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线性代数方程组的解法

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计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法

计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法

“回代”解得

xn

bn ann


xk

1 akk
[bk

n
akj x j ]
j k 1

其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1

xi

b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i

2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)

线性代数方程组的解法

线性代数方程组的解法

2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法

07线性代数方程组的解法

07线性代数方程组的解法

总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k

n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同

解 (1)
方

程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1

a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)


11 1
12 2
1n n
1

b x 22 2
b2nxn g 2

称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1

0
1
L m 0 2
32
1

0 mn2 0


m a a
(2) (2)

i2
i2
22
i 3,4, ,n

线性方程组的解法与应用

线性方程组的解法与应用

线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。

线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。

本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。

一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。

下面将详细介绍这三种方法。

1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。

通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。

举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。

然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。

2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。

通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。

仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。

3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。

通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。

考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。

通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。

二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。

线性代数方程组的解法

线性代数方程组的解法

说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化 为梯矩阵呢？ 定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第 一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作 行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)， 矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0

线性方程组的解法

线性方程组的解法

线性方程组的解法作为一个线性代数主题，线性方程组的解法是一个非常重要的领域。

在本文中，我们将介绍几种解决线性方程组问题的方法。

我们将从初等变换、高斯消元法、矩阵展开式等几个方面来深入探讨。

一、初等变换初等变换往往是解决线性方程组问题的起点。

我们可以对方程组进行一些基本的操作来得到一个简化的等价方程组，从而方便我们去寻找方程组的解，初等变换主要包括三种操作：1.交换方程组中的两个方程的位置。

2.将某个方程的倍数加到另一个方程上。

3.用一个非零常数来乘某个方程。

执行初等变换时，我们必须记住每个变换对解x的影响。

在交换方程x 和y 的位置时，它们的解不变，而在加上一只方程的某个倍数时，系数矩阵和右侧向量也会随之改变，但解不变。

用一个非零常数乘以方程只会改变右侧向量，同时系数矩阵也会改变。

二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组问题的另一种方法。

该方法通过使用矩阵增广形式来解决线性方程组问题。

具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中右侧向量位于最后一列。

2. 使用初等变换来将增广矩阵化为行梯阵形式。

行梯阵是矩阵的形式，其中每一行从左侧开始的第一个非零元素称为主元（pivot），每个主元下方的元素均为零。

3. 从最后一行开始，使用回带算法来求得线性方程组的解。

高斯消元法对于小规模的线性方程组可以轻松解决。

但是，在大规模问题上，该方法可能会产生误差或需要很长时间才能找到解决方案。

三、克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组问题的第三种方法。

