2-3 一维连续型随机变量及其概率密度讲解

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概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度

x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)

高等数学2.3 连续型随机变量及其概率密度PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

习题二
P 34 : 7 , 8 , 12(2)(3), 13 , 14 , 22
第29页
1
f
(x)
=
200
,
0 ,
900 x 1100 其它
P{ 950 < R 1050 } = 1050 1 dx = 0.5
950 200
第9页
2、指数分布: (1) 定义2.9:
设连续型随机变量 X 密度函数为
e x ,
f (x) = 0 ,
x0 其它
其中 0 为常数 ,
称 X 服从参数为的指数分布 .
(3) P{ | X 8 |≤1 } =0.9242 (4) P{ | X 9 | < 0.5 }
解
(1)
P
X
9
=
P
X 8 0.5
98 0.5
=
Φ(2)
=
0.97725
.
(2)
P 7.5
X
10 =
P
7.5 8 0.5
X 8 0.5
10 8 0.5
第24页
=
P
1
X 8 0.5
y
=
P
X
y
= P X y = FX ( y )
由于正态分布函数严格单调且处处可导, 所以若
设X 与 Y 的密度函数分别为fX ( x)和 fY ( y) , 则有
第16页
fY
(
y)
=
d dy
FY
(
y)
=
d dy
FX (
y
)
= fX ( y ) =
1
y2
e2
2π
故 Y = X N (0,1) .

2.3一维连续型随机变量及其概率密度

2 解： (1) f ( x ) dx 0 (ax b)dx 2a 2b 1
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,

u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )

1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）：在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x

连续型随机变量及其概率密度函数

是一个连续型随机变量的概率密度函数.
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验证f(x)性质中的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)

§2.3连续型随机变量及其概率密度

随机变量 X 的概率密度可以取为
f (x) F(x) 10,
a2 x2 , a x a, 其它.
上页下页返回
例3 某电子元件的寿命（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元件
在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
解：设A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
则
PA
PX
150
150
f (x)d x
150
100
100 x2
d
x
检验 5 个元件的使用寿命可以看作
100150 x 100
1 3
是在做一个5重Bernoulli试验．
设B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时 }
则
P
B
连续型随机变量 X 可由其密度函数唯一确定．还可以得出连续型随机变量 X 的分布函数一定连续．
2. 性质由定义知道，概率密度 f (x) 具有以下性质：
f (x)
10 f ( x) 0.
20
f
( x)dx
1.
1
x
0 上页下页返回
10 f ( x) 0.
另外，可以证明:
20
f
( x)dx
(3)由
c
3 8
知
X
的概率密度为
f x
3 8
4 x
2
x2
0 x2
由 F ( x)
x
f
(x)d
x
得
0
其它
0,
x 0 0,
x0

§2.3 连续型随机变量及其分布

（2）指数分布若随机变量的密度函数p( x) 为：
e x , x 0 p ( x) ( 0) ，则称服从参数为的指 0, x 0
数分布，记作 ~ E( )
指数分布是一种应用广泛的连续型分布，它常被用来描述各种“寿命”的分布，例如无线电电元件的寿命、电话问题中的通话时间等都可以
k ) 2 (k ) 1
注意这个概率与无关.
例2.3.7 设随机变量（1）P(102 117) （2）常数a，使得

服从正态分布 N (108,9) 求
P( a) 0.95
解（1） P(102 117 ) (117 108 ) (102 108 )
2） F ( x) p(t )dt
xபைடு நூலகம்
x
注意
1) 求密度函数中的待定常数往往借助 2) 由密度函数求分布函数需要对自变
于密度函数的性质.
量的情形进行讨论.
例2.3.3 设连续型随机变量的分布函数为
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
则称服从区间a, b 上的均匀分布，记作 ~ U a, b 向区间
a, b 上均匀投掷随机点，则随机点的
坐标服从 a, b 上的均匀分布.在实际问题中，还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车站的候车时间，近似计算中的舍入误差等都服从均匀分布.
设随机变量 ~ U a, b ，则对任意满足c, d a, b
解：
P ( ) P ( 1
1) 2 (1) 1 0.6826
2) 2 (2) 1 0.9545

2-3连续型随机变量的概率密度函数

1 dx ba a
b a b
a
b

1．
是密度函数．
故
1 f x b a 0
a xb 其它
12
连续型随机变量
均匀分布的概率背景
如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量 X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长度成正比,与该区间的位置无关.
2.指数分布
X ~ E ( ) 记为：
x0 0 说明指数分布常用于近似表示 “寿命”分布，如：其分布函数为 F x x x0 1 e 服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，
指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。
16
连续型随机变量
例 7 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需要等待10~20分钟的概率. X(分钟)是服从参数为
0
1
2
x
9
连续型随机变量
Ax 1 0 x 2 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 f x 其他 0
求1) A值. 2）X的分布函数. 3）P{1.5<X<2.5}
f ( x )dx 1 解 3) F 2 . 5 F 1 . 5 0 . 0625 1.5 X 2.5 , 有 1)P由密度函数的性质 1 2 2 . 5 2 Af 2dx 1 A Ax 1)X dx2 1 1.5 P .5 1 x 0 . 0625 或 0 ( .5 2 2) X的分布函数
则 P A PX 150
150

