当前位置：文档之家 › 线性代数方程组的解法

线性代数方程组的解法

  • 格式：pdf
  • 大小：445.18 KB
  • 文档页数：70

下载文档原格式

  / 70

合集下载

计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法

计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法

“回代”解得

xn

bn ann


xk

1 akk
[bk

n
akj x j ]
j k 1

其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1

xi

b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i

2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)

线性代数方程组的解法

线性代数方程组的解法

2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法

07线性代数方程组的解法

07线性代数方程组的解法

总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k

n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同

解 (1)
方

程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1

a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)


11 1
12 2
1n n
1

b x 22 2
b2nxn g 2

称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1

0
1
L m 0 2
32
1

0 mn2 0


m a a
(2) (2)

i2
i2
22
i 3,4, ,n

线性方程组的解法与应用

线性方程组的解法与应用

线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。

线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。

本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。

一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。

下面将详细介绍这三种方法。

1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。

通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。

举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。

然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。

2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。

通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。

仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。

3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。

通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。

考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。

通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。

二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。

线性方程组的解法

线性方程组的解法

线性方程组的解法作为一个线性代数主题，线性方程组的解法是一个非常重要的领域。

在本文中，我们将介绍几种解决线性方程组问题的方法。

我们将从初等变换、高斯消元法、矩阵展开式等几个方面来深入探讨。

一、初等变换初等变换往往是解决线性方程组问题的起点。

我们可以对方程组进行一些基本的操作来得到一个简化的等价方程组，从而方便我们去寻找方程组的解，初等变换主要包括三种操作：1.交换方程组中的两个方程的位置。

2.将某个方程的倍数加到另一个方程上。

3.用一个非零常数来乘某个方程。

执行初等变换时，我们必须记住每个变换对解x的影响。

在交换方程x 和y 的位置时，它们的解不变，而在加上一只方程的某个倍数时，系数矩阵和右侧向量也会随之改变，但解不变。

用一个非零常数乘以方程只会改变右侧向量，同时系数矩阵也会改变。

二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组问题的另一种方法。

该方法通过使用矩阵增广形式来解决线性方程组问题。

具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中右侧向量位于最后一列。

2. 使用初等变换来将增广矩阵化为行梯阵形式。

行梯阵是矩阵的形式，其中每一行从左侧开始的第一个非零元素称为主元（pivot），每个主元下方的元素均为零。

3. 从最后一行开始，使用回带算法来求得线性方程组的解。

高斯消元法对于小规模的线性方程组可以轻松解决。

但是，在大规模问题上，该方法可能会产生误差或需要很长时间才能找到解决方案。

三、克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组问题的第三种方法。

该方法的关键在于将解决方案表示为每个未知数的一个比值。

这个比值是通过计算每个未知数对其余所有未知数的系数行列式比率而得到的。

这个方法的好处在于消去解方程组所需要的系数矩阵增广形式和行梯阵形式的需要。

但是，如果有许多未知数，计算每个比率可能会非常繁琐。

另外，如果有两个或更多个未知数系数具有相同的值，则克拉默法则计算行列式比率会失败。

四、矩阵展开式最后，我们来看一下使用矩阵展开式来解决线性方程组问题的方法。

线性代数方程组的解法

线性代数方程组的解法
上一页 下一页 3
(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种 极限过程去逐步逼近方程组的解.
经典迭代法有： Jacobi 迭代法、Gauss Seidel 迭代法、 逐次超松弛（SOR）迭代法等；
上一页 下一页 4
5.1.1 向量空间及相关概念和记号
1 向量的范数
设 是n维实向量空间Rn上的范数，最常用的向量
a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 ,
(1)
a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 ,
a41 x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 b4 .
上一页 下一页 26
若 a11 0 ，则以第 i(i 2, 3,4) 个方程减去
证明 我们只证按行严格对角占优的情形，这时有
n
aij | aii |, i 1, 2,L , n
j 1 ji
假设 Ax 0有非零解x (x1, x2,L , xn ),
则存在下标1 i n，使得 xi
max 1 jn
xj
0,
考虑 Ax 0的第i 行 ai1x1 ai2x2 L ain xn 0
j 1 ji
且至少有一 i 个使不等式严格成立，则称矩阵 A 为按行对角占优矩阵。若 i 1, 2,L , n 严格不等 式均成立，则称 A 为按行严格对角占优矩阵. 类似地，可以给出矩阵 A 为按列（严格）对角
占优矩阵的定义.
上一页 下一页 22
定理 5.8 若 A为严格对角占优矩阵，则 A非奇异.
此时 A ( AT A) 2
若 A Rnn 为对称阵， A ( A) 2 （ 因为 ( AT A) ( A2 ) ）
上一页 下一页 15

