山东省烟台市招远第一中学2020届高三三模考试数学试卷

山东省2020年高三3月全省第3次联合考试数 学（满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =I A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-2．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x =B ．1y =C ．0x =D ．0y =3．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cmB ．172.75cmC ．173.75cmD ．175cm4．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a bA B ． C ．D 5．函数52sin ()([,0)(0,])33xxx xf x x -+=∈-ππ-U 的大致图象为6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足1[]22(1)n n a n -=-，则数列{}n a 的前60项的和为A ．1830B ．1830-C ．3660D ．3660-7．长方体ABCD A'B'C'D'-中，,AB a AD b ==，AA'a b =+，则三个角,,AA'B BA'D DA'A ∠∠∠的和为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2CD 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件10．若函数21()ln ||+1f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数C ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．不等式(1)(2)f x f x ->的解集为1(1,0)(0,)3-U11．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．则下列说法正确的是A ．函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称B ．函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点C．函数()g x 在区间ππ[,]24--D ．函数()g x 在区间π(0,)12上单调递增12．在如图所示的平面多边形中，四边形ABCD 4个三角形均为正三角形．若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则AB ．此四棱锥的外接球的表面积为3πC ．此四棱锥的外接球的体积为43πD ．此四棱锥的高为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为___________.14．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为___________. 15．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．16．某中学某天有6节课，其中上午4节，下午2节，若要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理这6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同的排法种数是_________，数学排第一节课的概率是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，315a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，+1n n n nb a a S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若cos ABD ∠BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠. 19．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积. 22．（本小题满分12分）已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.答案与全解全析（满分：150分 考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b 故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ， 又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++，222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC 1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=， 所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分） 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+， 所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠， 所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：（3分）则2K 的观测值22()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（6分） （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.（7分） 根据题意得2~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.（10分） 所以X 的分布列为（11分）所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l l π2sin 3c =1c =，（2分）由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b ==， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分）。

山东省2021届高三3月模拟测试数学试题考前须知：1 .做题前,考生在做题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2 .第I卷,每题选出答案后,用2B铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.第I卷〔非选择题共60分〕一、单项选择题：此题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.11 .集合A y|y 2x,x 0, B x|y x',那么AIBA. 1,B. 1,C. 0,D. 0,2 .设2i3xi3 y 5 i 〔i为虚数单位〕,其中x , y是实数,那么x yi等于A. 5 B , 713 C . 2应D . 23 .a,b都是正数,那么“ log a3 10g b3〞是“3a3b3〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D 既不充分也不必要条件4 .甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名 .假设甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确,由此判断获得第三名的是A.甲B. 乙C. 丙D. 无法预测5 .?九章算术?是我国算术名著,其中有这样一个问题：今有碗田,下周三十步,径十六步,问为田几何？意思是说现有扇形田,弧长三十步,直径十六步,问面积多少？书中给出计算方法,以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是A. —B. —C. —D.12015 4 826 .假设〔7x—〕的展开式中只有第六项的二项式系数最大,那么展开式中的常数项是xA.210B.180C.160D.1757 .泉城广场上矗立着的“泉标〞,成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标〞高度,某同学在“泉标〞的正西方向的点A处测得“泉标〞顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东300前进100m到达点B , 在点B处测得“泉标〞顶端的仰角为30°,那么“泉标〞的高度为A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m、一,、3x 1x) 6, g(x),且f (x)与g(x)的图象交点为x 2A.20B.24C.36D.40二、多项选择题：此题共 4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多项符合题目 要求.全部选又•的得5分,局部选对的得 3分,有选错的得0分.9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中央 F 为一个 焦点的椭圆,如下图,它的近地点A (离地面最近的 点)距地面m 千米,远地点B (离地面最远白点)距地面n 千米,并且F A B 三点在同一直线上,地球半径约为 R 千米,设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c, 那么A. a- c=n+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b= q'(m R)(n R) 10.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以 A,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球,白 球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球,以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件, 那么以下结论正确的选项是C.事件B 与事件庆〔相互独立D. A i > A 2、A 3两两互斥22ii .点P 是双曲线E:— 匕 i 的右支上一点,F i ,F 2为双曲线E 的左、右焦点, i6 9 积为20,那么以下说法正确的选项是3C. FFF 2小于一D.PF i F 2的内切圆半径为一3 412 .正四棱柱 ABCD-ABC i Di 的底面边长为 2,侧棱 AA=i , P 为上底面 ABCDi 上的动点,给出下 列四个结论中正确结论为A.假设PD=3,那么满足条件的 P 点有且只有一个B.假设PD=V3,那么点P 的轨迹是一段圆弧8.函数f (x)满足f (2-x) f (2 (x i , y i ),(x 2, y 2),(x 8, y 8),那么 x i x ? Lx 8 y iy 2 Ly 8的值为A. P(B)= 25B. P (B|Ai)iiPF 〔F 2的面A.点P 的横坐标为203B.PF i F 2的周长为803C.假设PD〃平面ACB,那么PD长的最小值为2D.假设PD〃平面ACB,且PD=<,3 ,那么平面BDP截正四棱柱ABCD-ABCD的外接球所得平面图形的面积为宜4第II卷(非选择题共90分)三、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13 .向量a = (1 , x + 1) , b = ( x , 2),假设满足a// b ,且方向相同,那么x = .214 .m是2与8的等比中项,那么圆锥曲线x2L 1的离心率是. m15 .对于函数f(x),假设在定义域内存在实数X O满足f( X O)f(x0),那么称函数f(x)为“倒戈函数〞, 设f(x) 3x 2m 1(m R,m 0)是定义在［-1,1］上的“倒戈函数〞 ,那么实数m的取值范围是 ^16 .函数f (x) 72sin x,g(x) 72cos x,其中0, A, B,C是这两个函数图象的交点,且不共线.①当1时,ABC面积的最小值为:②假设存在ABC是等腰直角三角形,那么的最小俏为 ^四、解做题：本大题共6小题,共70分.解容许写出必要的文字说明、证实过程或演算步骤.1 一17. 10 分)数列⑶｝满足：a1 a2 a3 a n —(3n 1).2(1)求｛a n｝的通项公式；(2)假设数列｛b n｝满足：a n 3a M,求｛b n｝的前n项和T n.18. (12分)在锐角ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a,b,c.bsin Aasin(B —) 3(1)求角B的大小；(2)求c的取值范围. a19. (12分)如图,三棱柱八门C-A/E1中,C# =弭平面44" 1平面A八//.(1)求证：4% 1 8C;(2)假设月修=的吊月=2,直线？???平面口 "为4所成角为45掳,?呐???酌中点,求二面角用1一/11.一.1的余弦值.20. (12分)为提升城市居民生活幸福感,某城市公交公司大力保证公交车的准点率, 减少居民乘车候车时间.为此,该公司对某站台乘客的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,乘客候车时间随机变量X满足正态分布？?0胃,蛭2) •在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下 ,调查了大量乘客的候车时间,经过统计得到如图频率分布直方图.