3.1圆的对称性(第1课时)学案

山东省师范类高校学生从业技能大赛初中《数学》教学设计章节第三章第二节 课 题 圆的对称性．．．．．（第一课时）．．．．．．课时．．1．课时．．所教年级 九年级教科书北师大版初中数学一、教学目标分析根据新课程标准的要求及说课中对教材的具体内容和学生的具体情况分析，确立教学目标为：知识技能：1、了解与圆有关的概念；2、理解圆的对称性及相关性质；3、能运用圆的对称性质探索垂径定理；4、灵活运用所学知识解决实际问题。

过程与方法：通过学生对轴对称图形定义及研究方法的回顾，引导学生探究圆的对称性，进而探索垂径定理及其应用。

情感态度与价值观：培养学生善于思考、分析问题的习惯，勇于探索、创新的精神，提高学生交流合作、解决问题的能力。

二、教学重点、难点据课程标准要求及说课中对教材的具体内容和学生情况的分析，确定重难点如下：教学重点： 垂径定理的探索及运用 教学难点： 垂径定理的探索过程三、教法与学法教法：讲授法、演示法、讨论法相结合学法：自主探究法为主，合作交流为辅四、教具准备多媒体教学设备、课件五、教学程序流程图教学程序设计思路：通过学生回顾轴对称图形的定义及研究方法，引出圆的对称性的研究，然后通过例题探究垂径定理。

流程图：六、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图温故知新引导学生回顾轴对称图形的定义及研究方法。

引导学生探讨圆的对称性，并学会用折叠的方法找到圆的对称轴，借助几何直观了解圆的相关概念。

回忆轴对称图形的概念及研究方法。

通过轴对称图形的概念思考圆是不是轴对称图形、对称轴、对称轴数，学习相关概念。

以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识，激发学生的“再创造”欲望，让学生认识到圆是轴对称图形，圆的对称轴是过圆心的直线，且有无数条。

学习相关概念。

收获新知课件展示实例探究问题1，让同学根据已有的知识判断图形的对称性找出对称轴并证明。

判断图形的对称性，判断对称轴，证明对称性。

在本题的教学中，重点在于引导学生体会对称性的本温故知新新知拓展归纳定理新知运用作业布置课堂小结问题2，让学生找出图中的等量关系，并请同学说明理由。

圆的对称性（1）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，⌒AC =⌒BC,⌒AD= ⌒BD
分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．
证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB
在Rt △OAM 和Rt △OBM 中
OA OB
OM OM
=⎧⎨
=⎩ ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM
∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称
∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．
∴⌒AC =⌒BC,⌒AD= ⌒BD
三、 学生活动（证明垂径定理的逆定理）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧．
已知：直径CD 、弦AB （除直径） 且 AM=BM 求证：（1）CD ⊥AB
（2）⌒AC =⌒BC,⌒AD= ⌒BD 四、 例题讲解
1、如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若AB=25cm ，OC=1cm ，则⊙O 的半径长为______cm ．
2.在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离．
解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm ． 由垂径定理得BM=
12AB=1
2
×40=20cm ，
生总结师点拔
B
A
C O
M。

《圆的对称性》第一课时教案学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．学习重点:垂径定理及其应用．学习难点:垂径定理及其应用．学习方法:指导探索与自主探索相结合。

学习过程:一、举例：【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴．（2）平分弦的直径垂直于弦．【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O 的半径长．【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF ⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F 两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中，AB为弦，C 为AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．6．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为 米．三、课后练习：1、已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2、已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离3、已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4、已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于EDF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF6、已知：△ABC 内接于⊙O ，边AB 过圆心O ，OE 是BC 的垂直平分线，交⊙O 于E 、D 两点，求证，⋂=⋂BC 21AE7、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF8、在⊙O 中，弦AB ∥EF ，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF。