线性代数-线性方程组的解

1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0

线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。

现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。

解线性方程组的解法_图文

第三章
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：

第三章 线性方程组解法

可以看出，在计算第i个xik+1分量时，前 面i-1个分量x1k+1, x2k+1… xi-1k+1已经从上式 中计算出来了，于是很自然会想到如果 把它们代入用来计算xik+1可能会改进迭代, 于是就得到Ga大u家s好s-Seidel迭代格式： 35
§3.3 高斯－塞德尔迭代
x ik 1a 1 ii(b iij 1 1a ijxk j 1j n i 1a ijxk j),i 1 ,2 ...,n
大家好
21
§3.1 问题的提出
由原方程
8x1 x2 4 x1 10 x2
2x3 12 x3 21
3x1 2x2 5x3 16
构造
xx12((kk11))
2.5x2(k) 0.25x3(k) 1.5x1(k) 2.5x3(k)
5.25 8.0
(2) (3)
x3(k1) 4x1(k) 0.5x2(k) 6.0
§3.1 问题的提出
是方程组的精确解，用有限次运算得不到精 确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年 经司威尔提出的松弛法也是一种迭代法，共 轭梯度法则是另一种迭代法，是弗莱彻等人 于20世纪60年代提出来的。
大家好
16
§3.1 问题的提出
例3.1
5x 2y 8 3x 20 y 26
5) 给出估计误差和迭代停止判据。
大家好
25
§3.1 问题的提出
❖ 定义：在n维空间中给定一个向量序
列 x k ，xk (x1 k,x2 k,...xn k)T ，如果对每一个分
量
x
k i
,当
k
时都有极限xi,
即
lim
k
xik
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化 为梯矩阵呢？ 定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第 一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作 行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)， 矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0
−2 −2 1 1
D3 = 2 −1
故方程组的解为: D1 D2 x1 = = 1, x2 = = 2, D D
D3 x3 = = 1. D
4 − 12 ⎡0 ⎢ 3 −1 − 6 A=⎢ ⎢− 1 − 1 6 ⎢ 0 ⎣ 2 −2
第三个方程两边同乘以（－1/11）得：x3＝－2； 将x3＝－2代入第二个方程得：x2＝9； 再将x2＝9，x3＝－2代入第一个方程得：x1＝－3。 从而，方程组的解为：
x1 = − 3, x 2 = 9, x 3 = − 2
分析上例： 我们对方程组反复进行了三种变换，即： （1）互换两个方程的位置； （2）用一个非零数乘某个方程； （3）把一个方程的k倍加到另一个方程上。 我们称着三种变换为线性方程组的初等变换。
(1)
x1 , x2 ,L , xn 代表n个未知量； aij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) 称为方程组的系数； b1 , b2 ,L , bm 称为常数项。方程的个数 m 没有限制，可以：
⎧ m < n，方程组是否有解？ ⎪ ⎨ m = n，方形线性方程组，Cramer法则； ⎪ m > n，解是怎样的？ ⎩
Байду номын сангаас
Step2 把第一步中得到的方程组的第一个 方程的－2倍加到第二个方程上，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ − x2 − 5 x3 = 1, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第 一个方程的－3倍加到第三个方程上，得
⎛ a11 ⎜ ⎜ a 21 =⎜ L ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 L am 2 L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L a mn ⎟ ⎠
记作 A = Am×n
= (aij )m×n = (aij )
⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 A=⎜ L ⎜ ⎜a ⎝ m1
a12 a22 L am 2
⎛ 13 6 2i ⎞ ⎜ ⎟ 是一个 3 × 3 复矩阵, ⎜ 2 2 2⎟ ⎜ 2 2 2⎟ ⎝ ⎠
是一个 3 × 1 矩阵,
(2 3 5 9 )
是一个 1× 4 矩阵,
(4 )
是一个 1× 1 矩阵.
几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶 方阵.也可记作 An . 例如
