对顶角及其性质

初中数学什么是对顶角在几何学中，对顶角是指两个交叉的直线上，位于相对位置的两个角。

在本文中，我们将详细介绍对顶角的定义、性质、判定以及与其他角度的关系等内容。

一、对顶角的定义对顶角是指两个交叉的直线上，位于相对位置的两个角。

具体来说，如果两条直线交叉，并且它们的相交点将角分成两对相对的角，那么这两对相对的角就是对顶角。

二、对顶角的性质对顶角具有以下几个重要的性质：1. 对顶角的度数相等。

也就是说，如果两对角是对顶角关系，它们的度数是相等的。

2. 对顶角共享一个顶点。

这意味着两对对顶角有一个公共的顶点。

3. 对顶角的非公共边构成一条直线。

也就是说，对顶角的非公共边延长后可以构成一条直线。

4. 对顶角的补角互为对顶角。

补角是指两个角的度数之和等于180度。

因此，如果两对对顶角的度数之和等于180度，则它们互为补角。

三、对顶角的判定在几何学中，有几种方法可以判定两个角是否为对顶角：1. 使用直尺和量角器：通过直尺和量角器测量两个角的度数，并且确定它们有一个公共的顶点和非公共边构成一条直线，就可以判定为对顶角。

2. 使用角度的性质：如果两个角有一个公共的顶点和非公共边构成一条直线，那么它们是对顶角。

四、对顶角与其他角度的关系对顶角与其他角度之间有一些特殊的关系：1. 对顶角是补角的特殊情况。

如果两对角是对顶角，它们的度数之和等于180度，那么它们互为补角。

2. 对顶角与相邻角的关系：如果两对角是对顶角，并且它们有一个公共的顶点和一条边重合，那么它们互为相邻角。

综上所述，对顶角是几何学中的重要概念，具有特殊的性质和判定方法。

通过对对顶角的定义、性质、判定以及与其他角度的关系的了解，我们可以更好地理解和应用对顶角的知识。

对顶角是指两条平行线间的角，且该角的两条对边在两条平行线上分别平行。

对顶角具有以下性质：1.对顶角的度数一定相等。

由于两条平行线间的角的两条对边在两条平行线上分别平行，所以对顶角的度数一定相等。

2.对顶角的边都是平行线。

由于对顶角的两条对边在两条平行线上分别平行，所以对顶角的边也一定是平行线。

3.在一个平行四边形中，对角线互为对顶角。

在平行四边形中，对角线总是互相垂直的。

由于对顶角的度数一定相等，所以在平行四边形中，对角线互为对顶角。

4.对顶角中间可以填充一个平行四边形。

由于对顶角的边都是平行线，所以在对顶角中间可以填充一个平行四边形。

5.对顶角的外角总和为360度。

由于对顶角的度数一定相等，并且对顶角中间可以填充一个平行四边形，所以对顶角的外角总和为360度。

6.对顶角的内角总和为180度。

由于对顶角的外角总和为360度，所以对顶角的内角总和为180度。

这是因为，在平面几何中，所有角的外角总和为360度，所以当你在计算一个多边形的内角总和时，可以用多边形的角的外角总和减去所有角的内角总和来计算。

7.对顶角中间可以填充一个平行四边形，并且这个平行四边形的对角线互为对顶角。

由于对顶角的边都是平行线，所以在对顶角中间可以填充一个平行四边形。

而且，由于对顶角的度数一定相等，所以这个平行四边形的对角线互为对顶角。

8.对顶角是平行线的充要条件之一。

如果两条线段的对边在两条平行线上分别平行，那么这两条线段所在的角一定是对顶角。

所以，对顶角是平行线的充要条件之一。

9.对顶角中间可以填充一个平行四边形，并且这个平行四边形的对角线互为对顶角，所以对顶角是平行四边形的充要条件之一。

10.对顶角是平行四边形的充要条件之一，所以对顶角是平行线的充要条件之二。

对顶⾓及其性质《对顶⾓及其性质》教学设计濉溪县任集中⼼学校王磊⼀教案背景1 ⾯向学⽣七年级学科数学2 课时1课时3 学⽣课前准备（1）预习第五章相交线与平⾏线（2）准备剪⼑和相交模型⼆教学课题教养⽅⾯1．理解对顶⾓和邻补⾓的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶⾓相等的性质和它的推证过程．3．会⽤对顶⾓的性质进⾏有关的推理和计算能⼒⽅⾯1．通过在图形中辨认对顶⾓和邻补⾓，培养学⽣的识图能⼒．2．通过对顶⾓件质的推理过程，培养学⽣的推理和逻辑思维能⼒．三教材分析相交线选⾃⼈教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册第五章第⼀节内容。