圆的对称性（第一课时）导学案§3.2 圆的对称性（第一课时）导学学案【导入情景】我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的赵州桥（又称安济桥）该桥在隋朝大业初年（公元605年左右）为李春所创建，是一座空腹式的圆弧形石拱桥，赵州桥的设计构思和工艺的精巧，被誉为“国际历史土木工程的里程碑”。

赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？开始学习：回顾与思考：探究圆的对称性 1、什么是轴对称图形？OACB2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么？它有多少对称轴？结论：圆是轴对称图形.它的对称轴可以是任意一条经过圆心的直线。

有无数条对称轴。

3、我们可以用什么方法验证上述发现？我们可用折叠的方法验证其对称性。

全面地认识圆 1、图中表示圆的直径的线段是表示圆的半径的线段是2、写出图中圆的弦的线段3、写出图中的圆弧线：优弧：（至少写2个）劣弧：（至少写2个） 4、（弦心距）过圆心O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，则OF的长度表示的距离，则OG的长度表示的距离、CGEAFBD 探究活动：垂径定理 1.如图1，AB是圆的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为P: 请同学们将图1沿着直径CD对折，你能发现什么结论？C2.如图2，AB是圆的一条弦，作直径CD，使CD与AB相较于点P: 请同学们将图2沿着直径CD对折，还有上面结论吗？ADCBABD探究活动2：提炼新知识梳理归纳：AB是⊙的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.ACB CD是直径CD⊥AB垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.1、看看下列图形，能否使用垂径定理？为什么？D2、写出垂径定理的逆命题，并判断其真假。

EEE例题分析例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米AB求⊙O的半径。

例2如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。

《圆的轴对称性》第1课时教案学目标１．使学生理解圆的轴对称性．２．掌握垂径定理．３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．教学重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．教学难点垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．教学关键理解圆的轴对称性．教学环节的设计这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功；目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．教学方法：类比启发教学辅助：多媒体教学过程：一、复习提问，创设情境1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作）二、引入新课，揭示课题1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条．判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．三、讲解新课，探求新知先按课本进行合作学习1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念）①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ．理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合，∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合．∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ．然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ）ABC DO E ⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ．四、应用新知，体验成功例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)作法：⒈连结AB. ⒉作AB 的垂直平分线 CD ，交弧AB 于点E.点E 就是所求弧AB 的中点．变式一：求弧AB的四等分点．思路：先将弧AB 平分，再用同样方法将弧AE 、弧BE 平分．（图略）有一位同学这样画，错在哪里？1．作AB 的垂直平分线CD2．作AT 、BT 的垂直平分线EF 、GH （图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式二：你能确定弧AB 的圆心吗？方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．思路：先作出圆心O 到水面的距离OC ，即画 OC ⊥AB ，∴AC=BC=8，在Rt △OCB 中，68102222BCOB OC ∴圆心O 到水面的距离OC 为6．补充例题已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．思路：作OM ⊥AB ，垂足为M ，∴CM=DM∵OA=OB ，∴AM=BM ，∴AC=BD ．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB ．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．五、目标训练,及时反馈1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于．答案：242．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．OE=BED ．BD=BC 答案：C3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（）A ．3B ．6cmC ． cmD ．9cm答案：A注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（）OA B C ⌒⌒⌒⌒⌒A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3<OM<5D ．4<OM<5答案：A5．已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，则AB 和CD 的距离为．答案：2或24注：要分两种情况讨论：（1）弦AB 、CD 在圆心O 的两侧；（2）弦AB 、CD 在圆心O 的同侧．六、总结回顾，反思内化师生共同总结：１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d rAB ．七、布置作业，巩固新知P65作业题1~6，第7题选做．板书设计：垂径定理例1 例2 解：解：练习练习教学反思：本节课学生对垂径定理都很好的掌握，亮点在于练习设计有梯度，本节例题学生掌握很好。

