【课堂新坐标】高中数学苏教版选修2-1练习：2.6.2求曲线的方程

[基础达标]1.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是________．解析：由图知PF 1＋PF 2＝2a .连结MO ，则F 1M ＋MO ＝a (a >F 1O )．故M 的轨迹是以F 1、O 为焦点的椭圆．答案：椭圆2.已知动点M 到A (2，0)的距离等于它到直线x ＝－1的距离的2倍，则点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，由题意，得（x －2）2＋y 2＝2|x ＋1|.化简，得－3x 2－12x ＋y 2＝0.答案：y 2＝3x 2＋12x3.已知动抛物线以y 轴为准线，且过点(1，0)，则抛物线焦点的轨迹方程为________． 解析：设焦点坐标为(x ，y )，因动抛物线以y 轴为准线，且过点(1，0)，根据抛物线的定义得：（x －1）2＋y 2＝1(x ＞0)，即(x －1)2＋y 2＝1(x ＞0)．答案：(x －1)2＋y 2＝1(x ＞0)4.设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________． 解析：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0，3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0，3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0，3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．答案：抛物线5.设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是________．解析：设Q (x ，y )，P (1，y 0)，由OQ →·OP →＝0知y 0y ＝－x .① 又由OQ ＝OP ，得x 2＋y 2＝1＋y 20，即x 2＋y 2＝1＋y 20.② 由①②消去y 0，得点Q 的轨迹方程为y ＝1或y ＝－1.故动点Q 的轨迹是两条平行线．答案：两条平行线6.在平面直角坐标系中，A 为平面内一个动点，B (2，0)，若OA →·BA →＝|OB →|(O 为坐标原点)，则动点A 的轨迹是________．解析：设A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，BA →＝(x －2，y )，因为OA →·BA →＝|OB →|，所以x (x －2)＋y 2＝2，即(x －1)2＋y 2＝3，所以动点A 的轨迹是圆．答案：圆7.长度为1的线段AB 在x 轴上运动，点P (0，1)与点A 连结成直线PA ，点Q (1，2)与点B 连结成直线QB ，则直线PA 与QB 交点的轨迹方程为____________．解析：如图所示，设直线PA 与QB 的交点为M (x ，y )． 再设A (a ，0)(a ≠0)，则B (a ＋1，0)．由截距式得直线PA 的方程为x a ＋y1＝1，即x ＋ay ＝a .由两点式得直线QB 的方程为y －20－2＝x －1a ＋1－1，即2x ＋ay －2a －2＝0.故点M 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＝a2x ＋ay －2a －2＝0的解，消去参数a 得(2－x )y ＝2， 故点M 的轨迹方程为(2－x )y ＝2.答案：(2－x )y ＝28.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：设曲线C 上任一点P (x ，y )，由PF 1·PF 2＝a 2，可得 （x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2(a ＞1)，将原点(0，0)代入等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．答案：②③9.△ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条定直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程．解：如图所示，以BC 所在的定直线为x 轴，以过A 点与x 轴垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点的坐标为(0，b )．设△ABC 的外心为M (x ，y )，作MN ⊥BC 于N ，则MN 是BC 的垂直平分线． ∵BC ＝2a ，∴BN ＝a ，MN ＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，∴MA ＝MB . 而MA ＝x 2＋（y －b ）2， MB ＝ MN 2＋BN 2＝a 2＋y 2， ∴x 2＋（y －b ）2＝a 2＋y 2.化简，得所求轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0.10.如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．解：设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，因为点P 是线段QN 的中点，所以N 点的坐标为(2x －x 0，2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，所以2x －x 0＋2y －y 0＝2， 即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又因为点Q 在双曲线上，所以14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1.化简，得(x －12)2－(y －12)2＝12.所以线段QN 的中点P 的轨迹方程为(x －12)2－(y －12)2＝12.[能力提升]1.设向量i ，j 为平面直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋3)i ＋y j ，b ＝(x －3)i ＋y j ，且|a |－|b |＝2，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹方程是________．解析：因为|a |－|b |＝2， 所以（x ＋3）2＋y 2－（x －3）2＋y 2＝2，其几何意义是动点P (x ，y )到定点(－3，0)，(3，0)的距离之差为2，由双曲线定义可知点P (x ，y )的轨迹是以点(－3，0)和(3，0)为焦点，且2a ＝2的双曲线的一支，由c ＝3，a ＝1，解得b 2＝c 2－a 2＝8，故点P (x ，y )的轨迹方程是x 2－y 28＝1(x >0)或(x ≥1)．答案：x 2－y 28＝1(x >0)或(x ≥1)2.如图， 半径为1的圆C 过原点，Q 为圆C 与x 轴的另一个交点，OQRP 为平行四边形，其中RP 为圆C 在x 轴上方的一条切线，当圆心C 运动时，则点R 的轨迹方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)，则点Q 、P 的坐标分别为(2x 0，0) 、(x 0，y 0＋1)，得PQ 的中点M 的坐标为(3x 02，y 0＋12)，因为OQRP 为平行四边形，PQ 的中点M 也是OR 的中点，所以可得R 点坐标为(3x 0，y 0＋1)，令R 点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x 0y ＝y 0＋1即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 3y 0＝y －1，又x 20＋y 20＝1，代入得x 29＋(y －1)2＝1，故点R 的轨迹方程为x 29＋(y －1)2＝1(x ≠0，x ≠2)．答案：x 29＋(y －1)2＝1(x ≠0，x ≠2)3.已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足AB ＝2，点P 在线段AB 上，且AP →＝tPB →(t 是不为零的常数)．设点P 的轨迹方程为C .(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)若t ＝2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点(M 、N 不在坐标轴上)，点Q 坐标为(32，3)，求△QMN 的面积S 的最大值． 解：(1)设A (a ，0)，B (0，b )，P (x ，y )，因为AP →＝tPB →，即(x －a ，y )＝t (－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－txy ＝t （b －y ），则⎩⎨⎧a ＝（1＋t ）xb ＝（1＋t ）y t，由题意知t >0，因为AB ＝2，a 2＋b 2＝4，即(1＋t )2x 2＋(1＋tt)2y 2＝4，所以点P 的轨迹方程为：x 24（1＋t ）2＋y 24t 2（1＋t ）2＝1.(2)t ＝2时，轨迹方程C 为9x 24＋916y 2＝1，设M (x 1，y 1)，则N (－x 1，－y 1)，MN ＝2x 21＋y 21， 设直线MN 的方程为：y ＝y 1x 1x (x 1≠0)，点Q 到直线MN 的距离为：d ＝⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1x 21＋y 21，所以S △MNQ ＝12×2x 21＋y 21×⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1x 21＋y 21＝⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1，又9x 214＋9y 2116＝1，所以9x 21＋9y 214＝4. 所以S 2△MNQ ＝4－9x 1y 1，而1＝9x 214＋9y 2116≥－2·3x 12·3y 14＝－9x 1y 14，所以－9x 1y 1≤4，当且仅当3x 12＝－3y 14，即x 1＝－12y 1时，取等号．所以S △MNQ 的面积最大值为2 2.4.(创新题)已知点M (4，0)，N (1，0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点P (x ，y )， 则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3，0)，PN →＝(1－x ，－y )． 由已知得－3(x －4)＝6（1－x ）2＋（－y ）2， 化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.所以点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在， 不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9（1＋k 2）3＋4k 2.所以－187≤－9（1＋k 2）3＋4k2≤－125，解得1≤k 2≤3， 所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。

