同济-高等数学-第三版(4.2) 第二节 换元积分法

由复合结构 f[( x )]想到用凑微分法计算。为此需 考虑选择凑微分因子 ( x ). 由被积函数的复合结构考虑将其分解为简单函数
f x 1 2 x 2 可分解成
3
故宜选择凑微分因子 ( x )=( 1-2 x ) = - 2 .
f u u , u x 1 2 x,
例：求积分

ln x dx . x 1 ln x
被积分式为多因子乘积的复合 结构，宜注意考察各个因子的关系。 由因子1/x,ln x 联想到基本公式

因此可考虑以因子1/x 为初始凑微分 因子进行积分。
dx d ln x ln x C . x
综合代数恒等变形法凑微分


ln x dx x 1 ln x
于是就有了两种换元积分法。
(1) 第一换元法 定理 1 不定积分第一换元法 设 f( u )具有原函数，u = ( x )可导，则有换元公式
u du f f x x d x
u x
.
(2) 第一换元法说明 • 复杂积分的可积性判别 由于初等函数并非总可积，判别函数的可积性就显








积分计算的一个特点是常常可题多解。同一个积 分常可用多种方法求解，用不同的方法求得的积分可 能具有不同的表达形式。尽管求得的原函数形式可以 不尽相同，但彼此之间致多相差一个常数。
根据积分特点作各种相应的变形，使其能转化为基本积 分表上的形式。 由于这种变形并没有一定规则，对被积式的不同理 解就可有不同的转化目的和形式，这就造成了积分的困
难，也产生积分的“趣味”和技巧。
例：求积分

sin x d x . 1 sin x
三角有理式的积分，由于其间三角函数 sin x
是一次式，故考虑通过代数恒等变形将其转化基本积分
由分项积分法只能求出由基本积分表上的 简单函数的和差所构成的函数的积分，而对于 其它的函数形式，如由这些简单函数乘积或复 合构成的函数的积分，分项积分法就显得无能
为力了。因此必需进一步研究积分的方法。
换元积分法是由复合函数微分运算法则导 出的积分法则，它是积分运算中应用得最多， 解决问题最多，也是最灵活的积分方法。
微分学的研究讨论了各类函数的微分运算法则，现 从积分运算的角度考察可些运算法则，以建立相应的不 定积分运算法则：
若简单函数 F( u )可微，则有
d F( u )= F ( u )d u = f( u )d u . 按不定积分概念，这一情形也 可叙述为，简单函数 f( u )存在原 函数 F( u )，使得 ∫ f( u )d u = F( u )+ C .

d 1 sin x 1 1 sin x 2

d 1 sin x 1 sin x
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x 2 1+sin x C 1 ln 1+sin x C ln 2 1 sin 2 x cos x
f x x d x f x d x
F x C .
凑微分 视 ( x )为积分变量积分
(3) 应用凑微分法求积分
凑微分法也可看成是一种微分恒等变形，应用凑微
分法计算给定积分，首先要能观察出所求积分属形如 ∫ f [( x )] ( x )d x 的积分。其计算的关键是观察和选 择合适的因子 ( x )进行凑微分运算 ( x )d x = d ( x ) 以使所求积分转化为简单积分








视分母为整体、分项
sin x d x sin x 1 1 d x 1 sin x 1 sin x 1 d x dx 1 sin x x dx x 1 sin cos 2 x x 12 d x sin2x d x cos x cos x x 12 d x 12 dcos x cos x cos x x tan x 1 C . cos x
ln sec x tan x C .
• 不定积分计算的灵活性 比较不定积分与导数计算可以发现，导数计算是 “死的”，即它仅依赖于函数结构，弄清了函数结构， 就可按导数计算规则将其还原为基本初等函数的导数。 而积分计算却是“活的”，因为积分计算通常并不
能直接根据积分规则还原为基本初等函数的积分，而须
例：求积分 ∫ sec x d x . 联想基本积分表凑微分 1 d x cos x d x dsin x sec x d x cos x cos 2 x 1 sin 2 x 1 1 1 dsin x 2 1 sin x 1 sin x