本节课的重点是对顶⾓的概念和性质，这些是重要的基础知识，在以后的学习中常常要⽤到，要求学⽣掌握．对顶⾓的概念是结合图形描述的，教给学⽣在图形中如何.辨认对顶⾓的要领。

本节课的难点是对顶⾓性质的证明和书写格式.四教法建议（1）因为本节是由相交线的模型——⽤钉⼦固定的两根⽊条来引⼊的.所以教师要事先准备好教具，先让学⽣观察模型，对相交线建⽴感性认识，然后在从模型抽象出两条相交直线.或⽤我们提供的课件来引⼊本节课，激发学⽣的学习兴趣.（2）本节课的内容适合启发式教学五、教具学具准备投影仪或电脑、三⾓尺、⾃制复合胶⽚、⽊条制成的相交直线的模型．六、师⽣互动活动设计1．通过实例创设情境，引导学⽣进⼊课题．2．通过演⽰实验和学⽣讨论、总结对顶⾓、邻补⾓两个概念．3．通过学⽣研讨、练习巩固完成性质的讲解．4．通过学⽣总结完成课堂⼩结．5．通过随堂练习，检测学⽣学习情况．七、教学步骤（⼀）明确⽬标在图形中正确辨认对顶⾓和邻补⾓，理解其概念，掌握其性质，并运⽤其进⾏推理计算．（三）教学过程创设情境，引⼊课题投影打出本章的章前图（投影⽚1），然后引导学⽣观察，并回答问题．学⽣活动：⼝答哪些道路是交错的，哪些道路是平⾏的．教师导⼊：图中的道路是有宽度的，是有限长的，⽽且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平⾏线．相交线、平⾏线都有许多重要性质，并且在⽣产和⽣活中有⼴泛应⽤．它们就是我们本章要研究的课题：【板书】第五章相交线与平⾏线【教法说明】以⽴交桥为实例引出本章内容，⽬的是①通过实例，让学⽣了解相交线、平⾏线是我们⽇常⽣活中经常见到的；②通过画⾯，培养学⽣的空间想像能⼒；③通过画⾯，启发学⽣⼴泛地联想，让学⽣知道，相交线、平⾏线的概念是从实物中抽象出来的；④通过学⽣熟悉的事物，激发学⽣的学习兴趣．学⽣活动：请学⽣举出现实⽣活⾥相交线、平⾏线的⼀些实例．教师导⼊：相交线、平⾏线在⽇常⽣活中经常见到，有着⼴泛应⽤，所以研究这些问题对今后的⼯作和学习都是有⽤的，也将为后⾯的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，从⽽引⼊本节课题．【板书】5.1.1 相交线。

