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非线性文克尔地基上的刚性板计算首先，我们来了解一下文克尔地基理论。
文克尔地基理论是一种用于计算地基承载力和变形的经典方法，最早由德国土木工程师Franz Anton von Walther-Wilhelm von-Winkler于1860年提出。
文克尔地基理论的基本假设是地基土壤为弹性土，承载力和变形由方向与水平面垂直的应力所控制。
然而，在实际工程中，地基土壤的非线性特性必须考虑。
非线性土壤的力学行为包括应力-应变关系的非线性、抗剪强度的非线性和应变软化等。
因此，为了更准确地评估刚性板在非线性土壤中的承载力和变形，非线性文克尔地基理论应运而生。
在非线性文克尔地基上的刚性板计算中，首先需要确定地基土壤的本构模型。
常用的非线性本构模型有Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager 模型和Cam-Clay模型等。
其中，Mohr-Coulomb模型是最常用的本构模型之一，它描述了土壤的抗剪强度和应力-应变关系。
接下来，通过文克尔地基理论的基本原理，可以得出非线性文克尔地基上的刚性板的承载力公式。
在这个公式中，考虑了地基土壤的非线性特性，并且将土壤的抗剪强度和应力-应变关系考虑在内。
通过计算，可以得到刚性板在非线性土壤中的承载力和变形。
在工程实践中，非线性文克尔地基上的刚性板计算广泛应用于各种地基工程中。
例如，在建筑物、桥梁和堤坝等结构的设计中，刚性板的承载力和变形特性是非常重要的参数。
通过非线性文克尔地基的计算，可以准确评估刚性板的承载能力，从而确保结构的安全性和稳定性。
总之，非线性文克尔地基上的刚性板计算是建立在文克尔地基理论的基础上，考虑了地基土壤的非线性特性。
通过这种计算方法，可以准确评估刚性板在非线性土壤中的承载力和变形特性，为地基工程的设计和施工提供重要的参考。
随着计算机技术的不断发展，非线性文克尔地基计算方法也得到了更加广泛的应用和提升。
文克勒地基模型文克勒地基模型：地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基沉降S成正比，即p＝kS式中比例常数k称为基床系数，单位为kPa／m 。
﹙地基上某点的沉降与其它点上作用的压力无关，类似胡克定理，把地基看成一群独立的弹簧。
﹚﹙文克勒假设：假设每单位面积上所受的压力与地基沉陷成正比。
这一假设可以用于变宽度的基础梁，也可用于任何形状的基础板。
但按此假设，沉陷只发生在地基的受压部分。
﹚文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，而正是由于剪应力的存在，地基中的附加应力才能向旁扩散分布，使基底以外的地表发生沉降。
凡力学性质与水相近的地基，例如抗剪强度很低的半液态土﹙如淤泥、软粘土﹚地基或基底下塑性区相对较大时，采用文克勒地基模型就比较合适。
此外，厚度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基也适于采用文克勒地基模型。
﹙这是因为在面积相对较大的基底压力作用下，薄层中的剪应力不大的缘故。
﹚实际上，沉陷也发生在受压范围以外。
半无限大弹性体假设：假设地基是半无限大理想弹性体，采用弹性力学中半无限大弹性地基的沉陷公式来计算地基的沉陷。
显然一般土壤与理想弹性体是有区别的。
土壤是颗粒体，而且不能或几乎不能承受拉力。
因此，必须土壤中没有拉应力发生时，这个土壤地基才能当做连续体看待。
中厚度假设：假设地基是中等厚度的弹性层(有限压缩层)，用弹性力学导出地基的沉陷公式。
按照后两种假设计算基础梁时，必须把问题区分为平面问题和空间问题，前者又必须区分为平面应力问题和平面形变问题。
如果地基是均匀整岩，或是很厚的均匀土层，才能用半无限大弹性体假设来计算。
如果可压缩土层的厚度和基础的最大水平尺寸同阶大小，则须按照中厚度地基假设来计算。
如果地基的可压缩层较薄，与基础的最大水平尺寸相比，成为一个很薄的垫层，那就可以按照文克勒假设来计算。
基础梁的计算通常有两种方法:一种是导出基础梁的基本方程(微分方程和积分方程)，然后求解这些方程。
在文克勒假设下，基本方程成为四阶线性常系数的微分方程，可以用初参数法求解。
文克勒地基模型：地基上任意一点所受的压力强度p与该点的地基沉降量s成正比，即 p=ks 式中比例系数k称为基床反力系数刚性桩：当桩很短或桩周土很软弱时，桩、土的相对刚度很大，属刚性桩。