1 2
导数定义是构造性的，其运算法则可直接由导数定
义导出。不定积分运算由导数运算定义，其定义是非构
造性的。因此不定积分不是一种独立运算，它只是导数
运算的逆运算。而所谓积分运算法则实际是将导数运算 法则逆转而得的。 为建立对应于复合函数的 不定积分运算法则，可先结合
不定积分概念重新考察相应的
复合函数导数运算法则。
f x d x F x d x d F x
F x C .
f x x d x
简 化 变 量 表 达 形 式
f x x d x f x d x u d u f
视分母为整体、分项
sin x d x sin x 1 1 d x 1 sin x 1 sin x 1 d x dx 1 sin x dx x 1 cos x 2 d x 4 2 x cos 2 x 4 2 x tan x C . 4 2
2 3
用凑微分法计算

3
1 2x 2 d x
3 1 1 2x 2 2 d x 2 2 1 1 2 x 3 d 1 2x 2 5 3 1 1 2 x 3 C . 2 5
观察出凑微分因子 凑微分 由基本积分表计算
若简单函数 F( u )可微，且简单函数 u = ( x )也可
微，则复合函数 F[( x )]可微，且有
d F[( x )]= F [( x )]d ( x )= f[( x )]d ( x ) = f[( x )] ( x )d x .
按不定积分概念，这一情形也可叙述为，复合函数
• 综合应用各种积分法，归纳积分形式 凑微分法通常适合于处理具有复合结构及乘除运算 构成的函数积分，但实际计算中的函数结构常常不会这 么单纯，因此必需学会综合应用各种积分法进行计算。 另一方面，在学习积分计算过程中，
应注意研究积分计算规律性，及时归
纳和总结各类可积函数的形式，积累 经验和技巧，这对掌握积分法也是 很重要的。
u du f f x x d x
u x
f x x d x f x d x
u x
还原微分 变量代换 计算积分 原变量回代
f u d u
例：求积分 ∫ sin 2 x d x . 这是三角函数幂的积分，由此联想基本积分表
中的形式 ∫sin x d x ,∫cos x d x .
因此考虑将被积式中三角函数降次。 综合代数恒等变形法凑微分
1 1 cos 2 x d x 2 sin x d x 2 1 d x 1 cos 2 x d 2 x 2 4 1 x 1 sin 2 x C . 2 4
f[( x )] ( x )存在原函数 F[( x )]，使得
∫ f [( x )] ( x )d x
= ∫ f [( x )]d ( x ) = ∫ F [( x )]d ( x ) = ∫ d F[( x )]= F[( x )]+ C .
由于在上述积分关系式中，实际并未对 ( x )作任 何变形，故可将此关系式写成较简洁的形式
得重要。定理1实际给出了形如 f[( x )] ( x )的较复
杂的积分的可积的一种判别途径，即只要考察简单函数 f( u )的可积性就可以了。 • 对第一换元法换元过程的理解 第一换元法是将复杂积分化为简单积分计算，理解 其过程对于掌握换元法原理及及计算都是重要的。第一 换元法的换元过程实际可分为四个步骤：
视分母为整体、分项
sin x d x sin x 1 1 d x d x 1 1 sin x 1 sin x 1 sin x d x dx x sin 2 x 2sin x cos x cos 2 x 2 2 2 2 dx dx x x 2 2 sin x cos x cos 2 x tan x 1 2 2 2 2 d tan x 1 2 2 x 2 x C . 2 x 1 x tan tan 1 2 2
∫ f [( x )]d ( x ).
选择凑微分因子主要通过观察
法，即考察被积函数中复合因子
的内层函数，凑微分过程实际是 微分运算的逆运算。
• 判断复合结构，确定凑微分因子
例：求积分

3
1 2x 2 d x .
容易看出此积分含有复合结构，此时常常难以
通过代数恒等变形化为基本积分表中的形式。
表上的形式。 化分母为单项式、分项
sin x d x sin x 1 sin x d x 1 sin x cos 2 x sin2x d x tan 2 x d x cos x 12 dcos x sec 2 x 1 d x cos x 1 tan x x C . cos x