讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布
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第七讲
连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布
3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布
设连续型随机变量X 具有概率密度
)5.4(,,
0,,1
)(⎪⎩⎪
⎨⎧<<-=其它b x a a
b x f
则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).
X 的分布函数为
)6.4(.
,
1,,
,,0)(⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F
（2）指数分布
设连续型随机变量X 的概率密度为
)7.4(,
,
0,0,e
1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θ
θ
其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.
容易得到X 的分布函数为
)8.4(.
,
0,0,1)(/⎩⎨
⎧>-=-其它x e x F x θ
如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有
第二章 随机变量及其分布
§4 连续型随机变量
及其概率密度
1
=2
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上
}.
{e e
e
)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=
>>⋂+>=
>+>--+-θ
θθ
性质(4.9)称为无记忆性.
指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布
设连续型随机变量X 的概率密度为
)
10.4(,,e
21)(2
22)(∞<<-∞=
--
x x f x σ
μσ
π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).
显然f(x)≥0, 下面来证明
1d )(=⎰
+∞
∞
-x x f
令t x =-σμ/)(, 得到
dx e
dx e
t x 2
2)(2
2
22121-
∞
+∞
---
∞
+∞
-⎰
⎰
=
π
σ
πσ
μ
.
1d 21d 21
)
11.4(π
2d d e
,,
d d ,d
e 2
2)(20
2
22
/)(22
/2
2
2222
2
==
====⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰∞
∞
--
∞
∞
---∞
-
+∞∞-+∞
∞
-+-∞
∞--x e
x e r r I u t e I t I t x r u t
t
π
σ
πθσμπ
于是
得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:
（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意
f (x )的图形:
1.5
0.5
h>0有
P{μ-h .π21 )(σ μ= f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。在x=μσ±处曲线有拐点。曲线以Ox 轴为渐近线。 X 的分布函数为 )12.4(,d e π21)(2 22)(⎰ ∞ --- = x t t x F σμσ 特别:当μ=0, σ= 1时称X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用ϕ(x)和 Φ(x)表示, 即有 ) 14.4(.d e π 21)() 13.4(,21 )(2 /2/22⎰∞ ---=Φ= x t x t x e x π ϕ 易知 Φ(-x)=1-Φ(x) (4.15) 人们已经编制了Φ(x)的函数表, 可供查用(见附表2). 引理 若 X~N( μ,2 σ), 则 )1,0(~N X Z σ μ -= 证明：的分布函数为σ μ -= X Z 得 令,, d e π21} {}{2 22)(u t t x X P x X P x Z P x t =-= +≤=⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧≤-=≤⎰ +∞ --- σ μ σσμσμσμσμ ),(d e π 21}{2/2 x u x Z P x u Φ== ≤⎰ ∞ -- 由此知Z~N(0,1). 若X~N(μ,2σ), 则它的分布函数F(x)可写成: ) ( )16.4(}{} {)(σ μ σ μ σ μ -Φ=-≤ -=≤=x x X P x X P x F 则对于任意区间(x1,x2], 有 )17.4(. }{122121⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨⎧-≤-<-=≤<σμσμσμσμσ μx x x X x P x X x P 例如, 设X~N(1,4), 查表得 . 3094.06915.016179.0)]5.0(1[6179.0)5.0()3.0(210216.1}6.10{=+-=Φ--=-Φ-Φ=⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤ 设X~N(μ,2σ), 由Φ(x)的函数表还能得到: P{σμ- 3 2 2 3