当前位置：文档之家 › 第二节 换元积分法

第二节 换元积分法

  • 格式：ppt
  • 大小：29.07 MB
  • 文档页数：14

下载文档原格式

  / 14

合集下载

不定积分求解方法-换元法

不定积分求解方法-换元法

例1. 求 (a x b )m d x(m 1 ).
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = um 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
1 (axb)m1C a(m1)
注: 当 m1时
dx目录 上页 下页 返回 结束
例2. （P222）求
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、第一类换元法 （P221）
定理1. 设f (u)有原函,数u(x)可导 ,则有换元
公式
f[(x) ](x)dx f(u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d )(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
精选版ppt
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx 1(( aaxx )) 2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1a
du 1 u
2
1arctaunC a
1arctax)n(C aa
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. （P223） 求
解:
tanxdx
sin xdx cosx
dccoossxx
ln co x sC
类似
coxtdx? cosisnxxdx
dsinx sinx
lnsixnC
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. （P223）求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a )1( 1 1 ) ( x a )( x a ) 2a xa xa

高等数学-4_2换元法

高等数学-4_2换元法
4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x


(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )

tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
机动
目录
上页
下页
下页
返回
结束
例7. （1）

sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x

(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
机动
目录
上页
下页
返回
结1 x

1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1

1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )

不定积分的第二类换元积分法

不定积分的第二类换元积分法
F (t) C F[j -1(x)] C.
其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.
这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,
{F[j -1(x)]}
F (t)
dt dx
f
[j(t)]j(t)
1 dx
f
[j(t)]
f
(x)
.
dt
一、第二类换元法基本类型
❖（1）三角代换去根式
❖（2）根式代换(去根式) ❖（3）倒代换
22
a2 x2 a sect.
•去 根 x2 - a2 (a 0) 式作代换 x asect, t (0, )
2 x2 - a2 a tan t.
dx asect tantdt
y sec x
例1 求 a2 - x2 dx (a 0)
解 令x asin t dx acostdt t - ,
ln | x x2 a2 | C
❖（2）根式代换(去根式)
例4 求
1 dx x (1 3 x )
解 令 x t 6 (t 0), dx 6t5dt
1 dx x (1 3 x )
t
3
6t 5 (1 t
2
)
dt
6t 2 1 t2
dt
6
t
2 1 1 t
-
2
1
dt
6
1
1 1 t2
dt
6[t
-
arctant]
C
6[6 x - arctan 6 x ] C
❖（2）根式代换(去根式)
例5
1
求 1 ex dx
解令 t 1 ex , ex t 2 -1,
x ln(t 2 -1),

《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法

《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法

(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1

换元积分

换元积分
t 到分子上去，使分母的次数降低.
第二节 换元积分法
基本积分表的扩充
(14) sh x dx ch x C , (15) ch x dx sh x C , (16) tan x dx ln | cos x | C , (17) cot x dx ln | sin x | C , (18) sec x dx ln | sec x tan x | C , (19) csc x dx ln | csc x cot x | C ,
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例77
解
求求
ddxx xx((11 22llnn
dx
x(1 2 ln x)
xx)) ..
例10
第 二节d(换ln元x)积解分法1
1 2 ln x 2
求 sin 44 xdx .
sind4(2xdlnxx)
1 cos 2x 2
1 2 ln x 第二节2 换元积
.
ta
x
2
a
t
2
t
1 d(1 a2t 2 )
1
22
x2 a2
第二节 换元积分法
第二换元积分法常用的4种代换
(1) x = asin t 用于被积函数中含有 a2 x2 , (2) x = atan t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (3) x = asec t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (4) x 1 用于将被积函数分母中的高次因子翻
换元公式 f [(x)](x)dx f (u)du . u ( x) 证明 设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何应F用(u换) 元f公(u式) 求或 g(fx()udx)d呢u ？F(u) C .

《微积分》第二节 不定积分的第二类换元积分法

《微积分》第二节 不定积分的第二类换元积分法

dx a sec t tan t d t
∴ 原式
a sect tan t a tan t
dt
sect d t
ln sec t tan t C1
t
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
(C C1 ln a)
当x a 时 , 令 x u , 则 u a , 于是
du u 2 a2 ln u
2
,
2
sec tdt ln| sect tan t | C1
ln
x a
ln( x
x2 a
a2
C1
x2 a2 ) C.
x2 a2
x
t a
(C C1 ln a)
例4. 求
解:
当x
a时,
令
x
a sec t
,
t
(0,
π 2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
x5 dx
1 x2
t2 1 2
t tdt
t 4 2t 2 1 dt
1 t5 2 t3 t C 1 (8 4x2 3x4 ) 1 x2 C.
53
15
例6 求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1,
x lnt2 1,
dx
t
2t 2
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1( x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t) , 令 F ( x) [ 1( x) ] (t) f [ (t)] (t)
则