(1)在直方图各组中,以该组区间的中点值代表该组中的各个值,试估计小,小的值；(2)在统计学中,发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件,一般认为,在正常情况下,一次试验中,小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况正常、非节假日的某大,随机调查了该站的10名乘客的候车时间,发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟,试判断该大公交车准点率是否正常,说明理由.(参考数据：^492 =4.38, V214 =4.63, v26.6 = 5.16,___ _______ 3 ___ _______ 4 _______ __一= 0.3546, 0.1587 —0.0040, 0.1587 =0.0006, P( X + ) 0.6826,P( 2 X +2 ) 0.9544 , P( 3 X +3 ) 0.9973)21. (12分)抛物线C: y2 2px(p 0),点F为抛物线的焦点,焦点F到直线3x 4y 3 0的d 3距离为a,焦点F到抛物线C的选线的距离为d2,且」-. d25(1)抛物线C的标准方程；(2)假设在x轴上存在点M过点M的直线l与抛物线1 |PM|21_ 2|QM |为定值,求点M的坐标.0.84137= 0.2898 , 0.84136C相交于P, Q两点,(1)讨论函数f ( x)的极值点的个数；(2)假设函数f(x)有两个极值点x1,x2,证实：f(x1) f(x2) 3 2ln2.高三数学答案一r 单助选拜理：)-5 BA B B b 6-S B AD宝顶选掘战：工ABD 【QB 口II.ABC 12,ABD二〞 地空题：13, 1 14, *15典<—15- [ — — ,0)16. 2 m —四、解杵圈17,科 1 1) 口| + % + % + …+ % =] (3*1— 1),①当 R 之 2 时, 珥 + % + 4.4 …+口“_[ = » ②①一②福.4=尸.1 |H-1 U-L4二】,符合上式1〔力由于％ =3*,而以3“T =3*Mrt —)皿仃占=fl-L Mi ------------------ 1.k - 广|£ =0+&!+2]?!尸十3的；尸十…+(n-l)x(ir 1 ,①—T = lx< —);+2x (―),+ --+ (n-2)x (―r -l + <n-1)x < — J* ,」 ................... ………才分 3 * 3 3 3 3①一②得.-7；=i+(-)]+ dp +…十 一 m-l)x(!-/3 3 3 3 331名邮1 11)Vt )sinA=»sin(B j *^)! A unffsinX(. -^sinB+^^co&g ) . “n_*F(k痣：畋学答案「L 1 =2" n + 2 F, 所以7=3_名善 4 4 门 T * (9)……………………in 分/■taff=V31(曾由可用士4死=下-/一2三, 乂AMH匚为慌角：用移,二.＜.=空3 3w,I w一色z与.产V3 . 1 .. .产_£潞一孔状丁一) _万8施生幻球我sinA sinA sinA…■…I」分j：的取值范围足(12)12分19, (1)证即：过点「作CO,4%.币足为.,囚为平面乂/[CC 11t面期18 $,所以CC1平面独道]甑放1 0B. ,・ (2)又由于£4=C0= CO. ".4= £,COB=90*.所以/?也月0c三£也£.匚MA = 0B.由于4l]4B= 45\ MtUA] 1 0B,〞………4分父由于乂闻1 J CO.所以4月11 F面80匕AtA4] 1 BC................................... B分为坐标原点,OA r OB r X所在直然为*. g 舶.注立受MUM坐机系"一号工由于CCJ1平面\用声]艮所以士.&0是百理平币7*3』所或用,故,.日.=45L所胤八日=A0= BO=CO=1. ........................................... 7分高黝学誓辛 ?A(l.DO). 5(0.LO> C(0.0.1； Ad - 1AO), 81(-1匕.),D( - 1.0.1)-设平面由8田的法向度为E = 口,㈤,那么{:需二;,所4-；；："* 刎〞得L , ................................................................................. 5 由于如上平面JUQ.C.所以诂为甲面HQ7的•条法向跳*话= (QXQ> ............................... 10分>=-^ = ^ 所以 曲曲Bi-』7- J 的余弦值为〞 ........................ 12分2.廨,(1) W =0J M 2+I U M 6刊<xl0+0.2x14+0.1x18=1. .................... 3 frrf 2=,52 = 2x(S 2 x0 H4" x0.2-1- MO - 10 广乂.一4=192 .…*+……*6 外C2> ^+^-l0+*438=M.38 T …………丁外设3冬乘空候车时间擦过15分钟的事华为A.P(7)=C ；(0」5fi7MOX4D 『 it). 139>0.005 , ............................... )| 分 所以谁点率正常. ........... 12分(1)依题茂,得,陆点 F(,D). flij d1 = —F (i ： = J>i ............................................ +1 分2 = L ？；3 = ,薪得『=2, .......................................... T 分用以抛物级万科:为£ =41_+ (4)-2)jJQLr .j]) .显特汽税『的斜串不为0,过直绥/的方程为龙二叫+ h由,'4* 得* y 2 -4mv-4t = 0 - 刀=财产+,A : I6<m = + 0>01高二数学养笔3/* ?14.3#= 1-0.6R2O解+ Vi -山/M %--Ai t ........................................... 6分I FW1= J1 + /3 Id QM |=如寿5 k[ _ I _ 1 1 I _ +F J|PMp+|QM|2 = =.+舟E"所以一二十一L"为定值忖.点M的坐黑为(NO) /…+*I™12分|PMr\QM\-花洒U)/(.T)= - In .t - tw2 4-j(tf > 0) rI -4" 2rjr' —t所以『(* = __ ---- : --- -(X >^a >0) 1…………上力彳关于x的力程I + 2a? -jr-0的判别式ATMa.①3"之!时,ASO. /r(x)^0.8所以函数花(0电y)上单词近Mh (3)②与.<金<：时.A>O.方程red=.白西牛不桁等的正根七#尸.. ]—J1 — 8© 1 + JI-8.口「捏 * = - --- T* — ----- ・4a4d]—Ji - 8n I + Jl —g|j那么当工_)及h f(x}<0, 4a4.1 —Jl - Hd I 十/二(T1)ie(——--------- -,---——)时,f(x)>0.4" 4〞高融学等* 44 1 - Jl-即 1 + Vl-Xfl I - Ji -- 1 + J二•所以的数在〔虬一3--〕T〔—一土, f〕递减；在〔--一--一-〕4 油 4 口4a 4c〔谨埴............. 5分C〕由门〕窗•节且便节仃匕Q,〕时*"冷南极小慎』和极大值三।FI七,与是方K程2ctl -Al-l.的两个无根.J, +A T = -t A, - A, = - r •……"…&玲2d ' 2〔1所以/〔JC}〕+ f〔x1〕 = 〔x］+ T-I - &［〔./+ 工» — 2.g 工］一〔加3t l +In x2}=+ —-+ l = ln〔7+*—+ 1 + In2^ …………B分4ci令区〔仃〕= lni+ ——+1 + In 2 .4aI X/ - I当时r =二^-<0,所以£〃〕仃〔0」〕上是阻调速减r8故g〔u j > g〔—I = 3 - 2 Im 2 . …分8所以/〔』〕+ /区〕=3・21力2严,... .. *12介答案订正揖4题：答宴为A第丝摩：赠加用a=O ./( JT)=—ln L r H~.r, 1 J ―tA / (j-) ™ I------------------- =-----------,T JT二〃』)在(0")上递减+在门,+2)迎增即八,>在仍.十8〕上只彳小侑,设有横大吃。

山东省2020版高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·昭通月考) 若，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·山西月考) 平面向量与的夹角为60°，且 ,则（）A .B .C . 4D . 123. （2分）(2019·西宁模拟) 已知等差数列满足，，则它的前8项的和为（）A . 95B . 80C . 40D . 204. （2分）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）A . 向右平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向左平移个单位5. （2分）设F为抛物线的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A . 36B . 24C . 16D . 126. （2分） (2018高一下·鹤岗期中) 实数满足且，则的最大值为（）A .B .C . 5D . 77. （2分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高三上·和平期末) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）A . 5B . 7C . 9D . 119. （2分）已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时不等式f(x)+xf'(x)<0成立，若，则a,b,c大小关系是（）A . a>b>cB . c>b>aC . a>c>bD . c>a>b10. （2分） (2018高三上·晋江期中) 已知函数对任意实数a，b满足，且，若，则数列的前9项和为A . 9B .C .D . 111. （2分）(2013·上海理) 函数f（x）= 的大致图象是（）A .B .C .D .12. （2分）设点O是△ABC的外心，AB=13，AC=12，则• 为（）A .B . ﹣C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·重庆期末) 等比数列中，，其中公比，则________.14. （1分）已知n= x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为________．15. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知椭圆 +x2=1，过点P（，）的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________．16. （1分）用二分法求方程在区间上根的近似值，先取区间中点，则下一个含根的区间是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2019高二上·黄陵期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A＝， sinB ＝3sinC.（1）求tanC的值；（2）若a＝，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高二上·抚州期中) 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ（2）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．19. （5分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣1折2折3折4折5折销售份数5085115140160试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，20. （10分） (2015高三上·大庆期末) 已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21. （10分） (2018高二上·赤峰月考) 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．22. （5分）(2017·南通模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），现以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．23. （10分） (2016高二下·永川期中) 已知f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设m，n，k为正实数，且m+n+k=f（0），求证：mn+mk+nk≤ ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