《圆的对称性》第一课时教案叶公中学张冬霞教学目标：知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

过程与方法：渗透类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。

情感态度价值观：渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美。

本节课的重点是：垂径定理及其应用。

本节课的难点是：对垂径定理的理解及定理的应用。

理解垂径定理的关键是：圆的轴对称性。

教学用具：结合本节课，我运用三角板，圆规，圆形纸片、多媒体辅助教学教学过程：。

1、创设情境预习展示，让一个学生展示自己的预习所得，然后其他人补充。

2、引入新课---揭示课题：通过操作直径与弦垂直相交时圆的翻折，让学生观察猜想哪些线段相等？哪些弧相等？让学生归纳出命题：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

然后用字母表示出题设和结论。

然后让学生再通过折叠讨论得到垂径定理的推论。

3、讲授新课---探求新知：课本例题的教学，求赵州石拱桥的半径。

让学生先独立思考然后小组讨论，教师加以点拨完成。

设计意图：让学生体会数学来源于生活，通过小组讨论，培养学生的合作意识，既调动了学生的积极性，又增强了学生的参与意识，体现了学生的主体作用，而且学生进一步领悟到转化、类比、数形结合与方程的数学思想与方法在实际中的应用。

4挑战自我---深化提高：至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，小结应基本由学生自己完成，谈谈体会、收获或不足。

设计意图：让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。

结束语:数学来源于生活，又将服务于生活，希望同学们好好学习数学知识，将来能够更好的为社会服务，成为对国家有用的人才，体现自己的人生价值！设计意图：激发学生的求知欲望，发挥他们的主体作用和创新精神，鼓励他们向着更高的山峰攀登！。

§4.2.1 圆的对称性设计理念数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人.教学内容《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时.教材分析圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习.教学目标1.知识与技能理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明．2.过程与方法经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力．3.情感、态度与价值观通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系.教学重点垂径定理及其推论的探索．教学难点垂径定理及其推论的证明．教学方法自主探究和合作探究相结合．教学过程一、创设情境，感知数学【问题1】通过上节课《圆》的学习，进一步认识了圆的意义.这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？［学情预设］学生凭借经验易想到用折叠的方法，如图，交点O就是圆心.【问题2】你怎么验证点O就是圆心呢？［学情预设］学生根据圆的概念能想到在圆上找一些点，测量它们与点O的距离.但需要找几个点，一个、两个、三个？还是更多？会有不同的见解.【问题3】在折叠的过程中，你从中知道圆具有什么性质?【问题4】圆的对称轴有几条？与学过的轴对称图形有什么不同？［学情预设］学生可能只会找到1条、2条、3条……让学生自己得出结论：无数条，对称轴是任意一条过圆心的直线.师出示课题.【问题5】这是一个硬币，你又有办法找出这个圆形硬币的圆心吗？［学情预设］有的学生会想到利用刚才的方法；有的学生会纳闷：不能折叠怎么办？为了有更多的方法确定圆心，我们来深入探究圆的有关概念与性质.［知识链接］圆上有两点到点O的距离相等，只能说明点O在该线段的垂直平分线上，不足以说明圆心.三个点还是更多，则是后面“确定圆的条件”探究问题.应用圆的不同性质来确定圆心的方法有许多.［设计意图］问题是数学的心脏，兴趣是最好的老师.设计一连串的问题情境引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又体验了圆的对称性及应用.二、师生互动，体验探究1.自主探究：学生阅读课本，学习圆的相关概念：弦、弧.（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？（3）什么是半圆？它与弧如何区别？（4）请你写出图中的优弧和劣弧，并思考如何才能不重复不遗漏？［学情预设］学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧，如同大于零的数是正数，小于零的数是负数，但零既不是正数，也不是负数一样.问题4，学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律.［设计意图］让学生带着问题读书，有效地提高他们自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题.2.合作探究：弦与弧之间的联系-----学习垂径定理及推论. 活动一：探究垂径定理①刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？（相交） 垂直是相交的特殊情况，从垂直的图中能得出哪些等量关系？(AB=CD 、OA=OB=OC=OD 、 AC = BC = AD = BD) ②若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？③思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？④把上述发现归纳成文字语言和几何语言.垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤ ① CD 是直径 ③AM =BM ，④⌒AD=BD，② CD ⊥AB 于M ⑤ AC = BC. ［学情预设］问题2，多数学生会用画图、折叠、测量的方法猜想出结论，而用推理证明的方法验证是本节的难点，让学生动手折叠、思考交流后，师板演示范证明.［设计意图］用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在平移中体会知识的发生与发展过程，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的概括、总结的语言表达能力.活动二：探究垂径定理的推论 议一议：【问题1】把垂径定理中条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例.【问题2】你还能找出其它类似的结论吗？并判断是真命题还是假命题？ 【引例】已知：如图⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为点M ，① 若半径R =5，OM =3，求AB 、CM 的长； ② 若半径R =5，AB =8，求OM 、CM 的长；③ 由①②两题的启发，你还能编出其它什么问题？［学情预设］ 问题1，大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立.问题2，有②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③……学生写不完整或重复，要引导找规律：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论，才能不重复不遗漏.［设计意图］对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性. 师生共同归纳：垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线会经过圆心，并且平分弦所对的弧.…… 【问题3】现在你有办法找出圆形硬币的圆心吗？ ［学情预设］作圆中两条弦的垂直平分线，交点就是圆心. ［设计意图］首尾呼应，学以致用.三、应用新知，探寻规律【例1】：（7页例题）如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．(书本例题，可归为引例中哪种类型？)［设计意图］让学生在实践中悟出垂径定理应用：在四个量半径R 、弦AB 的长、弦心距OM 长、弓形高CM 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 练习1:在半径为50㎜的圆O 中，有长50㎜的弦AB ，计算：⑴点O 与AB 的距离；⑵∠AOB 的度数。