1．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.(1)由已知得F(1，0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为(1，22)或(1，－22)． 又M(2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)当l 与x 轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k(x －1)(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k （x 1－2）（x 2－2）. 将y ＝k(x －1)代入x 22＋y 2＝1，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 则2kx 1x 2－3k(x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠O MA ＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.2．(2018·昆明市教学质量检测)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l.已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，△ABF 是边长为4的等边三角形．(1)求p 的值；(2)在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线l′与抛物线C 交于点Q ，R 两点时，1|NQ|2＋1|NR|2为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．(1)由题意，|AF|＝|AB|，则AB⊥l，设准线l 与x 轴交于D ，则AB∥DF .又△ABF 是边长为4的等边三角形，所以∠ABF＝60°.所以∠BFD＝60°，|DF|＝|BF|·cos ∠BFD＝4×12＝2， 即p ＝2.(2)设点N(t ，0)，由题意知直线l′的斜率不为零，设直线l′的方程为x ＝my ＋t ，点Q(x 1，y 1)，R(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4t ＝0， Δ＝16m 2＋16t>0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t ，易知|NQ|2＝(x 1－t)2＋y 21＝(my 1＋t －t)2＋y 21＝(1＋m 2)y 21，同理可得|NR|2＝(1＋m 2)y 22.则有1|NQ|2＋1|NR|2＝1（1＋m 2）y 21＋1（1＋m 2）y 22＝y 21＋y 22（1＋m 2）y 21y 22＝（y 1＋y 2）2－2y 1y 2（1＋m 2）y 21y 22＝16m 2＋8t 16（1＋m 2）t 2＝2m 2＋t（2m 2＋2）t 2. 若1|NQ|2＋1|NR|2为定值，则t ＝2，此时点N(2，0)． 又当t ＝2，m∈R 时，Δ>0，所以，存在点N (2，0)，当过点N 的直线l ′与抛物线C 交于Q ，R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值14. 3．(经典真题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1＜n ＜1，直线PA 的方程为y －1＝n －1mx . 所以x M ＝m 1－n ，即M (m 1－n，0)． (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m 1＋n. “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1， 所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．4．(经典真题)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点(m 3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(m 3，m )，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx . 设点P 的横坐标为x P .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点(m 3，m )的坐标代入l 的方程得b ＝m －k 3， 因此，x M ＝k k －m k 2＋.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ， 于是±km 3k 2＋9＝2×k k －mk 2＋，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图2-6-2所示，方程y ＝|x |x 2表示的曲线是________．图2-6-2【解析】 y ＝|x |x 2＝⎩⎨⎧ 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，所以图②满足题意．【答案】 ②2．方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示的曲线是________．【解析】 方程(x ＋y －1)x －y －3＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≥0，x ＋y －1＝0，或x －y －3＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥2)或x －y －3＝0，故方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝0.【答案】 射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝03．条件甲“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则甲是乙的________条件．【解析】 在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．【答案】 必要不充分4．在平面直角坐标系中，方程|x 2－4|＋|y 2－4|＝0表示的图形是________．【解析】 易知|x 2－4|≥0，|y 2－4|≥0，由|x 2－4|＋|y 2－4|＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点． 【答案】 (2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点5．下列命题正确的是________(填序号)．①方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0； ③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.【解析】 对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y ≠2；②中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有④是正确的．【答案】 ④6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).【导学号：09390057】①y ＝x 与y 2＝x ；②y ＝x 与x y＝1； ③y 2－x 2＝0与|y |＝|x |；④y ＝lg x 2与y ＝2lg x .【解析】 ①中y ＝x 时，y ≥0，x ≥0，而y 2＝x 时，x ≥0，y ∈R ，故不表示同一曲线；②中x y＝1时，y ≠0，而y ＝x 中y ＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．【答案】 ③7．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.【解析】 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.【答案】 58．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的直线是________(填序号)．①过点P 且垂直于l 的直线；②过点P 且平行于l 的直线；③不过点P 但垂直于l 的直线；④不过点P 但平行于l 的直线．【解析】 点P 的坐标(x 0，y 0)满足方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0，因此方程表示的直线过点P .又∵f (x 0，y 0)为非零常数，∴方程可化为f (x ，y )＝f (x 0，y 0)，方程表示的直线与直线l 平行．【答案】 ②二、解答题9．分析下列曲线上的点与方程的关系．(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系；(2)作出函数y ＝x 2的图象，指出图象上的点与方程y ＝x 2的关系；(3)说明过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 与方程|x |＝2之间的关系．【解】 (1)第一、三象限两轴夹角平分线l 上点的横坐标x 与纵坐标y 相等，即y ＝x . ①l 上点的坐标都是方程x －y ＝0的解；②以方程x －y ＝0的解为坐标的点都在l 上．(2)函数y ＝x 2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程y ＝x 2，即方程y ＝x 2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y ＝x 2.(3)如图所示，直线l 上点的坐标都是方程|x |＝2的解，然而坐标满足方程|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程．10．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－25，2)是否在这个圆上．【解】 ①设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 20＋y 20＝5，也就是x 20＋y 20＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．②设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x 20＋y 20＝25，两边开方取算术平方根，得x 20＋y 20＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．由①②可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．能力提升]1．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．【解析】 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.【答案】 π3或5π32．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是____________(填序号)．图2-6-3【解析】 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0， 它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．【答案】 ③3．由方程(|x |＋|y |－1)(x 2＋4)＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________．【解析】 表示的曲线为|x |＋|y |＝1，其图形如图所示，为一正方形，S ＝(2)2＝2.【答案】 24．已知点P (x 0，y 0)是曲线f (x ，y )＝0和曲线g (x ，y )＝0的交点，求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R)上．【证明】 因为P 是曲线f (x ，y )＝0和曲线g (x ，y )＝0的交点，所以P 在曲线f (x ，y )＝0上，即f (x 0，y 0)＝0，P 在曲线g (x ，y )＝0上，即g (x 0，y 0)＝0，所以f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0＋λ0＝0，故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R)上.。

