3.4文克勒地基上梁的计算

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3.4文克勒地基上梁的计算

等于F0之半，且指向上方。根据
符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
O
F0
wF 0exco xs sin x
2kb
+V 符号规定
wF 0exco xs sin x
2kb
将上式对x依次取一阶、二阶和三阶导数：
w F 2 k 0A x b ， F k 02B b x,M 4 F 0C x,V F 2 0D x
如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p 及其对应的沉降值s。
kp p/ s,
p为平均反力， s为刚性荷载板沉降值
对粘性土地基：
承压板边长
k (bp /b)kp
30cm
太沙基建议的方法：1ch*1ch的方形载荷板
砂土
考虑了砂土的变形模量随深度逐渐增大的影响。
w e x C 3 cx o C 4 s sx i n
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C，则上式成为
w e x C cx o ss x i n
F0 x
静力平衡条件：再在O点处紧靠
F0的左、右侧把梁切开，则作用于O点左右两侧截面上的剪力均
M V b d d p / 2 q x x d d / 2 d M x x d x 0 M dM V dx
q d ( V d x ) V b p 0d x dV bpq
dx
EI
d2w dx2
M
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
Ed d I4w 4xdd2M 2xd dV xb pq 对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
dd4xw4

文克尔地基上的龙门吊轨道基础梁计算

0． 90
三桩
3 218
27 899
3 218
2 930
0． 91
四桩
4 208
33 324
4 208
4 022
0． 96
六桩
6 072
43 885
6 072
5 296
0． 87
注：Nk 为荷载效应标准组轴心竖向力作用下，基桩或复合基桩的平均竖向力
2． 2 筏板设计
本工程上部结构的荷载由旋喷桩承担，筏板通过将相邻柱下的承台连成整体，主要起到以下作用：筏板与其上覆土的自重提供
M/kN·m
300 200 100
0 -100
-5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 14 X/m
图 6 地基梁弯矩分布示意图
5 结语
运用文克尔地基上的无限长梁模型，可以计算如龙门吊轨道基础梁等类似构件的内力、变形及基底反力。计算方法具有计算过程简便，计算结果精确等优点。对于半无限长梁、有限长梁亦可运用文克尔地基上的半无限长梁、文克尔地基上的有限长梁理
（ 2K），最终有：
θ=
－
P0 λ2 K
Bx
，M
=
P0 4λ
C
x
，Q
=
－
P0 2
Dx
（ 8）
其中， Ax = e － λx （ cosλx + sinλx）； Bx = e － λx sinλx （ 9）
Cx = e － λx （ cosλx － sinλx）； Dx = e － λx cosλx
建筑工业出版社，1993．
2 000，翼缘厚度 hf = 300，梁截面示意图见图 3。梁混凝土强度等［2］ GB 50007-2002，建筑地基基础设计规范［S］．

连续基础

(4)邻近荷载的影响
基底反力呈现双拱形分布
5.地基非均质性的影响
软硬硬
软
(a)
(b)
图 3-5 地基压缩性不均匀的影响
软硬硬
软
软
硬
软硬
图 3-6 不均匀地基上条形基础柱荷载分布的影响
3.2.2 地基变形对上部结构的影响
整个上部结构对基础不均匀沉降或挠曲的抵抗能力，称为上部结构刚度，或称为整体刚度。根据整体刚度的大小，可将上部结构分为柔性结构、敏感性结构和刚性结构三类。以屋架-柱-基础为承重体系的木结构和排架结构是典型的柔性结构。由于屋架铰接于柱顶，这类结构对基础的不均匀沉降有很大的顺从性，故基础间的沉降差不会在主体结构中引起多少附加应力。但是，高压缩性地基上的排架结构会因柱基不均匀沉降而出现围护结构的开裂，以及其他结构上和使用功能上的问题（详见2.4.3节）。因此，对这类结构的地基变形虽然限制较宽，但仍然不允许基础出现过量的沉降或沉降差。
(a)基底网格；（ b）地基计算分层
zi
j
z i-1
这种模型能够较好地反映地基土
i
• 3.3.4相互作用分析的基本条件和常用方法 • 分析中应满足两个基本条件： • ①静力平衡条件 F 0 M 0 • ②变形协调条件。
3.4 文克勒地基上梁的计算
3.4.1 无限长梁的解答
w e
x
C cos x sin x
静力平衡条件：再在O点处紧靠F0 的左、右侧把梁切开，则作用于O 点左右两侧截面上的剪力均等于F0 之半，且指向上方。根据符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得 C=F0λ/2kb 。 +V F0