扩展基础的分类：无筋扩展基础（墙下条形基础、柱下独立基础）和钢筋混凝土扩展基础（墙下钢筋混领土条形基础、柱下钢筋混凝土独立基础）Pk =( FK+GK)/A各物理量的含义： GK=γGAd γG=20P k ：相应于荷载标准组合时，基础底面的平均压力值FK：相应于荷载标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力值GK：基础自重和基础土重，若在地下水以下部分应扣去浮托力地基基床系数：1.按基础的预估沉降量确定：k=P0/Sm（p基地平均附加压力 sm基础的平均沉降量）2. 对于为h的薄压缩层地基，k=Es/h（Es土层的平均压缩模量）弹性半空间地基模型：是将地基视为均质的线性变性半空间，并用弹性力学公式求解地基中的附加应力或位移的一种模型。
S=P(1-μ2) /πEor预制桩的沉桩方式：锤击沉桩法，振动沉桩法，静压沉桩法群桩效应：在竖向荷载的作用下，由于承台、桩、土的相互作用，群桩基础中的一根桩单独受荷时的承载力合沉降性状，往往与相同地质条件和设置方法的同样独立单桩有显著差别，这种现象称之为群桩效应。
软弱下卧层：承载力显著低于持力层的高压缩性土层沉管灌注桩：是指采用锤击沉管打桩机或振动沉管打桩机，将套在预制钢筋混凝土桩尖或带有活瓣桩尖的钢管沉入土层中成孔，然后边灌注混凝土、边锤击或边振动边拔出钢管并安放钢筋笼而形成的灌注桩。
竖向荷载作用下单桩沉降构成：（1）：桩身弹性压缩引起的桩顶沉降。
（2）：桩侧阻力引起的桩周土中的附加应力一压力角向下传递，致使桩端下土体压缩而产生的桩端沉降。
（3）：桩端荷载引起桩端下土体压缩所产生的桩端沉降。
基底附加压力P0：基底压力与基础建造前土中自重应力之差P=Pk-σc d（σc d基地处土的自重应力值）振动法沉桩：是采用振动锤进行沉桩的施工方法，适合可塑状的黏性土和沙土对受振动时土德抗剪强度有较大降低的砂土地基和自重不大的钢桩，沉桩效果更好桩按性质和竖向受力情况分类：端承型桩和摩擦型桩条形基础内力计算方法分类：简化计算法和弹性地基梁法按规范承载力表确定承载力特征值时，基础宽度如何修正：当基底宽度小于3m 时按3m考虑，大于6m时按6m考虑摩擦型群桩承台脱地的情况下群桩效应受三个因素影响是：承台的刚度影响、基土性质的影响、桩距s的影响影响基础埋深的主要因素是那几个条件：与建筑物有关的条件、工程地质条件、水文地质条件、地基冻融条件、场地环境条件相邻建筑物基础影响及处理措施：靠近原有建筑物新修建的新基础时，如基坑深度超过原有的基础埋深，则可能引起原有基础下沉或倾斜。
板壳理论课程设计第一部分 学习心得第二部分文克勒地基上的基础板解题法题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为a=1.6m,厚度0.08m δ=，如图所示，四边均为简支边，在薄板的中心受有集中力的作用，0 1.07F e N =。
取薄板弹性模量E =205a GP ，泊松比0.3μ=，1k =，取坐标轴如图所示， 方法1——纳维解法当并无支座沉陷时，其边界条件为200222200222()0,()0,()0,()0,()0,()0,()0,()0.x x x a x a y y y by b w w x w w xww y w w y========∂==∂∂==∂∂==∂∂==∂ 把挠度w 的表达式取为如下的重三角级数：11sin sin mn m n m x n yw A a b ππ∞∞===∑∑（1）其中的m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（1）代入弹性曲面的微分方程4D w q ∇=中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时，弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。
在文克勒地基中，地基对薄板所施反力的集度P ，是和薄板的挠度w 成正比而方向相反，即p kw =-，这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p q +，因此薄板弹性曲面的微分方程oX须改变成为4k q D w w D D∇+= 此时，将荷载q 也展为同一形式的级数，即（2） 将式（1）和式（2）代入微分方程4k qD w w D D∇+=中，即得 002242224sin sin ()a b mnm x n yq dxdy ab a b A m nD ka bπππ=++⎰⎰（3） 当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F 时，可以得到当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F 时，可以用微分面积dxdy 上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q ，于是除了在(),ξη处的微分面积上等于F dxdy以外，在其余各处都等于零。