1.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是________．解析：由图知PF 1＋PF 2＝2a .连结MO ，则F 1M ＋MO ＝a (a >F 1O )．故M 的轨迹是以F 1、O 为焦点的椭圆．答案：椭圆2.已知动点M 到A (2，0)的距离等于它到直线x ＝－1的距离的2倍，则点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，由题意，得（x －2）2＋y 2＝2|x ＋1|.化简，得－3x 2－12x ＋y 2＝0. 答案：y 2＝3x 2＋12x3.已知动抛物线以y 轴为准线，且过点(1，0)，则抛物线焦点的轨迹方程为________． 解析：设焦点坐标为(x ，y )，则（1－x ）2＋y 2＝|x |，即y 2＝2x －1. 答案：y 2＝2x －14.(2011·高考广东卷改编)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．解析：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0，3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0，3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0，3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．答案：抛物线5.设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是________．解析：设Q (x ，y )，P (1，y 0)，由OQ →·OP →＝0知y 0y ＝－x .① 又由OQ ＝OP ，得x 2＋y 2＝1＋y 20，即x 2＋y 2＝1＋y 20.② 由①②消去y 0，得点Q 的轨迹方程为y ＝1或y ＝－1.答案：两条平行线[A 级 基础达标]1.已知两个定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹是________．解析：PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>F 1F 2，根据定义可知动点P 的轨迹是椭圆． 答案：椭圆2.动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则动点P 的轨迹方程为________．解析：由抛物线定义知P 的轨迹是以F (2，0)为焦点的抛物线，∴p2＝2，即p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3.在平面直角坐标系中，A 为平面内一个动点，B (2，0)，若OA →·BA →＝|OB →|(O 为坐标原点)，则动点A 的轨迹是________．解析：设A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，BA →＝(x －2，y )，因为OA →·BA →＝|OB →|，所以x (x －2)＋y 2＝2，即(x －1)2＋y 2＝3，所以动点A 的轨迹是圆．答案：圆4.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，又设A (a ，0)，B (0，b )，则a >0，b >0，于是BP →＝(x ，y －b )，PA →＝(a －x ，－y )，由BP →＝2PA →可得a ＝32x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0.又AB →＝(－a ，b )＝(－32x ，3y )，由OQ →·AB →＝1可得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)5.已知A (－2，0)、B (2，0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．则点D 的轨迹方程为________．解析：设C 、D 点的坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )， 则AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →＝(4，0)， 故AB →＋AC →＝(x 0＋6，y 0)，所以AD →＝12(AB ＋AC →)＝(x 02＋3，y 02)；又AD →＝(x ＋2，y )，故⎩⎨⎧x 02＋3＝x ＋2y 02＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，代入|AC →|＝（x 0＋2）2＋y 20＝2得x 2＋y 2＝1，即为所求点D 的轨迹方程．答案：x 2＋y 2＝16.如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．解：设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，因为点P 是线段QN 的中点，所以N 点的坐标为(2x －x 0，2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，所以2x －x 0＋2y －y 0＝2， 即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又因为点Q 在双曲线上，所以14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1.化简，得(x －12)2－(y －12)2＝12.所以线段QN 的中点P 的轨迹方程为(x －12)2－(y －12)2＝12.7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝32，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持P A ＋PB 的值不变．(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程；(2)设点K 是曲线E 上的一个动点，求线段KA 的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，以AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系．设动点P (x ，y )，因为PA ＋PB ＝CA ＋CB ＝32＋⎝⎛⎭⎫322＋4＝4>AB ＝2为定值，所以动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设曲线E 上的动点K (x 1，y 1)，线段KA 的中点为Q (x ，y )，A (－1，0)，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y ，所以（2x ＋1）24＋（2y ）23＝1，即⎝⎛x ＋122＋4y 23＝1.所以线段KA 的中点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋4y 23＝1. [B 级 能力提升]8.设向量i ，j 为平面直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋3)i ＋y j ，b ＝(x －3)i ＋y j ，且|a |－|b |＝2，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹方程是________．解析：因为|a |－|b |＝2，所以（x ＋3）2＋y 2－（x －3）2＋y 2＝2，其几何意义是动点P (x ，y )到定点(－3，0)，(3，0)的距离之差为2，由双曲线定义可知点P (x ，y )的轨迹是以点(－3，0)和(3，0)为焦点，且2a ＝2的双曲线的一支，由c ＝3，a ＝1，解得b 2＝c 2－a 2＝8，故点P (x ，y )的轨迹方程是x 2－y 28＝1(x >0)或者(x ≥1)．答案：x 2－y 28＝1(x >0)(或x 2－y28＝1(x ≥1))9.如图， 半径为1的圆C 过原点，Q 为圆C 与x 轴的另一个交点，OQRP 为平行四边形，其中RP 为圆C 在x 轴上方的一条切线，当圆心C 运动时，则点R 的轨迹方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)，则点Q 、P 的坐标分别为(2x 0，0) 、(x 0，y 0＋1)，得PQ 的中点M 的坐标为(3x 02，y 0＋12)，因为OQRP 为平行四边形，PQ 的中点M 也是OR 的中点，所以可得R 点坐标为(3x 0，y 0＋1)，令R 点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x 0y ＝y 0＋1即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 3y 0＝y －1，又x 20＋y 20＝1，代入得x 29＋(y －1)2＝1，故点R 的轨迹方程为x 29＋(y －1)2＝1(x ≠0，x ≠2)．答案：x 29＋(y －1)2＝1(x ≠0，x ≠2)10.已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB |＝2，点P 在线段AB 上，且AP →＝tPB →(t 是不为零的常数)．设点P 的轨迹方程为C .(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)若t ＝2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点(M 、N 不在坐标轴上)，点Q 坐标为(32，3)，求△QMN 的面积S 的最大值． 解：(1)设A (a ，0)，B (0，b )，P (x ，y )，因为AP →＝tPB →，即(x －a ，y )＝t (－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－txy ＝t （b －y ），则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝（1＋t ）x b ＝（1＋t ）y t，由题意知t >0，因为|AB |＝2，a 2＋b 2＝4，即(1＋t )2x 2＋(1＋t t)2y 2＝4，所以点P 的轨迹方程为：x 24（1＋t ）2＋y24t2（1＋t ）2＝1. (2)t ＝2时，轨迹方程C 为9x 24＋916y 2＝1，设M (x 1，y 1)，则N (－x 1，－y 1)，|MN |＝2x 21＋y 21，设直线MN 的方程为：y ＝y1x 1x (x 1≠0)，点Q 到直线MN 的距离为：d ＝⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1x 21＋y 21，所以S △MNQ ＝12×2x 21＋y 21×⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1x 21＋y 21＝⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1，又9x 214＋9y 2116＝1，所以9x 21＋9y 2144.所以S 2△MNQ ＝4－9x 1y 1，而1＝9x 214＋9y 2116≥－2·3x 12·3y 14＝－9x 1y 14，所以－9x 1y 1≤4，当且仅当3x 12＝－3y 14，即x 1＝－12y 1时，取等号．所以S △MNQ 的面积最大值为2 2.11.(创新题)已知点M (4，0)，N (1，0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点P (x ，y )， 则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3，0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6（1－x ）2＋（－y ）2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.所以点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k23＋4k 2＝－9（1＋k 2）3＋4k 2.所以－187≤－9（1＋k 2）3＋4k 2≤－125，解得1≤k 2≤3，所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。