第三章柱下条形基础筏形和箱形基础

2. 当荷载分布不均匀，有可能导致较大的不均匀沉降时；
3. 当上部结构对基础沉降比较敏感，有可能产生较大的次应力或影响使用功能时。
3.柱下条形基础、筏形和箱形基础
筏形基础
定义：是指柱下或墙下连续的平板式或梁板式钢筋
✓ 有限长梁解答
✓ 短梁（刚性梁）
6
第3章柱下条形基础、筏形和箱形基础
无限长梁的解答
1. 微分方程式
EI
d 2w dx2
M
上式连续对坐标x取两次导数，得
EI d 4w d 2M bp q
dx4
dx2
对没有分布荷载作用的梁段
d4w d2M EI dx4 dx2 bp
（3－9）（3－10）
右侧截面有M
M 0
/
2, 得C4
M02
/
kb,于是有
w M 0 2 ex sin x
kb
对x求一阶、二阶、三阶导数，得
w
M 0 2
kb
Bx
,
M 0 3
kb
Cx, M
M0 2
Dx ,V
M0
2
Ax
第3章柱下条形基础、筏形和箱形基础
计算承受若干个集中荷载的无限长梁上任意截面的内力，可分别计算各荷载单独作用时在该截面引起的效应，然后叠加得到共同作用下的总效应。
与该点竖向位移s成正比 p k s
k—地基抗力系数或基床系数，kN/m3，可查表1-12及1-13(P.25)
微分方程及其解答 (a)
O
控制方程
d 4w dx 4
4
4w
0
x dx q
q
(b)
x
V
V+dV
M

地基基础共同作用

构刚度较好时的柱下条形基础。
3.6 柱下条形基础
3.6.2 内力计算 (3)柱下条形基础的计算步骤
①确定基础底面尺寸
构造要求地基承载力基础长度 l 基础底面宽度b 将基础视为刚性矩形基础
②基础底板计算
翼板可视为肋梁两侧的悬臂，计算肋梁根部的剪力和弯矩，然后按斜截面的抗剪强度确
定翼板厚度并由肋梁根部的弯矩M 计算翼板内的横向配筋。
按基础的预估沉降量确定
按载荷试验成果确定[例3-1]3.5 地基上梁的数值计算
3.5.2 有限单元法梁的刚度矩阵[Kb]，地基刚度矩阵[Ks]，地基柔度矩阵[δs]，则地基梁的平衡方程（[Kb]+ [Ks]）{w}={P} [K]{w}={P}
3.6 柱下条形基础
3.6.0 概述
柱下条形基础是常用于软弱地基上框架或排架结构的一种基础类型。优点：刚度大，调整不均匀沉降能力强。适用范围：地基弱、压缩性不均匀、敏感性上部结构。
而集中荷载作用下地基中的应力已有弹性解答。由此可以得到
地基中的附加应力分布，于是可以用分层总和法求出地基表面任意点的沉降。以此为基础利用叠加法可以求得所有荷载同时作用时地基表面各点的沉降。这就是有限压缩层地基模型的基本思想。
3.4 文克勒地基上梁的计算
3.4.0 弹性地基梁挠曲微分方程及其通解
无限长梁承受集中荷载F0作用时的基本解答： F w 0 e x (cos x sin x )
2kb
求导可得，
F0 F0 2 F0 F0 w Ax , Bx , M C x ,V Dx 2kb kb 4 2
Ax~Dx可由表3-1查
3.4 文克勒地基上梁的计算
3.4.1 无限长梁的解答

基础工程A卷地下--答案

南京工业大学基础工程试题（A）卷（开）2009-2010 学年第2学期使用班级地下0701-0702班级学号姓名一、选择题1. 在进行浅基础内力计算时，应采用下述何种基底压力？( A )A基底净反力B基底总压力C基底附加压力2. 刚性基础通常是指( C )。

A箱形基础B钢筋混凝土基础C无筋扩展基础3. 下列关于基础埋深的正确叙述是( C )A在满足地基稳定性和变形要求前提下，基础应尽量浅埋，当上层地基的承载力大于下层土时，宜利用上层土作持力层。

