万有引力与天体运动讲义
［本章要点综述］
1.开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。
3
2r k T
= （K 值只与中心天体的质量有关） 2.万有引力定律： 12
2m r
F G m =⋅
万 （1）赤道上万有引力：F mg F mg ma =+=+引向向 （g a 向和是两个不同的物理量，） （2）两极上的万有引力：F mg =引
3.忽略地球自转，地球上的物体受到的重力等于万有引力。
2
2
GMm mg GM gR R
=⇒=(黄金代换) 4.距离地球表面高为h 的重力加速度：
()
()()
2
2
2
GMm
GM
mg GM g R h g R h R h '''=⇒=+⇒=
++
5.卫星绕地球做匀速圆周运动：万有引力提供向心力 2
GMm
F F r
==万向 (1)
22
GMm GM
ma a r r
=⇒= （轨道处的向心加速度a 等于轨道处的重力加速度g 轨）
(2)2
2Mm v G m r r
=得 ∴r 越大，v 22
GMm v m v r r =⇒=
(3)由2
2
Mm G
m r
r ω=得 ∴r 越大，ω 22GMm m r r ωω=⇒= (4)由
2
224Mm G m r r T
π=得 ∴r 越大，T
2
22GMm m r T r T π⎛⎫
=⇒=
⎪⎝⎭
6.中心天体质量的计算： 方法1：2
2gR GM gR M G
=⇒=
（已知R 和g ）
方法2：2v r
v M G
==
（已知卫星的V 与r ）
方法3：23r M G
ωω== （已知卫星的ω与r ）
方法4：2323
2
44r r T M GM GT
ππ=⇒= （已知卫星的周期T 与r ） 方法5：已知3
2324GM v r v T M G r T GM ππ⎧=⎪⎪⇒=
⎨⎪
=⎪⎩
（已知卫星的V 与T ） 方法6：已知33GM v v r M G GM
r ωω⎧=
⎪⎪⇒=⎨
⎪=⎪⎩
（已知卫星的V 与ω，相当于已知V 与T ） 7.地球密度计算： 球的体积公式：34
3
V R π=
22332
3
2322()3434r M M r R V mM G m GT R r r GT T M ππρππ=⎧⎪⎪=⇒⎨===⎪⎪
⎩
近地卫星23GT πρ= (r=R) 8.
发射速度：采用多级火箭发射卫星时，卫星脱离最后一级火箭时的速度。
运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动时的线速度．当卫星“贴
着” 地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。
第一宇宙速度(环绕速度）：7.9km/s 。卫星环绕地球飞行的最大运行速度。地球上发射卫星
的最小发射速度。
第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s 。 使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运
行，从地球表面发射所需的最小速度。
第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s 。使人造卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外
的宇宙空间去，从地球表面发射所需要的最小速度。
［要点精析］
1、人造卫星
⑴万有引力提供向心力：
⑵同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相同的周期 ①周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，
T＝24 h.
②角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度．
③轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内．
④高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的高度约为h=3.6×104 km.
⑤环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同．
2.卫星变轨和卫星的能量问题
⑴人造卫星在圆轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。
⑵轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大。也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。
⑶解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解
①若F供＝F 求，供求平衡——物体做匀速圆周运动．
②若F 供＜F 求，供不应求——物体做离心运动．
③若F 供＞F 求，供过于求——物体做向心运动．
卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目
的，可以通过加速(离心)或减速(向心)实现．
⑷速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星(或行
星)越近速率越大．
⑸加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加
速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速
度。
3.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同：
1．轨道半径：r同>r近＝r物
2．运行周期：T同＝T物>T近
3．向心加速度：a近>a同>a物
4.双心问题
在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星．
它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为M1 和M2，相距L，求它们的角速度．
如图，设M1的轨道半径为r1，M2 的轨道半径为r2，由于两星绕O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为ω，根据万有引力定律有：
1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等．
(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相
