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第三章稳定性和代数稳定判据

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控制系统的稳定性与代数判据

控制系统的稳定性与代数判据
i 1 j 1
K
k
p1
O

注意：稳定性与零点无关
p2
稳定性的基本概念

线性系统稳定的充要条件
某单位负反馈系统，其开环传递函数为
K G(s) s(Ts 1)
( K 0, T 0)
G(s) K ( s) 2 1 G ( s) Ts s K
D( s) Ts 2 s K
p1,2 1 1 4TK 2T
结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。
稳定性的基本概念

线性系统稳定的充要条件
的稳定性 1 3 R ( s ) s 4 s 2 5s 2
试判断系统： C ( s )
解：系统的闭环 特征方程为：
2
s 4s 5s 2 0
3 2
4 s 解：列写Routh表：
1 2
2 3- 4 2
3 4 1 6 5 0
5 0
因为Routh 阵列第一列符 号改变两次， 故有两个实部 为正的根。
s s s s
3 2
符号改变 一次
1 1 4- 25 1 0
5
符号改变 一次
稳定性的代数判据

Routh判据的应用 例2:单位反馈系统如图,求使系统稳定的K的取值范围.
劳思表中第k行元素全为0，这说明系统的特征根或存 在两个符号相异，绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯 虚根，或存在实部符号相异，虚部数值相同的共轭复根， 或上述类型的根兼而有之。 共轭虚根 大小相等 符号相反的实根
对称于虚轴的 两对共轭复根
稳定性的代数判据

Routh判据的特殊情况2——某一行元素均为0

( z 1)3 7( z 1)2 14( z 1) 8 0

第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据

第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1

系统的稳定性和代数稳定判据

系统的稳定性和代数稳定判据

)
n2
(
s
2
2ll
l2)
j 1
l 1
n1
aj
j 1 s p j
n2
l 1
l
(s
lnl s2 2
) lnl 1 lnl s nl2
2 l
y2(t) n1 a je pjt n2 le lnlt cosnl
1l2t
n2
e lnlt
l
sin nl
1l2t
j 1
l 1
l 1
线性系统稳定的充要条件：
Tuesday, July 28,
2020
3
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 a1s a0
n1
(s
p
j
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Tuesday, July 28,
2020
2
稳定的充要条件和属性
设系统或元件的微分方程为：
y(n)(t) an1y(n1) (t) a0 y(t) bmx(m)(t) bm1x(m1)(t) b0x(t)
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面
的左半部。 Tuesday, July 28,

《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标

《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标

i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2

系统的稳定性和代数稳定判据

系统的稳定性和代数稳定判据

an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3

c1
an 1 b1 b1
an 3 b2 b1an 3 b2an 1 b1
n 1 n 2n 3 n 4n
s an s an 1 s b1 s c1 s d1 s g1
a3 a2 a2 a1 a3 a0 a2 a0 a1 a0 0 0
s2 s
1
s0
稳定的充要条件为： a3 , a2 , a1 , a0 均大于零
且a1a2 a3a0 0
小结
线性系统稳定的充要条件 劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳
斯阵的排列和判稳方法）
s an s an 1 s b1 s c1 s d1 s g1
an an 2 an 1 an 3 an 1an 2 an an 3 b1 an 1 an 1
an an 4 an 1 an 5 an 1an 4 an an 5 b2 an 1 an 1
C ( s) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 B( s) ( s) n n 1 R( s) an s an 1s a1s a0 D( s)
(m n)
令p 为系统特征方程 D( s ) 0 i 1 , 2 , , n 而 i R( s ) 1 彼此不等。干扰为理想脉冲函数：
结论：
线性系统稳定的充要条件是：
闭环系统特征方程的所有根均具 有负实部；或者说，闭环传递函数的 极点均分布在平面的左半部。
二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据 （一）、劳思判据 设线性系统的特征方程为 an s n an1s n1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为： 特征方程的全部系数为正值；