近几年的考题中经常有关于文克勒地基模型的选择题整理了一些相关的资料：目前，主要有两种弹性地基模型：一种是温克勒地基模型；另一种是半空间弹性体地基模型；此外尚有介于两种模型之间的双参数弹性地基模型以及有限压缩层地基模型等。
文克勒地基模型是原捷克斯洛伐克工程师文克勒(WINKLER)1876年提出的，其基本假定是地基上任一点的弯沉L，仅与作用于该点的压力P成正比，而与相邻点处的压力无关，反映压力与弯沉值关系的比例常数K称为地基反应模量，即：`K=(P)/(L)`式中 K——地基的反应模量(MPa/m或MN/m3)；P——单位压力(MPa)；L——弯沉值(m)。
根据上述假定，可以把地基看作是无数彼此分开的小土柱组成的体系，或者是无数互不相联的弹簧体系。
文克勒地基模型由于假设简单，K值测试方便，被广泛采用，但这种地基模型有明显的缺点，它忽略了地基中剪应力的存在，与实际情况出入较大。
文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，而正是由于剪应力的存在，地基中的附加应力才能向旁扩散分布，使基底以外的区域发生沉降。
凡力学性质与水相近的地基，例如抗剪强度很低的半液态土﹙如淤泥、软粘土﹚地基或基底下塑性区相对较大时，采用文克勒地基模型就比较合适。
文克勒地基又可称为稠密液体地基，地基反应模量K相当于液体的密度，地基反力相当于液体的浮力。
此外，厚度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基也适于采用文克勒地基模型。
﹙这是因为在面积相对较大的基底压力作用下，薄层中的剪应力不大的缘故。
﹚实际上，沉陷也发生在受压范围以外。
半无限弹性体假设：假设地基是半无限理想弹性体，采用弹性力学中半无限大弹性地基的沉陷公式来计算地基的沉陷。
显然一般土壤与理想弹性体是有区别的。
土壤是颗粒体，而且不能或几乎不能承受拉力。
因此，必须土壤中没有拉应力发生时，这个土壤地基才能当做连续体看待。
中厚度假设：假设地基是中等厚度的弹性层(有限压缩层)，用弹性力学导出地基的沉陷公式。
目前，主要有两种弹性地基模型：一种是温克勒地基模型；另一种是半空间弹性体地基模型；此外尚有介于两种模型之间的双参数弹性地基模型以及有限压缩层地基模型等。
文克勒地基模型是原捷克斯洛伐克工程师文克勒(WINKLER)1876年提出的，其基本假定是地基上任一点的弯沉L，仅与作用于该点的压力P成正比，而与相邻点处的压力无关，反映压力与弯沉值关系的比例常数K称为地基反应模量，即：`K=(P)/(L)`式中K——地基的反应模量(MPa/m或MN/m3)；P——单位压力(MPa)；L——弯沉值(m)。
根据上述假定，可以把地基看作是无数彼此分开的小土柱组成的体系，或者是无数互不相联的弹簧体系。
文克勒地基模型由于假设简单，K值测试方便，被广泛采用，但这种地基模型有明显的缺点，它忽略了地基中剪应力的存在，与实际情况出入较大。
文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，而正是由于剪应力的存在，地基中的附加应力才能向旁扩散分布，使基底以外的区域发生沉降。
凡力学性质与水相近的地基，例如抗剪强度很低的半液态土﹙如淤泥、软粘土﹚地基或基底下塑性区相对较大时，采用文克勒地基模型就比较合适。
文克勒地基又可称为稠密液体地基，地基反应模量K相当于液体的密度，地基反力相当于液体的浮力。
此外，厚度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基也适于采用文克勒地基模型。
﹙这是因为在面积相对较大的基底压力作用下，薄层中的剪应力不大的缘故。
﹚实际上，沉陷也发生在受压范围以外。
半无限弹性体假设：假设地基是半无限理想弹性体，采用弹性力学中半无限大弹性地基的沉陷公式来计算地基的沉陷。
显然一般土壤与理想弹性体是有区别的。
土壤是颗粒体，而且不能或几乎不能承受拉力。
因此，必须土壤中没有拉应力发生时，这个土壤地基才能当做连续体看待。
中厚度假设：假设地基是中等厚度的弹性层(有限压缩层)，用弹性力学导出地基的沉陷公式。
按照后两种假设计算基础梁时，必须把问题区分为平面问题和空间问题，前者又必须区分为平面应力问题和平面形变问题。
板壳理论课程设计
第一部分 学习心得
第二部分文克勒地基上的基础板解题法
题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法
