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说明： 性质 2是对增加一个维 分数 量增 （ 1）加 即 而言的，若增量 加 ,结多 论个 也分 .成即立
“线性无关向 加量 长组 ”的 向“ 量组 关必 。线 或
“线性相关向 截量 短组 ”的 向“ 量组 关必 。线
性质3： m个n维向量组成的当 向维 量 n数 小 组， 于向量m 个 时数 一定线性 . 相关
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
由于此方程组的系数 列行 式
1 01
1 1 0 20
011
故方程组 x1x只 2x3有 0 ， 零 所 向 解 以 量
b1,b2,b3线性 . 无关
证法2 由 b 1 1 2 , b 2 2 3 , b 3 3 1 ,
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22xmmb
有.解 也就是方 Ax程 b有 组解，
其 A 中 1 ,2 , n ， .
定理1 向量 b能由向量 A线组性表示的充分
条件是矩 A阵 (1，2， ,m)的秩等于矩阵 B(1，2， ,m,b)的秩 .
0
,
1
显 1 ， 然 2 ， 3 线性 无 1 ， 2 ， 3 关 也， 无故 关
线性表示、线性相关、线性无关三者的关系
定的充理分3 必向要量条组件1是, 2, 1, , 2（,m 当, m m中2至时少）有线一性个相向关
量可由其余 m1个向量线性表示．
a m 1 1 22 m 1 m 1
4
,3
1,
0 1 t
问t取何值,时 向量组线性无 ;t取关何值,时
向量组线性相 . 关
353
解：因为 1 2 3 2 4 12t3
0 1 t
所以 ,当t 3时,向 2
量组 123线性
无 ;
关
t
3时,向 2
量组 123线性相 . 关
例已 4 知 向 1,2, 量 3线 组 性 ,b1无 1关 2, b223,b331,试b1 证 ,b2,b3线性 . 无
注意:
1若 . 1,2,,n线性无 ,则关 只有
1 n 0时 ,才有
1122nn0成立 .
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就
线性.相关
3向 . 量组只包含 时 ,若 一 个 0则 向说 量 线性,相 若 关 0,则说 线性无 . 关
4包 . 含零向量的 组任 是何 线向 性量 .相
•向量 •线性方程组解的结构
n维向量的概念
定义 由 n个有次序的数 a1,a2,L ,an 构成的有序数组称为一个 n维向量，简记为α
即 α a 1,a 2, ,a n ．其中 a1,a2,L ,an
称为向量的分量， n称为向量的维数．
也可以写成一列
b1
b
2
b
n
例 已知α 3,4,12 ,β 2,3, 2,2
T 1
的向量组1T ,2T , mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
T m
线性方程组的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
xx x b
11 22
nn
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个 n维列向量所组 组 1,成 2,的 ,m,向
构成m 一 n个 矩阵
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
向量组的线性相关性质
性质1： 若 向量 A： 组 1,2,,m线性,则 相关 向量 B:组 1,,m,m1也线性 .反相 言 ,若 关 之 向
量B 组 线性,则 无 向关 量 A也 组线性 . 无关
说明： 性质1可推广:为 一个向量组若有线 相关的部分组，量 则组 该线 向性相 . 特 关别地， 含有零向量的向线 量性 组相 必.关反之，若一 向量组线性无关的 ，任 则何 它部分组都关 线. 性
而不是 “每一个”
定理 4：向量A组 :1,2,,m线性无 ,向关 量组 B:1,,m,b线 性 相 向 关量 b必 能 由 向 量
A线性表 ,且示 表示式是 . 唯一的
例6
已 知 向量 1， 组 2， 3 线 性 相关 2， ， 3， 4
线 性 无 关 ，1） 问 1可 ：否 （由 2,3线 性 表 示
类似，A若 经矩 初阵 等列B 变 ，换 A 则 的变 列向量 B的 组列 与向量 . 组等价
且等价的俩矩标 阵号 的的 相列 同向量 相同的线性相关性。
线性相关性的概念
定义３ 给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零 k1,的 k2,数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
证法1 设x有 1,x2,x3使
x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因 1， 2， 3线性无关， 全故 为系 零数 ，
为 什 么2？ ）（ 4是 否 可 1， 由 2， 3 线 性 表 示 ？
(1,2,3) 1 2 4
0 2 2
1 5 7 r13 ( 1 ) 0 5 5
r 23
(
5 2
)
1 0
0 2
2 2
，
~
0 0 0
可r(见 1,2,3)2，故 向 1,2,量 3线 组 性相 r(1,2)2, 故向 1,量 2线 组 性 . 无关
3 5 3
例3:设向量组1
2,2
5.对于含有两个向量 量组 的 ,它向线性相关的 充要条件是两向量 量对 的应 分成比例，义 几何 是两向量共线；量 三相 个关 向的几何意向 义是 量共面 .
向量1， 组 2， ，m到底线性相关 ，还
也即齐次线性方程组
x1
Ax [ 1 , 2 ,
,
m
]
x
2
x
m
x 1 1 x 2 2 x m m 0
性质2： 设
a1j
j a 2j ,
arj
a1j
a2j
bj ,
arj
ar1,
j
( j 1,2, ,m),
即j添上 一个分量后b得 j.若向向量量 A： 组 1,2, ,m线性无 ,则关 向量 B： b组 1,b2,,bm也线性无
关.反言之，若 B线 向性 量相 ,组 则关 向量 A也组线 性相.关
若记A（1,2,,m)和B（b1,b2,,bs).B
能由A线性表示，即对每 量b个 j ( j 向 1,2, ,s)存 在数k1j ,k2j ,kmj,使
b j k 1 j1 k 2 j2 k m m j
k1 j
（ 1 , 2 ,
, m
)
k2 j
,
kmj
从而
k11 k12
（ b1,b2,,bs) （1,2,,m)
k21
k22
km1 km2
k1s k2s kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的 因此，有结论：
结论 1： 若Cmn AmsBsn，则矩 C的 阵列向量组能
矩阵 A的列向量组线B性 为表 这示 一， 表示的 矩阵：
b11 b12 b1n
例１ n 维向量组
e 1 1 , 0 , , 0 T , e 2 0 , 1 , , 0 T , ， e n 0 , 0 , , 1 T
称为 n维单位坐标 ,讨向 论量 其组 线性 . 相
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵 由 E 10，及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向
类似 ,矩地 A 阵 (aij)m n又m 有 个 n维行向量
a 11 a 12 a 21 a 22
a 1 n a2n
T 1
T 2
A a i1 a i2
或r(I)=n，得线性无关。
例２ 已知
1
0
2
1 1，2 2，3 4，
1
5
7
试讨 论 1 ， 2 ， 向 3 及 量 1 ， 2 的 组线.性
解 分析
对矩阵1（ ，2，3），施行初等行变 成行阶梯形,可 矩同 阵时看出矩 1， 阵 2， （3） 及（ 1，2）的秩，利用 2即定可理得出.结论
~ 1 0 2 r12 ( 1 ) 1 0 2
1 0 1
即有 (b1,， b2,b3)(a1,a2,a3)1 1 0
可对应B 记 A 作C.
0 1 1
由 1 01
C1 1 0 20 011
知 r(B )r(A )而 . 利2 ， 用 r(A 知 定 )3,进 理而 向量 b1,组 b2,b3线性.无关
接下来，我们的 给线 出性 常相 用关判定 个性质：
计算： 2α3β
解： 2 α 3 β 2 3 1 , 2 , 4 3 2 , 2 , , 32 ,
6 ,8 , 2 , 4 6 ,9 , 6 ,6 0,1,7 8,2