山东省烟台市达标名校2020年高考三月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3 2． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A ．56383B ．57171C ．59189D ．612423．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ）A 1B 2C 1D 24．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．126．已知复数21i z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i - C ．1 D ．i7．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．28．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-9．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF =（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2 10．函数()x f x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．11．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．7 12．函数()cos2x f x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

A ．f （0）=0B ．f （x ）为偶函数C ．π是f （x ）的一个周期D ．f （x ）图象关于直线x =对称8．（5分）若定义在R 上的函数f （x ）满足：f （）≠0，f （）=0，且对任意x 1，x 2∈R ，都有f （x 1+x 2）+f （-）=4f （）•f （+），则（ ）π43π4x 1x 2x 1x 2π4π4A ．数据1，2，5，7，10的80%分位数为8.5B ．设随机变量X ～B （4，p ），若D （X ）=0.75，则E （X ）=1C ．已知回归直线方程为y =bx -0.3，若样本中心为（2，4.7），则b =2.5D ．x 1，x 2，…，x n （0<x 1<x 2<⋯<x n ）的极差小于，，…，的极差9．（6分）下列说法正确的有（ ）+x 1x22+x 2x 32+x n x 12A ．PQ =B ．AD ⊥平面OBC C ．PQ ∥平面ABCD ．三棱锥P -ABC 与Q -ABC 公共部分的体积为10．（6分）如图1，半圆O 的直径为4，点B ，C 三等分半圆，P ，Q 分别为OB ，OC 的中点，将此半圆以OA 为母线卷成如图2所示的圆锥，D 为BC 的中点，则在图2中，下列结论正确的有（ ）M 3214A ．AB 边上的高为B ．+为定值C ．的最小值为211．（6分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,且c =2asinB ，则（ ）c 21tanA 1tanB sinCcosAcosB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

四、解答题：本题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

D ．若tanC =3，则+=ab a 2b 24M 10512．（5分）展开式的中间一项的系数为 ．（2+）√x 14x613．（5分）已知双曲线Γ：-=1（a >0，b >0）的渐近线方程为y =±x ，其右焦点为F ，若直线y =kx 与Γ在第一象限的交点为P 且PF ⊥x 轴，则实数k 的值为．x 2a 2y 2b 2M 314．（5分）在平面直角坐标系中，若定义两点A 1（x 1，y 1）和A 2（x 2，y 2）之间的“t 距离”为=max {，}，其中max {p ,q }表示p ,q 中的较大者，则点A 1（0，0）与点A 2（1，2）之间的“t 距离”为；若平面内点A （x ,y ）和点A 0（1，1）之间的“t 距离”为，则A 点的轨迹围成的封闭图形的面积为 ．||1A 1A 2|-|x 1x 21+|-|x 1x 2|-|y 1y 21+|-|y 1y 21215．（13分）为提高学生对航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某学校组织学生参加航天科普知识挑战赛，比赛共设置A ，B ，C 三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为50分，答对问题A ，B ，C 分别加10分，20分，30分，答错任一题减10分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分，答题结束，挑战失败；当累计分数大于或等于80分时，答题结束，挑战成功；③每位参加者按问题A ，B ，C 顺序作答，直至挑战结束．设甲同学能正确回答出问题A ，B ，C 的概率分别为，，，且回答各题正确与否互不影响．（1）求甲同学挑战成功的概率；（2）用X 表示甲同学答题结束时答对问题的个数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．45341216．（15分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC =BB 1=2，M ，N 分别为BB 1，AC 中点，且C 1M ⊥AB ．（1）证明：C 1M ⊥A 1N ；（2）若D 为棱A 1B 1上的动点，当DN 与平面ABC 所成角最大时，求二面角A -DM -N 的余弦值．17．（15分）在数列{a n }中，已知2a n =a n +1+a n a n +1，=．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若=-，S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：≤＜1．a 143b n a n 2a n49S n18．（17分）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）过点（1，2），F 为C 的焦点，A ，B 为C 上不同于原点O 的两点．（1）若OA ⊥OB ，试探究直线AB 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；（2）若AF ⊥BF ，求△AFB 面积的最小值．19．（17分）已知函数f （x ）=x +ae x （a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a =3时，若方程+=m +1有三个不等的实根，求实数m 的取值范围．xf （x ）-x f （x ）-x f （x ）。

2020年山东高三三模数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（ ）．A. B.， C. D.3.已知为坐标原点，为直线上在第一象限内的点，，，则与的夹角为（ ）．A.B.C.D.4.已知函数的最小正周期为，则的展开式中的系数为（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.6.记为正项数列的前项和，，若数列是等差数列，则（ ）．A.B.C.D.7.物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为，其中为分贝，为声压标准值，为声压测量值．分贝是人刚能听到的最微弱的声音，分贝是较为理想的安静环境，超过分贝会影响休息和睡眠，超过分贝会影响学习和工作，超过分贝会影响听力，如果突然暴露在高达分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为，则其约为（参考数据：，）（ ）．A.分贝B.分贝C.分贝D.分贝8.已知四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，则四棱锥的体积是（ ）．A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.下图为某地区年上半年年上半年住宅供应面积、住宅成交面积以及住宅成交均价走势图：年年下半年年上半年年下半年年年下半年上半年年上半年上半年住宅供应面积万平方米住宅成交面积万平方米住宅成交均价（元平方米）根据该走势图可知，下列说法正确的有（ ）．A.住宅面积总是供不应求B.住宅成交均价逐年增长速度相同C.年下半年住宅供需面积差异最大D.年下半年住宅供需面积最为平衡10.已知双曲线：的一条渐近线平行于直线：，则下列说法正确的有（ ）．A.的渐近线方程为B.的离心率为C.与直线有两个公共点D.若过点，则的标准方程为11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）．A.的一个周期是B.在区间上有个零点C.的最大值为D.在区间上是增函数12.已知底面是菱形的直四棱柱，棱长为，，，分别为，的中点，为线段上不同于，的动点，则下列说法正确的有（ ）．A.存在点，使B.存在点，使C.平面截四棱柱所得截面面积的取值范围为D.三棱锥的体积为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.“回文”是指正读、反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字称为回文数．设是自然数，若将的各位数字反向排列所得自然数与相等，则称为回文数．例如，若，则称为回文数．在中任取两个回文数，则这两个回文数都能被整除的概率是 ．14.已知，则 ．15.设抛物线的焦点为，以抛物线上一点为圆心的圆与直线相切，连接与圆交于点，且，则的方程为 ；若点为圆上的动点，为坐标原点，则的最小值为 ．16.已知函数若函数至少有一个零点，则实数的取值范围是 ．，四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①，②，③的前项和这三个条件中，任选一个补充到下面的题目中，并解答题目．已知数列是等差数列，是等比数列，且，， ，．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在中，，为内一点，．若，求．若，求．（1）（2）19.如图，在四棱锥 中，底面是平行四边形， 平面，，分别为，的中点， ， ， ．证明： ．求直线与平面所成角的正弦值．20.党的十八大以来，党中央明确了到年我国将完成“脱贫攻坚”任务．某市许多年轻人得知政府在大力扶植地区特色产业后，纷纷投入家乡如火如荼的创业大潮中，建立了“万亩蓝莓园”．在蓝莓采（1）（2）摘时，把质量较好的蓝莓（我们称之为“一等品”）挑选出来，“一等品”的价格是一般蓝莓价格的倍，“一等品”越多，收益也就越好．从该市随机抽取男、女果农各名，调查了他们平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量（单位：千克），分别为，，，，，绘制成如下条形图：男果农一等品重量千克频数一等品重量千克频数女果农若我们把平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量不少于千克的果农称为“蓝莓种植能手”，由以上统计填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．“蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农 女果农 总计已知今年的蓝莓平均亩产为千克，收购价为：一般蓝莓元千克，“一等品”蓝莓元千克，随机抽取名男果农和名女果农，以表示这名果农中每亩收益大于元的人数，求的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．（1）（2）21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，且椭圆过点．求椭圆的标准方程．过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，过点作垂直于轴交椭圆于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】解析:，所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限．故选．解析:集合表示直线上点的集合，集合表示抛物线上点的集合，为直线与抛物线的交点组成的集合，联立，解得或．故选．解析:∵为直线上在第一象限上的点，不妨设设，则，∴，即点坐标为，∴，∴，设与的夹角为，（1）（2）22.已知函数．若，求的极值．若恒成立，求的最大值．A1.D2.D3.则，∴．故选：．解析:∵函数的最小正周期，则，解得，二项式的展开式的通项：（，，，），令，解得，，∴的展开式中的系数为．故正确．解析:因为，所以为奇函数，选项错误；当时，，选项错误；当时，，令即，解得．所以当时，单调递增，选项错误．故选．解析:C 4.C 5.A 6.因为数列是等差数列，所以数列是等比数列，设其公比为，则，即，解得或（舍去），又，所以，，所以．故选．解析:，由于，即，，所以．故选．解析:由题意得四边形为直角梯形，，易知为直角三角形，，又，，所以平面，作，垂足为，则，又，所以平面，所以，故选．解析:.全图供应面积小于成交面积，供小于求，故选项正确；B 7.B 8.四边形四边形A 9..明显年下半年速度变快，趋势变陡，故选项错误；.年上半年差值更大，故选项错误；.年下半年供求差值最小，故选项错误．故选．解析:由题意可得，，故正确；令，即，即，得或，当时，解得或或，故正确；因为，所以．设，令，得，所以或，令，得，所以或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以，故正确，错误．故选．BD 10.ABC 11.解析:当为中点时，且，四边形为平行四边形，所以，故选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，．，得，故选项错误；如图，平面截四棱柱所得截面为平面，，，，，，所以，，，，，所以，故选项正确；设为点到平面的距离，因为平面平面，平面，所以为定值，又为定值，故为定值，故选项正确．故选．ACD 12.四边形四边形解析:中的回文数有，，，，，，，，，，共个，其中能被整除的有，，，共个，所以．解析:，即，即，所以．解析:因为圆与直线相切，又，所以．又，所以，即，解得，所以的方程为，所以．又，，所以．解析:当时，，所以，函数至少有一个零点，即函数的图象与函数的图象至少有一个交点．13.14. ;15.16.当时，，，设以为切点的切线过点，则切线斜率，解得，如图，xyI所以．解析:①设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得，．