第2节换元积分法

或
因为 { F [ ( x )]} f [ ( x )] ( x )
若 f ( u) , ( x )及 ( x )均为连续函数， 且
f (u)du F (u) C
则
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
1/28/2019 6:06 AM
f ( x) f ( x ) f ( x ) [1 ]d x 2 f ( x ) f ( x) f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) [ ]d x 2 f ( x ) f ( x)
1/28/2019 6:06 AM
1 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ] C d[ ] [ f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )
1 令 u x 3 , 则 xdx du 2 1 1 2 2 x x 3 dx u du 2
2
1 2 1 u C ( x 3) C 3 3
3 2
3 2
1/28/2019 6:06 AM
第5章
不定积分
当运算熟练时， 可以不必将 u 写出来。 例3 求不定积分 解
2 6t 5dt t 3 4 6 dt t t 1 t
1 t2 1 1 dt 6 dt 6 ( t 1)dt 6 1 t 1 t
3t 6t 6ln t 1 C
2
3 3 x 6 6 x 6ln
1/28/2019 6:06 AM
cot xdx ln sin x C
第5章
不定积分
例5
解
dx 求不定积分 2 2 (a 0) a x 1 1 1 dx a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 ( dx dx ) 2a a x a x 1 (ln a x ln a x ) C 2a 1 a x ln C 2a a x

高等数学 4-2换元积分法

说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分 说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2

第二节 不定积分的换元积分法


例22 求
∫
1
2
1 x 4 − x arcsin 2
2
dx .
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1
dx = ∫
1
2
x 1− arcsin 2 2
x d x 2
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
例23. 求
(x +1)e 1 1 dx = ∫( x − )d(xex ) 解: 原式= ∫ x x xe (1+ xex ) xe 1+ xe
x
= ln xex −ln 1+ xex +C = x +ln x −ln 1+ xex +C
1 1+ xex − xex 分析: 分析 x x = xe (1+ xe ) xex (1+ xex )
(x +1 exdx = xexdx +exdx )
例24. 求
f (x) f ′′(x) f (x) 1− dx 解: 原式 = ∫ 2 f ′(x) f ′ (x)
d(x + a) 1 d(x −a) −∫ = ∫ x +a 2a x −a
1 x −a 1 +C = [ ln x−a −ln x+ a ] +C = ln 2a x +a 2a
常用的几种配元形式:
1 1 ∫ f (ax +b)dx = ) a 1 n n− 1 2) ∫ f (x ) x dx = n 1 n 1 3) ∫ f (x ) d x = n x
1 1 2 = ( 2 x + 3) − ( 2 x − 1) 2 + C . 12 12

高等数学 第五章 第2节 换元积分法(中央财经大学)


f (u ) ∈ C ( I ), 又 u = ϕ ( x) 在区间 J 上可微 , 且 ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ (x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C. 该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
∫
f ( x) d x = F (ϕ −1 ( x)) + C ,
其中， −1 ( x) 是 ϕ (t ) 的反函数； 是积分常数。 ϕ C 该定理描述的是不定积分第二换元法。
例 解
计算
∫
dx x2 + a2
(a > 0).
此题可以用 第一换元法 计算。
现在采用第二换元法计算。
2
π π 令 x = a tan t，则 d x = a sec t d t， － < t < ，故 2 2
(u = cos x) ;
(8)
(u = sin x) ;
(9) (10)
(u = tan x) ; (u = tan x) ;
∫
例 解
计算
∫
sin 10 x cos 3 x d x.
令 u = sin x, 则 d u = cos x d x, 于是 sin 10 x cos3 x d x = ∫ u 10 (1 − u 2 ) d u = ∫ (u10 − u 12 ) d u 1 11 1 13 = u − u +C 11 13 1 11 1 = sin x − sin 13 x + C . 11 13
(u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ; (u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ;
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

