第二节换元积分法

第二节 换元积分法要求：掌握用第一、二换元积分法求不定积分。

重点：第一、二换元积分法。

难点：选择恰当的变量代换。

作业：习题4－2（252P ）***6)8)10)11)14)17)20)23)24)25)28)31)32)33)35)36)38)39)40)1,2问题提出： 利用不定积分的基本积分表及性质可以求出一些不定积分，但它毕竟是有限的，还有不少积分只靠上述方法是解决不了的，如⎰xdx 5sin 、⎰dx xe x 22．为了求出更多的不定积分，有必要研究求不定积分的其它方法，换元积分法是本节要介绍的一种方法.换元积分法其意思是用新变量去代换原变量，使原被积函数式变成一个比较简单的或积分表中已有的形式.它实质为复合函数求导运算的逆运算．按引入新变量的方式分第一换元积分法和第二换元积分法.一、第一换元积分法复合函数的微分 已知函数)(),(x u u F y ϕ==，则复合函数)]([x f y ϕ=， 因此导数 )()]([x x f y ϕϕ''='，微分 du u F dx x x F dy )()()](['=''=ϕϕ．如 函数2sin x y =，令2x u =，得u y sin =，导数x x x u dxdu du du dx dy 2cos 2cos 2⋅=⋅=⋅=， 微分 xdx x x d 2cos )(sin 22⋅=， 上式两边积分得，222cos 2(cos sin )sin x ux xdx udu u c x C =⋅===+=+⎰⎰. 再如 2222x ux u u x e xdx e du e c e C =⋅===+=+⎰⎰.这里我们的思想方法是与复合函数求导方法一样，引入中间变量u 来化简运算. 定理1 设函数)(u f 具有原函数)(u F ，且)(x u ϕ=可导，则函数)]([x F ϕ是函数)()]([x x f ϕϕ'的原函数，即有换元公式()[()]()[()][()]u u f x x dx F x C f u du ϕϕϕϕ='=+=⎰⎰.这个公式称第一换元公式（或凑微分法）.证明思路，上式两边求导，得[()][()]'()dF x f x x dx ϕϕϕ=.计算方法（1）分被积式为两部分du dx x =')(ϕ和)()]([u f x f =ϕ，且)(u f 的原函数易求； （2）对该积分求出的原函数)(u F 中的u 换为函数)(x ϕ，即)(x u ϕ=.如 22cos 2cos sin sin 2x uxdx udu u C x C ====+=+⎰⎰， 要想掌握第一换元法要熟记几个常用的微分：()adx d ax b =+，221dx xdx =，x d dx x ln 1=，)1(12x d dx x -=，x d xdx 2=， x x de dx e =，x d xdx cos sin -=arcsin d x =，21arctan 1dx d x x=+. 下列分类举例：1．直接引入新变量（乘个常数或除个常数即可）例1．求不定积分⎰+x dx 232.解 ⎰⎰=+===+udux dx u x 23232ln ||ln |32|u C x C =+=++. 一般地 积分⎰⎰⎰=+===++=+du u f ab ax d b ax f a dx b ax f u b ax )(1)()(1)(例2．求不定积分⎰+)ln 21(x x dx.解⎰+)ln 21(x x dx ⎰⎰+=+=x x d x x d ln 21)ln 2(21ln 21ln1(12ln )1ln |12ln |212ln 2d x x C x +==+++⎰. 例3．求不定积分dx x x ⎰-21. 解 dx x x ⎰-21)1(121)(1212222x d x x d x ---=---=⎰⎰ 332222121(1)(1)233x c x C =-⋅-+=--+.例4．求不定积分dx xe x⎰3.解dx xe x⎰3x d e x d e x x 332233⎰⎰==23e C =+.2．通过代数变形后再引入新变量例5．求不定积分⎰+22x a dx.解 ⎰+22x a dx ⎰⎰+==+==22211)(1)(1u du a ax a x ad a u ax11arctan arctan xu C C a a a =+=+. 即有公式 ⎰+22x a dx =1arctan xC a a +. 例6．求不定积分⎰-+xx ee dx. 解 ⎰-+xx e e dx ⎰⎰+=+=1)(122x xx x e de e dx e arctan x e C =+. 例7．求不定积分⎰-22xa dx )0(>a .解⎰-22xa dx ⎰⎰-=-=22)(1)(11a xa xdax dx a arcsin x C a =+ 即有公式⎰-22x a dx arcsinxC a =+ 利用上述公式计算不定积分⎰-+223xx dx.