第10章相交线、平行线与平移10.1相交线第1课时对顶角及其性质【教学目标】1.在具体情境中了解对顶角.2.经历观察、测量、推理、交流等探究过程，理解对顶角的性质.3.能运用对顶角的性质进行运算以及解决一些相关的实际问题.【教学重点】对顶角的概念，对顶角的性质及应用.【教学难点】对顶角性质的探索.教学过程一、组织教学，复习提问课件展示本章章前图片，学生欣赏图片阅读其中文字.在我们现实生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线.本章要研究相交线、平行线及平移的概念和性质，并解决一些简单的实际问题.师：请同学们观察后找出图片中的相交直线、平行直线.你能再举出一些身边的相交直线和平行直线的实例吗？生：楼梯扶手和立柱，门窗上的相邻的两条边，X型晾衣架等，都可看成是相交直线；黑板面相对的两边，操场上的双杠，笔直的铁轨都给我们平行直线的形象.(教师出示剪刀问：大家观察我手中的剪刀，可抽象成什么图形？)生：相交线.师：好，今天我们就先来研究相交线.二、创设情境，引入新课教师演示剪布过程，提出问题：剪布时，两个把手之间的角发生了什么变化？剪刀刀刃张开的口又怎样变化？引导学生观察、思考、交流得出：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小.如果改变用力方向，随着两个把手之间的角逐渐变大，剪刀刀刃之间的角也相应变大.师：张开的剪刀可看作两条相交直线，请同学们画出一组相交线，并用几何语言表述你画的图形.生：如图，直线AB、CD相交于O.(教师也在黑板上画出图形)师：在剪东西的过程中，∠1与∠3这两个角的位置始终保持怎样的关系？学生思考，并与同伴交流，当学生直观感知角有“对顶”关系时，教师引导学生从这两个角的顶点和角的两边的位置去思考，并用几何语言准确表达.生：∠1与∠3有公共的顶点O，而且∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线.对顶角的定义：直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.师：图中还有其他对顶角吗？学生辨认对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4.辨认对顶角一定要结合图形，把握好对顶角的本质，首先要有两条直线相交构成四个角的前提条件，再找有公共顶点、没有公共边的两个角就是对顶角.师：图中∠1和∠2的位置关系怎样？数量关系怎样？∠2与∠3呢？生：∠1与∠2是邻补角，∠1＋∠2＝180°.师：猜一猜∠1与∠3的大小有什么关系？你能用正确的方法来验证你的猜想吗？鼓励学生大胆猜想；可采用：测量、叠合、推理论证等.教师鼓励学生运用推理得出结论.生：因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠3(同角的补角相等).从而得到对顶角的性质：对顶角相等.注意：对顶角的定义是说明两个角的位置关系，而“对顶角相等”则说明两个角的数量关系；只有用定义判定出两个角是对顶角时，才能说明这两个角具有“相等”的数量关系，且有对顶角时就应想到它们相等.三、巩固练习1.课本第117页练习第1、2题.解：第1题：图(5)中的∠1与∠2是对顶角第2题：∠2＝35°，∠3＝145°2.如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝90°，则∠1和∠2是__对顶角__，∠1和∠AOD是__邻补角__，∠1和∠3__互余__.巩固第2题图提升第1题图四、提升练习1.上图三条直线l1、l2、l3相交于一点O，则∠1＋∠2＋∠3＝__180°__.2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠AOC＝120°，求∠BOD和∠AOE的度数.解：∠BOD＝120°，∠AOE＝150°.第2题图第3题图3.如图，有两堵墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？解：量出∠AOB的邻补角或对顶角即可求出.五、课堂小结本节课你学习了什么？还有什么疑问？(教师引导学生一起回顾这节课所学的主要内容以及注意的问题)1.对顶角的辨认.2.有了对顶角，我们一定要想到这两个角的大小关系.。

七年级对顶角知识点对顶角是初中数学里一个非常重要的概念，它是数学知识体系中的基础概念，并且在以后的学习中也会频繁地出现。

本文旨在介绍和探究七年级的对顶角知识点，希望对初学者有所帮助。

一、概念解释对顶角是指两个角顶点之间连一条线段，使得这条线段把这两个角分成的两个小角度数相等，我们称这两个小角为对顶角。

二、特点与性质1. 对顶角具有相等性质：即对顶角的两个小角度数相等。

2. 对顶角的两个小角互补：对于一个直角，由于其两个对顶角的小角之和为90°，所以它的两个对顶角互补。

3. 对顶角具有平行性质：当两直线平行时，同侧的内角互补，即任意一内角与其对顶角之和等于180度。

4. 对顶角与同旁内角是邻补角：对于同一直线上两个点A、B 和其中一个点C，∠ACB与∠C同侧的一个内角的度数之和等于180°，也就是说，∠ACB与其邻近的同侧内角补角相等。

三、解决问题的方法1. 把题目中所涉及到的角按对顶角分成两个小角，然后用小学学过的角的运算方法完成。

2. 根据对顶角互补或邻补的性质解决问题。

3. 对于涉及到平面图形的问题，可以通过画图的方式来解决，把问题转换成角分解的形式更为简便。

四、经典例题例1：已知∠ABC=100°，求∠CBD及∠ABD的度数。

解：由对顶角定义可知，∠CBD=∠ABD=（180-100）/2=40°。

例2：图中，AD∥BC，∠ACE=70°，求∠DBC的度数。

解：由对顶角性质得，∠ACE与∠DBC为补角，且AD∥BC，∠ACE=70°，所以∠DBC=90°-70°=20°。

例3：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，D为BC上一点，连接AD、CD，求∠ACD的度数。

解：由对顶角性质得，∠ABC=∠ACB=80°，∠CAD=∠ABD=(180-80)/2=50°，因此∠ACD=∠ACB-∠BCD=80°-50°=30°。