除岩石地基以外，基础埋深不宜小于0.6m B位于岩石地基上的高层建筑，其基础埋深应满足稳定要求，位于地质地基上的高层建筑，其基础埋深应满足抗滑要求C基础应埋置在地下水位以上，当必须埋在地下水位以下时，应采取措施使地基土在施工时不受扰动D当存在相邻建筑物时，新建建筑物的基础埋深一般大于原有建筑物基础4. 地基承载力标准值的修正根据。

( D )A 建筑物的使用功能B 建筑物的高度C 基础类型D 基础的宽度5.文克勒弹性地基模型的基本概念是假定地基任一点所受的压力强度p只与该点的地基变形s成正比，比例系数称为基床系数，试问基床系数的量纲是什么？( C )A kN/mB kN/m2C kN/m36. 按倒梁法求得条形基础的支座反力R i一般与柱荷载F i不相等，不能满足支座静力平衡条件，其原因是( A )。

Ⅰ. 计算中假设地基反力为线性分布；Ⅱ. 柱脚为不动脚支座；Ⅲ. 假设地基反力为曲线分布；Ⅳ. 计算误差。

A Ⅰ，ⅡB Ⅱ，ⅢC Ⅲ，ⅣD Ⅰ，Ⅳ7. 在文克勒地基上梁的计算中，特征长度愈大．则梁的刚度( A )。

A 相对于地基的刚度越大B 相对于地基的刚度越小C 无影响8. 可按基底反力直线分布计算筏形基础的内力的条件，下列说法中，正确的是( A )Ⅰ. 地基土比较均匀；Ⅱ. 相邻柱荷载及柱间距的变化不超过20%；Ⅲ. 上部结构刚度较好，梁板式筏基梁的高垮比或板的厚跨比不小于l/6；Ⅳ. 上部结构刚度较好，梁板式筏基梁的高跨比或板的厚跨比小于1/6。

文克尔地基上的有限长梁计算

w
M 02
K
Bx
பைடு நூலகம்
M 03
K
Cx
其中
M
M0 2
Dx
Ax ex (cosx sin x)
V
M 0
2
Ax
Bx ex sin x
Cx ex (cosx sin x)
Dx ex cosx
Ax、Bx、Cx、Dx的数值可以查表确定
3、有限长梁的判定
实际工程中的梁是属于无限长梁还是有限长梁并非
以梁的绝对尺寸划分，而是通过荷载在梁端引起
的影响是否可以忽略来判断。定义为地基上的
柔度系数
l
λL>=π 为长梁（柔性梁）
π/4<λL<π 为有限长梁（有限刚度梁）
λL<=π/4 为短梁（刚性梁）
4、有限长梁的计算
由于有限长梁确定积分常数比无限长梁复杂，这里采用简化方法，根据前面无限长梁的解，利用叠加原理求得满足有限长梁两自由端边界条件的解答。
变形协调方程： s p w k
由以上三式解得：令
d 4w EhI dx4 Bkw Kw
λ为梁的柔度特征值
4 kB
4Eh I
上式表示为：
d 4w dx4
44
w
0
即为文克尔地基上同时满足静力平衡和变形协调的梁的挠曲微分方程
方程的通解为:
w(x) ex (C1 cos x C2 sin x) ex (C3 cos x C4 sin x)
参考文献
[1]侯兆霞，习盼会，文克尔地基上基础梁内力简化分析方法，石家庄铁道大学学报（自然科学版），2010.23（3）：7-13
[2]张晓玲,浅谈弹性地基梁的计算方法,山西建筑，2008,34（5）： 150-151

文克尔地基上的有限长梁计算

基础梁计算方法：
基础梁承受着整个建筑物的重量和外来荷载，所以它的安全度关系着整个建筑物能否正常用。因此建筑物的设计者对基础梁的研究十分重视，使基础梁的计算内力尽可能与实际受力相接近, 从而合理设计、合理配筋。
目前基础梁的实用工程分析法多采用两种方法: 完全不考虑上部结构-基础-地基的共同作用或只考虑基础-地基的共同作用。
w
M 02
K
Bx
M 03
K
Cx
其中
M
M0 2
Dx
Ax ex (cosx sin x)
V
M 0
2
Ax
Bx ex sin x
Cx ex (cosx sin x)
Dx ex cosx
Ax、Bx、Cx、Dx的数值可以查表确定
3、有限长梁的判定
实际工程中的梁是属于无限长梁还是有限长梁并非
以梁的绝对尺寸划分，而是通过荷载在梁端引起
文克尔地基上的有限长梁计算
研究背景
土质地基上受多个集中力作用的有限长梁, 是工程实践中时常遇到的一种力学模型。
基础梁：工程中，结构物与地基的连接方式主要取决于地基的条件和荷载的大
小这两个方面。如果地基的条件比较好，荷载比较小，可以直接通过墙柱的作用，将荷载传至地基，但是如果地基的条件比较差，荷载比较大，就需要通过设置基础梁，基础梁的作用是把上部结构的重量、荷载等外力比较均匀地传给地基，可以在一定程度上调节建筑物沉降，使其均匀化，以减小地基所受压力的强度，使地基满足承载力的要求。因此，基础梁被广泛应用在工业与民用建筑上。常用的基础梁包括：柱下条形基础、柱下交叉条形基础、筏形基础和箱型基础等。
1.建立文克尔地基上梁的挠曲微分方程：

