概率统计9 一维连续型随机变量的密度函数

第六讲 一维连续型随机变量教学任务：1．随机变量的分布函数的定义； 2．常见的连续型随机变量。

教学重点：常见的连续型随机变量教学目的：1． 让学生理解随机变量的分布函数的定义； 2． 理解连续型随机变量的定义；3． 学会求一些简单的连续随机变量的密度； 4． 掌握常见的连续型随机变量。

教学方法：课堂教学。

三、随机变量的分布函数对于非离散随机变量, 由于其所有可能取值不能一个一个列举出来, 因此不能用分布律来表示. 而是关心这种随机变量落在一个区间的概率, 并不关心它取各个值的概率. 如测量误差, 考虑落在某一区间内的概率, 产品寿命大于某个数的概率等. 为此, 我们首先引进随机变量分布函数的概念.分布函数的定义 设X 是一个随机变量, 对任意实数x, 则称)()(x X P x F ≤= (2.8)为随机变量X 的分布函数.通过分布函数能用数学分析的方法研究随机变量.分布函数的性质: （1）单调不减函数, 若, 则21x x <)()(21x F x F ≤ 事实上, 当时, 21x x <},{}{21x X x X ≤⊂≤有),()(21x X P x X P ≤≤≤则 )()(21x F x F ≤（2）右连续性 即)0()(+=x F x F（3）, 0)()(lim =−∞=−∞→F x F x 0)()(lim =−∞=∞→F x F x不论随机变量是离散型随机变量或非离散型随机变量, 分布函数)(x F 全面地描述了随机变量的统计规律性.另外，显然有：)()()()()(121221x F x F x X P x X P x X x P −=≤−≤=≤<例题2.7 一袋中装有2个白球和3个黑球, 每次从中任取1个球, 不放回抽样, 直至取到白球为止, 求 (1) 取球次数X 的分布函数; (2) )1(≤X P ; (3) )32/3(≤<X P ; (4))42(≤≤X P .解 X 的概率分布为X 1 2 3 4 )(k X P = 0.4 0.3 0.2 0.1(1) X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=xx x x x x F 41439.0327.0214.010)( )(x F 的图形是一条阶梯形的曲线, 在x=1,2,3,4处有跳跃点, 跳跃值分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1.(3) 5.04.09.0)2/3()3()32/3(=−=−=≤<F F X P(4) 6.03.07.01)2()2()4()42(=+−==+−=≤≤X P F F X P一般地, 设离散型随机变量X 的分布律为 k k p x X P ==)(, L .2.1=k 则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx k xx k k k p x X P x X P x F )()()( (2.9)和式是对所有满足的k 求和. x x k ≤)(x F 在k x x =处有跳跃, 其跳跃值. )(k k x X P p ==四、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义 设)(x F 为随机变量X 的分布函数, 如果存在非负函数)(x f , 使对于任意实数x , 有(2.10)∫∞−=xdt t f x F )()(则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为的概率密度函数.由式(2.10)知, 几何上解释, )(x F 表示曲线)(x f 下，x 轴上方的面积, 所以)(x F 是连续函数. 本书主要讨论两类随机变量: 离散型随机变量和连续型随机变量. 概率密度具有如下性质: (1)非负性 0)(≥x f (2) 归一性∫∞∞−=1)(dx x f (3)∫=≤<21)()(21x x dx x f x X x P (1) 若)(x f 在点x 处连续, 则)()('x f x F =随机变量X 落在小区间],(x x x Δ+上的概率为x x f x x X x P Δ≈Δ+≤<)()( (2,11)x x f Δ)(称为概率微分.连续型随机变量取任一指定的实数值a 的概率为0, 即0)(==a XP .事实上, }{}{a X x a a X≤<Δ−⊂=得)()()(){0x a F a F a X x a a X P Δ−−=≤<Δ−≤=≤0)]()([lim ){lim 00=Δ−−≤=≤→Δ→Δx a F a F a X P x x所以0)(==a XP . 根据这一结果, 则有)()()(b X a P b X a P b X a P <<=≤≤=≤<另有, 若φ=A , 则0)(=A P ; 反之, 若0)(=A P , 并不一定意味着A 是不可能事件.常用的连续型随机变量及其概率密度(1) 均匀分布如果连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他1)(b x a ab x f (2.12) 则称X 在区间(a , b )上服从均匀分布， 简记为),(~b a U X ，∞<<<∞−b a 为参数。