该方法的关键在于将解决方案表示为每个未知数的一个比值。

这个比值是通过计算每个未知数对其余所有未知数的系数行列式比率而得到的。

这个方法的好处在于消去解方程组所需要的系数矩阵增广形式和行梯阵形式的需要。

但是，如果有许多未知数，计算每个比率可能会非常繁琐。

另外，如果有两个或更多个未知数系数具有相同的值，则克拉默法则计算行列式比率会失败。

四、矩阵展开式最后，我们来看一下使用矩阵展开式来解决线性方程组问题的方法。

线性代数-线性方程组的解

线性代数-线性方程组的解
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0

线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。

现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。

解线性方程组的解法_图文

解线性方程组的解法_图文
第三章
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：

第三章 线性方程组解法

第三章 线性方程组解法
可以看出，在计算第i个xik+1分量时，前 面i-1个分量x1k+1, x2k+1… xi-1k+1已经从上式 中计算出来了，于是很自然会想到如果 把它们代入用来计算xik+1可能会改进迭代, 于是就得到Ga大u家s好s-Seidel迭代格式： 35
§3.3 高斯－塞德尔迭代
x ik 1a 1 ii(b iij 1 1a ijxk j 1j n i 1a ijxk j),i 1 ,2 ...,n
大家好
21
§3.1 问题的提出
由原方程
8x1 x2 4 x1 10 x2
2x3 12 x3 21
3x1 2x2 5x3 16
构造
xx12((kk11))
2.5x2(k) 0.25x3(k) 1.5x1(k) 2.5x3(k)
5.25 8.0
(2) (3)
x3(k1) 4x1(k) 0.5x2(k) 6.0
§3.1 问题的提出
是方程组的精确解，用有限次运算得不到精 确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年 经司威尔提出的松弛法也是一种迭代法，共 轭梯度法则是另一种迭代法，是弗莱彻等人 于20世纪60年代提出来的。
大家好
16
§3.1 问题的提出
例3.1
5x 2y 8 3x 20 y 26
5) 给出估计误差和迭代停止判据。
大家好
25
§3.1 问题的提出
❖ 定义：在n维空间中给定一个向量序
列 x k ，xk (x1 k,x2 k,...xn k)T ，如果对每一个分
量
x
k i
,当
k
时都有极限xi,
即
lim
k
xik

第三章-线性方程组的解

第三章-线性方程组的解

线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d

线性代数解方程组的方法

线性代数解方程组的方法

线性代数解方程组的方法
解线性方程组的方法：第一种消元法；第二种克拉姆法则；第三种逆矩阵法；第四种增光矩阵法；第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令；目前这5中教为适用，适合一切齐次或者非齐次线性方程组。

第一种消元法,此法最为简单，直接消掉只剩最后一个未知数，再回代求余下的未知数，但只适用于未知数个数等于方程的个数，且有解的情况；
第二种克拉姆法则，如果行列式不等于零，则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式就是解；
第三种逆矩阵法，同样要求系数矩阵可逆，直接建立AX=b与线性方程组的关系，X=A^-1.*b就是解；
第四种增光矩阵法，利用增广矩阵的性质(A,b)通过线性行变换，化为简约形式,确定自由变量,（各行中第一个非零元对应的未知数除外余下的就是自由变量）,对自由变量进行赋值,求出其它未知数，然后写成基础解析的形式。

第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令。

第三章线性代数方程组解法

第三章线性代数方程组解法
(k (k akk ) akn ) (k (k ank ) ann)
中，选取绝对值最大的元素作为主元素，如果它位于第r 行第s列，则通过交换k,r两行及交换k,s两列，使主元素位 (k a kk ) 的位置，然后进行消元计算。由于作列的交换 于 改变了方程中未知量的次序，因此回代过程要按未知量 调换后的编号顺序求解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5 5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解 [A,b] =
0.01
2
- 0.5 2 0.5 9
-5 5 9 5 (3) 0 (1) (3)
5
-4
0.5 2
9 5
- 1 - 0.5 5 -4 0.5 2.10
-1 - 0.5 0.01 -4 2
- 0.5 – 5 0.5 9
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
( (n xn bnn ) / ann) ; n
xi (bi(i )
j i 1
a
(i ) ij
( x j ) / aiii )
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。 1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2] = n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程 需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。

第5章 求解线性代数方程组的直接法

第5章 求解线性代数方程组的直接法

数值计算与MATLAB1《数值计算与MATLAB 》第5章求解线性代数方程组的直接法§0 引言§1 线性代数方程组求解概论§2 恰定线性方程组求解§3 矩阵的三角分解§4 MATLAB实现《数值计算与MATLAB 》引言大量的科技与工程实际问题，常常归结为解线性代数方程组，有关线性方程组解的存在性和唯一性在“线性代数”理论中已经作过详细介绍，本章的主要任务是讨论系数行列式不为零的n阶非齐次线性方程组Ax=b的两类主要求解方法：直接法（精确法）和迭代法。

《数值计算与MATLAB 》5.1 线性代数方程组求解概论线性代数方程组的矩阵表示Ax=b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111《数值计算与MATLAB 》线性代数方程组解的性质AS≡b解的判别及其结构Ax=0：有非零解——系数矩阵的秩R(A)<n。