例19 求
解 当x
>
ddxx xx22 aa22
((aa 00))..
cos2 t t ax2
2
dt
2 sin
t
a t
2
cos
t
C
x2 a2 t
a2 dx2
a2
aa22saea2crtc2astnind2 ttaxa12ssexecc
t , dx a2 x2 t dt
aasec2 C.
t
dt,
x2 a2 a sec t
2 2
第第二二节节 换换元元积积分分法法
12ln
sin x 1 (s1inxcos12
x)Cd(co1sxsi)n 2
2
x
2
831xc2o1413ss2sininx 2d3xxx
第 第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例13*求求 ttaann55xxsseecc33xxddxx.. 例16 *求求 xx((xx11101011))ddxx..
(3) 计算
u ( x) f (u )du .
要容易积出
F((x))(x) f ((x))(x) .
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例11 求求 ccooss((22xx 33))ddxx.. 联想例到4公求式 xxceeoxx22sddxxxd.x sin x C
例解 例115571*求x求s(1exc7xxxx1(e1(x1xx)52dx1xxse1eexc)xd5)dxxxx.e.(1xx1310(21sse1icn)x3e5exxxx)dCx12.sin x C .
1 10
1 x10
1 ln 10
x10 x10
xe
x
1 (1
xe
x
d( )
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例77 解
求求 x(1xx(d(112xlndd22xxx第llnn) x二x)).节.1d(换2lnlnx元)例解x积1分012 s求法in1d4(s2x2idlnnlxn4x)xxd第x.二1节c2os换2x元2积
例8
解
例9 解
求求ssiencs3sssixenexidncc3xdx3xxxddxdxxd第x..x.c.二os1isn1122节x2dlnxxds换|1(i1n1元x2例 例解解c2c2do积 llnonlxsn11sx2x分1x2x|x)s*s求*求 d法iinnCx求求22.xxssciicnssno1oiinns2s2422x5xs第xxxc1x811144icndoodcc二sxs2oox45ss1x31节54xdxdx(xd2sd4dx2ss(xisniix换cxnnsc..cinoiox..on22s元s)s222xx22x(x积c
x 1 (t )
证明 设 f [(t)] (t)的原函数为 (t) , 记
[ -1(x)] = F(x) , 利用复合函数及反函数的求导法则
dΦ dt
1
第二节 换元积分法 第二节 换元积分法
例17 求求 aa22 xx22ddxx ((aa 00)).. x
a
解 令 x = asin t , π t π , 则
解 cos(2x 3第)dx二节1 换co元s(解2积x 分3法)xe(x22 dxx3)1第dx二ex2节 2x换dx元积
2
2
例2 求求 解
a 例3 求 解
dx a2
2xdaa2xa2a2xdd2d2d2xxxxxx2xx2第a22.a1111.2((二aa联111令节x想消u1122001d2)去)sa到xx换 .2axincxua1o公联 公2元u23sd例 例解 例解d(式想 式积 2x1212axCx566sa1到分1icn求求求1o(3法x1ts2)ad2a1d1uxndxx(d1xx1t22xxudaaaa211xdx32ndxn2xxdx)xx1x2xxaau2dd3ar222cCx)1x22第 .an二 ioxrn2axcsxdsxx节xixxnd1CC1xax.换ad(元Cxdx积(
证明 设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何用F换(u元) 公f式(u求) 或 g ( x)df x(u)呢du？ F(u) C .
根据(1)复分合解函数求g (导x ) 法 则f (，( x有)) ( x ) , 这一步最难
(2) 凑微分f (u)du( x )d x d ((xF) (d(ux),) C)
第二节 换元积分法
一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法
第二节 换元积分法
一、第一类换元积分法
对应于复合函数的求导法则。
第二节 换元积分法
定理1 设函数 f (u) 具有原函数，u = (x) ，则有换
元公式
第二节 换元积分法
ff [[((xx))]]((xx))ddxx ff ((uu))dduu .. uu((xx))
xe
x
)
第二节 换元积分法
二、第二类换元积分法
定理2 设 x = (t) 是单调的、可导的函数，并且
(t) 0 . 又设 f [(t)] (t) 具有原函数，则有换元公
式
第二节 换元积分法
f ( x)dx f [ (t )] (t )dt
.
f (x)dx f [ (t)] (t)dt x 1 (t ) .
t
a2 x2
a2
2 第a2二sin节2
2 t换 元a c积os分t , 法dx
a
2 x2 a cos
t
dt,
x
例1a82 求 x2 dx xx2d2dxxaaac22os((taa ac00o))s..t dt a2
解
令a
x
=
atana
2t,
2tπ2sin4t2t π2
,C
则x a2 2
解
tan 5
x sec3第xd二x 节
t换an元4 解x积se分c2 法xx(sxe11c0
xtandxxdx 1)
x9 x10 (x10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例14*求(求secc2cooxss331xx)c2coosses2c22xxxdddxx(.sec x)
1
1
解 c(osesc36xxcos22第sxe二cd4x节x s换e1c元(2cxo积)sd5(分sxe法c cxo)s x) dx 10 x10(x1