工程力学--第八章_圆轴的扭转

一、概述在工程力学中，剪应力分布是一项重要的研究课题。

当圆轴扭转时，横截面上的剪应力分布对于工程设计和材料性能具有重要意义。

本文将重点讨论空心圆轴扭转时横截面上的剪应力分布规律。

二、空心圆轴扭转的基本原理1. 空心圆轴扭转的定义空心圆轴扭转是指圆柱形结构内部空心，以一定角速度扭转产生剪切变形的现象。

这种扭转形式是一种常见的结构形式，例如车辆的轴承和工业机械的传动轴都会出现这种扭转情况。

2. 剪应力的定义剪应力是指材料在受到剪切作用时产生的内部应力。

在圆轴扭转的过程中，剪应力是影响材料性能的重要因素，也是设计工程结构时需要考虑的重要参数之一。

三、空心圆轴扭转时剪应力分布的特点1. 圆轴外层和内层的剪应力分布规律在空心圆轴扭转过程中，外层和内层材料的剪应力分布存在一定的规律性。

一般来说，外层材料承担的剪应力较大，而内层材料承担的剪应力较小。

这是由于外层材料距离轴心较远，承受的弯曲应力较大，而内层材料距离轴心较近，承受的弯曲应力较小的原因所致。

2. 剪应力随距离的变化规律剪应力随着距离轴心的距离变化呈现一定的规律性。

一般来说，剪应力随着距离轴心的增加而逐渐减小，这与材料的受力情况有关。

随着距离轴心的增加，材料受到的弯曲应力逐渐减小，因此剪应力也会呈现逐渐减小的趋势。

四、空心圆轴扭转时剪应力分布的计算方法1. 剪应力分布的计算公式空心圆轴扭转时，剪应力分布可以通过一定的计算公式进行推导。

一般来说，可以利用剪应力的定义以及材料的力学性质，推导出剪应力随着距离轴心的分布规律。

在实际工程中，可以通过这些计算公式来确定空心圆轴扭转时横截面上的剪应力分布情况。

2. 数值模拟方法除了传统的计算方法外，还可以利用数值模拟方法来进行空心圆轴扭转时剪应力分布的计算。

通过有限元分析等方法，可以得到更加精确的剪应力分布情况，这对于一些复杂结构的扭转问题具有重要意义。

五、空心圆轴扭转时剪应力分布的影响因素1. 材料性质材料的硬度、强度和抗剪性能等都会对剪应力分布产生影响。

圆轴扭转变形计算及其工程意义姓名：王晓东指导老师：刘科元作者单位:中国矿业大学银川学院机电系摘要:圆轴本身的特点是容易绕自己的轴线旋转或在一个平面上滚动，因此轴的特点在机械传动上发挥了很大的优势。

根据工作中的需要，对轴的设计要求要有标准的尺度把握。

而轴是用来旋转的，其旋转时定会有一定的变形，这变形就是扭转变形。

关键词:扭转；扭矩和扭矩图；应力和变形；强度和刚度引言：圆轴运用在机床，运用在汽车上等不同的机械上，它的用途都依靠于一对力偶工作。

这对力偶大小相同方向相反作用在轴的两端。

它们所产生的扭转变形，并不是简简单单的，受力情况是复杂的。

本篇小论是对扭转变形一小部分的分析。

（一）扭转圆轴在工作时以转动的方式带动另一段的旋转，另一端阻挠带动给其反作用力，瞬间两端产生一对大小相等方向相反且垂直于轴线的力偶。

在这对力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动，产生扭转变形。

（二）扭转时的内力——扭矩、扭矩图1、扭矩作用在轴上的外力偶矩称为扭矩。

常用T表示。

轴受到力偶矩作用时，轴受到力作用，形状发生改变即扭转变形，如下图所示在工程中，作用于轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出工作中轴所传递的功率P和转速n。

因此需要运用功率和转速来计算外力偶矩。

即nP T 9550= P 的单位是千瓦()Kw 、n 的单位是转／分()m in r 、T 的单位是牛顿•米()m N • 2．扭矩图在实际生产中，同一根轴上安装多个相同或不同的齿轮来传递动力。

这些齿轮之间的力偶矩旋转方向可能不同，因此会对轴产生不同形式的扭转。

此时，需要对这根轴所受到的扭矩进行分析，方可做出适用于生产的轴。

在分析一根轴上分扭矩时利用扭矩图能够方便有效地解决轴上扭矩随横截面位置变。

例 一传动轴的计算简图如下，作用于其上的外力偶之矩的大小分别是：m kN Ma•=2，m kN M b •=5.3，m kN M c •=1，m kN M d •=5.0转向如图。