若R(A)=n，则方程组只有零解。

Ax=b：分三种类型：当R(A)=R(B)=n时，称方程组为恰定方程组，这时它有唯一解向量；当R(A)=R(B)<n时，称方程组为欠定方程组，这时它有无穷多解向量；当R(A)<R(B)时，称方程组为超定方程组或矛盾方程组，即保留方程个数大于未知量个数，一般意义下无解，但可求出其最小二乘解。

《数值计算与MATLAB 》5.2 恰定线性代数方程组求解克莱姆法则对于恰定方程组Ax=b，即满足R(A)=R(B)=n 的方程组求解，可用克莱姆（Cramer）法则得出唯一解。

利用Cramer法则求解所需乘除运算量为：N=(n+1)!(n-1)+n=n!(n2-1)+nAΔhhxdet《数值计算与MATLAB 》高斯消去法（消元法）消元过程回代过程顺序高斯消去法（Gauss－Jordan）列主元素消去法主元素消去法全主元素消去法《数值计算与MATLAB 》5.3 矩阵的三角分解高斯消去法和三角矩阵消元过程：实质上就是用一系列行初等变换，即P n-1P n-2...P1Ax= P n-1P n-2 (1)使方程组等价地变换成一个三角形回代过程：就是先求出，然后逐个由下往上进行回代，求得方程组的解。

中考重点线性方程组的解法

中考重点线性方程组的解法

中考重点线性方程组的解法线性方程组是中学数学中的重要内容，也是中考数学考试的重点内容之一。

解线性方程组需要灵活运用数学知识和方法，下面将介绍一些中考常见的线性方程组的解法。

一、消元法消元法是解线性方程组最常用的方法之一，它通过消去未知数的系数，将方程组化简为更简单的形式。

例1：求解线性方程组2x + 3y = 83x - 2y = -1解：通过消元法，可以将方程组化简为：2x + 3y = 8 --（1）3x - 2y = -1 --（2）由方程（1）可以得到 x 的表达式：x = (8 - 3y)/2将 x 的表达式代入方程（2）中，可以得到 y 的表达式：3(8 - 3y)/2 - 2y = -1解方程得到：y = 2将 y 的值代入 x 的表达式，可以得到 x 的值：x = (8 - 3(2))/2 = 1所以，该线性方程组的解为：x = 1，y = 2。

二、代入法代入法是解线性方程组常用的方法之一，它通过先解出一个方程，然后将其代入另一个方程，从而求得未知数的值。

例2：求解线性方程组2x - y = 33x + 4y = 10解：首先，可以从第一个方程中解出 x 的值：2x - y = 3解得：x = (3 + y)/2将 x 的值代入第二个方程中：3(3 + y)/2 + 4y = 10解方程得到：y = 1将 y 的值代入第一个方程中，可以得到 x 的值：2x - 1 = 3解得：x = 2所以，该线性方程组的解为：x = 2，y = 1。

三、图解法图解法是解线性方程组直观易懂的方法之一，它通过将方程组表示在笛卡尔坐标系中的直线上，找出方程组共同交点的坐标来求解。

例3：求解线性方程组3x - 2y = 8x + y = 3解：将方程组表示在坐标系中，得到两条直线，如下图所示：[图片]由图可知，两条直线在点 (2, 1) 处交于一点，所以该线性方程组的解为：x = 2，y = 1。