即，，则，则．又，则数列的前项和为．②由，，可得．，，，则，则．又，则数列的前项和为③，．17.（1）（2）．③设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得．，即，，则，则．又，则数列的前项和为．解析:因为，，所以，，，所以，，因为，所以，，在中，，，，所以，解得．因为，，所以，设，则，，因为，所以，在中，，在中，，（1）．（2）．18.（1）即，化简得，所以．解析:取的中点，连接，，如图所示，因为，分别为，的中点，所以且，因为四边形为平行四边形，所以且， 且，因为为中点，所以 且，所以 且，所以四边形为平行四边形，所以 且 ，因为 ，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，所以 ，又因为 ，所以，在 中，因为，（1）证明见解析．（2） ．19.（2）所以 ，即 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ．因为平面， ，所以以为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ， ，， ， ，设平面的一个法向量 ，则 ，即 ，令 得 ，所以，（1）（2）所以直线与平面所成角的正弦值为 ．解析:列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计，所以有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．当果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量为千克时，每亩收益为（元），则每亩收益大于元的人数就是每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数，女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，设名女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，名男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，（1）列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．（2）的分布列为：．20.（1）（2），，，，所以的分布列为：．解析:由题意得，．又因为椭圆过点，代入椭圆方程得，所以椭圆的标准方程为．设直线，，，则，直线，得，联立方程组，整理得，则恒成立，，，，所以，当且仅当点在短轴端点处取得等号，故面积的最大值为．（1）．（2）．21.（1）当时，取得极大值，且无极小值．22.（1）（2）解析:由题意得，，当时，的定义域为，，在区间上单调递增，所以无极值；当时，的定义域为，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，且无极小值．若恒成立，即恒成立，设，若，由得，取，使得，则，而，，所以，所以，与矛盾，故，由得，且，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，故，所以，记，则，（2）．当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，所以当，时，取得最大值．。

山东省烟台市2020届高三3月模拟理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为4π的直线l ，若l 与抛物线交于A ，B 两点，且AB 的中点到抛物线准线的距离为4，则p 的值为（ ）A ．83 B ． 1C ．2D ．32．直线l 交24y x =于A ，B 两点，若四边形OAMB （O 为原点）是矩形，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．14B ．24 C ．12 D ．223．已知是双曲线的左焦点，过点且倾斜角为30°的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，，要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ）A ．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到B ．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到C ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到D ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到5．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A ．(,)a b 和(,)b c 内B ．(,)a -∞和(,)a b 内C ．(,)b c 和(,)c +∞内D ．(,)a -∞和(,)c +∞内6．如图是民航部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳B ．天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高C ．北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降D ．厦门的平均价格最低，且相比去年同期降解最大7．在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 为正方形ABCD 的中心，则异面直线1AB 与1D M 所成角的余弦值为（ ） A ．66B 3C ．36D ．2238．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数9．设12F F ，分别是双曲线22y x 19-=的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且12PF?PF 0=u u u v u u u v ，则12PF PF +=u u u v u u u v （ ） A 10B ．10C 5D ．510．已知1sin ,cos 11a aa aθθ-==-++，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 A ．12-B ．2-C ．34-D ．43-11．三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且1,4,6AB BC AB BC AA ⊥===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．68π B ．32π C ．17π D ．164π12．某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1}A =，{0,1,2}B =，则满足A C B =U 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数93i2i 1i z -=++，则||z =（ ）A ．235+B ．2022 C ．5 D ．253．抛物线22y x =的通径长为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．124．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2,,9L 填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方记(3)n n ≥阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么8N 的值为（ ） A ．260 B ．369 C ．400 D ．420 6．根据如下样本数据 得到的回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 7．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为n S ，2n S ，3n S ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．322n n n S S S += B ．2233()()n n n n n n S S S S S S -=- C ．223n n n S S S = D ．223()()n n n n n n S S S S S S -=- 8．设2019log 2020a =，2020log 2019b =，120202019c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 9．已知函数()sin()(0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为2 B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()f x 的图像关于点π(,0)3对称 10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号则满足条件的平面α的个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．611．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=12．已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC △内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒， 则MAD ∠=（ ）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．26(32)x x ++展开式中x 的系数为 ．14．设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为 ．15．已知等差数列{}n a 的公差(0,π)d ∈，1π2a =，则使得集合{|sin(),}n M x x a n *==∈N ，恰好有两个元素的d 的值为 ．16．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是 ；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，2π3MCN ∠=，在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ． （1）若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC △的周长，并求周长的最大值． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． （1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ； （2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC所成的角的正弦值为5？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知(1,0)A -，(1,0)B ，AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，||||4AP AC +=u u u r u u u r ．（1）求P 的轨迹E ； （2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线1l ，2l ，设直线OP ，1l ，2l 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111()k k k +时候是定值，请说明理由，并加以证明． 20．（12分）已知函数242()x x x f x e ++=．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对任意的(2,0]x∈-，不等式2(1)()m x f x+>恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：20192020-年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量()m m*∈N在17与26之间，日需求量m（件）的频率()P m分布如下表所示：己知其成本为每件5元，售价为每件10元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．（1）设每天的进货量为(16,1,2,,10)n nX X n n=+=L，视日需求量(16,1,2,,10)i iY Y i i=+=L的频率为概率(1,2,,10)iP i=L，求在每天进货量为nX的条件下，日销售量nZ的期望值()nE Z（用iP表示）；（2）在（1）的条件下，写出()nE Z和1()nE Z+的关系式，并判断X为何值时，日利润的均值最大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:)4C ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设0a >，0b >，且a b ab +=．（1）若不等式2x x a b +-≤+恒成立，求实数x 的取值范围；（2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由A C B =U 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}共4种情况．2．【答案】C【解析】对复数z 进行化简：93i (93i)(1i)2i 2i 34i 1i 2z ---=+=+=-+，所以5z ==．3．【答案】D【解析】标准化212x y =，通径122p =．