连续基础

4）临近荷载影响受影响一侧沉降加大，引起反力卸载，反力向基础中部转移。
2. 地基非均质性影响
同样荷载在不同地基上，情况不同。荷载分布不同，地基相同情况不同，注意功能布置。
3.2.2 地基变形对上部结构影响

上部结构刚度：上部结构对基础不均匀沉降抵抗能力称为上部结构刚度。分为柔性、敏感性、刚性三类。排架结构、柔性，基础沉降不会对结构内力产生大附加应力，围护结构开裂。砌体结构、框架结构，属敏感结构，基础沉降会引起较大附加内力。烟囱、水塔、剪力墙,刚性结构,只发生倾斜、不会挠曲。

5、端部外伸长度为跨跨距的0.25倍。 6、梁顶底纵向受力钢筋除应满足计算要求外，顶部受力钢筋全部贯通，底面通常钢筋面积不少于底面受力钢筋总面积的1/3。（可能出现整体弯曲，内力分析不准） 7、h>450mm时，在梁的两侧面应沿高度配置纵向构造钢筋，不小于截面0.1%，间距≤200，拉筋连接，直径同箍筋，500~700，箍筋通常6~12； h>800时，直径不宜小于8mm，宽350，采用双肢箍筋；宽>800时，采用六肢箍筋。翼板横向受力钢筋由计算确定，直径不应小于 10mm，间距100~200mm。分布筋8~10mm，间
ij 1 2 / E0
优点：
1）能扩散应力和变形，可以反应临近荷载的影响。 2）扩散能力超过地基实际情况。 3）计算沉降量和地表的沉降范围较实测大。
未考虑地基成层性，非均质性，土体应力应变关系的非线性等因素。
3.3.3 有限压缩层地基模型

把计算沉降的分层总和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。
柔性基础
2）刚性基础

基础工程第三章连续基础

s R
其中柔度系数按分层总和法计算：
ij
k 1
m
kijH ki
Eski
弹性半空间地基模型的优缺点：能考虑应力扩散，能考虑相邻荷载的影响。且能考虑地基土的分层变化。但仍不能考虑土的应力应变非线性。弹性半空间地基模型的适用条件：分层的各种土组成的地基。
3.4文克勒地基上梁的计算
M 02 M 0 3 M M 剪力，归纳公式为： w Bx， C x，M 0 Dx，V 0 Ax kb kb 2 2
x x Ax e (cosx sin x)，Bx e sin x 式中 x x C e (cos x sin x ) ， D e cosx，均可按x查表获得。 x x 当 x 0 时，取其绝对值计算，所得结果 w、M取相反符号、V 正负条形基础、十字交叉条形基础、筏板式基础和箱形基础等的统称。也可简称为梁板式基础。连续基础具有以下特点： (1)基底面积大、承载能力高，适用于荷载集中的高层建筑和荷载较大的工业建筑； (2)能增大上部结构整体刚度，减小建筑物的不均匀沉降； (3)对于埋置深度较大的箱形基础，可以考虑挖除的土重对建筑物荷载的补偿作用； (4)连续基础造价较高； (5)连续基础设计计算较为复杂。连续基础是地基上的多跨连续受弯构件，其弯曲内力和挠曲变形都与地基、基础以及上部结构的相对刚度有关，因此，综合考虑地基、基础与上部结构相互作用，并选择适宜的地基计算模型，才能经济高效地完成连续基础的工程设计。
2.弹性半空间地基模型
假定地基为弹性半空间力学介质，由Boussinesq解,
P(1 2 ) 地基沉降：s w( x, y,0) E0 r
si i1 p1 f1 i 2 p2 f 2 ... in pn f n ij R j 第i单元地基沉降：