四、增广矩阵法增广矩阵法是解线性方程组常用的线性代数方法之一，在中考中也有可能出现。

线性代数课件4线性方程组的解

线性代数课件4线性方程组的解
1 r n : 有 ： x 1 d 唯 1 , x 2 d 2 , , x n 一 d n .
2 rn:有无穷： 多组解
1. 非齐次线性方程组
定理 4 n元非齐次线性 Amn方 x程 b: 组
1)无解的R (充 A )R 要 A ,b;条件 2)有唯一解 R (A 的 )R 充 A ,b要 n; 条
2 2
12
1 1
~0 1 1
2
2
0 0 22 123
1 1
0 1
1
2
1
0 0 12 112
1 当 1 时 ,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
RARB3,方程组有 . 无穷多
其通解为
x1 x2
1 x2
x2
x3
x3 x3
x2,x3为任意 . 实
2 当 1 时 ,
4x5 5x5
2 3
x1 x2 x3 x4 8x5 2
1
解__ A
2 3
1 2 3
1 1 1
0 2 4
3 4 5
1 1
2 3
00
1 0 0
1 1 2
0 2 4
3 2 4
1 0 0
1 1 1 1 8 2 0 0 2 1 5 3
1 1 1 0 3 1 1 1 1 0 3 1
00
0 0
1 0
解
1 1 1 1 1 1 1 1
__
A 1 2 5 2 0 1 6 1
2 3 4 5 0 1 6 3
1 0 0
1 1 0
1 6 0
1
1 2
1 0
0
0 1 0
7 6 0

线性代数方程组的解法

线性代数方程组的解法

线性代数方程组的解法关键词：线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算个阶行列式，每个阶行列式为项之和，每项又是个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达次，当较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.先来回顾一下回代过程和迭代过程.(1)是一个三角形方程组，当有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第个方程解得， (2)然后代入第个方程，可得到， (3)如此继续下去，假设已得到，， , ,代进第个方程即得的计算， (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1] (向量的范数) 若向量的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对，总是有.那么上向量的范数（或模）就是 .下面给几个最常遇到的向量范数.向量的“1”范数：(5)向量的“2”范数：(6)向量的范数：(7)例1设求 , , .解由式（5）,（6）及（7）知.定义2若矩阵的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对总有;1.矩阵的乘法不等式，即对总有，那么称为上矩阵的范数（或模）.表 1是矩阵几个常用算子范数的定义与算式.表 1范数名称记号定义计算公式“1”范数（又名列模）“2”范数（又名谱模）“”范数（又名行模）的极限就是方程组的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要适当的大,就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3设 .如果约化主元素，则可以利用高斯消元的方法把方程组约化成三角形方程组来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对依次计算（2）回代计算：3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组（重点）！3.1 高斯消元法解方程组用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.3.2列主元消元法解方程组列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第次消元前，不管的值是否等于零，都在子块的第一列中选择一个元，使，并将中的第行元与第行元互相变换（相当于交换同解方程组中的第个方程），然后再进行消元计算得到结果.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一.4用三角分解法解线性代数方程组4.1 矩阵的三角分解定义4把一个阶矩阵分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解.常见的矩阵三角分解是其中是下三角形的矩阵,是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设 .若的顺序主子式，那么存在唯一的杜利特尔分解其中是单位下三角形矩阵，为非奇异的上三角形矩阵.如果是单位下三角形的矩阵，是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组的步骤可以把它归纳为（1）实现分解，也就是1.按算式（11）（12）依次计算的第一行元与的第一列元；1.对按算式（13）（14）依次计算的第行元与的第列元.（2）求解三角形方程组，即按算式依次计算 .（3）求解三角形方程组，即按算式依次计算.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解.5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组的系数矩阵的对角阵是不为零的.5.1 用雅可比迭代法解方程组对于一般线性方程组，如果从第个方程解出，就可以把它转化成等价的方程组. （15）从而可以得到对应的迭代公式（16）这就是解一般方程组的分量形式的雅可比(Jacobi)迭代公式.如果把它改成（17）并把系数矩阵表示成（18）其中则可以看出式的左右两端分别是向量和的第个分量，故因为可逆，所以于是就可以得到是雅可比迭代的公式.其中（称为雅可比迭代矩阵）， .5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为（19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式其中（称为高斯-赛德尔迭代矩阵）， .高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存与的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放或的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1]矩阵全部的特征值的模的最大值，叫做矩阵的谱半径，记作 ,即.定理7[1]对任意初始向量迭代过程收敛的充要条件是；当时，越小，那么其收敛的速度是越快的.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散.第 7 页。

