工程力学讲义圆轴扭转

圆轴扭转的刚性平面假设： ① 圆轴的横截面变形后仍保持平面。 ② 圆轴的横截面变形后，其大小和形 不变，半径仍保持为直线。
2、求应力计算公式 （1）变形几何关系 根据几何关系
γ=cc’/dx=Rdψ/dx=R·dψ/dx 这是圆截面(nn)边缘上c点处的
剪应变（角应变）根据刚性平 γ
第七章 圆轴的扭转
7.1扭转的概念 扭转的外力和内力
7.1.1扭转的概念
扭转变形：杆件的两端作用两个大小相 等，方向相反，且作用平面垂直于杆件 轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截 面都发生绕杆件轴线的相对转动的变形 称为扭转变形。
扭转变形的受力特点 扭转变形的变形特点
γ
φ
7．1．2外力偶矩 扭矩和扭矩图

τρ=Gρ·dψ/dx
扭转变形横截面的剪应力的变化规律：
①横截面上任意点处的剪应力τρ与该点到圆心 的距成正比。
②边缘处的剪应力最大，轴心处的剪应力为零。
③距轴心等距离处的剪应力相等。
④同一截面各点处的剪应力从轴心到边缘按直 线规律变化。
（3）静力平衡关系
取距圆心为ρ的微面积dA
θmax×180/π ≤[θ]
思考题
1、当两轴，其材料相同、横截面形状相同、 在相同长度范围内受相同扭矩作用。问，它们 承受的最大剪应力、强度、刚度是否相同？为 什么？
2、当两轴，一轴材料为钢，另一轴材料为木 材，其横截面形状相同、在相同长度范围内受 相同扭矩作用。问，它们承受的最大剪应力、 强度、刚度是否相同？为什么？
7．3．1圆轴扭转的变形
计算相对转角
根据
MT =G Iρ·dψ/dx

得
dψ= MT/ G Iρ·dx

Iρ — 横截面对其形心极惯性矩(mm4)，与截面形状 和大小有关的几何量
圆轴扭转的刚度条件：
max
Mn G I
180o
θ — 单位扭转角（θ = φ/l（°/m））
Mn — 横截面上的扭矩 G — 剪切弹性模量（Gpa）
Iρ — 横截面对其形心极惯性矩(mm4)，与截面形状 和大小有关的几何量
X
Z
Y
《工程力学》
《 圆轴扭转 》
工程实际中受扭的零件
轴构件： 以扭转变形为主要变形形式的构件通常称为轴 工程上应用最广的多为圆截面轴，即圆轴
扭转受力的特点
BA
mc
mc
m
A
B
扭转受力的特点： 在构件两端作用两个大小相等、方向相反且作用面垂直于构件轴线的力偶矩 致使构件任意两个截面都发生绕构件轴线的相对转动，这种形式的变形即为扭转变形
φ — 扭转角（弧度）
Mn — 横截面上的扭矩 G — 剪切弹性模量（Gpa）
Iρ — 横截面对其形心极惯性矩(mm4)，与截面形状和大小有关的几何量
圆轴扭转变形
单位扭转角：
max
Mn G I
θ — 单位扭转角（θ = φ/l（rad/m））
Mn — 横截面上的扭矩 G — 剪切弹性模量（Gpa）
扭矩确定
扭矩
• 圆轴扭转时其横截面上的内力为一力偶矩，称为扭矩（Mn） • 规定符号的正负按右手螺旋法则确定
正
m
T
Tm(a)m源自(b)TT
m
负
圆轴扭转强度计算
扭转的平面假设： 圆轴扭转变形后横截面保持平面，且形状、大小、间距不改变，半径仍为直线
结论： 圆轴扭转时横截面上无正应力，只有垂直于半径方向剪应力

9 549 20 637 300
Nm
318 N.m 1 477 N.m 2 1432 N.m 3 637 N.m
B
1C
A 2
D 3
扭矩图（T图）
318 N.m
477 N.m
1432 N.m
637 N.m
B
C
A
D
练习1
画扭矩图！
5
3
＋
A
B
C
练习2
3000N.m
3000
＋
1200
T图（N.m）
G E
材料的三个弹性常数
2(1 ) 由三个中的任意两个，求出其第三个
扭转的概念 扭矩和扭矩图
扭转变形
角应变
扭转角
受力特点
大小相等、方向相反， 作用面垂直于杆件轴线的外力偶矩
变形特点 任意横截面绕杆轴线产生转动
典型构件
以扭转变形为主的杆件通常称为轴 最常用的是圆截面轴
扭转的工程实例
螺丝刀杆工作时受扭
输出功率： PB 10 kW PC 15 kW PD 20 kW
M eA
9
549
PA n
9 549 45 1 432 300
Nm
M eB
9
549 PB n
9
549 10 318 300
Nm
M eC
9 549 PC n
9 549 15 477 300
Nm
M eD
9 549 PD n
（1）条件 （2）求约束力
扭矩 T图
T
Ip
Tl l FN l
GI P
EA
扭转
拉压
max
Tmax Wp