圆轴扭转实验一、试验目的⒈观察低碳钢和铸铁的扭转破坏现象, 比较其试件断口形状并分析破坏原因。

⒉测定低碳钢的剪切屈服极限, 剪切强度极限和铸铁的剪切强度极限。

⒊分析比较塑性材料（低碳钢）和脆性材料（铸铁）受扭转时的破坏特征。

二、实验设备和仪器⒈扭转实验机⒉游标卡尺三、实验原理圆轴扭转时, 横截面上各点均处于纯剪切状态, 因此常用扭转实验来测定不同材料在纯剪切作用下的机械性能。

利用实验机的自动绘图装置, 可记录T—曲线, 低碳钢的T—曲线如图3－9所示。

图 3-9扭矩在以内, 与T呈线形关系, 材料处于弹性状态, 直到试件横截面边缘处的剪应力达到剪切屈服极限, 这时对应的扭矩用表示横截面上的剪应力分布如图3-10（a）所示。

图3-10 低碳钢圆轴在不同扭矩下剪应力分布图在扭矩超过以后, 材料发生屈服形成环形塑性区, 横截面上的剪应力分布如图3-10（b）所示。

此后, 塑性区不断向圆心扩展, T—曲线稍微上升, 然后趋于平坦, 扭矩度盘上指针几乎不动或摆动所示的最小值即是扭矩, 这时塑性区占据了几乎全部截面, 横截面上剪应力分布如图3-10（c）所示。

剪切屈服极限近似等于（a）式中, , 是试件的抗扭截面系数试件继续变形, 进入强化阶段, 到达T- 趋线上的C点, 试件发生断裂。

扭矩度盘上的从动指针指出最大扭矩, 扭转剪切强度极限的计算式为(b)试件扭转时横截面上各点处于纯剪切状态如图3-11所示, 在于杆轴成±45°角的螺旋面上, 分别受到主应力为和的作用, 低碳钢的抗拉能力大于抗剪能力, 故以横截面剪断。

铸铁扭转时, 其T—曲线如图3-12所示。

从扭转开始到断裂, 近似为一直线, 故其剪切强度极限可近似地按弹性应力公式计算(c)图3-11 纯剪应力状态图3-12 铸铁T—曲线试件的断口面为与试件轴线成45°角的螺旋面。

这说明脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力, 它的断裂是由于最大拉应力过大引起的。

第四章 扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。

此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。

同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。

2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。

若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。

3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。

扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。

如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。

扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似4、纯剪切 切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。

5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。

当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。

6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =图式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。

(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面324D I p π=， 163D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(3244a D I p -=π， )1(1643απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =max τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。

第8章弹性杆件横截面上的切应力分析8-1扭转切应力公式r(p)^M x p/I p的应用范圉有以下几种，试判断哪一种是正确的。

(A)等截面圆轴，弹性范囤内加载：(B)等截面圆轴：(C)等截面圆轴与椭恻轴：(D)等截面圆轴与椭恻轴.弹性范鬧内加较。

知识点：圆轴扭转时横截面上的切应力难度：易解答•正确答案是A cTip) = M x p/l?在推导时利川J'等截面鬪轴受扭后.其横截血保持平血的假设•同时推导过程中还应用了剪切胡克定律.婆求在线弹性范刑加載。

8-2两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后.轴表iftlJJU线转过相同的角度。

设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为耳吨'和r2max,切变模虽分别为Gi和G2O试判断下列结论的正确性。

(A)(B)(C)若G、>G“则有r Inux > r2nux:(D)若G>G“则有右叭沁。

知识点：圆轴扭转时横截面上的切应力难度：易解答•正确答案是c °因两恻轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即/,=/,=/由剪切胡克定律2“知> °2 时，f lnux > r2max °8-3承受相同扭矩且长度相等的直径为山的实心恻轴与内.外径分别为D2(a = d2/D2)的空心圆轴.二者横截面上的垠大切应力相等。

关于二者重之比(M/WJ有如下结论.试判断哪一种是正确的。

(A)(l-a4严；(B)(l-a4)V2(l-a2)：(C)(l-^Xl-a2)：(D)(1 一a」)的/(I一小)。

知识点：组合圆轴扭转时横截面上的切应力难度：难解答•\6M X I6M正确答案是D即A-d-a4)7D2匹=如=必W2人D;(l-a2)习题8/图⑴代入(2〉.得8-4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外 层材料的切变模址分别为Gi 和Gi.且G = 2G 2. 圆轴尺寸如图所示。