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章
0 l i m c (t ) t
T
(t 0 )
特 征 方 程 Ts 1 0 特 征 根 s 2 . c(t ) 2c(t ) 5 c (t ) r(t ), r(t ) δ (t ) C (s ) 1 R (s ) (s 1 )2 2 2 C (s ) 1
参考答案：0<k<16 参考答案：不稳定。 右2，左2，虚轴2。
s 6 4 s5 4 s4 4 s3 7 s2 8 s 1 0 0
4、已知单位负反馈系统开环传递函数如下所示，判系统的稳定性及根的分布。
G(s ) 46
4 2 s (s 2 s3 2 4 s 4 8 s 2 3 )
定义：给定值变化测量值具有跟踪给定值的能力；干扰 作用破坏系统的平衡，但具有抗拒干扰重新回到平衡状 态的能力。

无条件稳定（大范围稳定） 条件稳定（局部稳定） 线性系统若稳定，则为大范围稳定系统
大范围稳定特征
稳定性与初始条件无关； 与输入信号无关。
F(t) 大范围稳定
局部稳定
系统产生运动的原因：扰动（外力）；初始状态（偏离平衡点）
c2 a0
代数稳定判据
稳定的必要条件：特征方程所有项系数同号且不为0。 稳定的充分条件：Routh表中第一列元素均大于零。 S5 S4 S3 a5 a4
a a a5a 2 b1 4 3 a4
b a a 4b 2 c1 1 2 b1 c b c 2b1 d1 1 2 c1
第三章 时域分析法
控制系统的典型输入信号 和系统性能指标
一、系统性能分析的思路
人为破坏系统的平衡状态（施加扰动），考查系统是否具有重新恢 复平衡状态的能力及水平。

自动控制原理第3章

本方法是分析系统的最早、也是最基本的分析 方法，时域分析法直覌、物理概念清晰。
2
一、典型的输入信号
1、阶跃信号 数学表达式
r(t) A t 0
拉氏变换式
R(s) A s
当A=1时，称为单位阶跃信号！
r(t) 1
2.斜坡信号 数学表达式
r(t)
R(s) 1 s
At t 0 0 t0
3
典型的输入信号
y(tr ) 1
经整理得
tr
n
1
2
25
二阶系统分析
t tp
2、超调量 ：
暂态过程中被控量的最大值超过稳态值的百分数。
即
%
y(t
P ) y y
100
%
峰值时间 t t p
在 t 时t p刻对 求y导t，令其等于零，经整理得
tp 1 2n
将其代入超调量公式得
% e 1 2 100%
r(t)
A 0t 0 t0 t
拉氏变换式 R(s) A
5
典型的输入信号
当A=1时， 称为单位理想脉冲信号
r(t) (t) R(s) 1
5、正弦信号 数学表达式
r(t) Asin t t 0
拉氏变换式
R(s)
A s2 2
6
二、时域性能指标
以单位阶跃信号输入时，系统输出的一些特征值来表示。
系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入 信号响应的微分（积分）。
例3-1(解释)
14
第三节 二阶系统分析 一、二阶系统
用二阶微分方程描述的系统。 二、二阶系统典型的数学模型
先看例：位置跟踪系统
15
二阶系统分析 系统结构图：

自动控制原理3第五节稳定性和代数稳定判据

项系数an1 至最后一项系数 a0 ，在主对角线以下各行中各项系数 下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0

3自动控制原理第三章02


2）当特征根为复根时：
pi = σi ± jωi
σit
lim(ae i
t →∞
(σi + jωi )t
+ ai+1e
(σi − jωi )t
)
lim(ae sin(ωit +ϕi )) =
t →∞
∞ ai 0
σi > 0 σi = 0 σi < 0
特征根实部全 为负值， 为负值，响应 才收敛为零， 才收敛为零， 系统稳定； 系统稳定；
二、线性定常系统的稳定性
线性定常系统
C(s) bmsm + bm−1sm−1 +Lb1s + b0 G(s) = = n , n≥m n−1 R(s) s + an−1s +La1s + a0
设系统的n个特征根互异
si = pi = σi + jωi , i = 1,2,L, n
则系统的单位脉冲响应表为单极点形式 C(s) = 展开为部分分式 时间响应
例3－6 已知系统的闭环特征方程为 －
s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 作劳斯表如下 s4 1 3 5 s3 2 4 2×5 − 0×1 2×3 − 4×1 2 1 b2 = =5 b1 = =1 s 5 2 2 s1 -6 s0 5 第一列中有负值出现，不全部大于零， 负值出现 第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统不 稳定。 稳定
1、劳斯（Routh）判据 、劳斯（ ） 特征方程 D(s) = an sn + an−1sn−1 +La1s + a0 = 0 作劳斯表如下， 作劳斯表如下，将方程的各系数间隔填入前两行 sn an a n- 2 an-4 …… sn-1 an-1 a n- 3 an-5 …… sn-2 b1 b2 b3 …… sn-3 c1 c2 c3 …… sn-4 …… …… …… …… …… …… s2 e1 e2 s1 f1 计算以下各行。 计算以下各行。 s0 g1