3.1圆的对称性教学设计一、教学背景设计：九年级上册第三章第一节圆的对称性分为3个课时，今天我讲授的是第一课时。

本节内容是圆的性质的重要体现，更是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，垂径定理是圆中的基础定理，在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据。

学生情况分析圆的对称性与日常生活息息相关，学生比较熟悉，应该感兴趣，而垂径定理是圆中的基础定理，作用十分重要，因此，要从圆的对称性入手，激发学生的学习兴趣，着重培养他们的思维能力，为今后的学习打下良好的基础。

在教学中培养学生的各种能力，尝试让学生用自主、合作、探究的学习方式进行学习，以发展学生的创造性思维为重点，注重培养学生对数学的应用能力和创新能力二、学习目标1、知识与技能：理解圆的对称性及相关性质，掌握垂径定理，培养学生能正确运用垂径定理解决生活中的实际问题。

2、过程与方法：创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

3、情感态度与价值观：结合本节教学内容，在解决实际问题的过程中渗透数学中的“数形结合”思想。

并使得学生在小组合作中尝试交流，在“做数学”中体会数学的严谨性。

三、教学重、难点教学重点：了解圆的轴对称性，掌握垂径定理。

教学难点：运用垂径定理解决生活中的实际问题。

四、教学过程设计1、复习导入课前小组内交流学过的有关圆的知识点（圆的概念，周长、面积公式等），之后教师如弦、直径、弧、优弧、劣弧等。

初步了解了圆，1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程。

2、理解圆的对称性及相关性质3、能正确运用垂径定理解决有关问题2、探索新知活动一：实验探索把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？让每个学生都动手实验、观察，通过实验，引导学生得出结论：（此问题比较简单，引导2-3生回答）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。

