第二节__换元积分法_1

xdx = tdt ,
解二： 解二： 令 x = tant ⇒ dx = sec2 tdt
∫
x5 5 dx = ∫ tan xsec xdx 2 1+ x
− π , π t ∈ 2 2
例8 求
∫ cos 3xcos 2xdx.
1 解 cos Acos B = [cos( A− B) + cos( A+ B)], 2 1 cos 3xcos 2x = (cos x + cos 5x), 2 1 ∫ cos 3xcos 2xdx = 2 ∫ (cos x + cos5x)dx 1 1 = sin x + sin5x + C. 2 10
1 1 1 = ∫ du = ln | u | +C = 1 ln | 1 + 2ln x | +C. 2 2 u 2
x dx. 例4 求 ∫ 3 (1+ x) x x + 1−1 dx = ∫ dx 解 ∫ 3 3 (1 + x) (1 + x) 1 1 ]d(1 + x) = ∫[ 2 − 3 (1 + x) (1 + x) 1 1 C =− + C1 + 2 + 2 1+ x 2(1 + x) 1 1 =− + + C. 2 1 + x 2(1 + x)
1 例5 求 ∫ 2 dx. 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a +x a
1 = ∫ a
1 2dx x 1+ 2 a
1 x x 1 2d = arctan + C. a x a a 1+ a
1 例6 求 ∫ dx. 1 + cos x 1 1 − cos x 解一： 解一：∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 − cos x dx = ∫ =∫ dx 2 2 1 − cos x sin x 1 1 = ∫ 2 dx −∫ 2 d(sin x) sin x sin x 1 = −cot x + + C. sin x
2 2 x5 (t −1) tdt = (t 4 − 2t 2 + 1)dt ∫ 1+ x2dx = ∫ t ∫ 1 1 5 2 3 2 4 2 = t − t + t + C= (8 − 4x + 3x ) 1 + x + C. 15 5 3
解一： 解一： t = 1 + x2 ⇒ x2 = t 2 − 1, 令
dx 例9 求 ∫ 2 a − x2 dx 1 1 1 解： ∫ a2 − x2 = 2a ∫(a + x + a − x)dx 1 dx 1 dx = ∫ + ∫ 2a a + x 2a a − x 1 1 = ln | a + x | − ln | a − x | +c 2a 2a 1 a+ x | +c (a > 0) = ln | 2a a− x
x5 1− x2dx = ∫ (sint )5 1− sin2 t cos tdt ∫
= ∫ sin t cos tdt = L L
5 2
（应用“凑微分”即可求出结果） 应用“凑微分”即可求出结果）
单 的 可 的 数 定理2 定理2 设x =ψ (t )是 调 、 导 函 ， ψ 又 有 函 ， 并 ψ ′(t ) ≠ 0， 设 f [ψ (t )] ′(t )具 原 数 且
1 1 dx dx = ∫ 解二： 解二： ∫ 1 + cos x 2 sin2 x 2
x x = ∫ csc d( ) 2 2 x = −cot + C 2
2
例7 求 解
∫ sin
2
x ⋅ cos xdx.
5
sin2 x ⋅ cos5 xdx = ∫ sin2 x ⋅ cos4 xd(sin x) ∫
= f [ψ(t )]= f (x).
明 说 F(x)为f (x) 的 函 , 原 数
∴
∫ f ( x)dx = F( x) + C = Φ[ψ( x)] + C,
∫ f ( x)dx =[∫ f [ψ(t )]ψ′(t )dt]t=ψ ( x)
第二类积分换元公式
例10 求
∫
1 dx (a > 0). 2 2 x +a
一般地
1 ∫ f (ax + b)dx = a[∫ f (u)du]u=ax+b
1 dx. 例3 求 ∫ x(1 + 2ln x)
解
1 1 ∫ x(1+ 2ln x)dx = ∫ 1+ 2ln xd(ln x)
1 1 d(1 + 2ln x) = ∫ 2 1 + 2ln x
u = 1+ 2ln x +
a2 − x2 a +x
2 2
可令 x = asint; 可令 x = atant; 可令 x = asect.
x2 − a2
说明(2) 积分中为了化掉根式是否一定采用 说明(2) 三角代换并不是绝对的， 三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的 情况来定. 情况来定 例1 3 求 ∫
x5 dx 2 1+ x
第二节 换元积分法
• 一、第一类换元法 • 二、第二类换元法 • 三、小结 思考题
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2xdx= sin2x + C,
利用复合函数，设置中间变量. 解决方法 利用复合函数，设置中间变量
1 过程 令 t = 2x ⇒ dx = dt, 2 1 1 1 ∫ cos 2xdx = 2 ∫ cos tdt = 2sint + C= 2sin2x + C.
2 2
x2 + a2 t
x a
例11 求 x
∫
3
4 − x dx.
2
解 令 x = 2sint
dx = 2cos tdt
3
− π , π t ∈ 2 2
∫x
3
4 − x dx = ∫ (2sint )
2
3 2
4 − 4sin2 t ⋅ 2cos tdt
2 2
tcos = 32∫ sin t cos tdt = 32∫ sint(1 − cos t )cos tdt = −32∫ (cos2t − cos4 t )d cos t 1 3 1 5 = −32( cos t − cos t ) + C 3 5 4 1 2 3 2 5 =− 4− x + 4 − x + C. 3 5
定理1 定理1
设 f (u)具 原 数 u = ϕ(x)可 ， 有 函 ， 导
则有换元公式
∫ f [ϕ( x)]ϕ′( x)dx = [∫ f (u)du]u=ϕ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
∫ g( x)dx 化为 ∫ f [ϕ( x)]ϕ′( x)dx.
则有换元公式 ∫ f ( x)dx = ∫ f [ψ (t )] ′(t )dt ψ
的反函数. 其中 (x)是x =ψ(t )的反函数. ψ
[
]
t =ψ ( x)
证ψ 的原函数, 设 来自(t )为 f [ψ (t )] ′(t )的原函数
令F( x) = Φ[ψ ( x)]
dΦ dt 1 则 F′( x) = ⋅ = f [ψ (t )] ′(t )⋅ , ψ dt dx ψ′(t )
类似地可推出
dx 1 x −a ∫ x2 − a2 = 2a ln | x + a | +c (a > 0)
例10 求 csc xdx.
∫
1 1 解（一） ∫ csc xdx= ∫ dx dx= ∫ x x sin x 2sin cos 2 2 1 x 1 x d =∫ d tan 2 = ∫ x x x 2 2 tan tan cos 2 2 2
x x −a = ln + + C. a a
2 2
x
t
x2 − a2
a
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换 三角代换的目的是化掉根式. 三角代换的目的是化掉根式 目的是化掉根式 一般规律如下： 一般规律如下：当被积函数中含有
(1) (2) (3)
2 4 6
= ∫ sin2 x ⋅ (1 − sin2 x)2 d(sin x) = ∫ (sin x − 2sin x + sin x)d(sin x)
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C. 3 5 7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 当被积函数是三角函数相乘时， 次项去凑微分. 次项去凑微分
x = ln tan + C = lncsc x − cot x + C. 2 使用了三角函数恒等变形） （使用了三角函数恒等变形）
解（二） ∫ csc xdx = ∫
1 sin x dx= ∫ 2 dx sin x sin x
1 d(cos x) u = cos x = −∫ 2 1 − cos x 1 1 1 1 + du = − ∫ = −∫ du 2 2 1 − u 1 + u 1− u
2
t
4 − x2
x
(
)
(
)
例1 2 求