2．6.2求曲线的方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能能叙述求曲线方程的一般步骤，并能根据所给条件选择适当的坐标系，求出曲线的方程．2．过程与方法经过求曲线的方程的过程，培养学生发散思维和转化，归纳数形结合等数学思想方法，提高分析问题，解决问题的能力．3．情感、态度与价值观在问题解决过程中，培养学生积极探索和团结协作的科学精神．在民主，和谐的教学气氛中，充分的促进师生间的情感交流，形成学习数学的积极态度．激发学生热爱数学，学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神．●重点难点重点：求曲线方程的基本方法和步骤．难点：由已知条件求曲线方程．教学时，应通过基本例子，总结求曲线方程的基本方法和步骤，强调方程的得法及来源，通过不同的例子，体会求轨迹方程的各种方法：代入法、参数法、定义法等．(教师用书独具)●教学建议求曲线的方程是上节课内容曲线与方程的拓展与深化，也是解析几何两大基本问题之一，同时也是高考重点内容之一．它把高中数学中的解析几何和代数紧紧连在一起，容纳了高中数学教学中很多的数学思想，如函数与方程思想，数形结合思想，等价转换思想及运动变换思想，这正是高考中重点所要考察的数学思想，本节课宜采取启发式的教学方法，积极鼓励学生的行为参与和思维参与，给学生独立的思考空间，让学生经历知识形成的全过程，鼓励学生自主探索，发现解决问题的途径．在教学中，适当的对他们的数学学习过程进行评价，适当的评价他们的学习态度、在回答和思考中表现出来的自信、合作交流的意识，更进一步的激发了学生学习数学的兴趣，让他们体验成功的喜悦．在教学手段方面，利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，对于教学中遇到的一些复杂的轨迹问题，几何画板更以形象直观的形式给学生以充分的理解和掌握．改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念．让学生主体参与，主题参与，让学生动手，动脑，通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索．在学生的活动中，教师谨慎驾驭，肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生，揭示内涵，不断培养和训练学生的逻辑思维能力．●教学流程回顾曲线与方程的概念，强调两个条件．展示实例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？首先通过学生讨论，猜测军舰巡逻的路线，在用电脑演示军舰巡逻的动画效果，导入新课．⇒例谈直接法求动点轨迹方程的五步骤．由于学生已经学习直线与圆一个模块，教师引导学生解决例1并不困难，但重要的是引导学生总结求动点轨迹方程的五步骤，并且对每一步骤要强调注意问题，如坐标系的恰当与否，化简过程是否同解变形，特殊点的检验等．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握代入法求动点轨迹方程的方法．当一点随另一点运动时，求从动点轨迹方程一般利用代入法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握参数法求动点轨迹方程的方法．当动点坐标满足的方程不易直接求出时，可选择设出参与运动变化的变量即参数，找出动点坐标满足的方程组，然后消去参数，得出方程．⇒通过易错易误辨析，体会曲线与方程定义的严谨性，曲线上的点与方程的解必须一一对应，对方程必须注意是否需要限制范围．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.1．怎样建立坐标系较为适当？【提示】建立适当的坐标系应遵从垂直性和对称性原则，常见的建系方法有：①以已知定点为原点；②以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴)；③以已知线段所在的直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点；④以已知互相垂直的两定直线为坐标轴；⑤让尽量多的已知点在坐标轴上．2．怎样检验取舍特殊点？【提示】对动点轨迹(方程)的检验，一般都是对特殊点进行检验，如三角形三顶点不共线，利用斜率列方程，动点必须保证斜率存在等．求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：建立适当的坐标系↓设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)↓列出符合条件p(M)的方程f(x，y)＝0↓化方程f(x，y)＝0为最简形式↓证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上求曲线方程的流程图可以简记为：建系→设点→列式→化简→证明求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法.已知△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(－3,0)、(3,0)，边AC 、BC 所在直线的斜率之积为－14，求顶点C 的轨迹方程．【思路探究】 设顶点C (x ，y )，把直线AC 、BC 的斜率之积为－14用坐标形式表示出来，化简后，即得到一个关于x ，y 的二元方程，注意形成三角形的条件．【自主解答】 设顶点C 的坐标为(x ，y )，则k CA ＝y x ＋3(x ≠－3)，k BC ＝yx －3(x ≠3)．∵k CA ·k BC ＝－14，∴y x ＋3·y x －3＝－14.化简得x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．当x ＝±3时，A 、B 、C 三点共线，则不能构成三角形，故x ≠±3. ∴所求顶点C 的轨迹方程为：x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．1．由于三角形三顶点，不共线，故应去掉两顶点．2．如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法．其步骤是：①寻求动点满足的几何条件；②用坐标表示几何条件并化简可得方程；③剔除不合题意的点并下结论．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，动点M(x，y)的轨迹为E.求轨迹E的方程，并说明当m＝0,1时该方程所表示的曲线的形状．【解】∵a⊥b，∴a·b＝0，即(mx，y＋1)·(x，y－1)＝0，得mx2＋y2－1＝0，于是，轨迹E 的方程为mx 2＋y 2＝1.当m ＝0时，轨迹方程为y 2－1＝0，即y ＝1或y ＝－1， ∴原方程表示直线y ＝1和直线y ＝－1； 当m ＝1时，轨迹方程为x 2＋y 2＝1， ∴原方程表示圆x 2＋y 2＝1.已知△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．【思路探究】 设重心坐标(x ，y )，C (x 0，y 0)，用x ，y 表示x 0，y 0，代入到y 0＝3x 20－1中．【自主解答】 设重心坐标为(x ，y )，顶点C (x 0，y 0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x03，y ＝0－2＋y 03，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2. ①因为C 在y ＝3x 2－1上移动，所以y 0＝3x 20－1.②将①代入②，得y ＝9x 2＋12x ＋3，即为重心的轨迹方程．1．根据重心坐标公式用重心坐标(x，y)来表示顶点C的坐标(x0，y0)是解答本题的关键．2．利用一个动点是定曲线上的动点，而另一动点依赖于它，那么，可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，得到原动点的轨迹的方法，叫做代入法或相关点法．其用法思路是：当互相联系着的两动点P、Q中的动点Q(x′，y′)在给定曲线上运动，求动点P(x，y)的轨迹方程时，先建立(x，y)与(x′，y′)的关系式，用x、y表示x′，y′，而后将x′、y′代入定曲线方程即得P(x，y)的轨迹方程．已知抛物线y2＝x＋1，定点A(3,1)，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶P A＝1∶2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解】 设P (x ，y )，B (x 1，y 1)，由题设，P 分线段AB 的比λ＝APPB ＝2，∴x ＝3＋2x 11＋2，y＝1＋2y 11＋2. 解得x 1＝32x －32，y 1＝32y －12.又点B 在抛物线y 2＝x ＋1上，其坐标适合抛物线方程， ∴(32y －12)2＝(32x －32)＋1. 整理得点P 的轨迹方程为(y －13)2＝23(x －13)，其轨迹为抛物线.过点A (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，求l 被截得的弦的中点的轨迹方程．【思路探究】 思路一：设出直线l 方程y －1＝k (x －2)，运用方程思想，用k 表示中点坐标x ，y ，消去k 得x ，y 满足方程；思路二：设弦端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，运用点差法，用x 1，y 1，x 2，y 2表示x ，y ，然后消去x 1，y 1，x 2，y 2.【自主解答】 法一 设直线l 斜率为k ，则l 方程为y －1＝k (x －2)，设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，则把l 方程代入椭圆方程消去y 得： (1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－2＝0，Δ＝16k 2(1－2k )2－8(1＋2k 2)[(1－2k )2－1]>0得－2k 2＋4k >0， ∴0<k <2，x ＝x 1＋x 22＝－2k (1－2k )1＋2k 2，∴中点满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)x ＝2k (2k －1)1＋2k2，消去k 得轨迹方程x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)． 法二 设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1①x222＋y 22＝1②，由①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∴y 1－y 2x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2，又∵k PQ ＝k AM ，∴y －1x －2＝－12×x y ，∴2y (y －1)＝－x (x －2)，即x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．1．本例中，法一是引进了动直线的斜率k 作为参数，法二是引进了弦的端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)作为参数，目的是为了间接地找到x ，y 满足的等式关系．2．当动点坐标x ，y 满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x ，y 的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．设椭圆的方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若O 是坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．【解】 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k4＋k2，y 1＋y 2＝84＋k 2.