讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

连续型随机变量函数分布的探讨随机变量的分布函数在现实生活中有着非常多的运用，与其分布相关的研究同样是大部分教材重要的组成内容。

往往计算机变量函数分布能够采取公式法又或是分布函数法，正常状况下，公式法所需具备的条件非常的严格。

本文对连续型随机变量函数分布进行较为深入的研究。

标签：连续型随机变量；分布函数；应用1 连续型随机变量中的“连续”界定连续型随机变量与离散型随机变量是完全不同的，经过其所存在的取值点集特点来概括，运用全新的工具分布F（x）函数来对其进行界定，也就是如果X 的分布函数都可以写为某一非负函数f（x）的变上限积分模式，便将它叫做连续型随机变量。

（1）性质1 针对连续型随机变量X存在：a.b.。

根据以上所阐述的特性能够发现，连续型随机变量大都是探讨相互持续的点集中的取值概率，比如：区间[c，d]等，它的某个固定点位置处的概率是0。

换而言之，连续型随机变量所分析的是各式各样的有限区间、数轴以及半数轴等。

但是，若果取值点集是半数轴、有限区间、数轴以及并集的随机变量，其并非一定是连续型，比如：。

其同样是没有办法采取连续型随机变量全部的能够进行取值的点集的特点来实施概括。

（2）性质2 对于连续型随机变量X，如果f（x），F（x）所代表的是密度函数以及分布函数，那么便存在：a.f（x）≥0；b.；c.f（x）=F′（x），在f（x）的连续点便成立。

较为显著的是，f（x）在XOY坐标平面中所对应的的图像，处在X轴以及它上方的一个曲线，同时此曲线和X轴间区域的面积是1。

然而f（x）并不能确定为（-∞，+∞）区间内的连续函数，同时其所有不连续点均是单独存在的、数量有限的点集，然而从其主体层面依然是分段式的连续函数，同时在f（x）的连续点处的F（x）可导。