二、圆轴扭转的强度条件 1．圆轴扭转的强度条件 max M Tmax ≤
Wn
2．强度条件的应用
（1）校核强度
max
M Tmax ≤ Wn
Wn≥M Tmax /
（2）选择截面尺寸
（3）确定许可载荷
M Tmax ≤Wn
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
观察如图所示搅拌机， 该搅拌机的搅拌轴主要产生 扭转变形，在满足使用要求 条件下，如何提高搅拌机的 搅拌轴强度呢？
提高圆轴抗扭强度的主要措施
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
为了提高圆轴的强度应降低τmax，途径有：
（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降 低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量） 的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
典型例题：某汽车主传动轴所传递的功率P=80 kW，转速n
= 582 r/min，直径d=55mm，材料的许用切应力[τ]=50 MPa。
试校核该轴的强度。
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
实心圆轴与空心圆轴 通过牙嵌式离合器相连， 并传递功率。轴的转速 n=100r/min，传递的功率 P=7.5 kW。若要求两者横 截面上的最大切应力均等 于40 MPa，空心圆轴的内、 外径之比α=0.5，试确定实 心轴的直径和空心轴的外 径。
第七章 圆轴扭转
§7－1 圆轴扭转的力学模型 §7－2 扭矩和扭矩图 §7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件 *知识拓展
第七章 圆轴扭转

Wn=
Ip d
d 3 0.2d 3 16
(9-5)
2
图9.9(a)
第9章 圆轴的扭转
(2) 空心圆截面(见图 9.9(b))
Ip = D4 d 4 D4 1 4 0.1D4 1 4 (9-6)
32
32
Wn
=
Ip D
D3
16
14
0.2D3
1 4
2
(9-7)
式中，α = d ，为空心圆轴 D
图9.11
第9章 圆轴的扭转
解：由图 9.11 可知，各段扭矩大小相等，各段的极惯性
矩为 AC 段：Ip= D4 = 3.14 304 =7.952×104mm4
32
32
CB 段：Ip= D4 32
14
3.14 304 32
1
20 30
4
6.381104
mm4
所以根据式(9-12)得
(1) 先确定扭转 Mn 向。 (2) τ 矢量线与半径垂直。
(3) τ 指向与扭矩转向相同。
由 应 力 分布 图可 看 出， 在 圆截 面 的边 缘 上， 即 当
ρ=ρmax=R 时 ， τ=τmax ， 由 此 可 得 最大 切 应力 公 式 为
τma x=
Mn • Ip
R
式中，R
与
I
都是与截面尺寸有关的几何量，
(2) 按强度条件设计轴的直径 d1。由式(9-8)得
τmax=
Mn Wn
Mn 0.2d13
≤[τ]
得
d1≥
3
Mn
0.2
3
1080 103 0.2 40
=51.3mm
第9章 圆轴的扭转

第七章 圆轴扭转
§7-1 圆轴扭转的力学模型
在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反,且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,致使 杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动这样的变形形式称为扭转变形。
§7-1 圆轴扭转的力学模型
工程中把以扭转为主要变形的杆件称为轴, 其中圆形截面的轴称为圆轴,其受力可简化为 如图7-3所示。 工程中的传动轴 (见图7-4)往往只给出轴的转 速n 和轴传递的功率P ,需通过下面的公式确定 外力偶矩:
§7-2 扭矩和扭矩图
二、扭矩图
用横坐标表示轴的各截面位置,纵坐标 表示相应横截面上的扭矩大小。扭矩为正 时,曲线画在横坐标上方;扭矩为负时,曲线 画在横坐标下方,从而得到扭矩随截面位 置而变化的图线,称为扭矩图。
§7-2 扭矩和扭矩图
传动轴上主动轮与从动轮位置不同,轴的最大扭矩数值也不同。显然,从强度 观点看后者较为合理。
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
2.扭转应力切应力 根据静力平衡条件,推导出截面上任意点的切应力计算公式:
圆轴扭转时,横截面边缘上各点的切应力最大,其值为
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
极惯性矩I ρ 与抗扭截面系数 W n 表示了截面的几何性质,其大小与截面的形状和尺寸有关
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
如已知汽车传动轴所传递的功率P=80kW,其转速 n =582r/min,直径d =55mm,材料的许用切应力 [τ ]=50 MPa,试分析并计算下列问题: 1.计算作用在传动轴上的外力偶矩。 2.计算传动轴所受的扭矩。 3.计算传动轴的抗扭截面系数。 4.校核传动轴的强度。
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
二、圆轴扭转的强度条件 1.圆轴扭转强度条件