在概率论和数理统计中，连续型随机变量的概率密度函数是非常重要的概念。

而严格单调函数则是在数学中经常讨论的一个性质。

本文将结合这两个概念，探讨连续型随机变量的严格单调函数的概率密度。

1. 连续型随机变量的概率密度函数我们来回顾一下连续型随机变量的概率密度函数。

在概率论中，概率密度函数是描述一个随机变量在某个取值范围内出现的概率分布的函数。

对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)表示在区间[a, b]内，X落在某一小区间(dx)内的概率。

概率密度函数具有非负性和积分为1的性质，是描述连续型随机变量概率分布的重要工具。

2. 严格单调函数的性质在数学中，一个函数如果满足对任意的x1, x2 (x1 ≠ x2)，若x1<x2则f(x1)<f(x2)或者若x1<x2则f(x1)>f(x2)，则称该函数是严格单调函数。

严格单调函数具有非常重要的性质，比如在一个区间内只有一个零点、在一个区间内只有一个反函数等。

3. 连续型随机变量的严格单调函数的概率密度假设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)。

如果f(x)是一个严格单调函数，那么我们可以得到一些有趣的结果。

根据严格单调函数的性质，我们可以知道在任意的区间[a, b]内，f(x)的取值是严格单调递增或递减的。

这意味着X落在不同区间内的概率是按照一定的规律递增或递减的。

这对于我们理解连续型随机变量的概率分布有很大的帮助。

4. 个人观点和理解从我个人的观点来看，连续型随机变量的严格单调函数的概率密度是一个非常有意思的话题。

它不仅能帮助我们更深入地理解概率密度函数的特性，还能让我们对随机变量的概率分布有更加直观的认识。

通过研究严格单调函数的概率密度，我们也可以更好地理解随机变量的取值规律和分布特点。

深入研究连续型随机变量的严格单调函数的概率密度对于我们理解概率论和数理统计的基本概念具有重要的意义。

总结：本文通过回顾连续型随机变量的概率密度函数和严格单调函数的性质，探讨了连续型随机变量的严格单调函数的概率密度。

学生姓名： 学号： 专业年级： 成绩：一、 填空题（每小题2分，本题共16分）1、设随机变量()~1,4X N -，则{}3P X >-=。

（ 已知标准正态分布函数值：()()()00.500,10.8413,20.9772φφφ===） 2、设随机变量X 服从泊松分布且具有方差2，那么X 的分布律为 。

3、设一维连续型随机变量X 的概率密度函数为()2,010,Xx x f x <<⎧=⎨⎩其余，则随机变量2XY =的概率密度函数为 。

4、以下是利用MINITAB 对变量X 和Y 的线性相关性作回归分析所得结果，由此判定回归 方程是 。

The regression equation is y = 0.63 + 0.040 x Analysis of VarianceSource DF SS MS F P Regression 1 0.178 0.178 0.13 0.725 Residual Error 9 12.200 1.356 Total 10 12.3785、设总体()1210~0,1,,,...X N X X X 是它的一个样本，则2222213579X X X X X ++++服从 分布。

6、设正态总体的均方差3σ=，该总体的一个容量为9的样本的样本均值 3.5x =，则 总体均值的置信水平为95%的置信区间是 。

7、在双因素有交互作用的方差分析中，设因素A 有3个水平，因素B 有2个水平，每个 处理作两次重复试验，则试验误差平方和的自由度E df = 。

8、设Y 关于X 的线性回归方程为 01Y X ββ=+，则 01,ββ==。

（ 10,780,88,3,24xxyy xy L L L x y ===== ）二、单项选择题（每小题2分，本题共18分）1、设()()()0.8,0.4,|0.6,P A P B P A B ===则()()|P B A =。

.0.24.0.32.0.30.0.48A B C D2、设12,X X 是相互独立的两个随机变量，则()()122D X X -=。