文克勒地基上梁的挠曲微分方程

由梁上竖向的静力平衡条件得：
F 0
dV Bp q dx
M 0
dM V dx
根据材料力学，梁挠度w的
微分方程式为：
Ec I
d 2w dx2

M
式中: Ec ——梁材料的弹性模量（kPa）; I ——截面惯性矩（m4）。
dM V dx
dV Bp q dx
将
Ec I
2、地基非均质性的影响
外荷载及基础相同，地基不同，基底反力不同
2、地基非均质性的影响
外地基及基础相同，外载荷不同，基底反力不同
二、地基变形对上部结构的影响
整个上部结构对基础不均匀沉降或挠曲的抵抗能力，称为上部结构的刚度或整体刚度，根据其大小分为：
柔性结构敏感结构
刚性结构
1、柔性结构
∑F－作用在基础上的竖向外荷载和基底反力之和 ∑M－外荷载和基底反力对基础任一点的力矩之和
2、变形协调条件（接触条件）
变形前后基础与地基总是保持接触，不得脱开，即基础底面任一点的挠度wi应等于该点的地基
沉降si：
wi si
§3.4文克勒地基上梁的计算
一、微分方程式
从宽度为B的梁，取出长为dx为一小段梁元素，其上作用着分布荷载q和基底反力p以及截面上的弯矩M和剪力V。
(2)考虑基础—地基共同作用分析法 (3)考虑上部结构-基础-地基共同作用分析法
§3.3 地基计算模型
地基计算模型：在进行地基上梁和板的分析时，能够表达基底压力分布和地基沉降的关系式，最常用的三种线性弹性模型：
文克勒地基模型弹性半空间地基模型
有限压缩层地基模型
一、文克勒地基模型 (又称“基床系数法”）

文克勒地基模型

文克勒地基模型：地基上任意一点所受的压力强度p与该点的地基沉降量s成正比，即 p=ks 式中比例系数k称为基床反力系数刚性桩：当桩很短或桩周土很软弱时，桩、土的相对刚度很大，属刚性桩。

扩展基础的分类：无筋扩展基础（墙下条形基础、柱下独立基础）和钢筋混凝土扩展基础（墙下钢筋混领土条形基础、柱下钢筋混凝土独立基础）Pk =( FK+GK)/A各物理量的含义： GK=γGAd γG=20P k ：相应于荷载标准组合时，基础底面的平均压力值FK：相应于荷载标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力值GK：基础自重和基础土重，若在地下水以下部分应扣去浮托力地基基床系数：1.按基础的预估沉降量确定：k=P0/Sm（p基地平均附加压力 sm基础的平均沉降量）2. 对于为h的薄压缩层地基，k=Es/h（Es土层的平均压缩模量）弹性半空间地基模型：是将地基视为均质的线性变性半空间，并用弹性力学公式求解地基中的附加应力或位移的一种模型。

S=P(1-μ2) /πEor预制桩的沉桩方式：锤击沉桩法，振动沉桩法，静压沉桩法群桩效应：在竖向荷载的作用下，由于承台、桩、土的相互作用，群桩基础中的一根桩单独受荷时的承载力合沉降性状，往往与相同地质条件和设置方法的同样独立单桩有显著差别，这种现象称之为群桩效应。

软弱下卧层：承载力显著低于持力层的高压缩性土层沉管灌注桩：是指采用锤击沉管打桩机或振动沉管打桩机，将套在预制钢筋混凝土桩尖或带有活瓣桩尖的钢管沉入土层中成孔，然后边灌注混凝土、边锤击或边振动边拔出钢管并安放钢筋笼而形成的灌注桩。

