工程力学圆轴扭转教材

第7章扭转§7.6 扭转变形计算刚度条件1 2 圆轴扭转时的变形刚度条件一、圆轴扭转时的变形pT d dxGI ϕ=l d ϕϕ=∫l pT dx GI =∫p Tl GI =相对扭转角ϕ抗扭刚度p GI 分段轴或阶梯轴：pd T GI dx ϕ=之前推导出扭转刚度条件 二、刚度条件pd T dx GI ϕ=ϕ′=ϕ′用 表示变化率d dxϕ称为单位长度扭转角(相当于l =1)(rad/m)p T GI lϕϕ′==180 (/m)p T GI ϕπ′=× []maxmaxT GI ϕϕ′′=≤扭转强度条件 扭转刚度条件 []max tT W ττ=≤316t DW π=[]maxmaxpT GI ϕϕ′′=≤432p DI π=已知 、 和，校核强度 T D []τ已知 和，设计截面 T []τ已知 和 ，确定许可载荷 []τD已知 和，设计截面 T []ϕ′已知 、和 ，校核刚度 T []ϕ′D 已知 和 ，确定许可载荷 []ϕ′D（与应力相关）（与应变相关）maxtTW τ=max 180p T GI ϕπ′=×[]ϕ′<例 1 某传动轴所承受的扭矩 T = 200 N ·m ，轴的直径 d = 40 mm 。

材料的[τ ] = 40 MPa ，切变模量G = 80 GPa ，许用单位长度扭转角[ϕ ′] =1˚/m。

试校核该轴的强度和刚度。

3336162003.14(4010)1615.910Pa 15.9MPa T d π−×=××=×=[]<τ418032Td Gππ×解：(1) 校核轴的强度(2) 校核轴的刚度该轴满足强度和刚度条件。

934322001808010 3.14(4010) 3.14−××××××0.57 /m °=例2 某传动轴设计要求转速 n = 500 r/min，输入功率 P 1 = 50 kW ，输出功率分别 P 2 = 20 kW 及 P 3 = 30 kW ，已知：G = 80 GPa ，[τ ] = 70 MPa ，[ϕ′ ] = 1º/m，试确定：①AB 段直径D 1和 BC 段直径 D 2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①图示状态下,扭矩如图T316[]t DTW πτ=≥234.6 mm D ′≥432p D I π=≥141.2 mm D ′≥由刚度条件得：AB 段 BC 段由强度条件得：245.2 mm D ′′≥151.4 mm D ′′≥1251.4 mm , 45.2 mm D D ≥≥综上，得： ②若全轴选同一直径时51.4 mmD ≥234.6 mmD ′≥141.2 mmD ′≥由强度条件得： 由刚度条件得： []418032 p D T I G πϕπ=≥×′T换位后T换位前③ 轴上的最大扭矩（绝对值）越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。

工程力学教案【理、工科】注：教案按授课次数填写，每次授课均应填写一份。

重复班授课可不另填写教案。

§4-1 扭转的概念和实例工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。

扭转有如下特点：1. 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面作用一对大小相等，方向相反的外力偶--扭转力偶。

其相应力分量称为扭矩。

2. 变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。

若杆件横截面上只存在扭矩这一个力分量则这种受力形式称为纯扭转。

§4-2 扭矩扭矩图1.外力偶矩如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。

如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义角速度(单位：弧度/秒，rad/s)与转速n(单位：转/分，r/min)的关系为。

因此功率N的单位用千瓦（KW）时有关系，即(4-1a)式中：-传递功率（千瓦，KW），-转速（r/min）如果功率单位是马力(PS)，由于1KW =1000 N·m/s =1.36 PS，式（4-1a）成为(4-1b)式中：-传递功率（马力，PS）-转速（r/min）2. 扭矩求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转力--扭矩。

如图4-4所示圆轴，由，从而可得A-A截面上扭矩T，称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。

或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。

【例4-4】传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。

试画出轴的扭矩图。

【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩从受力情况看出，轴在BC，CA，AD三段的扭矩各不相等。