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(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种 极限过程去逐步逼近方程组的解.
经典迭代法有： Jacobi 迭代法、Gauss Seidel 迭代法、 逐次超松弛（SOR）迭代法等；
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5.1.1 向量空间及相关概念和记号
1 向量的范数
设 是n维实向量空间Rn上的范数，最常用的向量
a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 ,
(1)
a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 ,
a41 x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 b4 .
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若 a11 0 ，则以第 i(i 2, 3,4) 个方程减去
证明 我们只证按行严格对角占优的情形，这时有
n
aij | aii |, i 1, 2,L , n
j 1 ji
假设 Ax 0有非零解x (x1, x2,L , xn ),
则存在下标1 i n，使得 xi
max 1 jn
xj
0,
考虑 Ax 0的第i 行 ai1x1 ai2x2 L ain xn 0
j 1 ji
且至少有一 i 个使不等式严格成立，则称矩阵 A 为按行对角占优矩阵。若 i 1, 2,L , n 严格不等 式均成立，则称 A 为按行严格对角占优矩阵. 类似地，可以给出矩阵 A 为按列（严格）对角
占优矩阵的定义.
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定理 5.8 若 A为严格对角占优矩阵，则 A非奇异.
此时 A ( AT A) 2
若 A Rnn 为对称阵， A ( A) 2 （ 因为 ( AT A) ( A2 ) ）
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关于矩阵的谱半径与矩阵的范数之间有如下关系. 定理 5.4 设 A Rnn，则有
（1）对任意一种 A的从属范数 ，有
(A) A . （2）对任给的 0，存在一种 A的从属范数 ，
a(3) 43
x3
a(3 44
)
x4
b4(3) .
其中
a11axi(1j3) a1a2 xi(j22) al1i32x 3a2(2j)a,14 x4 i,b1j, 3, 4,
bi(3)a2(22)bxi(22)a2(l32i)2x3b2(2a)2(,42) x4 ib2(2)3, , 4.
(2)
依此方法继续a下3(22)去x2 ， a得3(32) x到3
a(2) 34
x4
b3(2) ,
a(2) 42
x2
a(2 43
)
x3
a(2) 44
x4
b4(2) ,
上一页 下一页 28
a11 x 1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 b1 ,
a(2) 22
x2
a(2) 23
x3
a(2) 24
x4
b(2) 2
,
a(3 33
)
x3
a(3) 34
x4
b3(3) ,
解： 按定义 A 6 A 7
1
Q
AT
A
1 2
3 1 4 3
2 4
10 14
14 20
I AT A 10 14 2 30 4 0 14 20
15 221
A ( AT A) 15 221 5.46 2 上一页 下一页 13
矩阵范数的等价定理：
对
n
n
从而 a ii x i a ij x j x i a ij
j 1
j 1
ji
ji
n
两边约去 xi ，得 aii aij
矛盾
j 1
ji
上一页 下一页 23
定义 5.8 称矩阵 A Rnn为一个稀疏矩阵是指 该矩阵的绝大多数元素是零.
一般说来，一个n n矩阵，如果其非零元总数 O(n)，就可称之为稀疏矩阵.
)
x3
a(2) 44
x4
b4(2) ,
其中：aa1211
x1 x1
aai(j212) x2aij a13lix1 3 a1 ja,14 x4 bai(22)2 x2bi a2l3i1x3b1, a24 x4
i,bj1, bi 2,
2, 2,
3, 3,
4, 4.
(1)
显然方aa4311程xx11组 aa（43222xx）22 和aa433原3xx33方程aa4344组xx44（ b1b43）., 等价
范数是 p范数： x ( x1, x2 ,L , xn )T
x
p
n
|
xi
|p
1/