设P (x ，y )，则有x ＝－k 4＋k 2，y ＝44＋k 2，消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0. 经检验，当直线l 的斜率不存在时，点P 的坐标满足上述方程． 所以P 的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.忽略变量范围而致错等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹表示的是什么．【错解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )， 则点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10.点C 的轨迹是以A (4,2)为圆心，以10为半径的圆．【错因分析】 错误的原因是没有认真考虑题中所给的几何条件． 【防范措施】 根据动点满足的几何条件对动点坐标加以限制． 【正解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )． 由题意得AC ＝AB ， 再由两点间的距离公式得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，化简得(x －4)2＋(y －2)2＝10. ∵A ，B ，C 为三角形的三个顶点， ∴A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合，且B ，C 不能为圆A (圆A 是以A 为圆心，10为半径的圆)的一条直径的两个端点．∵点B ，C 不重合， ∴点C 的横坐标x ≠3，∵点B ，C 不能为圆A 的一条直径的两个端点， ∴x ＋32≠4，即点C 的横坐标x ≠5， 故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3且x ≠5)．点C 的轨迹是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆除去(3,5)和(5，－1)两点．1．求曲线的方程常用的方法有直接法、代入法、定义法、参数法、几何法等．2．求曲线的方程，其步骤严格来说有五步，即建系，设点，列式，化简，证明．建立坐标系要恰当，证明一般要省略，即使检验也是对特殊点进行检验．3．求动点轨迹方程一定要注意解题的严谨性，当动点的轨迹不是整条曲线时，要去掉某些特殊点，即对变量x，y进行限制.1．到A(2，－2)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】到A、B距离相等的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，设其斜率为k，∵k AB ＝－1＋24－2＝12，∴k ＝－2.设AB 中点为(x 1，y 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2＋42＝3，y 1＝－2－12＝－32.∴其方程为y ＋32＝－2(x －3)，即4x ＋2y －9＝0.【答案】 4x ＋2y －9＝02．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________． 【解析】 ∵AM ⊥MB ，∴M 的轨迹是以AB 为直径的圆x 2＋y 2＝1. 【答案】 x 2＋y 2＝13．设P 为曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ， ∵x 204－y 20＝1， ∴x 2－4y 2＝1.【答案】 x 2－4y 2＝14．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足P A ＝3PO ，求点P 的轨迹方程． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x －1)2＋(y －2)2＝3x 2＋y 2，化简得8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.∴点P 的轨迹方程为8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.一、填空题1．已知点A (－5,0)，B (5,0)，动点P 到A ，B 距离的平方和为122，则动点P 满足的方程是________．【解析】 依题意，设动点P (x ，y )．由P A 2＋PB 2＝122，得(x ＋5)2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝122，即x 2＋y 2＝36. 故所求动点P 满足的方程为x 2＋y 2＝36. 【答案】 x 2＋y 2＝362．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．【解析】 设A (x ，y )，D (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋02，y 0＝y ＋02，即x 0＝x 2，y 0＝y2，又(x 0－5)2＋(y 0－0)2＝9，∴(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)为所求A 点的轨迹方程． 【答案】 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)3．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．【解析】 由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2＝4， 即x 24－y 22＝1. 【答案】 x 24－y 22＝14．已知A (1,0)，B (－1,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程为________． 【解析】 由题意知，AB ＝2，则点M 的轨迹方程为射线y ＝0(x ≤－1)． 【答案】 y ＝0(x ≤－1)5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足条件P A ＝2PB ，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积等于________．【解析】 设P (x ，y )，由P A ＝2PB ，知(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简整理，得(x －2)2＋y 2＝4，所以，动点P 的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.【答案】 4π6．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．【解析】 由BP →＝2P A →及A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，知A (32x,0)，B (0,3y )，所以AB →＝(－32x,3y )．由点Q 与点P 关于y 轴对称，知Q (－x ，y )， 所以OQ →＝(－x ，y )，则由OQ →·AB →＝1，得(－32x,3y )·(－x ，y )＝32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．【答案】 32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)7．设点A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1长轴的两个端点，点P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为________．【解析】 由题意，不妨设A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)，直线A 1P 1与A 2P 2的交点P (x ，y )．∵点A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.①∵点A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.②由①②得x 0＝9x ，y 0＝3y x ，代入已知椭圆方程得x 29－y 24＝1.【答案】 x 29－y 24＝18．下列四个命题中不正确的是________(填序号)．①若动点P 与定点A (－4,0)，B (4,0)连线P A ，PB 的斜率之积为定值49，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分；②设m ，n ∈R ，常数a >0，定义运算“*”：m *n ＝(m ＋n )2－(m －n )2，若x ≥0，则动点P (x ，x *a )的轨迹是抛物线的一部分；③已知圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆B ：(x －1)2＋y 2＝25，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆；④已知A (7,0)，B (－7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．【解析】 ①正确，轨迹是双曲线去掉两个顶点；②正确，P (x ，x *a )即为P (x ，4ax )，设y ＝4ax ，则此方程表示抛物线的一部分；③正确，设动圆的半径为r ，因为MA ＝r ＋1，MB ＝5－r ，所以MA ＋MB ＝6>2，满足椭圆的定义；④不正确，设另一个焦点为F ，则AC ＋AF ＝BC ＋BF ，即AF －BF ＝BC －AC ＝15－13＝2，又0<2<AB ＝14，故F 点的轨迹为双曲线的一支．【答案】 ④ 二、解答题9．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为P A 、PB 、PC ，且满足P A 2＝PB 2＋PC 2，求P 点的轨迹方程．【解】 以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，设点P (x ，y )，B (－a,0)，C (a,0)，A (0，3a )， 用点的坐标表示等式P A 2＝PB 2＋PC 2， 有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即所求的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)．10．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，求点C 的轨迹方程．【解】 设C (x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ，y ＝m ＋3n ，∴x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1， ∴x ＋2y ＝5，即x ＋2y －5＝0.11．(2013·南京高二检测)将圆x 2＋y 2＝4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E .(1)求曲线E 的方程；(2)若曲线E 与x 轴、y 轴分别交于点A (a,0)，B (－a,0)，C (0，b )，其中a >0，b >0.过点C 的直线l 与曲线E 交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．【解】 (1)设曲线E 上任一点为M (x ，y )，相应圆上点为N (x 0，y 0)， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝xy 0＝2yx 2＋y 20＝4消去x 0，y 0得x 24＋y 2＝1.(2)显然A (2,0)，B (－2,0)，C (0,1)．根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1.可得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x ＝0或x ＝－8k4k 2＋1，代入直线l 方程得D 点坐标为(－8k4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1)．