设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为a=1.6m,厚度0.08m δ=，如图所示，四边均为简支边，在薄板的中心受有集中力的作用，0 1.07F e N =。
取薄板弹性模量E =205a GP ，泊松比0.3μ=，1k = ，取坐标轴如图所示， 方法1——纳维解法
当并无支座沉陷时，其边界条件
为
(((( 把挠度w 的表达式取为如下的重三角级数：
11
sin sin mn m n m x n y
w A a b ππ∞
∞
===∑∑（1）
其中的m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（1）代入弹性曲面的微分方程4D w q ∇=中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时，弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。
在文克勒地基中，地基对薄板所施反力的集度P ，是和薄板的挠度w 成正比而方向相反，即p kw =-，这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p q +，因此薄板弹性曲面的微分方程
o
X
须改变成为4k q
D w w
D D
∇+=
此时，将荷载q也展为同一形式的级数，即
（2）
将式（1）和式（2）代入微分方程4
k q
D w w
D D
∇+=中，即得
00
22
42
22
4
sin sin
()
a b
mn
m x n y
q dxdy
ab a b
A
m n
D k
a b
ππ
π
=
++
⎰⎰
（3）
当薄板在任意一点()
,ξη受集中荷载F时，可以得到
当薄板在任意一点()
,ξη受集中荷载F时，可以用微分面积dxdy上的均布荷载F
dxdy
来代替分布荷载q，于是除了在()
,ξη处的微分面积上等于F
dxdy
以外，在其余各处都等于零。
22
42
11
22
sin sin
4
sin sin
()
m n
m n
F m x n y
a b
w
m n
ab a b
D k
a b
πξπη
ππ
π
∞∞
==
=
++
∑∑（4）由题意，当集中荷载作用在薄板中心时，中心处()
0.8,0.8的挠度最大，将坐标点()
0.8,0.8代入式（4）,结果如下图所示
00
11
4
sin sin sin sin
a b
m n
m x n y m x n y
q q dxdy
ab a b a b
ππππ
∞∞
==
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
∑∑⎰⎰
解得max 3.092e w =-
方法2——差分法
2.1网格（4*4）差分法
用4*4网格求解4a h ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭。
由于对称，只有3个独立的未知值，即123,,w w w ，
取坐标如下所示
当中心结点1受有集中荷载0F 时，把荷载作为均匀分布在2h 的面积上，于是该结点处的荷载集度为0
02
F q h =
，而在其他结点处，荷载集度均为零。
对于简支边外一行虚结点处的挠度，就等于边界内一行相对结点处的挠度，而符号相反。
即
323,,a b c w w w w w w =-=-=-
另外，前面提到过，文克勒地基板上的基础板导出弹性曲面的微分方程如下：
4
k q D w w D D ∇+=，在结点1处4440142241112q
w w w k w x x y y D
D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂+++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
据此，为1,2,3结点建立差分方程如下：
()()()4401
2
3
42132432120842(4),2082220,208(2)20q kh w w w h D D kh w w w w D kh w w w D
⎛
⎫+-+= ⎪⎝⎭
⎛
⎫
+-++= ⎪⎝⎭⎛
⎫
+-+= ⎪⎝
⎭
整理得出关于w 的线性方程组矩阵如下：
20 2.68328824 2.681621620 2.68e e e +--⎡⎤
⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦
123w w w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4.161589e-200⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由此得到该3个结点处的挠度为:
1 3.642w e =- ，
2 2.082w e =- ，
3 1.302w e =-
最大挠度为max 1 3.642w w e ==-
2.2网格（8*8）差分法
用8*8的网格求解8a h =。
由于对称，取1
4
薄板为研究对象，建立如下坐标系，
并标注结点如图所示 取坐标如下所示
边界外虚结点
,,,,a b c d e 的挠度
分别为：
7810914,,,,a b c d e w w w w w w w w w w =-=-=-=-=-
建立差分方程如下所示：
44012434
2434125525274
32574861114
452136484
5(20)8(4)2(4)4(),
8(20)8()2()20,
(20)8(2)2(22)20,
(20)8(22)2(2)220,
(20)q kh a w w w w D D kh w w w w w w w w w w w w D kh w w w w w w w w w D kh w w w w w w w w D kh w D +-++=+-++++++++++=+-+++++++=+-++++++=+-36482710521210154
651048893134
783115221074
857103648898()2()0,
(20)8(22)2()220,
(20)8(2)2(22)20,
(20)8()2()0,
(20w w w w w w w w w w w w kh w w w w w w w w w D kh w w w w w w w w w D kh w w w w w w w w w w D +++++++++++=+-+++++++=+-++++++-=+-++++++-+=+4
910106894
108695105107)8()2()220,
(20)8()2()0.
kh w w w w w w D kh w w w w w w w w w D
-+++-=+-+++++-+=整理得出关于w 的线性方程组矩阵如下：
1.0403972000000000e -⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
20+1.6e-9
3248000000825+1.6e-98166010001820 1.6e-941628400216422+1.6e-916202000
38823+1.6e-98280300221620+1.6e-90421601804020+1.6e-916020
02182821+1.6e-9180000020220+1.6e-9160000381-----+-----------------8822+1.6e-9⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
12345678910w w w w w w w w w w ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由此得到10个结点挠度如下：
由此可得最大结点挠度为：
max 1 3.292
w w e ==-
方法3——有限元解法（利用Abaqus 工程软件）
3.1创建一个三维实体，边长均为1.6m ，厚度为0.08m
（1）建模分网
（2）创建边界条件
678910 1.2821.0020.9020.3520.672
w e w e w e w e w e =-=-=-=-=-12345 3.292
2.7821.9522.4421.752
w e w e w e w e w e =-=-=-=-=-
（3）求解并查看结果（单位mm ）
最大挠度
max 3.0042w e m
=-
三种方法的结果比较如下： ➢ 纳维解法：
代入计算，解得挠曲线为重三角级数时中心点处最大挠度为max 3.092e m w =-
➢ 差分法：
4*4网格：最大挠度 max 1 3.292w w e m
==-
8*8网格：最大挠度差分法中， 8*8网格的解答更靠近理论解，较为精确
➢ 有限元法：
三维薄板：正方形板中心处挠度最大，最大挠度为
（ 1.07,0.08F e N m δ==）
纳维解法 差分法 有限元法
条件 重三角级数 （4*4）网格 （8*8）网格 三维薄板
()max w m 3.092e -
13.642e -
3.292e - 3.0042e - 误差
15.1%
6.07%
2.78%
max 1 3.642w w e m
==-max 3.0042w e =-。
