万有引力与天体运动

万有引力与天体运动

一、 基本题型

1． 求天体的质量(或密度)

①根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体半径求天体的质量

由mg=G 2R

Mm

得 G g R M 2=.（式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速

度和天体的半径．）

[例1]宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星

球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.

②根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量

卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得

222224T

mr mr r v m r Mm G πω===

若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体的质

量为G r GT r G rv M 322

3224ωπ=== [例2]下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ）

A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r

B.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r

C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r

D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r

2． 人造地球卫星的运动参量与轨道半径的关系问题

根据人造卫星的动力学关系ma T

mr mr r v m r Mm G ====222

224πω 可得2

323,4,,r

GM

a GM r T r GM r GM v ====πω

由此可得线速度v 与轨道半径的平方根成反比；角速度ω与轨道半径的立方的平方根成反比，周期T 与轨道半径的立方的平方根成正比；加速度a 与轨道半径的平方成反比．

[例3]两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为8:1:=B A T T ，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）

A. 2:1:,1:4:==B A B A v v R R

B. 1:2:,1:4:==B A B A v v R R

C. 1:2:,4:1:==B A B A v v R R

D. 2:1:,4:1:==B A B A v v R R

3． 地球同步卫星问题

卫星在轨道上绕地球运行时，其运行周期（绕地球一圈的时间）与地球的自转周期相同，这种卫星轨道叫地球同步轨道，其卫星轨道严格处于地球赤道平面内，运行方向自西向东，运动周

期为23小时56分（一般近似认为周期为24小时），由22

24T

mr r Mm G π=得人造地球同步卫星

的轨道半径km r 4

1024.4⨯=，所以人造同步卫星离地面的高度为km 4

106.3⨯,利用

r v m r

Mm G 2

2=可得它运行的线速度为3.07 km/s.总之，不同的人造地球同步卫星的轨道、线速

度、角速度、周期和加速度等均是相同的．不一定相同的是卫星的质量和卫星所受的万有引力．

人造地球同步卫星相对地面来说是静止的，总是位于赤道的正上空，其轨道叫地球静止轨道．通信卫星、广播卫星、气象卫星、预警卫星等采用这样的轨道极为有利一颗静止卫星可以覆盖地球大约40％的面积，若在此轨道上均匀分布3颗卫星，即可实现全球通信或预警．为了卫星之间不互相千扰，大约30左右才能放置1棵，这样地球的同步卫星只能有120颗．可见，空间位置也是一种资源。

[例4]关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（ ）

A.已知它的质量是1.24 t ，若将它的质量增为2.84 t ，其同步轨道半径变为原来的2倍

B.它的运行速度为7.9 km/s

C.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播

D.它距地面的高度约为地球半径的5倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的

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4． 求天体的第一宇宙速度问题

人造地球卫星的线速度可用r v m r

Mm G 2

2=求得r GM v =可得线速度与轨道的平方根成

反比，当r=R 时，线速度为最大值，最大值为7.9 km/s. (实际上人造卫星的轨道半径总是大于地球的半径，所以线速度总是小于7.9 km/s ）这个线速度是地球人造卫星的最大线速度，也叫第一宇宙速度．发射人造卫星时，卫星发射的越高，克服地球的引力做功越大，发射越困难，所以人造地球卫星发射时，一般都发射到离地很近的轨道上，发射人造卫星的最小发射速度为7. 9 km/ s.

在其他的星体上发射人造卫星时，第一宇宙速度也可以用类似的方法计算，即

v=

R

GM

=gR ，式中的M 、R 、g 分别表示某星体的质量、半径、星球表面的重力加速度． [例5]若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（ ）

A. 2 km/s

B. 4 km/s

C. 16 km/s

D. 32 km/s

5． 地面上物体随地球自转做圆周运动问题

因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供，受力分析如图所示．

实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持

物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图所示．这个重力与地面对物体的支持力是一对平衡力．在赤道上时这些力在一条直线上．

在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律可得其动力学关

系为222

24T

mR ma mR N R Mm G πω===-向，式中R 、M 、ω、T 分别为地球的半径、质量、

自转角速度以及自转周期。