4．【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S ．对于选项A ，2015年一本达线人数为0.28S ，2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=， 可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=， 显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=， 不达线人数有所增加．5．【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(125N =+345678910111213141516171819+++++++++++++++++202122232425)65++++++=，…， ∴222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++=++++++=⨯=L ， ∴288(81)2602N +==． 6．【答案】A 【解析】画出散点图知0a >，0b <，故选A ． 7．【答案】D 【解析】由等比数列的性质得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，2232()()n n n n n S S S S S -=-，化简得223()()n n n n n n S S S S S S -=-． 8．【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=，2020202020201110log log 2019log 2020222b <==<=，1202020191c =>． 9．【答案】B 【解析】由条件知π()sin(2)6f x x =-，结合图像得B ． 10．【答案】C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B D C -的四面与12条棱所成的角相等， ∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个． 11．【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 交点P 到两焦点的距离分别为,(0)m n m n >>，焦距为2c ， 则2222cos 2(2)m n mn c θ+-=， 又12m n a +=，22m n a -=，故12m a a =+，12n a a =-，2222222221212222212sin cos sin cos (1cos 2)(1cos 2)211a a a a c c c e e θθθθθθ-++=⇒+=⇒+=． 12．【答案】D 【解析】设正方形ABCD 的边长为1， 在BMD △中，由正弦定理得2sin 35sin 35sin135DM DB DM =⇒=︒︒︒，在AMD △中，由余弦定理得2214sin 354sin35cos551AM =+︒-︒︒=，∴AMD △为等腰三角形，70MAD ∠=︒．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】576【解析】26(32)x x ++展开式中含x 的项为15565C (3)C 26332576x x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576．14．【答案】5π2 【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故1010r d ===，从而圆的面积为5π2．15．【答案】2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d =．16．【答案】3；5π【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离， 由11PP A PPC ≌△△，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =， 所以球的表面积为254π()5π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7；（2）周长π()2sin()33f θθ=+，π6θ=时，()f θ取得最大值为23． 【解析】（1）a ，b ，c 成等差数列，且公差为2，∴4a c =-，2b c =-， 又2π3MCN ∠=，1cos 2C =-，∴222(4)(2)12(4)(2)2c c c c c -+--=---， 恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =， 又∵4c >，∴7c =． （2）在ABC △中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠， ∴32πsin sin()sin 33AC BC θθ===-，2sin AC θ=，π2sin()3BC θ=-， ∴ABC △的周长π()||||||2sin 2sin()33f AC BC AB θθθ=++=+-+13π2[sin ]32sin()323θθθ=++=++， 又∵π(0,)3θ∈，∴ππ2π333θ<+<， 当ππ32θ+=，即π6θ=时，()f θ取得最大值23． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为线段PB 的中点． 【解析】（1）证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥， ∵PA AC A =I ，∴BE ⊥平面PAC ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ． （2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF PA ∥，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥， 又BE AC ⊥，∴EB ，EC ，EF 两两垂直， 分别以EB u u u r ，EC uuu r ，EF u u u r 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,2)P -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，设(23,2,2)BG BP λλλλ==--u u u r u u u r ，[0,1]λ∈， 所以(23(1),2(1),2)AG AB BG λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(23,2,0)BC =-u u u r ，(0,4,2)PC -u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则023204200BC x y y z PC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u ur u u u r n n ，令1x =，则3y =，23z =，∴(1,3,23)=n ，由已知221515431552||||416(1)4AG AG λλλ⋅=⇒=⇒=⋅-+uu u ru u u r n n 或1110（舍去）， 故12λ=，故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBG 所成的角的正弦值为155，此时G 为线段PB 的中点．19．【答案】（1）22:143x y E +=；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）方法一：如图因为AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以四边形ACPB 是平行四边形， 所以||||BP AC =u u u r u u u r ，由||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得||||4AP BP +=u u u r u u u r ，所以P 的轨迹以A ，B 为焦点的椭圆易知24a =，1c =，所以方程E 为22143x y +=．方法二：设(,)P x y ，由AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得(1,)AC AP AB BP x y =-==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，再||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得2222(1)(1)4x y x y +++-+=， 移项2222(1)4(1)x y x y ++=--+，平方化简得22143x y +=． （从2222(1)(1)4x y x y +++-+=发现是椭圆方程也可以直接得24a =，1c =）． （2）设00(,)P x y ，过P 的斜率为k 的直线为00()y y k x x -=-， 由直线与圆O 相切可得0231k =+，即2220000(3)230x k x y k y --+-=， 由已知可得1k ，2k 是方程（关于k ）2220000(3)230x k x y k y --+-=的两个根， 所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除0012212023x y k k k k y +=⋅-， 又因为2200143x y +=，所以2200334y x -=-， 代入上式可得01212083y k k k k x +=-⋅，即0121118()3k k k +=-为定值． 20．【答案】（1）见解析；（2）2(1,]e ． 【解析】（1）2(22)()x x x f x e -+-'=，记2()22g x x x =--+， 令()0g x >，得1313x -<<-，函数()f x 在(13,13)--上单调递增；()0g x <，得13x <-13x >-+()f x 在(,13)-∞--或(13,)-++∞上单调递减．（2）记2()2(1)42x h x me x x x =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，()0h x '=，得2x =-或ln x m =-，∵(2,0]x ∈-，所以2(2)0x +>．①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )x m ∈--时，()0h x '<； (ln ,0)x m ∈-时，()0h x '>，所以min ()(ln )ln (2ln )0h x h m m m =-=⋅->，∴(2,0]x ∈-时，()0h x >恒成立；②当2m e =时，2()2(2)(1)x h x x e +'=+-，因为(2,0]x ∈-，所以()0h x '>，此时()h x 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，所以(2,0]x ∈-，()(2)0h x h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e -=-+<，(0)220h m =->，所以存在0(2,0)x ∈-使得0()0h x =，因此()0h x >不恒成立，综上，m 的取值范围是2(1,]e ．21．【答案】（1）见解析；（2）20件．【解析】（1）当日需求量n m X ≤时，日销售量n Z 为m ；日需求量n m X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望()n E Z 为：当19n ≤≤时，1011()(16)(16)n n i i i i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，10101()(16)i i E Z i P ==+∑．（2）1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i i i i n i i i n i i n i n E Z i P n P i P n P E Z P ++==+==+=+=++++=++++=+∑∑∑∑∑， 设每天进货量为n X ，日利润为n ξ，则()5()3[(16)()]8()3(16)n n n n E E Z n E Z E Z n ξ=-+-=-+，111210()()8[()()]38()3n n n n n n E E E Z E Z P P P ξξ++++-=--=+++-L ， 由1125()()08n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+++≤L ， 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， ∴4()E ξ最大，所以应进货20件时，日利润均值最大． 22．【答案】（1）:40l x y +-=，22:(1)(1)2C x y -+-=；（2）． 【解析】（1）由31x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t ，得40x y +-=， 所以直线l 的普通方程为40x y +-=，由πππ)cos sin sin )2cos 2sin 444ρθθθθθ=-=+=+， 得22cos 2sin ρρθρθ=+， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （2）设曲线C上的点为(1,1)P αα++， 则点P 到直线l的距离d ==π|2sin()2|α+-= 当πsin()14α+=-时，max d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为 23．【答案】（1）[]1,3-；（2）不存在，详见解析． 【解析】（1）由a b ab +=，得111a b +=，11()()4a b a b a b +=++≥=， 当且仅当2a b ==时""=成立．不等式2x x a b +-≤+，即为24x x +-≤，当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<； 当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤； 当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤， 综上，实数x 的取值范围是[]1,3-．（2）由于0a >，0b >， 则1144(4)()5b a a b a b a b a b +=++=++59≥+=， 当且仅当4b a a b a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即32a =，3b =时，4a b +取得最小值9， 所以不存在实数a ，b ，使得48a b +=成立．。