竖向荷载作用下单桩沉降构成：（1）：桩身弹性压缩引起的桩顶沉降。

（2）：桩侧阻力引起的桩周土中的附加应力一压力角向下传递，致使桩端下土体压缩而产生的桩端沉降。

（3）：桩端荷载引起桩端下土体压缩所产生的桩端沉降。

基底附加压力P0：基底压力与基础建造前土中自重应力之差P=Pk-σc d（σc d基地处土的自重应力值）振动法沉桩：是采用振动锤进行沉桩的施工方法，适合可塑状的黏性土和沙土对受振动时土德抗剪强度有较大降低的砂土地基和自重不大的钢桩，沉桩效果更好桩按性质和竖向受力情况分类：端承型桩和摩擦型桩条形基础内力计算方法分类：简化计算法和弹性地基梁法按规范承载力表确定承载力特征值时，基础宽度如何修正：当基底宽度小于3m 时按3m考虑，大于6m时按6m考虑摩擦型群桩承台脱地的情况下群桩效应受三个因素影响是：承台的刚度影响、基土性质的影响、桩距s的影响影响基础埋深的主要因素是那几个条件：与建筑物有关的条件、工程地质条件、水文地质条件、地基冻融条件、场地环境条件相邻建筑物基础影响及处理措施：靠近原有建筑物新修建的新基础时，如基坑深度超过原有的基础埋深，则可能引起原有基础下沉或倾斜。

弹性地基梁计算理论及算例讲义

（一）集中荷载作用的特解项
1、集中力作用的特解项。
y 为OA如段的图挠3.度5为表一达弹式，性yd 地d 24 为xy41 基AB4 梁段4，y的1O挠o端度作表用达有式初，参由数梁上、无分、布3.1荷6 o a载、作o用，，AM点故o 有OAQ集和o中A力Bp段。的设挠y1
曲微分方程分别为
d d4 xy 4244y2o
上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非齐次微分
方程，令式中
EId4y ky0 dx4
qx o ，即得对应齐次微分方程：
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为寻找
四个线性无关的特解，令
y e rx 并代入上式有：
4 K
EI
或 4Kcosisin
3.16b
当前第20页\共有45页\编于星期五\19点
4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解
其中 x xxp
式（3.16a）的解可用梁端初参数来表示，即
y 1y o 1 o2 1 2 M o2 b 2 k3 Q ob k 4
（3.17）
式（3.16b）的解可用初参数作用下的解y1与集中力pi单独作用下引起的附加项叠
当前第6页\共有45页\编于星期五\19点
2. 半无限体弹性地基模型
✓优点：
✓缺点：
本章所讨论的弹性地基梁计算理论采用局部弹性地基模型。
当前第7页\共有45页\编于星期五\19点
3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其初参数解
基本假设：
当前第8页\共有45页\编于星期五\19点
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
1. 局部弹性地基模型
✓优点：

文克勒地基模型及地基系数分布规律

目前，主要有两种弹性地基模型：一种是温克勒地基模型；另一种是半空间弹性体地基模型；此外尚有介于两种模型之间的双参数弹性地基模型以及有限压缩层地基模型等。

文克勒地基模型是原捷克斯洛伐克工程师文克勒(WINKLER)1876年提出的，其基本假定是地基上任一点的弯沉L，仅与作用于该点的压力P成正比，而与相邻点处的压力无关，反映压力与弯沉值关系的比例常数K称为地基反应模量，即：`K=(P)/(L)`式中K——地基的反应模量(MPa/m或MN/m3)；P——单位压力(MPa)；L——弯沉值(m)。

根据上述假定，可以把地基看作是无数彼此分开的小土柱组成的体系，或者是无数互不相联的弹簧体系。

文克勒地基模型由于假设简单，K值测试方便，被广泛采用，但这种地基模型有明显的缺点，它忽略了地基中剪应力的存在，与实际情况出入较大。

文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，而正是由于剪应力的存在，地基中的附加应力才能向旁扩散分布，使基底以外的区域发生沉降。

凡力学性质与水相近的地基，例如抗剪强度很低的半液态土﹙如淤泥、软粘土﹚地基或基底下塑性区相对较大时，采用文克勒地基模型就比较合适。

文克勒地基又可称为稠密液体地基，地基反应模量K相当于液体的密度，地基反力相当于液体的浮力。

此外，厚度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基也适于采用文克勒地基模型。

﹙这是因为在面积相对较大的基底压力作用下，薄层中的剪应力不大的缘故。

﹚实际上，沉陷也发生在受压范围以外。

半无限弹性体假设：假设地基是半无限理想弹性体，采用弹性力学中半无限大弹性地基的沉陷公式来计算地基的沉陷。

显然一般土壤与理想弹性体是有区别的。

土壤是颗粒体，而且不能或几乎不能承受拉力。

因此，必须土壤中没有拉应力发生时，这个土壤地基才能当做连续体看待。

中厚度假设：假设地基是中等厚度的弹性层(有限压缩层)，用弹性力学导出地基的沉陷公式。

按照后两种假设计算基础梁时，必须把问题区分为平面问题和空间问题，前者又必须区分为平面应力问题和平面形变问题。

弹性地基梁的计算

第3章弹性地基梁的计算计算基础梁常用的三种假设： (1)地基反力按直线分布的假定； (2)文克尔假定；(3)地基为弹性半无限体(或弹性半无限平面)的假定。

3.1按文克尔假定计算基础梁的基本方程1. 弹性地基梁的挠度曲线微分方程根据文克尔假定，地基反力用下式表达。

Ky =σ (3-1) 式中，σ－任一点的地基反力（kN/m 2）y －相应点的地基沉陷量（m ）K －弹性压缩系数（kN/m 3）梁的角变，位移、弯矩、剪力及荷载的正方向均如图中所示。

