412+523=0-+λλ，进而可求出结果. 9．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学试题】若向量,a b 的夹角为120︒，1=a ，27-=a b ，则=bA ．12B 7C ．1D ．2【答案】C【解析】因为222244cos ,-=+-a b a b a b a b ， 又,120=︒a b ，1=a ，27-a b ， 所以27=142++b b ，解得32=-b (舍去)或1=b . 故选C.【名师点睛】本题考查求平面向量的模，常用方法是用数量积或22=a a 求解.求解时，先对27-=a b 两边同时平方，代入已知条件，即可解得b .10．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题】已知向量a ，b 满足2=a ，且()40+=>λλa b a ，则当λ变化时，⋅a b 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】由已知，(1)4-=λa b ，得2(1)4-=⋅λa a b ，因为||2,0=>λa ，所以11⋅=->-λa b ， 故选D.【名师点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题.求解时，由向量数量积得1⋅=-λa b 即可求解.11．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月）质检数学试题】已知向量,a b 满足1=a ，(),2t t =-b ，-a b与a 垂直，则-a b 的最小值为A ．22B ．1C 2D ．2【答案】B【解析】由题意知-a b 与a 垂直，则()0-⋅=a b a ，可得21⋅==a b a ． 又由222+-=-⋅a b a a b b ()22=12+[2]t t -+-()2=211t -+ 所以当1t =时，-a b 取得最小值1． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解时，根据向量的模与数量积的运算，求得()2211t -=-+a b 根据二次函数的性质，即可求解．12．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP BP ⋅的最小值是A ．95- B ．0 C ．45-D ．1【答案】A【解析】由等腰梯形的知识可知cos B =， 设BP x =，则5CP x =， ∴2565()1()(5)(1)EP BP EC CP BP EC BP CP BP x x x x ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅-=-， 05x 剟，∴当355x =时，EP BP ⋅取得最小值95-． 故选A ．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．求解时，计算cos B ，设BP x =，把EP EC CP =+代入得出关于x 的函数，根据x 的范围得出最小值．13．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】已知向量()3,4=a ，()1,k =-b ，且⊥a b ，则4+a b 与a 的夹角为________．【答案】4π 【解析】因为⊥a b ，故0⋅=a b ，所以340k -+=，故34k =，故()41,7+=-a b ， 设4+a b 与a 的夹角为θ， 则2cos 5025525θ===⨯⨯， 因为[]0,π∈θ，故π4=θ， 故填4π. 【名师点睛】解答时，先计算出k ，再求出4+a b 与a 的坐标，计算出它们的夹角的余弦后可求夹角的大小.向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用=⋅a a a ；（2）计算角，cos ,⋅=a b a b a b.特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0⋅=a b . 14．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学试题】已知向量()cos ,sin =θθa ，向量(1,=-b ，则3-a b 的最大值是______.【答案】6【解析】由题意，向量()cos ,sin =θθa ，则()33cos ,3sin =θθa ，所以向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，3-a b 最大，最大值为6.【名师点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的坐标表示的应用，其中解答中熟练应用向量的几何意义和向量的坐标表示是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．求解时，由向量()cos ,sin =θθa ，得到向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，即可求解，得到答案．15．【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测数学试题】在ABC △中，D 为BC 的中点，且33BC AD ==，则AB AC ⋅=_______． 【答案】54- 【解析】()()22AD DB A AB A D DC C AD BD =++=-⋅⋅95144=-=-. 【名师点睛】本题主要考查向量的基向量表示及向量运算，选择已知信息较多的向量作为基底，是求解这类问题的重要策略.求解时，用AD 表示出所求向量，利用数量积相乘可得结果.。