自动控制原理第三章

单击此处添加标题
3.3.1 典型二阶系统的暂态特性
单击此处添加标题
系统的闭环特征方程：
单击此处添加标题
二阶系统的闭环传递函数为
单击此处添加标题
当 时，
特征根：
1. 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
3.3.1.1 过阻尼（ ）的情况
特点：由 明显看出，暂态响应曲线应由稳态分量和暂态分量 组成。暂态分量又包含两项衰减的指数项，衰减的快慢取决于指数的 大小。指 数大者衰减快，对最终输出影响小，若将其忽略，二阶 系统的暂态响应就近似为一阶系统。故此时电路的输出量为单调上 升曲线。
分析结论：
由上图可看出： 使得 比 响应迅速且有较大超调量。
PART ONE
闭环传递函数的标准形式如下：
2.二阶系统加极点的暂态响应
其中 是负实数极点 与共轭复数极点的负实部之比。
4） 脉冲函数
在 处的单位脉冲函数用 来表示，它满足如下条件：
单位脉冲函数可看作单位阶跃函数的倒数，即
反之，单位脉冲函数 的积分就是单位阶跃函数。
单位脉冲函数：
面积 A = 1 时脉冲函数，称为单位脉冲函数 。 其拉氏变换后的像函数为 于是，强度为A的脉冲函数 可表示为
单击此处添加大标题内容
结论（1）三阶系统的暂态响应由三部分组成，即 稳态分量 由极点 构成的指数函数项 由共轭复数极点构成的二阶系统暂态响应分量 （2）当 时，系统的暂态特性主要由 和 决 定，系统呈现二阶系统的特性。 当 时，系统的暂态特性主要由 决定， 系统呈现一阶系统特性。 （3）一般情况下， ，因此具有负实数极点的 三阶系统，其暂态特性的振荡性减弱，而 和 增长， 减小，相当于系统的惯性增加了。
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如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项 是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系 统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期 振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于
s n2 b1
b2
b3
s n3 c1
c2
c3
s n4 d1
d2
d3
s0 g1
劳斯阵的前两行由特征方程的系数 组成。
第一行为1，3，5，…项系数组成，
第二行为2，4，6，…项系数组成。
Sunday, April 12, 2020
8
劳斯判据
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
24
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Sunday, April 12, 2020
7
劳斯判据
二、 劳斯稳定性判据 （一）、劳斯判据
设线性系统的特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为：
由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列所有元素都为正。
sn an
an2 an4
s n1 an1 an3 an5
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Sunday, April 12, 2020
2
稳定的充要条件和属性
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
C(s)
解：系统的闭环特征方程为
0.2s3 (0.2 )s2 s K 0
Sunday, April 12, 2020
20
劳斯行列表为： s 3
0.2
1
s 2 0.2
K
s1 1 0.2K
0
0.2
s0
K
系统作等幅振荡，所以存在一对虚根。且 s1,2 5 j ，这相 当于劳斯阵列中有一行全为0，在本例中，要求 s1 行为0，
C(s)
[解]：闭环系统的传递函数为：
(s)
s3
K 5s2
4s
K
Sunday, April 12, 2020
12
特征方程为： s3 5s2 4s K 0
劳斯行列表为：
s3 1
4
s2 5
K
s1 20 K 0
5
s0 K
为使系统稳定，劳斯行列表第一列元素全部为正，即：
K0 20 K 0 所以，K的取值范围是 0 K 20
2
s1 2
3
s0 2
部分特征根可由辅助方程式求得： s4 3s2 2 0
得： (s2＋1)(s2 2) 0
s1、2 j
s3、4 2 j
此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
Sunday, April 12, 2020
18
劳斯判据特殊情况
[例]： s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
an1
an1
sn
an
an2 an4
s n1 an1 an3 an5
s n2 b1
b2
b3
an an4
s n3 c1
c2
c3
b2
an1 an5 an1an4 anan5 s n4
an1
an1
d1
d2
d3
s0
g1
an an6
b3
an1 an7 an1an6 anan7
an1
an1
Sunday, April 12, 2020
s6 1 8 20 16
s5 2 12 16 0 1 6 8 s 4 2 12 16 0 1 6 8 s3 0 0 0 0 1 3 0