推导出基础梁的挠度曲线微分方程。

图3-1从弹性地基梁中取出微段，根据平衡条件∑y =0，得 (dQ Q +)－Q +dx x q )(－dx σ＝0 化简后变为)(x q dx dQ-=σ (3-2) 再根据∑M =0，得M －(M +dM )+(dQ Q +)dx +2)(2)()(22dx dx x q σ-=0 整理并略去二阶微量，则得dx dM Q =(3-3) 由式(3-2)和式(3-3)，知)(22x q dx Md dx dQ -==σ (3-4)若不计剪力对梁挠度的影响，则由材料力学中得dx dy =θdx d EJM θ-== 22dx y d EJ - (3-5)33dx y d EJ dx dM Q -== 将式(3-5)代人式(3-4)，并应用式(3-1)，则得)(44x q Ky dx yd EJ +-= (3-6) 令 α＝44EJ K（3-7）代入式(3-6)，得)(444444x q K y dx y d αα=+ (3-8)式中α叫做梁的弹性标值。

式(3-8)就是弹性地基梁的挠度曲线微分方程。

为了便于计算，在上式中用变数x α代替变数x ，二者有如下的关系：)()()(x d dy dxx d x d dy dx dy αααα== (3-9) 将上式代入式(3-9)，则得)(44)(44x q K y x d y d αα=+ (3-10)2. 挠度曲线微分方程的齐次解解的一般形式为：x x sh C x x sh C x x ch C x x ch C y ααααααααsin cos sin cos 4321+++= （3-11）在上式中引用了2x x e e x sh ααα--=， 2xx e e x ch ααα-+=3.2按文克尔假定计算短梁1. 初参数和双曲线三角函数的引用图示一等截面基础梁，设左端有位移0y ，角变0θ、弯矩0M 和剪力0Q ，它们的正方向如图中所示。

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在选择计算方法时，除了按λl值划分梁的类型外，还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。
在实际工程中，基础梁还存在一端为有限梁端，另一端为无限长，称为半无限长梁。
3.4.4基床系数的的确定
基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布、土的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。
1 ）按预估沉降量计算 k p0 / s m
解上述方程组得：
FA El Fl Dl Va El Fl Al M a Fl El Dl Vb Fl El Al M b Va M A El Fl Cl El Fl Dl M a 2 Vb Fl El Cl Fl El Dl M b 2 FB Fl El Dl Va Fl El Al M a El Fl Dl Vb El Fl Al M b Va M B Fl El Cl Fl El Dl M a 2 V El Fl Cl b El Fl Dl M b 2
O
F0
+V
符号规定
F0 x w e cos x sin x 2kb
F0 x w e cos x sin x 2kb
将上式对x依次取一阶、二阶和三阶导数：
F0 F02 F0 F0 w Ax ， Bx , M Cx ,V Dx 2kb kb 4 2
一、文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3