解⎰-+223xx dx ⎰⎰++--=-+=1)12(32322x x dxx x dx1arcsin2x C -==+. 例8．求不定积分⎰-22a x dx. 解 因为)11(21122a x a x a ax +--=-， 所以 dx ax a x a a x dx ⎰⎰+--=-)11(21221(ln ||ln ||)2x a x a C a=--++1ln ||2x a C a x a -=++. 即有公式 ⎰-22ax dx 1ln ||2x aC a x a -=++. 3．利用三角公式变形的积分 常用的三角公式 )2cos 1(21sin 2x x -=， )2cos 1(21cos 2x x +=. 例9．求不定积分⎰xdx tan . 解 ⎰xdx tan ⎰⎰-==x x d dx x x cos cos cos sin ln |cos |x C =-+即有公式 ⎰xdx tan ln |cos |x C =-+. 同理得公式 cot ln |sin |xdx x C =+⎰.例10．求不定积分⎰xdx csc . 解 ⎰xdx csc 22sin cos 11cos ln ||sin sin 1cos 21cos dx x d x x dx C x x x x -===-=+-+⎰⎰⎰221(1cos )1cos ln ||ln ||2sin sin x xC C x x--=+=+ ln |csc cot |x x C =-+. 即有公式 ⎰xdx csc ⎰=x dxsin ln |csc cot |x x C =-+利用互余关系可求不定积分⎰xdx sec .解 ⎰xdx sec ⎰⎰++==)2sin()2(cos ππx x d xdxln |csc()cot()|22x x C ππ=+-++ ln |sec tan |x x C =++. 即有公式 ⎰xdx sec ln |sec tan |x x C =++.得到一些以后经常用到的需要记住的积分公式.（16）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰； （17）cot ln |sin |xdx x C =+⎰； （18）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰；（19）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰；（20）221arctan dx xC a x a a =++⎰； （21）arcsin x C a =+⎰； （22）2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰.例11．求不定积分xdx ⎰2sin .解 xdx ⎰2sin dx x dx dx x ]2cos [21)2cos 1(21⎰⎰⎰-=-=11sin 224x x C =-+.例12．求不定积分xdx ⎰4cos .解 xdx ⎰4cos dx x ⎰+=2)]2cos 1(21[=dx x x ⎰++)2cos 2cos 21(412 dx x x ⎰+++=)24cos 12cos 21(41dx x x ⎰++=)4cos 212cos 223(41311sin 2sin 48432x x C =+++.对于被积函数是x k2sin或x k 2cos 时，均可利用公式)2cos 1(21cos 2x x +=，)2cos 1(21sin 2x x -= 将被积函数降为一次方，再积分.例13．求不定积分xdx ⎰3sin .解 xdx ⎰3sin x d x cos )cos 1(2⎰--=31cos cos 3x x C =-++. 对于被积函数是x k 12sin +或x k 12cos +时，将其化为x k 2sin 或x k 2cos 及sin x 或cos x的一次方次，对于x k2sin（x k 2cos 或），利用公式1cos sin 22=+x x ，对于sin x 或cos x ，利用sin cos xdx d x =-或cos sin xdx d x =，把被积函数化为只含)sin (cos x x 或的函数，再积分.例14．求不定积分xdx ⎰6sec .解 xdx ⎰6sec x d x xdx x tan )tan 1(sec sec 2224⎰⎰+=⋅=x d x x tan )tan tan 21(42⎰++= 3521tan tan tan 35x x x C =+++. 例15．求不定积分xdx x 52cos sin ⎰.