3.1 圆的对称性教学设计【教学目标】1．理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.2.熟练掌握垂径定理及其推论，圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理.3.掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系，并能灵活应用.4. 通过操作、交流、归纳等过程，培养学生观察能力、探究问题的能力.【教学重难点】重点：垂径定理，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理.难点：圆心角，弧，弦，弦心距关系定理.【课时安排】3课时第一课时【教学目标】1. 探索并掌握垂径定理的内容，熟练应用垂径定理解决简单的实际问题.2. 通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生观察能力、探究问题的能力.【教学重难点】重点：垂径定理及推论.难点：垂径定理及推论的应用.【教学过程】一、导入环节（一）导入新课，板书课题导入语：以前我们学习过圆.那么圆有怎样的性质呢？又有怎样的用途呢？从今天开始，我们慢慢的研究，同学们来看本节课的学习目标.（二）出示学习目标课件展示学习目标，学生齐读学习目标.过渡语：让我们带着目标、带着问题进入自学指导环节.二、先学环节（一）出示自学指导自学课本68页的内容.然后完成下列填空，时间7分钟.1.圆是_____对称图形，每一条__________________都是它的对称轴.2.垂径定理：___________________________________________________________.用几何语言表示为：如果AB 是弦，CD 是直径，AB ⊥CD ，那么有______________________________.垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（二）自学检测反馈过渡语：请同学们结合自学情况完成下列练习，做题要细心、规范.用时8分钟.1.如图，在⊙O 中，（1）若AB 为直径，弦CD ⊥AB,则有 、 、 .（2）若AB 为直径，弦CD 交AB 于点E ，CE ＝DE ，则有 、 、 .（3）若AB ⊥CD ，且CE ＝DE ，则有 、 、 .（4）若AB为直径，且AC ＝AD ，则有 、 、 .2.如图,CD 是直径, AB弦, CD ⊥AB,垂足为M ，连接OA(1)若AB=8,OM=3,则○O 的半径为__________(2)若半径等于5，MD=2，则弦AB 的长为______________. 三、后教环节第一、生生合作，互相纠错组内交流：将自主学习和自学检测中疑难问题进行交流.时间：2分钟，组长掌握组内的情况，记录没能解决的问题.发言要求：起立讨论、声音洪亮、言简意赅、明确清晰.第二、展示交流，统一答案下列问题，先自主完成，并记录下自己的疑问，为下一步的讨论做好准备.时间大约12分钟.探究一：如图以三角形OAB 的顶点O 为圆心的圆交AB 于点C 、D,且AC=BD求证：OA=OB探究二：1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为20m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为8m,求桥拱所在圆的半径.展示要求：根据小组交流情况，小组长确定人员到黑板展示.时间：12分钟.四、训练环节认真规范完成训练题目，书写认真，步骤规范，成绩计入小组量化，本环节不超过15分钟.【板书设计】3.1 圆的对称性1.圆的对称性2.垂径定理及推论【教学反思】。