s2 3 8 0 0 s1 1 0 0 0
3 s0 8 0 0 0
辅助方程为：s4 6s2 8 0 ， 求导得：4s3 12s 0 ，
或 s3 3s 0 ，用系数代替全 零行的系数，继续完成劳斯列 表。
s0
1
00
Sunday, April 12, 2020
稳定。由于第一列元素符号
改变次数为2 ，说明s右半平
面有两个极点。
2
2
,
2
2
1
15
[例] s4 s3 2s2 2s 3 0
s4 1 2 3
s3 1 2 0
s2 0( ) 3 0
s1 2 3 0 0 2 3
s0
3
00
令 0 ，则 2 3
实部相反的共轭复根 (s j) 。 在这种情况下，系统必然不稳定。
例如: (s2 1)(s2 25)(s 2) s5 2s4 24s3 48s2 25s 50
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对 此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等， 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为 偶次幂的，它的根是一部分特征根。
Sunday, April 12, 2020
6
(1)
(s)
10(s 5) s3 4s2 s
(2)
(s)
s3
10 2s2
s
1
(3)
(s)
s3
k 3s
4
不稳定 不稳定 不稳定
(4)
(s)
(s
s 1 1)( s 2
4)
不稳定
但对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以 下描述的代数稳定性判据。
Sunday, April 12, 2020
17
[例]：
s5 4s4 3s3 3s2 2s 2 0
s5 1 3 2 s4 1 3 2
s3 0 0 0 4 6 0
辅助方程为：s4 3s2 2 0 ， 求导得：4s3 6s 0 ，
用系数代替全零行的系数，继 续完成劳斯列表。
s2 3 2
[解]：劳斯阵为：
s3
a3
a1
s2
a2
a0
s1 a2a1 a3a0
0
a2
s0
a0
0
稳定的充要条件为： ❖ a3, a2 , a1, a0 均大于零
❖且a1a2 a3a0 0
Sunday, April 12, 2020
11
[例]：已知系统得结构图如下，试确定使系统稳定的K值范围。
R(s)
K s(s 1)(s 4)
部分特征根可由辅助方程式求得： (s2 2)(s2 4) 0
s1,2 2 j 此时系统是不稳定的。
s3,4 2 j
Sunday, April 12, 2020
19
例：下图是某控制系统的方块图，若系统以的角频率 5rad / s
作等幅振荡，试确定此时K和 的值。
R(s)
K
s(0.2s 1)(s 1)
d2
c1b3 b1c3 c1
ei , fi , gi ,...( i 1,2,...)
an
an2 an4
an1 an3 an5
b1 b2 b3
c1 c2 c3
d1 d2 d3
g1
d3
c1b4
b1c4 c1
10
劳斯判据例子
[例]：特征方程为：a3s3 a2s2 a1s a0 0 ，试判断稳定性。
而第一列其他元素全大于0，所以有：
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K 0
0
且 1 0.2K 0
①
0.2
由辅助方程 (0.2 )s2 K 0 ，可以解得一对共轭虚根：
K
s1,2 j
5 j
0.2
所以，
K 25
0.2
②
联立式①和②得：
K 10 0.2
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劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不 稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列 系数符号改变的次数。
[例]：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半部,则系统的暂态分量随时间增加逐渐消失为零，这种系 统是稳定的。如果有一个或一个以上的闭环特征根位于s平面右 半部或虚轴上，则此系统是不稳定的。
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充要条件说明
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时 间单调增长；
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不用解方程，用劳斯阵列表可判断线 性系统的稳定性，这是劳斯判据的优点。 但是，它不能给出系统的品质指标，这是 劳斯判据的不足。
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小结
线性系统稳定的充要条件 劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳
斯阵的排列和判稳方法）
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故第一列不全为正，系统不 稳定。由于第一列元素符号 改变次数为2，说明s右半平面 有两个极点。
2
3
,
2
3
3
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