对顶角及其性质(2)

第2讲对顶角和垂直编者：辛兴初中 初存磊一、本讲知识标签（一）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角（二）对顶角的概念：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角.对顶角性质：对顶角相等（三）垂直的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.垂线的画法：1、放2、靠3、画线（四）垂直的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂直的性质：垂线段最短（五）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度二、范例分析例1. 如图,直线AB 与CD 相交于O,,OF ⊥AB ，OE ⊥CD, ∠DOF=650,求∠BOE 和∠AOC 的度数.【分析】垂线概念是本节重点,若两条直线垂直,那么它们相交所成的四个角都是900,根据问题需要选用一个即可. 由已知条件和图形可知: ∠BOE 与∠BOD 互余, ∠AOC 与∠BOD 是对顶角,可先求出∠BOD,则∠BOE, ∠AOC 立即可求.解：∵OF ⊥AB (已知)∴∠BOF=900,(垂直定义)又∵∠DOF=650,∴∠BOD=900-650=250∴∠AOC=∠BOD=250(对顶角相等)∵OE ⊥CD∴∠DOE=900 (垂直定义)∴∠BOE=900-250=650.例2.如图 ,已知AOB 为一条直线,OC 为任一条射线,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC,试判断OD 和OE 的位置关系,并加以说明.【分析】观察图形可猜测OD ⊥OE,根据垂直定义,只需说明OE,OD 的夹角为900即可.解 ∵OD 平分∠BOC, ∴∠COD=21∠BOC. 同理可得: ∠COE=21∠AOC. 又∵∠AOC+∠BOD=1800(平角定义)∴∠EOD=∠COE+∠COD=21∠AOC+21∠BOC=900 ∴OE ⊥OD (垂直定义)例3. 在给出的下图上,完成下列作图:⑴作出点A 到BC 的垂线段AD,并量出点A 到直线BC 的距离;⑵过点B 作AC 的垂线,垂足为E,过点C 作AB 的垂线,垂足为F;⑶延长DA,你能发现什么有趣的结论?【分析】过已知一点画直线的垂线,可借助直角三角板来完成,其要领是“一贴”即直角三角板的一直角板贴在已知直线上,“二靠”即三角板的另一直角边经过已知点,“三画线”即过已知点的直角边画垂线画一条线段或射线的垂线,就是画这条线段或射线所在直线的垂线,垂足可能在线段或射线的延长线上.点A 到BC 的垂线段是线段AD,而点A 到直线BC 的距离是指垂线段AD 的长度. 解： ⑴⑵的作图如图⑶DA,BF,CE 交于同一点.例4. 如图在长方体中,棱AB 与哪些面垂直?哪些棱与面A ’B ’C ’D ’垂直,面A ’ABB ’与哪些面垂直?哪些面与面A ’D ’DA 垂直?【分析】 此题考查线面垂直,面面垂直的概念,紧紧抓住概念的意义,结合图形来回答.在长方体中,棱与面,面与面之间存在如下关系:与每个面垂直的棱有四条;与每条棱垂直的面共有两个;与每个面垂直的面共有四个.解:棱AB与面BCC`B`,面ADD`A`垂直;棱AA`,CC`,DD`与面A`B`C`D`垂直;面A`ABB`与面ABCD,面A`B`C`D`,面AA`D`D,面BB`C`C垂直;面A`B`C`D`,面A`ABB`,面ABCD,面CDD`C`与面A`D`DA垂直.三、训练提高(一) 选择题:1. 如图1，直线a与b相交于点O，∠1＋∠2＝100°，则∠3的度数为( )A．80°B．100°C．120°D．130°图1 图 22.如图2，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的：用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是( )A．两点之间，线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线3. 若AO⊥BO，垂足为O，∠AOC∶∠AOB＝2∶9，则∠BOC的度数等于( )A．20°B．0°C．110°D．70°或110°4.光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°，∠3=75°，则∠2= （）A．50° B．55° C．66°D．65°(二)填空题：1. 如图，图1中直线AB，CD，EF相交，则图1中共有（）对对顶角，图2中共有（）对对顶角图1 图2 图32. 如图3，已知B 点是∠DAE 的AD 边上任意一点，过点B 作直线MN 交AE 于C ，交AD 于B ，且∠1=∠2，则图中对顶角有（ ）对，与∠1（不包括∠1）相等的角有（ ）个。

对顶角的性质
对顶角的性质：对顶角相等。

在几何学中，对顶角是两个角之间的一种位置关系。

两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。

称其中不相邻的两个角互为对顶角。

或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。

对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。

扩展资料：
对顶角满足下列定理：知两直线相交，对顶角相等。

用数学语言描述就是：
设直线AD、BC交于点O。

则形成四个角：∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。

其中，∠AOB和∠COD互为对道
顶角，∠AOC和∠BOD互为对顶角。

∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD。

对顶角、垂线、三线八角、邻补角一、基础知识点：1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。

2.相交：在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。

3.邻补角：（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。

（2）性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）4.对顶角：（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角（2几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）5、邻补角和对顶角的区别和联系注意：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

1、如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝50°，求∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 的度数.解：∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角∴ ＝ ＝ °（ ）∵ 与 是邻补角∴∠AOD ＝180°－∠AOC ＝180°－50°＝130° ∵ 与 是对顶角∴∠BOC ＝∠AOD ＝130°（ ）2、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC.已知∠BOE=65°,求∠AOD 、50 OADCB∠AOC 的度数.【基础知识点】 6、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。