把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根弹簧代替。压力与变形成正比。基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图形按直线规律变化。
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
d 4w EI 4 bp dx
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
采用文克勒地基模型时
d w EI 4 bp dx p ks
4
sw
d w EI 4 bkw dx
4
d w kb w0 4 dx EI
4
文克勒地基上梁的挠曲微分方程
柔度特征值： 4 kb
4 EI
λ单位为m-1,其倒数为特征长度。 λ值与地基基床系数和梁的抗弯刚度有关， λ值越小，则基础的相对刚度愈大。
d w kb w0 4 dx EI
4
d 4w 4 4 w 0 4 dx
四阶常系数线性常微分方程
d w 4 4 w0 4 dx
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底压力分别引起的沉降之和，即
即对于整个基础有
[δ]称为地基柔度矩阵
优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近荷载的影响。缺点：模型的扩散能力往往超过地基实际情况，沉降量和沉降范围比实测结果大。未能考虑到地基的成层性、非均质性以及土体应力应变关系的非线性等重要因素。
优点：较好地反映了地基土扩散应力和变形地能力，反映邻近荷载的影响；考虑了土层沿深度和水平方向的变化。缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑性重分布。
四、相互作用基本条件
两个条件 1）静力平衡外荷载和基底反力作用下满足 2）变形协调
F 0 M 0
3、多个集中荷载作用下无限长梁计算
集中力
M
F
0
4
C
x
V F 0 Dx 2
集中力偶
把各荷载单独作用时在该截面引起的效应叠加，即得到共同作用下的总效应： F F 集中力 M 4 C V 2 D
0
0
x
x
集中力偶
注意：1）在每次计算时，均需把坐标原点移到相应的集中荷载作用点处；正确利用对称性； 2）Aa、Da、Cb等系数是根据相应λx 值分别查表得到；
反力图（a ）（b）
反力图（c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础
适用范围： 1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层地基； 3）塑性区较大时； 4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系代替群桩。优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传递剪力。
M Vdx bpdx dx / 2 qdx dx / 2 M dM 0 qdx (V dV ) V bpdx 0
dM V dx
dV bp q dx
d2w EI 2 M dx
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
d 4w d 2M dV EI 4 bp q 2 dx dx dx
Ax e x cos x sin x , Bx e x sin x x x C x e cos x sin x , Dx e cos x
对F0左边的截面（x＜0），需用x 的绝对值代入计算，计算结果为w和M时正
基础工程
青岛理工大学土木工程学院地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构性、流变性、剪胀性。影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、应力历史。

进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变关系，表达这种关系模式称为地基模型。

掌握有限长梁的计算
有限长梁的计算步骤：
1、将有限长梁视为无限长梁，求解所有集中力和力偶作用下梁端A,B处的内力，并叠加为 M a Va M b Vb 2、在无限长梁A,B处施加梁端边界条件力MA，PA ，MB，PB, 使其产生的A,B处的内力为，-Ma，-Va ，-Mb，-Vb；可求出梁端边界条件力。 3、在无限长梁上，计算梁上外荷载以及两端边界力共同作用下无限长梁上待求位置处的内力及位移。
对于厚度为h的薄压缩层地基
物理意义：使土体产生单位位移所需的应力；
s
s
m

h /E
z
s

p h /E
0
k Es / h 有分层时 hi k 1/ Esi

2）按载荷试验成果确定如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p 及其对应的沉降值s。
w ex C3 cosx C4 sin x
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C，则上式成为
w exCcosx sin x
F0 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
静力平衡条件：再在O点处紧靠 F0的左、右侧把梁切开，则作用于O点左右两侧截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根据符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
3.4.2有限长梁
思路：把有限长梁转化为无限长梁计算。
以无限长梁为基础，利用叠加原理来求得满足有限长梁两自由边界条件的解答。
附加荷载FA 、MA和FB 、MB称为梁端边界条件力。
设外荷载在梁ⅡA、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别
为Ma、Va及Mb、Vb，则
FA FB MA MB Cl Dl M a 4 4 2 2 F A FB M A M B Dl Al Va 2 2 2 2 FA FB M A MB Cl Dl M b 4 4 2 2 FA FB M A M B Dl Al Vb 2 2 2 2
三、有限压缩层地基模型有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：

ij

t 1
nc
tij hti
E sti
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
x
O
M 0 2 x w e sin x kb
求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：
M 02 M 03 w Bx , Cx kb kb M0 M 0 M Dx , V Ax 2 2
当计算截面位于M0的左边时，上式中的x取绝对值，w和M取与计算结果相反的符号，而和V的符号不变。
特征方程特征方程根
4
r 4 0
4 4
r1, 2 1 i r3, 4 1 i
解得该方程的通解为：
w e (C1 cos x C2 sin x) e
x
x
(C3 cos x C4 sin x)
d 2w M EI 2 dx
式中C１、C２、C３和C４为积分常数
dw dx
dM d 3w V EI 3 dx dx
p kw
we
x
C1 cosx C2 sin x ex C3 cosx C4 sin x
F0 x
O
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下边界条件：当x→∞时，w→0。将此边界条件代入上式，得C１=C２=0。梁的右半部，上式成为：
M0 M
q
M+dM V+dV
+q

x w bp
挠曲曲线
V bp x
+V
+M
w
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定

3.4文克勒地基上梁的计算

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