f x dx

概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2

x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度

x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}

一维连续型随机变量及其概率密度

P { X > 2000, X > 1000} = P { X > 1000} P { X > 2000} = P { X > 1000}
1 − P{ X ≤ 2000} = 1 − P { X ≤ 1000}
1 − F ( 2000) = 1 − F (1000) =e
− 1 2
≈ 0.607.
第2.3节一维连续型随机变量 2.3节及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度二、常见连续型随机变量的分布三、小结
一、概率密度的概念与性质 1.定义定义
设 X为随机变量， F ( x )为 X 的分布函数 , 若存在 F ( x) =
非负可积函数 p( x ), 使对于任意实数 x 有
7 7 ( 3) P {1 < X ≤ } = F ( ) − F (1) = 41 . 2 2 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a < x < b, p( x ) = b − a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
正态分布下的概率计算原函数不是初等函数
x 1 P { X ≤ x }= F ( x ) = ∫−∞e 2πσ ( t − µ )2 − 2σ 2
dt
=?
方法一:利用软件包计算(演示方法一利用MATLAB软件包计算演示利用软件包计算演示) 方法二:转化为标准正态分布查表计算方法二转化为标准正态分布查表计算
因而有
2 Y ~ B 3, . 3
2 2 3

概率论与数理统计 2.3 连续型随机变量及其概率密度

对任意 s, t > 0 , 有
P{ X > s + t X > s } = P{ X > t }
事实上，有
P{ X > s + t X > s }
14
P{ ( X > s + t ) ( X > s) } P{ X > s + t } 1 P { X s t } = = P{ X > s } P{ X > s } 1 P{ X s}

<
4

1 4 }= 0 4. 2
24
例3、（89年数1）设随机变量 ξ在区间（1,6）上服从均匀分布，则方程x2 + ξx+1=0有实根的概率是________。
1 解：由题意知 f ( ) 5 0
(1, 6)
其他
要使方程有根，则须使Δ= ξ 2 -4≥0，即
12
指数分布密度函数的几何意义:
y f(x)= λe-λx
0
x
(2) 分布函数:
1 e x , F ( x) = 0 ,
13
x0 其它
(3) 服从指数分布的随机变量的特点: “无记忆性‛ 某个产品已经用了s个小时，能持续再用t小时的概率与前面用过的时间s无关。这好像前面时间s个小时的经历 ‚忘记了‛，人们喜欢称指数分布永远年轻！

f ( t )dt , x
注 (1)F(x)与密度函数 f (x) 关系的几何解释如图所示: (2)由积分上限函数的性质可知
阴影面积为F(x)
f (x)
d F ( x) = f ( x) . dx

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0 3
0
3
x2 3 2 x 4
当x
x t t d t (2 ) d t 3 6 2
4时 ,
F ( x) 0dt

0
4 x t t dt 2 dt 0dt 3 4 6 2
1
x 0, 0, 2 x , 0 x 3, 12 即 F ( x) 2 x 3 2 x , 3 x 4, 4 1, x 4.
P{a X b}

b
a
p( x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p( x )
0
a 0,而概率为0
的事件不一定是不可能事件. 若X是连续性随机变量,则
P{ X a} 0, 显然{X a} 是可能发生的
事实上:
x R, p( x) 0; p( x)dx 1

是 p ( x) 是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件.
例1
设随机变量X 具有概率密度 0 x 3, kx, x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 其它. 0, ( 2) 求 X 的分布函数 ;
(1) 确定常数k ;
p( x )
概率密度
函数图形

a o

b
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
均匀分布分布函数图形演示
F ( x)
1
a o

b

x
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
x
p( t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其中 p( x ) 称为 X 的概率密度函数 ,简称概率密度 .
性质 (1) 对任意的 x, p( x ) 0. (2)
x x

p( x) d x 1.
证明 (2) 1 F () lim p(t ) d t p( x) d x.
a
a
(4) 若 p( x ) 在点 x 处连续 , 则有 F ( x ) p( x ).
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),

a
p( x) d x.
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b}
7 (3) 求 P {1 X }. 2
解
(1) 由 p( x) d x 1,

x 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 0 3 2 1 解之得 k . 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6 x 0 x 3, , 6 x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
2 2 3
2 P{Y 2} C 20 3
27 .
2 3 2 1 C3 3 3
3
2 1 3
0
2. 指数分布
7 7 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) 15 1 41 . 2 2 16 12 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, p( x ) b a 其它, 0, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
1
P{x1 X x2 } P X x2 X x1
x2
x1
x2
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a ) p( x ) d x , P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
p ( x) d x p ( x ) d x

S p ( x) d x 1

p( x )
1
0
x
x2
1
(3) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x p( x)dx
证明
PX x2 PX x1 F ( x2 ) F ( x1 )
p( x ) d x p( x ) d x x p( x ) d x.
第2.3节
一维连续型随机变量及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
一、概率密度的概念与性质 1.定义
设 X为随机变量，F ( x )为X 的分布函数 ,若存在非负可积函数 p( x ), 使对于任意实数 x有 F ( x)
3 4
9 1 k 1, 2 4
由 F ( x) p(t ) d t 得
当x
x
0时 ,

F ( x) 0dt 0

x
当0 当3
x 3 时 , F ( x) p(t )dt 0dt 0
x
0
x
t x2 dt 12 6
x 4 时 ,F ( x) 0dt 0
1 , 2 x 5, p( x ) 3 0, 其它. 设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则
因而有
2 Y ~ B 3, . 3