现在用截面法，根据平衡方程计算各段的扭矩。

在BC段，以表示截面I-I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。

第9 章圆轴扭转§9.1 扭转的概念及实例§9.2 扭矩和扭矩图§9.3 圆轴扭转时的应力和强度条件§9.4 圆轴扭转时的变形和刚度条件§9.5 矩形截面和薄壁杆的自由扭转1基本要求1.理解扭转的概念，熟练掌握扭矩的计算和扭矩图的绘制方法。

2.明确纯剪应力状态的概念，深刻理解剪应力互等定理及剪切胡克定律。

会计算剪切应变能。

3.理解圆轴扭转时的剪应力和扭转角公式的推导过程，明确其中平面假设的意义和方法。

4.熟练掌握受扭圆轴强度和刚度的计算方法。

§9.1 扭转的概念及实例受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶。

将任意两横截面间绕轴线转动的相对转角称为扭转角,用φ表示。

变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。

工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。

符号：用右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若矢量方向与横截面外法线方向一致（正），反之为（负）。

1、扭矩扭转时横截面上的内力，它是一个位于横截面平面内的力偶，该力偶矩称为扭矩求法：截面法取左端，由于矩平衡说明：这样规定扭矩的正负号，使得同一截面上的扭矩获得相同的正负号。

∑=0m mT =0=−T m 二、扭矩与扭矩图扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。

2、扭矩图扭矩图的做法与轴力图相似例1已知:n=300r/min,主动轮A 输入功率传动轴转速P A =400KW,三个从动轮输出功率分别为P B =120KW ，P C =120KW , P D =160KW 试画轴的扭矩图。

A B C D§9.3 圆轴扭转时的应力和强度条件一、变形试验1、实验现象﹢各圆周线的形状、大小，两圆周线间的距离都没有发生变化，但都绕轴转过了不同的角度。

﹢纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩形都变成了平行四边形。

2、平面假设圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面一样绕轴转动，即：假设圆轴各横截面在变形过程中，始终保持为平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。

工程力学教案【理、工科】注：教案按授课次数填写，每次授课均应填写一份◊重复班授课可不另填写教案。

§4-1扭转的概念和实例工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。

扭转有如下特点：1.受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面作用一对大小相等，方向相反的外力偶一扭转力偶。

其相应力分疑称为扭矩。

2.变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。

若杆件横截面上只存在扭矩这一个力分量则这种受力形式称为纯扭转。

图4-2桥式起重机的传动轴•宓•••八・• §4-2扭矩扭矩图1.外力偶矩刊如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩加不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率“和转速n计算得到的。

如轴在m作用下匀速转动护角，则力偶做功为丿=尬0,由功率定义dA d /Tv =——== m @dt dt角速度⑵（单位：弧度/秒，rad/s）与转速n（单位：转/分，r/min）的关系为0 = 2讪60。

图43外力偶矩的计算■XV 1 八g 2TZ?^Mx 10" = m • -----因此功率N的单位用千瓦（KW〉时有关系6° ,即m = 9550—@7・购）冷（4-la）式中：“-传递功率（千瓦，KW）,用-转速（r/min）如果功率单位是马力（PS）,由于1KW =1000 N • m/s =1. 36 PS,式（4-la）成为N型= 7024—、n㈣型）(4-lb)式中：传递功率（马力，PS）转速(r/min)2.扭矩T求出外力偶矩朋后，可进而用截面法求扭转力一扭矩。

如图4-4所示圆轴，由=°,从而可得A-A截面上扭矩TF称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，T矢量离开截面为正，指向截面为负。

或矢量与橫截面外法线方向一致为正，反之为负。

图4-4扭矩【例4-4】传动轴如图4-5a 所示，主动轮A 输入功率= 50马力，从动轮B 、 C 、D输出功率分别为N 厂叽二刃=300 rf min图4-5【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩叫=7024^- = 1170brm― 71叫=m c =7024^A = 351N*m亠 一n= 7024^-= 468 Nmn从受力情况看出，轴在BC, CA, AD 三段的扭矩各不相等。