此处补充说明的是，性质2中所列出的a、b均是f（x）能够成为连续型随机变量函数的充要条件。

（3）根据高等数学相关理论能够得知，变上限积分函数F（x）一定是（-∞，+∞）区间内的连续函数。

第二讲 随机变量及其分布【考试要求】1.理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布()P λ及其应用.3.（数一了解，数三掌握）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为λ的指数分布()λE 的概率密度为()e ,00,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩.5.会求随机变量函数的分布.考点：随机变量与分布函数1.随机变量：设试验E 的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点Ω∈ω，都有一个实数)(ωX 与之对应，则称定义在Ω上的单值实值函数)(ωX 为随机变量，简记为X . 通常用,,X Y Z 等表示随机变量.【注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件. 2.分布函数（1）定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞为X 的分布函数.（2）基本性质①单调不减，即若12x x <，则12()()F x F x ≤；②lim ()0x F x →−∞=，lim ()1x F x →+∞=； ③()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=.【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件. （3）其他性质（用分布函数()F x 求概率）①)()(}{a F b F b X a P −=≤<； ②)0(}{−=<a F a X P ；③)0()(}{−−==a F a F a X P ；④)0()0(}{−−−=<≤a F b F b X a P ； ⑤)()0(}{a F b F b X a P −−=<<； ⑥{}()(0)P a X b F b F a ≤≤=−−. 【注】分布函数在处连续.【例1】 下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ） （A ） ()211F x x =+ （B ）()x x F sin = （C ） ()11arctan π2F x x =+ （D ） ()1e ,020,0xx F x x −⎧−>⎪=⎨⎪≤⎩【例2】 设随机变量X 的分布函数为()00πsin 02π12,x F x A x,x ,x ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则A _____=，6P X ______π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭.【例3】 已知随机变量X 的分布函数为()0,11,18,111,1x x F x ax b x x <−⎧⎪⎪=−⎪=⎨⎪+−<<⎪≥⎪⎩，且()F x a {}0P X a ⇔=={}114P X ==，则_____,_____a b ==. 【例4】 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥−<≤<=−1,110,210,0)(x e x x x F x，则{}1P X ==（ ）（A ）0 （B ）21（C ）121−−e （D ）11e −−考点：离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量定义：若随机变量X 所有可能取值是有限或可列无限个，则称X 为离散型随机变量.2.分布律（1）定义：设离散型随机变量X 的所有可能取值为()12i x i ,,=，且X 取ix 的概率为i p ，则称{}()12i i P X x p i ,,===为离散型随机变量X 的分布律.X（2）基本性质：①0,1,2,i p i ≥=；②11ii p∞==∑.【注】这两条性质也是一个数列可以作为某随机变量分布律的充分必要条件. 3.离散型随机变量的分布函数若离散型随机变量X 的分布律为{}()12i i P X x p i ,,===，则X 的分布函数为(){}{}()i i i i x xx xF x P X x P X x p x ≤≤=≤===−∞<<+∞∑∑.若123x x x <<<，则()111212230,,,x x p x x x F x p p x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨+≤<⎪⎪⎩. 【注】若已知X 的分布函数()F x （阶梯函数），则X 的分布律为{}()()0i i i P X x F x F x ==−−，12i ,,=.【例1】 （1）做n 次伯努利实验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示n 次试验中成功的次数，求X 的分布律.（2）做伯努利试验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示直到第一次成功为止所进行的实验次数，求X 的分布律.【例2】 设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X 表示3个球中新球个数，求X 的分布律与分布函数.考点：连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其概率密度（1）定义：设随机变量X 的分布函数为()F x ，若存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有()()xF x f t dt −∞=⎰，则称X 为连续型随机变量，()f x 称为X 的概率密度函数，简称概率密度（简写为.f .d .p ）.【注】①只有存在概率密度的随机变量才能称为连续型随机变量，分布函数连续的随机变量不一定是连续型随机变量.②存在既非连续型又非离散型的随机变量.③(),()()0()F x x F x f x x F x '⎧=⎨⎩为的可导点，为的不可导点. （2）概率密度的基本性质：①()0f x ≥；②()1f x dx +∞−∞=⎰.【注】这两条性质是一个函数可以作为概率密度函数的充分必要条件.（3）连续型随机变量的其他性质： ①)(x F 处处连续.②对()+∞∞−∈∀,a ，有{}.0==a X P ③若()f x 在x 处连续，则有()()F x f x '=. ④对于任意的实数()1212x ,x x x ≤，有{}()()211221()x x P x X x F x F x f x dx <≤=−=⎰.