山东省2020版高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一下·杭州期末) 设集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2016·兰州模拟) 若复数z满足z（6﹣8i）=|8+6i|（i是虚数单位），则z的虚部为（）A .B . 4C . ﹣D . ﹣43. （2分） (2019高二下·张家口月考) 命题，命题，若命题的必要不充分条件是，则的取值范围为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·荆州模拟) 已知若，是夹角为90°的两个单位向量，则 =3 ﹣， =2 + 的夹角为（）A . 120°B . 60°C . 45°D . 30°5. （2分） (2016高一下·兰州期中) 为了研究学生在考试时做解答题的情况，老师从甲、乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第16题（满分13分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其茎叶图如图所示，其中x，y∈{0，1，2，3}，已知甲组数据的中位数比乙组数据的平均数多，则x+y的值为（）A . 5B . 4C . 3D . 16. （2分）已知一个算法的流程图如图所示，则输出的结果是（）A . 2D . 267. （2分） (2019高二下·佛山月考) 将函数图像上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的倍,再把所得的图像沿轴向右平移个单位,这样所得的曲线与的图像相同,则函数的表达式是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A . （0，）B . （0，）C . [，）D . [，）9. （2分） (2016高二下·通榆期中) 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为（）A . 2B . 310. （2分） (2019高二上·哈尔滨月考) 已知椭圆的右焦点为 ,则（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共6分)11. （1分）若sin（cosθ）cos（sinθ）＜0，则θ的取值范围________12. （1分） (2016高一上·菏泽期中) 若函数y=f（x+1）是偶函数，则下列说法正确的序号是________（1）y=f（x）图象关于直线x=1对称（2）y=f（x+1）图象关于y轴对称（3）必有f（1+x）=f（﹣1﹣x）成立（4）必有f（1+x）=f（1﹣x）成立．13. （1分） (2019高二上·吉林期中) 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为________．14. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是________个，它的表面积是________．15. （1分） (2019高二下·四川月考) 已知若有两个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共55分)16. （10分） (2019高三上·广东月考) 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .（1）求角C；（2）若，求当的面积最大时a，b的长，并求出最大面积.17. （10分）(2017·高台模拟) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB= ，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1 ．（1）证明：CD⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．18. （10分）(2018·凉山模拟) 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.参考公式：，其中 .参考数据：（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求时的概率及的数学期望.19. （10分） (2019高三上·烟台期中) 已知为公差不为的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .20. （10分） (2017高一下·定州期末) 如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．21. （5分） (2017高三下·平谷模拟) 已知函数．（I）如果在处取得极值，求的值．（II）求函数的单调区间．（III）当时，过点存在函数曲线的切线，求的取值范围．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。

2020 届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题一、单项选择题1．已知会合 A12 x 4 ， B y | y, 1（）x | lg x x ，则AIB4 10．2,2 ． (1, ) ．1,2A B CD．, 1 (2, ) 【答案】 C【分析】先解得不等式12x 4 及 x 1 时函数y lg x的值域 , 再依据交集的定义4 10求解即可 . 【详解】由题,不等式12x 4,解得 2 x 2 , 即A x | 2 x 2 ；4因为函数 y lg x 单一递加 , 且x11,即B y | y1 , , 所以y10则 A B 1,2 ,应选 :C【点睛】此题考察会合的交集运算, 考察解指数不等式, 考察对数函数的值域.2．设i是虚数单位，若复数5i(a R ) 是纯虚数，则 a 的值为（）a2 iA．3 B． 3 C． 1 D．1【答案】 D【分析】整理复数为 b ci 的形式,由复数为纯虚数可知实部为0, 虚部不为 0, 即可求解 . 【详解】5ia 5i 2 i由题 , a2 i a 2i 1 a 1 2i ,2 i 2 i因为纯虚数 , 所以 a 1 0 , 则a1 ,应选 :D【点睛】此题考察已知复数的种类求参数范围, 考察复数的除法运算.3．“a 2”是“x 0, a1x”的（）xA．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】若1 1x 0,a x , 则axx x, 利用均值定理可得x12 ,则xmin mina 2 ,从而判断命题之间的关系.【详解】若 x 0,a x 1 1, , 则a xx x min因为 x 12 ,当且仅当x1x时等号成立 ,x所以 a 2 ,因为 a | a 2 a | a 2 ,所以“ a 2 ”是“x 0,a x 1”的充足不用要条件 , x应选 :A【点睛】此题考察充足条件和必需条件的判断, 考察利用均值定理求最值 .4．甲、乙两名学生的六次数学测试成绩( 百分制 ) 的茎叶图以下图.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的均匀分比乙同学的均匀分高；③甲同学的均匀分比乙同学的均匀分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的选项是（）A．③④B．①②C．②④D．①③④【答案】 A【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和均匀数, 即可判断①②③, 再依据数据集中程度判断④ .【详解】80 82 , 乙同学成绩的中位数为 由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为81287 8887.5 , 故①错误；2x 甲 = 172+76+80+82+86+90 =81, x 乙 =169+78+87+88+92+96 =85 , 则66甲乙 , 故②错误 , ③正确；xx明显甲同学的成绩更集中 , 即颠簸性更小 , 所以方差更小 , 故④正确 ,应选 :A【点睛】此题考察由茎叶图剖析数据特点, 考察由茎叶图求中位数、均匀数 .5．刘徽 ( 约公元 225 年-295 年 ) ，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠定人 之一他在割圆术中提出的， “割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不行割，则与圆周合体而无所失矣” ，这可视为中国古代极限观点的佳作，割圆术的中心思想是将一个圆的内接正n 边形平分红 n 个等腰三角形 ( 以下图 ) ，当 n 变得很大时， 这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，获得sin 2o 的近似值为（）A ．πB ．πC ．πD ．π 90 180270360【答案】 A【分析】 设圆的半径为 r , 每个等腰三角形的顶角为360 , 则每个等腰三角形的面积为n1 r2 sin 360 , 由割圆术可得圆的面积为 r 2n 1 r 2 sin 360, 整理可得2 n2nsin3602 , 当 n 180 时即可为所求 .nn【详解】由割圆术可知当 n 变得很大时 , 这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为 r , 每个等腰三角形的顶角为360 ,n所以每个等腰三角形的面积为1r 2sin 360,1 2 360 n 360 2所以圆的面积为r 2n r 2 sin , 即 sin ,2n n n所以当 n 180 时,可得 sin 360sin 2 2 , 180 180 90应选 :A【点睛】此题考察三角形面积公式的应用, 考察阅读剖析能力 .6．函数f x2x 2 a 的一个零点在区间1,2 内，则实数 a 的取值范围是（）xA．1,3 B．1,2 C．0,3 D．0,2【答案】 C【分析】明显函数 f x 2x 2 a 在区间 1,2 内连续 , 由 f x 的一个零点在区间x1,2 内,则 f 1 f 2 0 , 即可求解 .【详解】由题 , 明显函数f x 2x 2 a 在区间1,2 内连续 , 因为f x 的一个零点在区间x1,2 内,所以 f 1 f 2 0 ,即2 2 a 4 1 a 0 , 解得0 < a < 3 ,应选 :C【点睛】此题考察零点存在性定理的应用, 属于基础题 .7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的地点关系是（）A．内切B．订交C．外切D．相离【答案】 B【分析】化简圆到直线的距离，又两圆订交 . 选 B8．《九章算术》中记录，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥 . 如图，在堑堵ABC A1 B1C1中，AC BC， AA1 2 ，当阳马 B ACC1 A1体积的最大值为4时，堑堵 ABC A1B1C1的外接球的体积为（）3A ． 4πB ．8 2πC ．32πD ．64 2π3333【答案】 B【分析】 利用均值不等式可得VB ACC 1A 11BC AC AA 1 2BC AC1 BC2 AC 21 AB2 , 即可求得 AB ,进3 333而求得外接球的半径 , 即可求解 . 【详解】由题意易得 BC ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ,所以 V B ACC A1 BC AC AA 1 2BC AC 1 BC 2 AC 21AB 2, 113 3 3 3当且仅当 AC BC 时等号成立 ,又阳马 B ACC 1A 1 体积的最大值为4,3所以 AB2,22所以堑堵 ABCA 1B 1C 1 的外接球的半径AA 1AB,R222所之外接球的体积 V4 r 3 8 2 ,33应选 :B【点睛】此题以中国传统文化为背景, 考察四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用 , 表现了数学运算、直观想象等中心修养.二、多项选择题9．以下函数中，既是偶函数，又在(0, ) 上单一递加的是（）A ． y ln( 1 9x 23x)B ． ye x e xC．y x21D．y cos x 3【答案】 BC【分析】易知 A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R ,先利用f x与 f x 的关系判断奇偶性, 再判断单一性 , 即可获得结果.