又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y ＝1，y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2). 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1. 因此Q (－4k,2k ＋1)，又P (－1k ，0)， 所以OP →·OQ →＝(－1k，0)·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP →·OQ →为定值．(教师用书独具)已知点B′为圆A：(x－1)2＋y2＝8上任意一点，点B(－1，0)，线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M.求点M的轨迹E的方程．【思路探究】利用线段的垂直平分线的性质，得出MA＋MB＝22，从而利用椭圆的定义求出轨迹方程．【自主解答】连结MB，由题意得：MB＝MB′，MA＋MB′＝AB′＝22，故MA＋MB＝22，而AB＝2，故点M的轨迹是以A，B为焦点且长轴长为22的椭圆，＋y2＝1.所以点M的轨迹E的方程为x221．本例中，先分析动点M满足的几何条件，根据椭圆定义得出轨迹的曲线类型是椭圆，从而利用待定系数法求其方程．2．利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程的步骤是：(1)找出动点满足的几何条件，由圆锥曲线定义判定曲线类型；(2)利用待定系数法求曲线方程．如图所示，已知抛物线过定点R(1,2)，准线l的方程为x＝－1.(1)求抛物线顶点O′的轨迹方程；(2)求焦点弦RQ的另一端点Q的轨迹方程．【解】(1)设抛物线的顶点O′(x，y)，则由定义知顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离x＋1，∴焦点坐标F (2x ＋1，y )．由题意知R 到焦点的距离与R 到准线的距离相等， ∴(2x ＋1－1)2＋(y －2)2＝1＋1，即x 2＋(y －2)24＝1(x >－1)．故动点O ′的轨迹方程为x 2＋(y －2)24＝1(x >－1)． (2)设点Q 的坐标为(x ′，y ′)，过R 作RR ′⊥l 于R ′，过Q 作QP ⊥l 于P ， 则RQ ＝RF ＋QF ＝RR ′＋QP ， ∴(x ′－1)2＋(y ′－2)2＝x ′＋1＋2，即(y ′－2)2＝8(x ′＋1)(x ′>－1)．故焦点弦RQ 的另一端点Q 的轨迹方程是(y ′－2)2＝8(x ′＋1)(x ′>－1)．。

2．6.2求曲线的方程[对应学生用书P40]在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(2，－3)，(4，－1)．问题1：求平面上任一点M(x，y)到A点的距离．提示：MA＝(x－2)2＋(y＋3)2.问题2：试列出到点A、B距离相等的点满足的方程．提示：MA＝MB，即(x－2)2＋(y＋3)2＝(x－4)2＋(y＋1)2.求曲线方程的一般步骤正确认识求曲线方程的一般步骤：(1)“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴；其次，可以选曲线上的特殊点作为原点．(2)“设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)”．这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件中所含的等量关系．(3)“列出符合p(M)的方程f(x，y)＝0.”这里就是等量关系的坐标化，完成这一步需要使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识．(4)“化方程f(x，y)＝0为最简形式”．化简时需要使用代数中的恒等变形的方法．(5)“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上”．这一步的证明是必要的．从教材内容看，这一步不作要求，可以省略，但在完成第(4)步时，所用的变形方法应都是可逆的，否则要作适当说明．[对应学生用书P41]直接法求曲线方程[例1] △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a >c >b ，且a ，c ，b 成等差数列，AB ＝2，求顶点C 的轨迹方程．[思路点拨] 由a ，c ，b 成等差数列可得a ＋b ＝2c ；由a >c >b 可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB ＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解.[精解详析] 以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则A (－1,0)， B (1,0)，设C 点坐标为(x ，y )， 由已知得AC ＋BC ＝2AB . 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝4，整理化简得3x 2＋4y 2－12＝0，即x 24＋y 23＝1. 又∵a >c >b ，∴x <0且x ≠－2. 所以顶点C 的轨迹方程为 x 24＋y 23＝1(x <0且x ≠－2)． [一点通]1．“直接法”求曲线方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步，即：建系、设点→根据条件列方程→化简；2．其中“建系”是指建立适当的直角坐标系．所谓“适当”应使计算量较小，且所得的方程形式较简单．若坐标系建立不当，计算量就会大大增加，有时很可能得不到正确的结果．1．若将本例已知条件“a >c >b 且a ，c ，b 成等差数列”改为“△ABC 的周长为6且AB ＝2”，求顶点C 的轨迹方程．解：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )， 由已知得AC ＋BC ＋AB ＝6. 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝4.化简整理得3x 2＋4y 2－12＝0，即x 24＋y 23＝1. ∵A 、B 、C 三点不能共线， ∴x ≠±2.综上，点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．2．已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA u u u r ＋MB u u u r|＝OM u u u u r ·(OA u u u r ＋OB u u u r )＋2.求曲线C 的方程．解：由MA u u u r ＝(－2－x,1－y )，MB u u u r＝(2－x,1－y )，得|MA u u u r ＋MB u u u r|＝(－2x )2＋(2－2y )2， 又OM u u u u r ·(OA u u u r ＋OB u u u r )＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C的方程是x2＝4y.定义法求曲线方程[例2]已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．[思路点拨]利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解．[精解详析]如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则KQ＝1，所以PQ＝r＋1，又AP＝r＋1，所以AP＝PQ，故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．∴p2＝2，∴p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.[一点通]若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征．3．点P 与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：设d 是点F 到直线x ＝8的距离， 根据题意，得PF d ＝12.由圆锥曲线的统一定义可知，点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，x ＝8为准线的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a 2c ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 故点P 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.4.如图所示，已知点C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且MQ u u u u r ·AP u u u r ＝0，AP u u u r ＝2AM u u u u r.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．解：圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2，∵MQ u u u u r ·APu u u r＝0，AP u u u r ＝2AM u u u u r ，∴MQ ⊥AP ，点M 为AP 的中点，即QM 垂直平分AP . 连结AQ, 则AQ ＝QP ，∴|QC －QA |＝|QC －QP |＝CP ＝r ＝2.又|AC |＝22＞2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1， 因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.[例3] 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．[思路点拨] 设出点P 、M 的坐标，用M 的坐标表示P 的坐标，再借助M 满足的关系即可得到P 的坐标所满足的关系．[精解详析] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y . 又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋(2y )2＝1.∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.[一点通] 代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标(x ，y )来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线方程，由此即可求得所求动点坐标的轨迹方程．5．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，若OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，求动点Q 的轨迹方程．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)．因为OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y2.又因为点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4. 即x 2＋y 24＝4(y ≠0)． 所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．6．已知曲线C ：y 2＝x ＋1，定点A (3,1)，B 为曲线C 上的任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶P A ＝1∶2，当B 点在曲线C 上运动时，求点P 的轨迹方程．