【例1】 设随机变量X 的概率密度为()x f ，则下列函数中必为某随机变量的概率密度的是（ ）（A ）()x f 2 （B ）()x f 2 （C ）()x f −1 （D ）()x f −1【例2】 设随机变量X 的概率密度为()cos ,||20,||2A x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求（1）常数A ； （2）X 的分布函数为()x F . 【例3】 设随机变量X 的概率密度为()1||,||10,x x f x else −<⎧=⎨⎩，则______412=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−X P .考点：常见分布1.常见的离散型随机变量 （1） 0-1分布若随机变量X 的分布律为{}()()110101kk P X k p p ,k ,p −==−=<<，则称X 服从0-1分布，记为),1(~p B X .（2） 二项分布若随机变量的分布律为{}C (1),0,1,2,k k n kn P X k p p k n −==−=，其中01p <<，则称X 服从二项分布，记为~(,)X B n p .（3） 几何分布若随机变量X 的分布律为{}1(1)k P X k p p −==−⋅，1,2,3k =，其中01p <<，则称X 服从参数为p 的几何分布，记为()~X G p .（4） 超几何分布（从未考过）若随机变量X 的分布律为{}C C C k n kM N MnNP X k −−==，其中N k ∈，且{}{}n M k N n M ,min ,0max ≤≤−+，则称X 服从超几何分布.【注】：此公式的数学模型为：设N 件产品中含M 件次品，现从中任取n 件产品，则所取的n 件产品恰有k 件次品的概率.（5） 泊松分布 ①定义若随机变量X 的分布律为{}e !kP X k k λλ−==，0,1,2,k =，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为~()X P λ.X②泊松定理（数一了解；数三掌握）设0λ>是一个常数，n 是任意正整数，若lim n n np λ→∞=，则对于任意的非负整数k ，有()e lim 1.!nk n kkknn n C p p k λλ−−→∞−=【例1】 设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布，若{}519P X ≥=，则{}1_______P Y ≥=. 【例2】 设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为1e，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为___________. 2.常见的连续型随机变量 （1） 均匀分布若X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=−⎨⎪⎩其它，则称X 在()a,b 上服从均匀分布，记为()~,X U a b ，其分布函数为0,(),1,x a x aF x a x b b a x b<⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪⎪≥⎩. （2） 指数分布若X 的概率密度为e ,0()0,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为()XE λ，其分布函数为1e ,0()0,0x x F x x λ−⎧−≥=⎨<⎩.（3） 正态分布若随机变量X的概率密度为22()2()()x f x x μσ−−=−∞<<+∞，其中0σ>,μ与σ均为常数，则称X 服从参数为,μσ的正态分布，记为2~(,)X N μσ，其分布函数为22()2()d ()t xF x t x μσ−−=−∞<<+∞⎰.特别地，当0,1μσ==，即~(0,1)X N ，称X 服从标准正态分布，其概率密度为22(),x x x ϕ−=−∞<<+∞，分布函数22()d t xx t −Φ=⎰，x −∞<<+∞.【注】（1）指数分布的无记忆性：若()~X E λ，则对任意的0,0s t >>，有{}{}|.P X s t X s P X t >+>=>【例3】 设随机变量()6,1~U X ，则方程012=++Xy y 有实根的概率为____.【例4】 设随机变量()~2,5X U ，现对X 进行三次独立重复观测，求至少有两次观测值大于3的概率.【例5】 设随机变量Y 服从参数为12λ=的指数分布，求关于未知量x 的方程2230x Yx Y ++−=没有实根的概率.【例6】 设随机变量的概率密度函数为()221e ()x x f x k x −+−=−∞<<+∞X则常数=_______k .【例7】 设随机变量()22,X N σ且{}240.3P X <<=，则{}0_______P X <=.【例8】 设随机变量()2,X N μσ，则概率{}P X μσ−<的值随着σ的增大而（ ）（A ）增大 （B ）减小 （C ）保持不变 （D ）无法确定考点：随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===，函数()g x 连续，则随机变量()Y g X =的分布律为{}(),1,2,i k k i g x y P Y y p k ====∑.做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率.【例1】 设随机变量X 在()1,2−上服从均匀分布，1,01,0X Y X −<⎧=⎨≥⎩，求Y 的分布律.【例2】（课后作业）设随机变量X 的概率分布为，求常数和的概率分布. 2.连续型随机变量函数的分布情形一：Y 为离散型. 做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率. 情形二：Y 为连续型.（1）分布函数法（代数法和几何法）先求出()Y g X =的分布函数()Y F y ，即()(){}()()Y g x y F y P g X y f x dx ≤=≤=⎰，再对()YF y 求导得到Y 的概率密度()Y f y .（2）公式法 若()y g x =在X 的取值区间内有连续导数()g x '，且()0g x '>或者()0g x '<，则()Y g X =是连续型随机变量，且其概率密度为{}(1,2,)3k c P X k k ===c sin()2Y X π=()()()',0,X Y f h y h y y f y αβ⎧<<⎡⎤⎪⎣⎦=⎨⎪⎩其他其中(),αβ为()y g x =的值域，()h y 是()g x 的反函数.情形三：Y 既非连续型又非离散型 做法：分布函数法求其分布函数.【例3】 设随机变量X 服从()0,2上的均匀分布，则随机变量2Y X =在()0,4内的概率密度()Y f y _______=.【例4】 设随机变量X 的概率密度为()22,00,x x f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度()Y f y .。