【详解】由题 , 易知 A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R ,关于选项 A, f x f x ln 1 9x2 3x ln 1 9x2 3x 0 ,则f x ln( 1 9x2 3x) 为奇函数 , 故 A 不切合题意；关于选项 B, f x e x e x f x ,即 f x e x e x为偶函数,当 x (0, ) 时,设t x t 1 , 则y 1, 当t 1, 时e t , 由对勾函数性质可得t是增函数 , 又t e x单一递加,所以f x e x e x在(0, ) 上单一递加,故B切合题意；关于选项 C, f x x 2x2 1 f x , 即f x x2 1为偶函数,由二次函1数性质可知对称轴为x 0 ,则 f x x2 1在(0, )上单一递加 , 故 C切合题意；关于选项 D, 由余弦函数的性质可知y cos x 3 是偶函数 , 但在(0, )不恒增,故D不切合题意；应选 :BC【点睛】此题考察由分析式判断函数的奇偶性和单一性, 娴熟掌握各函数的基天性质是解题关键 .10．已知 (ax21 )n(a 0)的睁开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且睁开式的x各项系数之和为1024，则以下说法正确的选项是（）A．睁开式中奇数项的二项式系数和为256B．睁开式中第 6 项的系数最大C．睁开式中存在常数项D．睁开式中含x15项的系数为45【答案】 BCD【分析】由二项式的睁开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知n10 ,由睁开式x 21 10x 2 1 10的各项系数之和为 1024 可得 a 1, 则二项式为x 2, 易得该二x项式睁开式的二项式系数与系数同样 , 利用二项式系数的对称性判断A,B ；依据通项判断 C,D 即可. 【详解】由二项式的睁开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知n 10 ,又睁开式的各项系数之和为1024, 即当x 1 时 , 10a110241 ,, 所以 a1 10110所以二项式为x 2x 2x 2,x则二项式系数和为 210 1024 , 则奇数项的二项式系数和为1 1024 512, 故 A 错误；2由 n10 可知睁开式共有 11 项, 中间项的二项式系数最大 , 即第 6 项的二项式系数最大 ,因为 x 2 与1, 所以第 6项的x 2 的系数均为 1, 则该二项式睁开式的二项式系数与系数同样系数最大 , 故 B 正确；, 由通项 T r 1 C 10r x2 10 r 1 r可得210r10, 解得若睁开式中存在常数项 x 2r2r 8, 故 C 正确；由通项T r 11r可得 2 10 r1C 10r x 2 10 r x 2r 15 , 解得 r = 2 , 所以系数为2C 102 45, 故D 正确 ,应选 : BCD【点睛】此题考察二项式的定理的应用, 考察系数最大值的项 , 考察求指定项系数 , 考察运算能力 .11．在 V ABC 中，D 在线段 AB 上，且 AD5, BD 3 若 CB 2CD ,cosCDB5 ，5则（ ）A ． sin3B ． V ABC 的面积为 8CDB10C ． VABC 的周长为 8 4 5D ． V ABC 为钝角三角形【答案】 BCD【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A ；设 CD a , 则 BC 2a , 在 VBCD 中,利用余弦定理求得 a , 即可求得 S △DBC , 从而求得 S V ABC , 即可判断选项 B ；在 VADC 中 ,利用余弦定理求得AC ,从而判断选项C；由BC为最大边 , 利用余弦定理求得cosC , 即可判断选项 D.【详解】因为 cos CDB 5 , 所以sin CDB 1 cos2 CDB 2 5 , 故 A错误；5 5设 CD a ,则 BC 2a , 在VBCD中, BC2 CD 2 BD 2 2BC CD cos CDB,解得 a 5 ,所以S V DBC1BD CD sin CDB 1 3 5 2 5 3,2 2 5所以 S VABC 3 5S V DBC 8,故B正确；3因为ADC CDB ,所以cos ADC cos CDB cos CDB5 5,在 VADC中,AC2 AD 2 CD 2 2 AD DC cos ADC ,解得AC 2 5 , 所以 C VABC AB AC BC 3 5 2 5 2 5 8 4 5 , 故 C正确；因为 AB 8 为最大边,所以cosC BC 2 AC 2 AB 2 3 0 , 即C为钝角,所以2BC AC 5V ABC 为钝角三角形,故D正确.应选 :BCD【点睛】此题考察利用余弦定理解三角形, 考察三角形面积的公式的应用, 考察判断三角形的形状 .12．如图，在四棱锥P ABCD 中， PC底面ABCD，四边形ABCD 是直角梯形，AB / /CD , AB AD, AB 2AD 2CD 2，F 是AB的中点， E 是PB上的一点，则以下说法正确的选项是（）A．若PB2PE ，则EF / /平面PACB．若PB2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥 E ACB 体积的 6 倍C．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D．平面BCP平面ACE【答案】 AD【分析】利用中位线的性质即可判断选项A；先求得四棱锥P ABCD 的体积与四棱锥E ABCD 的体积的关系,再由四棱锥 E ABCD 的体积与三棱锥 E ABC 的关系进而判断选项 B；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C；先证明AC 平面 BCP,进而证明平面 BCP 平面 ACE ,即可判断选项 D.【详解】关于选项 A, 因为PB 2PE,所以E是 PB的中点,因为 F是AB的中点,所以EF //PA,因为 PA 平面 PAC , EF 平面 PAC,所以 EF //平面 PAC,故A正确；关于选项 B, 因为PB 2PE ,所以V P ABCD 2V E ABCD,因为 AB / /CD, AB AD, AB 2 AD 2CD 2 , 所以梯形 ABCD 的面积为1CD AB AD 1 1 2 1 3 , SVABC1AB AD12 1 1,所以23 V 2 2 2 2VABC ,E ABCD 2 E所以VP ABCD 3V E ABC , 故 B错误；关于选项 C, 因为PC 底面 ABCD ,所以 PC AC , PC CD ,所以VPAC, VPCD 为直角三角形 ,又 AB / /CD,AB AD ,所以AD CD ,则VACD为直角三角形,所以PA2 PC 2 AC 2 PC 2 AD 2 CD2, PD2 CD 2 PC2,则PA2 PD 2 AD2 , 所以△PAD是直角三角形 ,故三棱锥 P ADC 的四个面都是直角三角形, 故 C错误；关于选项 D, 因为PC 底面 ABCD ,所以 PC AC ,在 RtVACD 中,AC AD 2 CD 2 2 ,在直角梯形 ABCD 中, BC AD 2 AB CD 2 2 ,所以AC2 BC2 AB2,则AC BC ,因为 BC PC C,所以AC平面BCP,所以平面 BCP平面ACE,故D正确,应选 :AD【点睛】此题考察线面平行的判断 , 考察面面垂直的判断 , 考察棱锥的体积 , 考察空间想象能力与推理论证能力 .三、填空题v vv v13．已知向量 a (2, m) ， b(1, 2) ，且 a b ，则实数 m 的值是 ________．【答案】 1【分析】 依据【详解】r rrr2 2m 0，从而求出 m 的值．ab 即可得出 a b rr解：∵ ab ；r r∴a b 2 2m 0；∴ m ＝ 1．故答案为： 1．【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量数目积的坐标运算．14．已知数列 { a n } 的前 n 项和公式为S n 2n 2 n1 ，则数列 { a n } 的通项公式为 ___．【答案】 a n2, n 14n 3,n 2【分析】 由题意，依据数列的通项a n 与前 n 项和 S n 之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】由题意，可知当n 1 时， a 1S 1 2 ；当 n 2 时， a nS nSn 12n 22n 1 4n 3 .n 2 n 1又因为 a 1 1 不知足 a n4n 3 ，所以 a2,n 1.n4n 3,n2【点睛】此题主要考察了利用数列的通项 a n 与前 n 项和 S n 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项a n 与前 n 项和 S n 之间的关系，合理正确推导是解答的要点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题．15．已知双曲线 C : x2 y2P 2a, b 为某个等腰三角a 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点和点b形的三个极点，则双曲线C的离心率为________.10 2【答案】2【分析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知F1 F2PF1或 F1F2PF2,从而利用两点间距离公式求解即可 .【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为F1 c,0 , F2 c,0 ,因为左、右焦点和点 P 2a, b 为某个等腰三角形的三个极点,当 F1F2 PF2时, 2c 2a c 2 b2,由b2 c2 a2可得2c2 4ac 3a2 0 ,等式两边同除a2 可得 2e2 4e 3 0 ,解得 e 10 2 1（舍）；2当 F1F2 PF1时, 2c 2a c 2 b2,由b2 c2 a2可得2c2 4ac 3a2 0,等式两边同除a2可得2e2 4e 3 0 , 解得 e 10 2 ,2故答案为 :10 22【点睛】此题考察求双曲线的离心率, 考察双曲线的几何性质的应用, 考察分类议论思想 .16．设定义域为R的函数f x 知足 f x fx 1f 2x 1 的x ，则不等式 e f x解集为 __________ ．【答案】 (1, )【分析】依据条件结构函数（） f x，求函数的导数，利用函数的单一性即可得F x e x到结论．【详解】设 F（ x）f x，e x则′（） f ' x f x，F x e x∵ f x f x ，∴ F′（ x）＞0，即函数 F（ x）在定义域上单一递加．∵ e x 1 f x f 2x 1∴ f x ＜f 2x 1，即 F（ x）＜ F（2x 1）e x e2 x 1∴x＜ 2x 1，即x＞1∴不等式 e x 1 f x f 2x 1 的解为1,故答案为：1,【点睛】此题主要考察函数单一性的判断和应用，依据条件结构函数是解决此题的要点．四、解答题17．已知函数f x 1 2 3sin x cosx 2cos2 x m 在 R 上的最大值为 3. （ 1）求m的值及函数 f x 的单一递加区间 ;（2）若锐角ABC中角A B C所对的边分别为a、b、c，且 f A 0 ，求b的、、c取值范围 .【答案】（ 1）m, 函数f x 的单一递加区间为k ， k 2 ， k Z ；（2）1 6 31 b2 2 .c【分析】（ 1）运用降幂公式和协助角公式，把函数的分析式化为正弦型函数分析式形式，依据已知，能够求出 m 的值，再联合正弦型函数的性质求出函数 f x 的单一递加区间 ;（ 2）由（ 1）联合已知f A 0 ，能够求出角 A 的值，经过正弦定理把问题b的取值c范围转变为两边对角的正弦值的比值的取值范围，联合已知ABC 是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出b的取值范围 . c【详解】解：（ 1）f x 1 2 3sin x cosx 2cos2 x m3 sin 2x cos 2xm 2sin 2xm6由已知 2m 3，所以 m1所以 f x2sin 2x16令 2k2 x 2k3 ， k Z26 2得 kx k 2 Z6， k3所以函数 fx 的单一递加区间为 k， k2 ， k Z 36（ 2）由已知 2sin 2A1 0 ，∴ sin2 A 6= 162由 0A得2 A 7 ，所以 2A 566 6266所以 A3bsin B sinC3cosC1sin C 31 32 csin Csin Csin C 2 tan C 20 C因为为锐角三角形ABC ，所以2 ，解得C262BC32所以tan C3 1 b，那么 23 2 c【点睛】此题考察了降幂公式、 协助角公式， 考察了正弦定理， 考察了正弦型三角函数的单一性，考察了数学运算能力 .18．已知数列 a n 的前 n 项和 S n 3n 2 8n ， b n 是等差数列，且 a n b n b n 1 .（Ⅰ）求数列b n 的通项公式；（Ⅱ）令c n(a n 1)n 1 . 求数列 c的前 n 项和 T n.(b2)nnn【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）【分析】 试题剖析：（1）先由公式 a n S n S n 1 求出数列 a n 的通项公式；从而列方程组求数列b n 的首项与公差，得数列 b n 的通项公式；（ 2）由（ 1）可得c n 3 n 1 2n 1 ，再利用“错位相减法”求数列c n 的前 n 项和 T n .试题分析：（ 1）由题意知当 n2 时， a nS n S n 16n 5 ，当 n 1 时， a 1 S 1 11 ，所以 a n 6n 5 ．设数列b n 的公差为 d ，a 1b 1 b 211 2b 1 d 4, d3， 由 {b 2 ，即 {17 2b 1 ，可解得 b 1a 2b 33d所以 b n 3n 1．6n 6（ 2）由（ 1）知 c n3n 3n1n3 n 1 2n 1 ，又 T n c 1 c 2 c 3c n ，得T n 3 222 3 23 4 24 n 1 2n 1 ，2T n32 233 244 25n12n 2 ，两式作差，得3 222 23242n 1n 1 2n 24 2n13n 2n 2T n3 4n 1 2n 22 1所以 T n3n 2n 2 ．考点 1 、待定系数法求等差数列的通项公式； 2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和 .