《圆的对称性》（第1课时）教案探究版一、教学目标知识与技能理解圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间等量关系的定理.过程与方法在解决问题的过程中逐步学会有条理地思考和表达.情感、态度敢于面对数学活动屮的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，有学好数学的自信心.二、教学重点、难点重点：圆的旋转不变性，圆心角、弧、眩之I'可等量关系的定理.难点：圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间等量关系的定理的应用.三、教学过程设计（一）复习引入1.什么是轴对称图形？轴对称有哪些性质？师生活动：教师出示问题；学生复习，回答；教师订正.答：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.什么是弧、弦、直径、等弧？师生活动：教师出示问题；学生复习，回答；教师订正.答：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径：同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.设计意图：通过有针对性的复习，为本节课的学习扫清障碍.（二）探究新知议一议（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是多少？你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得111结果.答:（1）圆是轴对称图形；过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆的对称轴有无数条.（2）采用折叠的方法可以解决上述问题.结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.设计意图：让学生在探究的过程中发现规律.想一想一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导学生得出结果.答：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合.结论：圆是中心对称图形，对称中心为圆心.设计意图：让学生了解圆的旋转不变性，让学生明白圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.做一做在等圆OO和＜30,中，分别作相等的圆心角ZA0B和ZAO8 （如图），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其屮的一个圆旋转一个角度，使得04与O'/V重合.你能发现哪些等量关系？说一说你的理由.师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果.答：发现：AB=Ai^ AB=A,B,.理由：•・•半径04与ON重合，由于ZA0B=ZA,0,B,f・•・半径03与08重合.•・•点A与点4重合，点B和点夕重合，・••朋与历重合，弦他与弦4〃重合・•:晶=4% AB=A8.结论：在同圆或等圆屮，相等的圆心角所对的弧相等，所对的眩相等.想一想在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗？你是怎么想的?在同圆或等圆屮，如果两条弦相等，你能得出什么结论？师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果.答：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的两条弧相等，所对的两个圆心角也相等.结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.设计意图：让学生亲自动手，进行实验、探究、得出结论，激发学生的求知欲望，进而培养学生的实践能力.（三）典例精析例在OO中，AB,CD是两条弦，OE丄AB, OF丄CD,垂足分别是点EF.（1）如果ZAOB=ZCOD,那么0E与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果那么丽与⑦的大小有什么关系？为什么？解:(1) OE=OF.理由如下：J ZAOB=ZCOD,:.AB=CD.V OE丄AB, OF丄CD, OA=OB f OC=OD,:.AE= - AB f CF= - CD.2 2:.AE=CF.又・・・OA=OC,・・・ RtAO/IE^RtAOCF.-OE=OF.• •(2) AB = ^D.^由如下:VOA=OC, OE=OF,・・・ RtAO/lE^RtAOCF.:.AE=CF.又・.・ OE±AB t OF 丄 CD, OA=OB, OC=OD,:.AE= - AB, CF=丄 CD 2 2:.AB=CD.:.爲=页.设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识.（四）课堂练习已知A, B 是OO 上的两点，ZAOB=\20°f C 是而的中点.试确定四边形OACB 的形 状，并说明理由.参考答案解：四边形OACB 是菱形；理由：连接0C. VAC = BC,・\ ZAOC=ZBOC.又 V ZAOB=120°, A ZAOC=ZBOC=60°. V OB=OC, OA=OC,・・・/\BOC 和厶AOC 都是等边三角形.师生活动:・•・ OB=BC=CA=AO.・・・四边形OACB是菱形.设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识.（五）课堂小结1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.4.在同圆或等圆屮，如果两条弦相等，那么它们所对的两条弧相等，所对的两个圆心角也相等.5.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容.设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容.（六）布置作业如图，在OO中，AB, CD是两条弦，OELAB, OF丄CD,垂足分别为E, F.（1）如果那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果0E=OF,那么A3与CD的大小有什么关系？丽与CD的大小有什么关系？ZAOB 与ZCOD呢？为什么？参考答案（1）如果ZAOB=ZCOD.那么OE=OF.（2）如果OE=OF,那么AB=CD, AB=CD f ZAOB=ZCOD.四、课堂检测设计1.下列说法中正确的是（）.A. 直径是圆的对称轴B. 经过圆心的直线是圆的对称轴C. 与圆相交的直线是圆的对称轴D. 与半径垂直的直线是圆的対称轴2.下列说法中正确的是（ ）.A. 等弦所对的弧相等B. 等弧所对的弦相等C. 圆心角相等，所对的弦相等D. 眩相等，所对的圆心角相等3.如图，已知 A3 是的直径，BC = CD = DE, ZBOC=40° ,那么 ZAOE=().A. 40°C. 80°D. 120°4. 如图，D, E 分别是的半径04, OB 上的点，CD 丄OA, CE 丄OB, CD=CE,则 犹与西的大小关系是 ______________5. 如图，AD, BC 是（DO 的两条弦，且AD=BC,求证：AB=CD.B. 60 CBO参考答案1. B・2. B. 3・ B. 4.犹二丽.5.证明：9：AD=BC,・••紡=就.:.X D+BD=^+BD.即AB=^D.・\AB=CD.。