p
,
i1
p [1,),
其中 p 1,2,是最重要的,即：
n
x 1 | x1 | | x2 | L | xn | | xi |
x
2
n i 1
xi2
1/ 2
i 1
x max(| x1 |,L ,| xn |)
第五章 线性代数方程组的解法
5.1 预备知识
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求解线性方程组 Ax b
其中
a11 a12 L a1n
A
a21
a22
L
a2n
L L L L L L L L L L
an1。
an2
L
ann
且 | A | 0
x x1, x2 ,L , xn T b b1, b2 ,L , bn T
若对 i 1, 2,L , n
有
lim
k
xi(
k
)
xi
则称向量序列{ x(k) } 收敛于向量 x ( x1,L , xn )T
命题: ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ k 时
x(k) x lim x(k ) x 0
k
这是因为
x(k) x max
|
x(k) 1
x1
|,L
,|
x(k) n
xn
|
从而当 k 时， x(k) x 与 x(k) x 0 等价
A
、A
，存在常数 m
和 M ，使得：
m A A M A
几种常用范数的等价关系：
1
A A nA
n
2
1
A A nA
n1
2
1
上一页 下一页 14
2. 谱半径： 定义 5.2 设 A Rnn, 称其特征值的按模最大值
(A) max{ : (A)} 为 A的谱半径，这里 ( A)表示 A的特征值全体.
上一页 下一页 2
利用 Cramer 法则求解时存在的困难是：当方程 组的阶数 n 很大时，计算量为 O(n!) O(n2 ) 常用计算方法: (1) 直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑计 算过程中的舍入误差，那么通过有限步运算可以获得 方程解的精确结果.
Gauss 逐步（顺序）消去法、 Gauss主元素法、矩阵分解法等；
condsp ( A)
:
max{ i ( A) min{ i ( A)
,i ,i
1,2,L 1,2,L
, n} ， , n}
定义为矩阵 A条件数，并称它为矩阵 A的谱条件数.
上一页 下一页 21
5 几种特殊矩阵
定义 5.5 若矩阵 A满足条件
n
aij aii , i 1, 2,L , n
I A L Ak L (I A)1.
上一页 下一页 18
推论 5.1 当 A 1时，则I A非奇异，且 (I A)1 1/(1 A ).
定理 5.7（Banach 引理）若矩阵 A Rnn非奇异， E Rnn且 A1 E 1，则 A E 非奇异，且
A1 ( A E)1
1 A1 E 该定理将被应用于解方程组的扰动分析和 Gauss消去法的舍入误差分析.
上一页 下一页 27
以（2）的第
i
个方程 (i 3,4) 减去
li 2
a(2) i2
/
a(2) 22
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 b1 ,
得到
a(2) 22
x2
a(2) 23
x3
a(2 24
)
x4
b2(2) ,
(3)
a(3) 33
x3
a(3 34
)
x4
b3(3) ,
使得
A ( A) .
上一页 下一页 16
3. 矩阵级数的收敛性
定义5.3 称矩阵序列 A(k) (ai(jk) ) Rnn 是收敛的，
如果存在 A (aij ) Rnn ，使得
lim
k
a(k ij
)
aij ,
i, j 1, 2,L , n
此时称 A 为矩阵序列 A(k) 的极限 记为
上一页 下一页 5
例 : 设 x (1, 3, 5,4)T , 求 x , p 1, 2, p
根据定义:
4
x 1
| xi | 13
i 1
x
2
4 i 1
1/ 2
xi2
51
x max(| x1 |,L ,| x4 |) 5
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范数的等价性
定理 5.1 对于Rn中任意两种范数 和 ，总存在常
定义 5.1 若 是Rn上任意范数,则对任一 A Rnn
A max Ax max Ax ,
x0 x
x 1
称为 A的由向量范数 导出的矩阵范数，简称 A的从属
范数.
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定理5.3 矩阵的从属范数具有下列基本性质： 1） A 0 ，当且仅当 A 0 时， A 0
2) R , A | | A
定义 5.9 如果矩阵 A Rnn的所有元素均为非负 数, 则称之为非负矩阵，并简记 A 0.