解 xdx x 52cos sin ⎰xdx x x cos )sin 1(sin 222⋅-=⎰x d x x x sin )sin sin 21(sin 422+-=⎰x d x x x sin )sin sin 2(sin 642⎰+-=357121sin sin sin 357x x x C =-++. 例16．求不定积分xdx x 35sec tan ⋅⎰.解 xdx x 35sec tan ⋅⎰x xd x sec sec tan 24⋅=⎰x xd x sec sec )1(sec 222⎰-= x d x x x sec )sec sec 2(sec 246⎰+-=753121sec sec sec 753x x x C =-++. 凡被积函数是x ntan 与x msec 类函数相乘时，均可用公式1tan sec 22=-x x 与xdx x d 2sec tan =，xdx x x d sec tan sec =变形后再积分.例17．求不定积分⎰⋅xdx x 2cos 3cos . 解 ⎰⋅xdx x 2cos 3cos dx x x ⎰+=)5cos (cos 2111sin sin 5210x x C =++ 凡被积函数为sin sin ;cos cos ;sin cos mx nx mx nx mx nx ⋅⋅⋅时，需用积化和差公式化为两项和后再积分.1sin sin [cos()cos()]2x y x y x y =-+--，1cos cos [cos()cos()]2x y x y x y =++-，1cos sin [sin()sin()]2x y x y x y =+--.说明第一换元法在积分中常用，如何选择适当的变量代换，却没有一般的方法可循，这种方法的特点是凑微分.要掌握该方法，需要熟记一些函数的微分公式. 如几个典型的凑微分法⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f ， 222)(21)(dx x f xdx x f ⎰⎰=， x x x x de e f dx e e f ⎰⎰=)()(， x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ⎰⎰=，x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ⎰⎰=， ⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f dx xx f tan )(tan cos 1)(tan 2， ⎰⎰=dshx shx f chxdx shx f )()(，⎰⎰=-x d x f dx xx f arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2，⎰⎰=+x d x f dx xx f arctan )(arctan 11)(arctan 2. 并善于根据这些公式，从被积式中凑出合适的微分因子.另外，还需熟悉一些典型的例子，并要多多练习，不断积累经验.二、第二换元法由第一换元法例题可以看出，它们的主要思想是通过适当选择新变量)(x u ϕ=，使原不定积分的被积式化为du u f )(，而要容易求出原函数)(u F ，使)()(u f u F ='.由此得出不定积分[()]F x C ϕ+，即[()]()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰.但用第一换元法可以解决的不定积分的类型仍受到限制，它既要求积分式适当分解为)()]([x d x f ϕϕ，又同时)(u f 的原函数容易求，有些函数很难做到这一点.例如 不定积分⎰+xdx 1.解 求这个积分的主要困难是x ，所以令t x =， 则⎰+xdx 1 dt t t t tdt tx ⎰⎰+-+=+===11121212(1)2(ln |1|)1dt t t C t =-=-+++⎰ln |1C =++.这就提示我们对一般不易用第一换元法求原函数的不定积分()f x dx ⎰，能否用变量)(t x ϕ=代换，使原积分的被积式dt t t f dx x f )()]([)(ϕϕ'=，并且)()]([t t f ϕϕ'的原函数)(t G 易求出，这就是我们要介绍的第二换元法.定理2 设()x t ψ=是单调、可导函数，并且'()0t ψ≠，又设[()]'()f t t ψψ具有原函数()t Φ，则有换元公式11()()[[()]'()]()[()]t x f x dx f t t dt t C x C ψψψψ--===Φ+=Φ+⎰⎰.其中1()x ψ-是()x t ψ=的反函数.证明 设[()]'()f t t ψψ的原函数为()t Φ，记1[()]()xF x ψ-Φ=，利用复合函数的求导法则及反函数的导数公式，得到1'()[()]'()'()d dt F x f t t dt dx t ψψψΦ==⋅[()]()f t f x ψ==.