万有引力和天体运动专题
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授课教案
一、新课导入
二、知识点回顾
☆重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。
物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等，即（黄金代换式），式中g0为地球表面附近的重力加速度，R0为地
球的半径．所以在求第一宇宙速度时，可以用，也可以用
☆星球表面及其某一高度处的重力加速度的求法：
1．地球表面的重力加速度：
由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所
受的重力就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g。
则根据万有引力定律（R0为地球的半径）。
该式也适用于其他星体表面。
2．离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律：（R0为地球的半径）
☆随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度
放于地面上的物体随地球自转所需的向心力由地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对它的引力提供．两个向心力的数值相差很多，如质量为 1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N。
对应的两个向心加速度的计算方法
也不同，譬如放于赤道上的物体随地球自转的向心加速度，式中T为地球自转周期，
R0为地球半径；卫星绕地球环绕运行的向心加速度，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离。
☆万有引力和天体运动：
1．基本方法：
把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，即：
，应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。
2．天体质量M、密度ρ的估算：
测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期T，由得：，
（当卫星绕天体表面运动时，）
3．卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系：
（1）由得：，即；（r越大，v越小）
（2）由得：，即；（r越大，ω越小）
（3）由得：，即；（r越大，T越大）
说明：
①卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在一一对应关系，一旦r 确定，则v、ω、T、a皆确定，与卫星的质量m无关。
②对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周期T变大，线速度v、角速度ω、向心加速度a变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度ω、向心加速度a增大。
4．运行速度和发射速度：
对于人造地球卫星，由得：，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。
但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，势能增大，所以向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难，将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度就越大。
宇宙速度就是常见的发射速度：
（1）第一宇宙速度（环绕速度）：v＝7.9km／s；（地球卫星的最小发射速度）
（2）第二宇宙速度（脱离速度）：v＝11.2km／s；（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度）
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v＝16.7km／s．（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度）
5．卫星的变轨问题：
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。
由得：，由此可知轨道半径r越大，卫星的速度越小。
当卫星由于某种原因速度突然改变时，F和不再相等，因
此就不能再根据来确定r的大小。
当时，卫星做近心运动；当时，卫星做离心运动．
6．地球同步卫星：
（1）所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球具有相同周期的卫星，T＝24小时．
（2）同步卫星必位于赤道上方 h处，且 h是一定的。
证明如下：
如图假设卫星在轨道 B上跟着地球的自转同步地作匀速圆周运动，卫星运动的向心力来自地球对它的引力F引，F引中除用来作向心力的F1外，还有另一部分F2，由于F2的作用将使卫星运行轨道靠向赤道，只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。
由得：（ω0为地球自转的角速度）
得h＝r－R0＝35800km是一个定值。
（3）环绕速度：在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速度也一定，且为v＝3.08（km／s）
（4）变轨道发射：发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射，如图：
首先，利用第一级火箭将卫星送到180～200km 的高空，然后依靠惯性进入圆停泊轨道（A ）；当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B ），且轨道的远地点（D ）为35800km ；当到这远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道C 。
这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求较低；二是发射场的位置不局限在赤道上。
三、 例题讲解
1．月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月球连线上某点O 做匀速圆周运动。
据此观点，可知月球与地球绕O 点运动生物线速度大小之比约为
A ．1：6400 B.1:80 C. 80:1 D:6400:1
2.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比
A.轨道半径变小
B.向心加速度变小
C.线速度变小
D.角速度变小
3.已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。
若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为
A ．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时
4.2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度
B.在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D.在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度
5．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个
重大太空探索项目。
假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期1T ，神舟飞船在
地球表面附近的圆形轨道运行周期为2T ，火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球
半径之比为q ，则1T 与2T 之比为
A. 3pq
B. 31pq
C. 3p q
D. 3q p
四、 课堂练习
1．一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上。
已知万有引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
A.124π3G ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.1234πG ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.12πG ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.12
3πG ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2.月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a ，设月球表面的重力加速度大小为1g ，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为2g ，则
（A ）1g a = （B ）2g a = （C ）12g g a += （D ）21g g a -=
3．火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的 1.5倍。
根据以上数据，以下说法正确的是
A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B ．火星公转的周期比地球的长
C ．火星公转的线速度比地球的大
D ．火星公转的向心加速度比地球的大
4.为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。
假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2。
火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G 。
仅利用以上数据，可以计算出
A ．火星的密度和火星表面的重力加速度
B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C ．火星的半径和“萤火一号”的质量
D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
5.如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。
引力常数为G 。
⑴ 求两星球做圆周运动的周期。
⑵ 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。
但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。
求T 2与T 1两者平方之比。
（结果保留3位小数）。