解：设P 点坐标为(x ，y )，B 点坐标为(x 0，y 0)，由BP ∶P A ＝1∶2，得PA u u u r ＝2BP u u u r，即(3－x,1－y )＝2(x －x 0，y －y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝2x －2x 0，1－y ＝2y －2y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －32，y 0＝3y －12.∵点B (x 0，y 0)在曲线y 2＝x ＋1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －122＝3x －32＋1. 化简得：⎝⎛⎭⎫y －132＝23⎝⎛⎭⎫x －13. 即点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫y －132＝23⎝⎛⎭⎫x －13.1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷．2．求曲线的方程常用的方法． (1)直接法； (2)定义法； (3)相关点代入法； (4)待定系数法等．[对应课时跟踪训练(十六)]1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________．解析：设动点M (x ，y )，到两坐标轴的距离为|x |，|y |.则|x |＝|y |，∴x 2＝y 2.答案：x 2＝y 22．等腰三角形底边的两个顶点是B (2,1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是________．解析：设点A 的坐标为(x ，y )．由已知得AB ＝AC ， 即(x －2)2＋(y －1)2＝x 2＋(y ＋3)2.化简得 x ＋2y ＋1＝0.∵点A 不能在直线BC 上，∴x ≠1，∴顶点A 的轨迹方程为x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)．答案：x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)3．已知两定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P 满足P A PB ＝12，则P 点的轨迹方程是________． 解析：设P (x ，y )，由已知得(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y2＝12，化简得：x 2＋4x ＋y 2＝0.即(x ＋2)2＋y 2＝4.答案：(x ＋2)2＋y 2＝44．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．解析：设P (x ，y )，由题知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.答案：4π5．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部分，则Q 点的轨迹方程是________．解析：据题意，OP u u u r ＝3OQ u u u r ，设P (x ′，y ′)，Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ，y ′＝3y ，又∵P (x ′，y ′)在2x ＋4y ＋3＝0上， ∴2×(3x )＋4×(3y )＋3＝0，即2x ＋4y ＋1＝0，即点Q 的轨迹方程为2x ＋4y ＋1＝0.答案：2x ＋4y ＋1＝06．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，求点P 与Q (0，－1)连线中点M 的轨迹方程． 解：设P (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1. 又P (x 0，y 0)在曲线y ＝2x 2＋1上，∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2.∴点M 的轨迹方程为y ＝4x 2.7．已知双曲线2x 2－2y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，P 为动点，若PF 1＋PF 2＝6，求动点P 的轨迹E 的方程．解：依题意双曲线方程可化为x 212－y 212＝1，则F 1F 2＝2.∴PF 1＋PF 2＝6>F 1F 2＝2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由2a ＝6,2c ＝2得a ＝3，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝8.则所求椭圆方程为x 29＋y 28＝1. 故动点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1. 8.如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT 上移动，且OA u u u r ·OB u u u r ＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP u u u r ＝OA u u u r ＋OB u u u r . (1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解：(1)由OA u u u r ·OB u u u r ＝(m ，3m )·(n ，－3n )＝－2mn .得－2mn ＝－12，即mn ＝14. (2)设P (x ，y )(x >0)，由OP u u u r ＝OA u u u r ＋OB u u u r ，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ， 又mn ＝14， ∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >0)． 它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．。

2.6.2 求曲线的方程课时目标 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．1．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的____________；(2)设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y)； (3)列出符合条件p(M)的方程f(x ，y)＝0； (4)化方程f(x ，y)＝0为____________；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．2．求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法．一、填空题1．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是______________． 2．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是______________． 3．与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是____________________．4．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程为____________．5.设过点P （x,y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交与A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是________________________．6．到直线x －y ＝0与2x ＋y ＝0距离相等的动点轨迹方程是________________． 7．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是____________________________．8.直角坐标平面xOy 中，若定点A （1,2）与动点P （x,y ）满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________________________． 二、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．10．已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)，B(6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．能力提升11.如图，已知点F （1,0），直线l ：x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →. 求动点P 的轨迹C 的方程．12.如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N)为切点，使得PM ＝2PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．1．求轨迹方程的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明． 2．明确求轨迹和求轨迹方程的不同．3．求出轨迹方程时，易忽视对变量的限制条件，在化简变形的过程中若出现了非等价变形，在最后应把遗漏的点补上，把多余的点删去．2．6.2 求曲线的方程知识梳理1．(1)坐标系 (4)最简形式 作业设计1．x ＝0(0≤y ≤3)解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线． 2．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)解析 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1，所以k P A ·k PB ＝y x ＋1·yx －1＝－1.整理得x 2＋y 2＝1，又k P A 、k PB 存在，所以x ≠±1. 故所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1 (x ≠±1)．3．y 2＝8x (x >0)和y ＝0 (x <0)解析 设动圆圆心为M (x ，y )，动圆半径为r ，则定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝2. 由题设得MC ＝2＋r ，又r ＝|x |.∴MC ＝2＋|x |，故(x －2)2＋y 2＝2＋|x |， 化简得y 2＝4x ＋4|x |，当x >0时，y 2＝8x ； 当x <0时，y ＝0，当x ＝0时，不符合题意． ∴所求轨迹方程为y 2＝8x (x >0)和y ＝0 (x <0)． 4．y 2＝12x 或y 2＝－12x解析 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x . 5.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)解析 如图所示，若P (x ，y )，设A (x 1,0)，B (0，y 2)，因为B P →＝2P A →， 所以(x ，y －y 2) ＝2(x 1－x ，－y )， 即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1－2x ；y －y 2＝－2y .∴x 1＝32x ，y 2＝3y .因此有A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ， OQ ＝(－x ，y )，OQ AB ∙＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．6．x 2＋6xy －y 2＝0解析 设该动点坐标为(x ，y )， 则|x －y |2＝|2x ＋y |5，化简得x 2＋6xy －y 2＝0.7．