即()F x 是()f x 的原函数.所以有11()()()[()][[()]'()]t x f x dx F x C x C f t t dt ψψψψ--==+=Φ+=⎰⎰.下面举例说明公式的应用.1．三角代换 例1．计算不定积分⎰-22a x dx )0(>a .解 因为被积函数221ax -的定义域为a x >||，所以分区间讨论.（1）当a x >时，设t a x sec =，则sec tan dx a t tdt =， 为了保证反函数的单值、单调性，限制20π<<t .则t a t a t a a t a a x tan |tan |)1(sec sec 222222==-=-=-，于是⎰⎰⎰==-tdt ta tdtt a a x dx sec tan tan sec 221ln |sec tan |t t C =++1ln ||xC a =++ 1ln |ln x C a =+-ln |x C =+（2）当a x -<时，令u x -=，那么a u >，由上面讨论，得1ln(u C =-=-++11ln(lnx C C =--++=+1ln(C x C ==--+. 综上所述，当a x >及a x -<时，有公式ln |x C =+.例2．计算不定积分⎰+22ax dx )0(>a .解 设t a x tan =，则tdt a dx 2sec =)2|(|π<t ，则t a t a t a a x sec |sec |tan 1222==+=+，所以⎰⎰⎰==+tdt t a tdt a a x dxsec sec sec 2221ln |sectan |t t C =++又因为aa x t 22sec +=，且0tan sec >+t t ， 所以1ln(x C a =+ln(x C =+由上两例可得公式 （23）、（24）ln ||x C =+.例3．计算不定积分⎰+942x dx .解⎰+942x dx ⎰+=223)2()2(21x x d 1ln |22x C =++ 例4．计算不定积分dx x a ⎰-22)0(>a .解 设,cos ,sin tdt a dx t a x == 2||π<t ，tdt a tdt a t a a dx x a ⎰⎰⎰=⋅-=-2222222cos cos sin221(1cos 2)[sin 2]222a a t dt t t C =+=++⎰ 22sin cos 22a a t t t C =++.又因为axt arcsin =，ax a t 22cos -=， 于是22arcsin 22a x a C a =+2arcsin 2a x C a=+. 一般被积函数含有22a x -，22a x +，22x a -因子，采用三角代换法. （1）当被积函数中含22x a -时，设t a x sin =； （2）当被积函数中含22x a +时，设t a x tan =； （3）当被积函数中含22a x -时，设t a x sec =. 另外，还可用公式122=-t sh t ch 计算之. 如1x ashtachtdt dt t C acht===+⎰⎰11ln[x x arcshC C a a =+=+ln(x C =+. 下面利用前面给出的24个公式计算下列各题.例5．计算不定积分⎰++322x x dx.解⎰++322x x dx⎰+++=22)2()1()1(x xd C = 例6．计算不定积分⎰-+21xx dx .解⎰-+21xx dx ⎰---=22)21()25()21(x xd C =+2．倒代换（tx 1=）分母次方较高，主要消去被积函数分母中变量x 的高次方，设t x 1=. 例7．计算不定积分(1)x >.解 设t x 1= ，那么2tdt dx -=，于是21)dt t =-=-1arcsin 2t C +=-=-+ 1arcsin2x C x +=-+. 3．其它代换例8．计算不定积分解t =，则212t x -=，dx tdt =. 于是2232111112()[]12232t tdt t t dt t t C t -==-=-++⎰⎰ 3211(21)(21)64x x C =+-++. 例9．计算不定积分⎰+x e dx 1.解 ⎰+x e dx 1⎰⎰+=+====2212t t dt t dt t t e x112()2(ln ln(1))1dt t t C t t =-=-+++⎰ 2ln 1t C t =++C =+ 22ln(1)xx e C =-++.另一个方法：⎰+x e dx 122222111x x x xx e e e dx dx dx e e +-==-++⎰⎰⎰22ln(1)xx e C =-++。