杆件扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
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3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
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3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、

d ( 5 0 1 0 ) I m 6 1 1 0 mO
4 8 4
A
第四节 扭转的强度条件
MT max W
一般： 0 . 5 0 . 6
强度校核、设计截面与确定许可载荷
例5-3 汽车主传动轴内径d=85mm、外径D=90mm，45号钢， [τ]=60MPa，轴受到的最大转矩m=1.5kN.m （1）校核此空心 轴的强度；（2）等强度实心轴直径；（3）求实心轴与空心 轴的质量比。
A C
B
D
实验现象归纳
1 4 2 3
x
Tk
1
4 4
2 3
x
Tk
（1）纵向线转动； （2）圆周线绕轴线转动，但仍在原来的平面内； （3）圆周线大小、形状及两圆周线之间的距离不变。
推论：
① 截面只有剪应力，无正应力，即纯剪切；
② 剪应力方向是沿周边切线方向； ③ 平截面假定。 Tk y
x
Tn
TB
1210
TATBTCTATn2x
Tn
-1590
A
B
C
19 T 9549 1210 Nm A 150 同样 T B =2800Nm, T C =1590Nm
Tn
-2800
x
-1590
第三节 扭转时横截面上的应力
m 关于应力的三个问题：
存在什么应力 应力如何分布 应力如何计算
TK
A m Tn
B
2、空心圆轴 令：d/D=a
J D d 0 . 1 D 1 a 32
4 4 4 4
W D d 0 . 2 D 1 a
4 4 3 4

工程力学
3
二、扭矩与扭矩图
1.外力偶矩的计算
1.1.1作电用于路轴的上的组外成力偶矩，通常不是直接给出其数值，而是给出 轴的转速和传递的功率，此时需要按照理论力学中推导的功率、转 速、力矩三者的关系来计算外力偶矩的数值。
式中： Me——外力偶矩，单位为牛顿·米(N·m)； P——轴传递的功率，单位为千瓦(kW)； n——轴的转速，单位为转/分(r/min)。 在确定外力偶矩的方向时，应注意输入功率的齿轮、皮带轮作 用的力偶矩为主动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、 皮带轮作用的力偶矩为阻力矩，方向与轴的转向相反。
1.1.1 电路的组成
若取右部分作为研究对象，如图(c)所示
用同样的方法，也可求得
方向与Mx相反。
Mx＝Mx′称为截面Ⅱ－Ⅱ上的扭矩。它是作用在横截面上的内力 偶矩，是切于截面作用的内力合成的结果，大小等于截面以左(或以 右)所有外力偶矩的代数和。
工程力学
6
由于Mx与Mx′同是截面Ⅱ－Ⅱ上的扭矩，应具有相同的正负号， 因此，对扭矩的正负号做出如下规定：用右手螺旋法则将扭矩表示 为矢量，即四指弯向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指向。
第二部分 材料力学
第八章 圆轴的扭转
工程力学
本章主要研究圆形截面轴的扭转变 形。主要内容有外力偶矩的计算，轴的 扭矩的计算，轴的应力与强度的计算， 轴的变形与刚度的计算。本章的重点是 圆轴扭转强度和刚度的计算
第一节 扭转的概念、扭矩与扭矩图
一、扭转的概念 1.1.1机电器中路的的轴往组往成会发生扭转变形，如汽车中由方向盘带动的操
工程力学
7
运用上述结论可得，轴AB段各截面上的扭矩为
或
1.1.1 电路的组成

MA f18 MB
MC
f24 f22
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-MPa单位制
A
1000 B 1000 C
t max1
T1 WT 1
p D13
16
T1
1 -
d D1
4
T /N·m
150
A
150103 16
243p
[1
-
(18
/
24)
4
]
80.8MPa
100
B
C
27
2) 计算各段应力:
)4
)
a=d/D=0
Ip
p D4
32
WT
p D3 ( 1- a 4)
16
WT
pD3
16
20
研究思路：
变形几何条件
+
材料物理关系
+
静力平衡关系
g rdf /dx ---(1)
tr
Ggr
Gr
df
dx
G df
dx
r 2 dA MT
A
---(2) ---(3)
圆轴扭转剪应力公式：
tr
MT r
故有：
f AB
MT L
/
GIp
GI p称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。26
例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·m MC=100N·m，材料G=80GPa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
解: 1) 画扭矩图。
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题