【易错点晴】此题主要考察待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前 n 项和，属于难题 . “错位相减法”求数列的前n 项和是要点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③乞降时注意项数别犯错；④最后结果必定不可以忘掉等式两边同时除以1 q .19．如图， 已知四棱锥P ABCD 的底面是等腰梯形，AD //BC ， AD 2，BC4 ，ABC 60 ，为等边三角形， 且点 P 在底面 ABCD 上的射影为AD 的中点 G ，△PAD点 E 在线段 BC 上，且 CE :EB1:3 .（1）求证：DE平面PAD .（2）求二面角A PC D的余弦值 .65【答案】（ 1）证明看法析（2）13【分析】（ 1）由等腰梯形的性质可证得DE AD ,由射影可得PG平面ABCD,从而求证；（ 2）取BC的中点F, 连结GF , 以G为原点 , GA所在直线为x轴, GF所在直线为y轴 , GP所在直线为z轴 , 成立空间直角坐标系 , 分别求得平面APC与平面DPC的法向量 , 再利用数目积求解即可 .【详解】（ 1）在等腰梯形ABCD 中,Q 点E在线段BC上,且CE:EB1:3 ,点 E 为BC上凑近 C点的四平分点,Q AD 2,BC4,CE1,DE AD ,Q 点P在底面ABCD上的射影为AD 的中点G,连结PG,PG平面 ABCD ,Q DE平面ABCD,PG DE .又 AD PG G, AD平面PAD,PG平面PAD,DE平面 PAD .（ 2）取BC的中点F, 连结GF , 以G为原点 , GA所在直线为x轴, GF所在直线为y轴 , GP所在直线为z轴 , 成立空间直角坐标系 , 以下图 ,由（ 1）易知 , DE CB ,CE 1,又 ABCDCB60,DE GF3 ,Q AD 2 , △ PAD 为等边三角形 , PG3 ,则 G (0,0,0) , A(1,0,0) , D ( 1,0,0) , P(0,0, 3) , C ( 2, 3,0) ,uuuruuur( 1,0,uuuruuurAC ( 3, 3,0) , AP 3), DC( 1, 3,0) , DP (1,0, 3) ,r设平面 APC 的法向量为 m ( x 1 , y 1, z 1) ,r uuuv 0 3x 1 3y 1 0m AC,则 r uuuv ，即 x 1 3z 1 0 m AP 0令x 13 , 则 y 1 3 , z 1 1,r( 3, 3,1) ,mr(x 2 , y 2 , z 2 ) ,设平面 DPC 的法向量为 nr uuuv 0 x 2 3 y 2 0n DC则 ruuuv , 即 x 2 3z 2 0 , n DP 0令x 23 , 则 y 2 1 , z 21 , r( 3,1, 1) ,n 设平面 APC 与平面 DPC 的夹角为 θ, 则r r3 3 1 65cosm nr r 13 513m n二面角 A PCD 的余弦值为65 .13【点睛】此题考察线面垂直的证明, 考察空间向量法求二面角 , 考察运算能力与空间想象能力 .20．某单位准备购置三台设施，型号分别为A, B,C 已知这三台设施均使用同一种易耗品，供给设施的商家规定： 能够在购置设施的同时购置该易耗品，每件易耗品的价钱为100 元，也能够在设施使用过程中， 随时独自购置易耗品，每件易耗品的价钱为 200 元 .为了决议在购置设施时应购置的易耗品的件数. 该单位检查了这三种型号的设施各60台，调査每台设施在一个月中使用的易耗品的件数，并获得统计表以下所示.每台设施一个月中使用的易耗品的件数6 7 8型号 A 30 30 0 频数型号 B 20 30 10型号 C4515将检查的每种型号的设施的频次视为概率，各台设施在易耗品的使用上互相独立.（ 1）求该单位一个月中A, B,C 三台设施使用的易耗品总数超出21 件的概率；（ 2）以该单位一个月购置易耗品所需总花费的希望值为决议依照，该单位在购置设施时应同时购置 20 件仍是 21 件易耗品？【答案】（ 1） 1（ 2）应当购置 21 件易耗品6【分析】（ 1）由统计表中数据可得型号分别为A, B,C 在一个月使用易耗品的件数为6,7,8 时的概率 , 设该单位三台设施一个月中使用易耗品的件数总数为 X , 则P( X 21) P( X 22) P( X23) , 利用独立事件概率公式从而求解即可；（ 2）由题可得 X 全部可能的取值为 19,20,21,22,23 , 即可求得对应的概率 , 再分别议论该单位在购置设施时应同时购置20 件易耗品和 21 件易耗品时总花费的可能取值及希望,即可剖析求解 . 【详解】（ 1）由题中的表格可知A 型号的设施一个月使用易耗品的件数为6 和7 的频次均为301 ；60 2B 型号的设施一个月使用易耗品的件数为6,7,8 的频次分别为 20 1 30 60 3 ,60 C 型号的设施一个月使用易耗品的件数为7 和 8 的频次分别为 45 3 15 60 4 ,60 设该单位一个月中 A, B, C 三台设施使用易耗品的件数分别为x, y, z ,则1101 ,； 260 6 14 ；P( x6) P( x 7)1 , P( y 6) 1, P( y 7) 1 ,2 3 2P( y8) 1 3 8) 1 , P(z 7) , P( z ,6 4 4设该单位三台设施一个月中使用易耗品的件数总数为X ,则 P(X 21) P( X 22) P( X 23)而 P(X 22) P(x6, y 8, z 8) P (x 7, y 7, z 8) P( x 7, y 8, z 7)1 1 111 1 1 1 3726 4 2 24 2 64 48 ,P( X23) P( x 7, y 8, z 8)1 1 112 6 4,48故 P(X 21) 7 1 1 ,48 48 6即该单位一个月中A, B, C 三台设施使用的易耗品总数超出21 件的概率为 1.6（ 2）以题意知 , X 全部可能的取值为 19,20,21,22,23P( X19) P( x 6, y 6, z 7)1 1 3 12 34 ；8P( X 20) P( x 6, y 6, z 8) ( x 6, y 7, z 7) P( x 7, y 6, z 7)1 1 1 1 1 3 1 1 3 17；2 3 4 2 24 2 34 48P( X 21) P( x 6, y 7, z 8) (x 6, y 8, z 7) P( x 7, y 6, z 8) P( x 7, y 7, z 7) 1 1 11 13 1 1 1 1 1 3 17 ；2 24 2 64 2 3 4 2 24 48由（ 1）知, P(X22)7, P(X 23) 1 ,48 48若该单位在购置设施的同时购置了 20 件易耗品 , 设该单位一个月中购置易耗品所需的总花费为 Y 1 元 , 则 Y 1 的全部可能取值为 2000,2200,2400,2600,P(Y 1 2000)P( X 19) P( X20) 117 23 ；848 48P(Y 1 2200)P( X 21)17；48 P(Y 1 2400)P( X 22)7；48 P(Y 1 2600)P( X 23)1；48 EY 1200023 17 726001220024002142 ；48484848若该单位在肋买设施的同时购置了 21 件易耗品 , 设该单位一个月中购置易耗品所需的总花费为 Y 2 元, 则 Y 2 的全部可能取值为 2100,2300,2500,P(Y 2 2100)P( X 19) P( X20) P( X1 17 17521)4848 ；8 6P(Y 2 2300)P( X 22)7；48 P(Y 2 2500)P( X 23)1；48EY 25 23007 1 2138 ；2100250048648EY 2EY1 , 所以该单位在购置设施时应当购置 21 件易耗品【点睛】此题考察独立事件的概率 , 考察失散型随机变量的散布列和希望 , 考察数据办理能力 .21．已知直线 xy 1 过椭圆x 2y 2 1 a b 0 的右焦点，且交椭圆于A ，B两a 2b 2点，线段 AB 的中点是 M2, 1，3 3（ 1）求椭圆的方程；（ 2）过原点的直线 l 与线段 AB 订交（不含端点） 且交椭圆于C ，D 两点，求四边形 ACBD面积的最大值 .2 1（2）43【答案】（ 1）xy 223【分析】（ 1）由直线 x y 1可得椭圆右焦点的坐标为(1,0) , 由中点 M 可得x x4 , y y 22, 且由斜率公式可得y 2 y 11,由点 A,B 在椭圆上 ,则123 13x 2 x 122 22x 1 y 1x 2 y 21 , 两者作差 , 从而代入整理可得 22, 即可求解；a 2b 21, 2 b 2a2ba（ 2）设直线 l : y kx , 点 A, B 到直线 l 的距离为 d 1 , d 2 , 则四边形的面积为S1 CD d 11CD d 2 1 CD d 1 d 2, 将 ykx 代入椭圆方程 , 再利用弦长公式求22 2得 CD , 利用点到直线距离求得d 1, d 2 , 依据直线 l 与线段 AB （不含端点）订交 , 可得k 0 1 4 k 10 , 即 k1 , 从而整理换元 , 由二次函数性质求解最值即可 .3 34【详解】（ 1）直线 xy 1 与 x 轴交于点 (1,0) , 所以椭圆右焦点的坐标为(1,0) , 故 c 1,因为线段 AB 的中点是 M2 , 1 ,3 3设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2, 则 x 1x 24 y 22 y 2 y 1 1,, y 1, 且x 2 x 133又 x 12y 121, x 2 2 y 221 x 22x 12 y 22 y 120 ,a 2b 2a 2b 2, 作差可得a 22b则 x 2x 1 a 2 x 2 x 1y 2 y 1b 2 y 2 y 10 , 得 a 22b 2又 a 2 b 2 c 2 ,c 1 ,所以 a 2 2, b 2 1 ,所以椭圆的方程为 x 2 y21 . 2x 2y 2x 0x4（ 2）由（ 1）联立1解得或3,2,y 1x y 1y13不如令 A 0,1 ,B 4 , 1 , 易知直线 l 的斜率存在 ,3 3设直线 l : y kx , 代入x 2y 2 1 , 得 2k 21 x2 2 ,2解得 x2 或2,2k 2 12k 21设 C x , y3 , D x , y4, 则 x 3 x 4222 2,342k 212 k 2 12k 2 1则 CD2x 422 2 ,1 k x 31 k2k 214141A 0,1 ,B ,1k因为 3 3 到直线 ykx 的距离分别是 d 1, d 23 3 ,1 k2 1 k 2因为直线l 与线段 （不含端点）订交 , 所以 k 0 1 4 k 10 , 即 k1,AB3344 4 4 1所以k 3k,d 1 d 2331k 21 k 21 d 11CD d 2 1 CD d 1 d 24 2 k 1四边形 ACBD 的面积 S CD 2 232k 2 ,21令 k 1 t , t3 , 则 2k21 2t24t 3 ,4S4 2t4 22t 24 212所以32t 4t332t4t3 341,22t3t当1 2 , 即 k1 时 , S min4 2 1 4 3324 16 3 ，t3212所以四边形ACBD 面积的最大值为43.3【点睛】此题考察求椭圆的标准方程 , 考察椭圆中的四边形面积问题, 考察直线与椭圆的地点关系的应用 , 考察运算能力 .22．已知函数 f xa x 2 x ln xb 1 ， a,b R .2（ 1）当 b -1 时，议论函数 f x 的零点个数；（ 2）若 fx 在 0,上单一递加，且c2a b求 c 的最大值 .e【答案】（ 1）看法析（ 2） 2【分析】（ 1）将 b1 代入可得 f xax 2x ln x , 令 f (x )= 0 , 则a ln x , 设22x g xln xg x 与 yag x 的图象 ,, 则转变问题为的交点问题 , 利用导函数判断x2即可求解；（ 2）由题可得 fx ax b ln x 0在 (0,+? )上恒成立 , 设hxax b ln x , 利用1 ln a , 则 h x min 0 , 即 2a 导函数可得 h xminh 1 b b 2a 1 ln a , 再设am x2x 1 ln x , 利用导函数求得m x 的最小值 , 则 2ab ln2 , 从而求解 .【详解】b -1f xa2x ln x , 定义域为 (0,+? ),（ 1）当 时 , 2 xa ln x由 f(x ) = 0 可得 2x,令 gxln xgx1 ln xx , 则 x2,由 g ￠得 0 x e￠0 , 得 x e ,(x )> 0 , ；由 g (x )<所以 g x 在 0, e 上单一递加 , 在 e,上单一递减 ,则 gx 的最大值为 g e1,e且当 xe 时 , 0 g x1；当0x e 时 , g x1 ,ee由此作出函数g x 的大概图象 , 以下图 .由图可知 , 当02时 , 直线 yag x 的图象有两个交点, 即函数f x 有a 和函数e 2两个零点；当a1 或a0 ,即 a 2 或 a 0 时 , 直线ya和函数 g x 的图象有一个交点, 即2 e 2 e 2函数 f x 有一个零点；当a1 即 a2 时 , 直线ya与函数 g x 的象没有交点,即函数 f x 无零点.2 e e 2（ 2）因为f x 在(0,+? )上单一递加,即f x ax b ln x 0在(0,+? )上恒成立 ,设 h x ax b ln x , 则 h x a1, x①若 a 0 ,则 h x 0 ,则 h x 在 (0,+? ) 上单一递减,明显 fx b ln x 0 ,在(0,+? )上不恒成立；0 , 则h x 0 , h x 在(0,+? )上单一递减,当x max b②若 a a ,1 时 , ax b 0, ln x 0 , 故h x 0 , f x 单一递减 , 不切合题意；③若 a 0 ,当0 x 1时, h x 0 , h x 单一递减, a当 x 1h x 0 , h x 单一递加,时 ,a所以 h xmin11 b ln a ,ha由 h x min 0 ,得2a b 2a 1 ln a ,设 m x 2 x 1 ln x, x 0 , 则m x 2 1 , x当 01时 , m x 0 , m x单一递减；x2当 x 1m x 0 , m x 单一递加, 时 ,2所以 m x m 1 ln 2 ,所以2a b ln2 ,2又 c e2a b , 所以c 2 ,即c的最大值为 2.【点睛】此题考察利用导函数研究函数的零点问题, 考察利用导函数求最值, 考察运算能力与分类议论思想 .。