连续型随机变量的分布函数一定是连续函数首先，什么是连续型随机变量？其次，什么是分布函数？分布函数是指随机变量X的函数F(x)，表示该变量小于等于其中一特定值x的概率。

即：F(x)=P(X<=x)。

分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、有界性。

接下来，我们来探讨连续型随机变量的分布函数是否一定是连续函数。

根据定义，分布函数 F(x) 的右连续性是任何分布函数都必须满足的条件。

即对于任意一个实数 x，有 lim F(t) = F(x+)，其中 t(x+)表示x 的右邻点。

这个性质保证了分布函数在每个点上都是右连续的。

对于连续型随机变量来说，取到任意一个特定的值的概率为0，因此F(x)在任意一个分布点上都为右连续。

这是因为对于任意一个实数x，P(X=x)=0。

所以对于连续型随机变量来说，分布函数在每个点上都是右连续的。

此外，根据分布函数的性质，分布函数是非递减的。

这意味着对于任意的实数a<b，有F(a)<=F(b)。

这个性质同样适用于连续型随机变量的分布函数。

综上所述，对于连续型随机变量来说，其分布函数是满足右连续性和非递减性的。

因此，一般而言，连续型随机变量的分布函数是连续函数。

然而，需要注意的是，并非所有连续型随机变量的分布函数都是连续函数。

如下面两种情况：1.分布函数存在间断点：有些连续型随机变量的分布函数在一些点上存在间断点。

例如，离散型随机变量的分布函数是一个阶梯函数，其在每个值上都有跳跃。

尽管该随机变量取值范围是连续的，但其分布函数并不是连续函数。

2.分布函数存在导数的不连续点：有些连续型随机变量的分布函数在一些点上存在导数的不连续点。

例如，一些混合型分布的分布函数在一些点上具有不连续的导数。

尽管该随机变量取值范围是连续的，但其分布函数在这些点上并不是连续函数。

因此，在一般情况下，连续型随机变量的分布函数是连续函数。

但需要注意的是，也存在特殊情况下连续型随机变量的分布函数不是连续函数的情况。

高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型高考数学知识点精讲：常见随机变量的分布类型在高考数学中，随机变量的分布类型是一个重要的知识点，理解和掌握这些分布类型对于解决概率相关的问题至关重要。

下面我们就来详细讲解一下常见的随机变量分布类型。

首先，我们来认识一下什么是随机变量。

简单来说，随机变量就是把随机试验的结果用数字表示出来。

比如说掷骰子，我们可以定义随机变量 X 为骰子掷出的点数，那么 X 可能取值 1、2、3、4、5、6。

常见的随机变量分布类型主要有以下几种：一、离散型随机变量的分布1、两点分布两点分布是最简单的一种离散型随机变量分布。

比如抛一枚硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为0，那么这个随机变量就服从两点分布。

其概率分布为 P(X ＝ 1) ＝ p，P(X ＝ 0) ＝ 1 p ，其中 0 ＜ p ＜ 1 。

2、二项分布二项分布在实际生活中有很多应用。

比如进行n 次独立重复的试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功的概率为 p ，失败的概率为 1 p 。

那么成功的次数 X 就服从二项分布，记为 X ～ B(n, p) 。

二项分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数。

举个例子，假设一批产品的次品率为 02，从这批产品中随机抽取10 个，那么抽到次品个数 X 就服从二项分布 B(10, 02) 。

3、超几何分布超几何分布与二项分布有点类似，但适用的场景略有不同。

超几何分布是从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数 X 就是超几何分布。

超几何分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／C(N, n) 。

比如说在一个有 50 个球，其中 20 个红球，30 个白球的盒子中，随机抽取 10 个球，红球的个数 X 就服从超几何分布。

概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第21讲指数分布1§2.4 连续型随机变量及其概率密度四川大学第21讲指数分布3第21讲连续型随机变量及其概率密度(III)指数分布四川大学四川大学第21讲指数分布4（二）指数分布四川大学第21讲指数分布5四川大学第21讲指数分布6若连续型随机变量X 具有概率密度,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，Exponential distribution显然f (x )≧0且()f x dx +∞-∞⎰+0xe dx λλ∞-=⎰1=故f (x )是概率密度(0λ>常数）+0()xed x λλ∞-=--⎰记为X ~ E (λ)。

[]x eλ-+∞=-0()e e -∞=--(01)=--四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布7,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩λxy eλλ-=1四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布8,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩1λ=0.5λ=2λ=四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布9λxy eλλ-=,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩现在来求分布函数x ≤0时，()()x F x f t dt -∞=⎰0xdt -∞=⎰0=x >0时，()()x F x f t dt -∞=⎰0xte dtλλ-=⎰xx()x t e d t λλ-=--⎰0[]t xe λ-=-1xeλ-=-四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布10λxy eλλ-=,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩分布函数x ≤0时，()0F x =x >0时，()1xF x eλ-=-1,0()0,xe x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布11λxy eλλ-=,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩1,0()0,xe x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布12概率计算{}P a X b <<设0≤a <b ()b a f x dx =⎰b x a e dxλλ-=⎰()b x a e d x λλ-=--⎰[]x b a e λ-=-a be λλ--=-或者{}P a X b <<()()F b F a =-a b e eλλ--=-λx y e λλ-=a b {}P X a >1{}P X a =-≤1()F a =-a eλ-=四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布14P X X服从指数分布的随机变量X 具有下列性质：,0s t ∀>有这个性质称为无记忆性：在已知X >s 发生的条件下，则X >s +t 发生的概率就等于{X >t }发生的概率。