射线x ＋y －1＝0(x ≥1)与直线x ＝1 解析 由(x ＋y －1)x －1＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0，或⎩⎨⎧x －1≥0，x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1. 8．x ＋2y －4＝0解析 由OP OA ∙＝4知，x ＋2y ＝4， 即x ＋2y －4＝0，∴点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0. 9．解 方法一 直接法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .设OC 中点为M (12，0)，则MP ＝12OC ＝12，由两点间距离公式得方程 (x －12)2＋y 2＝12，考虑轨迹的范围知0<x ≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法二 定义法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC ＝90°，设OC 中点为M (12，0)，所以PM ＝12OC ＝12，所以动点P 在以M (12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x －12)2＋y 2＝14.因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法三 代入法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，设Q (x 1，y 1)，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，又因为点Q (x 1，y 1)在⊙C 上， 所以(x 1－1)2＋y 21＝1. 将⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，代入上式得(2x －1)2＋(2y )2＝1， 即(x －12)2＋y 2＝14，又因为OQ 为过O 的一条弦， 所以0<x 1≤2，所以0<x ≤1，因此所求轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1， 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0.设方程(1＋k 2)x 2－2x ＝0的两根为x 1，x 2，所以x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k1＋k 2.消去参数k 得：x 2－x ＋y 2＝0，所以，所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)． 10．解 设G (x ，y )为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y . ∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上，∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 11．解 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →得 (x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .12.解 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1 (－2,0)，O 2(2,0)． 由已知PM ＝2PN ，∴PM2＝2PN2.又∵两圆的半径均为1，∴PO21－1＝2(PO22－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33 (或x2＋y2－12x＋3＝0)．。

求曲线的方程2 课 题第 2 课时 计划上课日期： 教学目标 知识与技能 1．更进一步熟练运用求曲线方程的方法、步骤，能熟练地根据条件求出简单的曲线方程．过程与方法情感态度 与价值观教学重难点 求曲线的方程或轨迹的常用方法：直接法、定义法、待定系数法、转移法、点差法、参数法．教学流程\内容\板书 关键点拨加工润色一、复习回顾（一）求曲线方程的一般步骤是什么？“建、设、限、代、化（证——非等价变形时要查漏补缺）”（二）前面我们学习过圆的方程，椭圆的方程，双曲线的方程，抛物线的方程等，求这些曲线的方程有哪些常用方法？1. 直接法、定义法、待定系数法．① 直接法：根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线的定义直接确定曲线类型．② 定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程．③ 待定系数法：已知动点轨迹类型，可先设出方程形式，再利用条件待定其中的系数．2. 请用我们学过的方法完成下列各题，并注明使用方法．（1）将圆922=+y x 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线方程．（使用方法： ）（2）动点P （x ，y ）到定点A （3，0）的距离比它到定直线x ＝－5的距离少2．求：动点P的轨迹方程．（使用方法：）（3）已知圆A：（x＋2）2＋y2＝1与点A（－2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．①△PAB的周长为10；②圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）；③圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切（P为动圆圆心）．（使用方法：）4，一个椭圆以C为其中一个焦（4）等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为2点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B．求：该椭圆方程．（使用方法：）今天我们将学习求曲线方程的其他几种常用方法：转移法、点差法、参数法3.转移法：根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系，用所求动点坐标表示相关动点的坐标，并代人相关动点所在的曲线的方程，从而得到所求动点的轨迹方程．此法也称代人法．4.参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数（如角度、直线斜率等）解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程．二、典例研究例1经过原点的直线l与圆226490+--+=相交于两个不同点A，B，求线x y x y段AB的中点M的轨迹方程．例2△ABC的顶点B，C的坐标分别为（0，0），（4，0），AB边上的中线的长为3，求顶点A的轨迹方程．例3设椭圆与双曲线有公共的焦点F1（-4，0），F2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹．三、小结1．求轨迹方程的一般步骤建系、设点、列式、代入、化简、检验（检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性）化简过程若破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点．2．求轨迹方程的常用方法（1）直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点（x，y）的解析式．（2）定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程．（3）代入法：如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程．（4）参数法：如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程．参数法中常选角、斜率等为参数．3．注意求“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，若是“求轨迹方程”，求得方程（包括范围）就可以了；若是“求轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的形状、位置、大小等特征．4．求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题，从而简化解题过程．5．求轴对称的曲线的方程的一般步骤：（1）设所求曲线上任一点P（x，y）；（2）求出其关于点或轴对称的点p′（x，y）；（3）将p′坐标代入已知曲线得所求曲线方程．。

2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2 求曲线的方程学案苏教版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2 求曲线的方程学案苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.6。

2 求曲线的方程1．了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．（重点）2．掌握求动点轨迹方程的常用方法．（难点）3．对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)［基础·初探］教材整理求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．1．求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：建立适当的坐标系↓错误!↓错误!↓错误!↓错误!求曲线方程的流程图可以简记为：错误!→错误!→错误!→错误!→错误!2．求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．1．判断(正确的打“√"，错误的打“×”）(1）在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．( )（2）化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．( ）(3）按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．( )(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．（)【答案】（1）√（2)×（3)×(4)√2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．【解析】由圆的定义知，点M的轨迹是以（0，0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x2＋y2＝4.【答案】x2＋y2＝43．设P为曲线错误!＋y2＝1上一动点，O为坐标原点,M为线段OP的中点，则动点M的轨迹方程是________．【解析】设M(x，y)，P（x0，y0）,则x0＝2x，y0＝2y,∵x24＋y20＝1，∴x2＋4y2＝1.【答案】x2＋4y2＝14．到A（－3,0），B(5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.【导学号:09390058】【解析】设P（x,y)，PA＝PB，即x＋32＋y2＝x－52＋y＋12，即(x＋3)2＋y2＝（x－5)2＋(y＋1)2，化简得16x－2y－17＝0.【答案】16x－2y－17＝0［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2:解惑：疑问3：解惑：[小组合作型］直接法求轨迹方程在△ABC中,a，c，b成等差数列,AB ＝2，求顶点C的轨迹方程．【精彩点拨】由a,c，b成等差数列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．【自主解答】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系,则A（－1，0),B（1,0)，设C点坐标为(x，y），由已知得AC＋BC＝2AB。