由于方程组的系数行列式 1 −2 1 D= 2 1 − 3 = 1 × 1 × ( − 1) + ( − 2 ) × ( − 3 ) × ( − 1) −1 1 −1
+ 1 × 2 × 1 − 1 × 1 × (− 1) − (− 2 ) × 2 × (− 1) − 1 × (− 3 ) × 1 = − 5 ≠ 0,
⎡1 1 r2 − 2r1 ⎢0 −1 ⎢ ⎣ r3 − 3r1 ⎢0 2 1 − r3 , r2 − 5r3 11
4⎤ −5 1 ⎥ r3 + 2r1 ⎥ −1 20 ⎥ ⎦ 1 ⎡1 0 0 −3⎤ ⎢0 1 0 9 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 −2 ⎥ ⎣ ⎦
1 4⎤ ⎡1 1 ⎢0 −1 −5 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 −11 22 ⎥ ⎣ ⎦
2.1 高斯消元法 2.2 矩阵的秩 2.3 线性方程组解的判定
第二章
线性方程组
回顾: 根据克拉默法则
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n = b1 ⎪a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn ⎩
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ − x2 − 5 x3 = 1, ⎪ 2 x − x = 20. ⎩ 2 3
Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第 一个方程的－3倍加到第三个方程上，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ − x2 − 5 x3 = 1, ⎪ 2 x − x = 20. ⎩ 2 3
解
Step1 交换第一、第二个方程位置，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ 2 x1 + x2 − 3 x3 = 9, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
Step2 把第一步中得到的方程组得第一个 方程的－2倍加到第二个方程上，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ − x2 − 5 x3 = 1, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
例2 解线性方程组
⎧ 2 x1 + x2 − 3 x3 = 9, ⎪ ⎨ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
解 Step1 交换第一、第二个方程位置，得
⎧ x1 + x2 + x3 = 4, ⎪ ⎨ 2 x1 + x2 − 3 x3 = 9, ⎪3 x + 5 x + 2 x = 32. 2 3 ⎩ 1
−r2 , r1 − r2 − r3
以最后一个矩阵为增广矩阵的方程组为
⎧ x１ =-3 ⎪ x2 =9 ⎨ ⎪ x3 =-2 ⎩
因此方程组有唯一解，这个结果和消元法一致！
定义3 满足下列两个条件的矩阵称为梯（行阶梯）矩阵。 （1）若有零行，则零行位于非零行的下方； （2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的 元）前面零的个数逐行增加。
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21 L an1 a12 L a1n b1 a22 L a2 n b2 L L L L an 2 L ann bn
矩阵
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.
定义1 矩阵的定义 由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表 a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n 称为 m × n矩阵. M M M am 1 am 2 L amn
ri + (−
aij1
a1 j1
)r1 ,
i = 2,3,..., m.
得到：
⎛0 ⎜ ⎜0 A→ ⎜M ⎜ ⎜0 ⎝
L 0 L 0 L M L 0
a, a
1 j1
1, j1 +1
L
a
1n
0 M 0
A1
⎞ ⎟ ⎟=B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
其中A1是（m－1）x（n－j1）矩阵，对施行上面 同样的步骤，如此下去，即可得梯矩阵。
的解取决于 系数
aij (i, j = 1,2,L, n),
常数项 bi (i = 1,2,L,n)
线性方程组的一般形式
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ⎪ a x + a x +L + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm ⎩
第一节 高斯消元法
是求解线性方程组的一种基本方法。 其基本思想是通过消元变形，把方程组化成 容易求解的同解方程组。 即得到能直接求出解或者能够直接判断其无 解的通解方程组。
例1 解线性方程组
⎧ x1 − 2 x2 + x3 = −2, ⎪ ⎨ 2 x1 + x2 + −3 x3 = 1, ⎪ − x + x − x = 0. ⎩ 1 2 3