圆轴受扭时.里、外层之间无相对滑动。

第八章 圆轴的扭转工程构件一般可分为三类。

第四章已指出：杆是某一方向尺寸远大于其它二方向尺寸的构件，若杆件的轴线为直线，则称为直杆。

此外，若构件在某一方向的尺寸远小于其它二方向的尺寸，称之为板。

若构件在x 、y 、z 三个方向的尺寸具有相同的数量级，则称为块体。

本课程主要讨论直杆，这是一种最简单的构件。

如同4.4节所述，在空间任意力系的作用下，杆件截面内力的最一般情况是六个分量都不为零，其变形是很复杂的。

为了简化讨论，我们将杆的基本变形分成为三类，即拉压、扭转、弯曲，如图4.3所示。

前面已经讨论了在轴向载荷作用下杆的拉伸和压缩；现在再来研究杆的另一类基本变形，即扭转问题。

§8.1扭转的概念和实例工程中承受扭转的构件是很常见的。

如图8.1所示的汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用于转向轴AB 的上端，转向轴的下端B 则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴AB 发生扭转。

又如图8.2中的传动轴，轮C 上作用着主动力偶矩，使轴转动；轮D 输出功率，受到阻力偶矩的作用，轴CD 也将发生扭转。

以上二例都是承受扭转的构件实例。

由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴。

本章亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。

图8.2 传动轴图8.3所示为等截面直圆轴扭转问题的示意图。

扭转问题的受力特点是：在各垂直于轴线的平面内承受力偶作用。

如在图8.3中，圆轴AB 段两端垂直于轴线的平面内，各作用有一个外力偶M 0，此二力偶的力偶矩相等而转向相反，故是满足平衡方程的。

圆轴扭转问题的变形特点是：在上述外力偶系的作用下，圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动；任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭转角，以φ表示。

图8.3中，φAB 表示截面B 相对于截面A 的扭转角。

必须指出，工程中的传动轴，除受扭转作用外，往往还伴随有弯曲、拉伸(压缩)等其它形式的变形。

这类问题属于组合变形，将在以后研究。

§8.2 扭矩与扭矩图已知轴所传递的功率、转速，可利用6.3节提供的“功率、转速与传递的扭矩之关系”来计算作用于传动轴上的外力偶矩M 0。

.1第一章 第二章第三章 绪论 思 考 题1) 现代力学有哪些重要的特征？2) 力是物体间的相互作用。

按其是否直接接触如何分类？试举例说明。

3) 工程静力学的基本研究内容和主线是什么？ 4) 试述工程力学研究问题的一般方法。

第二章 刚体静力学基本概念与理论习 题2-1 求图中作用在托架上的合力F R 。

2-2 已知F 1=7kN ，F 2=5kN, 求图中作用在耳环上的合力F R 。

习题12030200N.22-3 求图中汇交力系的合力F R 。

2-4 求图中力F 2的大小和其方向角。

使 a )合力F R =1.5kN, 方向沿x 轴。

b)合力为零。

2-5 二力作用如图，F 1=500N 。

为提起木桩，欲使垂直向上的合力为F R =750N ，且F 2力尽量小，试求力F 2的大小和角。

F4560F1习题b)xy453F 1=30N F 2F 3=40N A xy456F 1=600NF 2=700N F 3=5A习题a )x 70F2F 1=1.25kNA习题3F 1=500NAF 2习题.32-6 画出图中各物体的受力图。

C(b)(a)C(c)C(d)FBEqDA CCD EBCAB DD.42-7 画出图中各物体的受力图。

2-8 试计算图中各种情况下F 力对o 点之矩。

习题b)Bc)d)习题B(a )a )ABCBABC.52-9 求图中力系的合力F R 及其作用位置。

习题P(d) c)Fb)(5kNM =6kN mxx.62-10 求图中作用在梁上的分布载荷的合力F R 及其作用位置。

(Bq 1=600N/m Bq=4kN(q A =3k q C =1C (习题2-(6kNx1=x.72-11 图示悬臂梁AB 上作用着分布载荷，q 1=400N/m ，q 2=900N/m, 若欲使作用在梁上的合力为零，求尺寸a 、b 的大小。

第三章 静力平衡问题 习 题3-1 图示液压夹紧装置中，油缸活塞直径D=120mm ，压力p =6N/mm 2，若3-2 图中为利用绳索拔桩的简易方法。

第一章 绪论思 考 题1) 现代力学有哪些重要的特征？2) 力是物体间的相互作用。

按其是否直接接触如何分类？试举例说明。

3) 工程静力学的基本研究内容和主线是什么？ 4) 试述工程力学研究问题的一般方法。

第二章刚体静力学基本概念与理论习题2-1 求图中作用在托架上的合力F R 。

2-2 已知F 1=7kN ，F 2=5kN, 求图中作用在耳环上的合力F R 。

2-3 求图中汇交力系的合力F R 。

习题2-1图12030200N F4560F 习题2-2图2-4 求图中力F 2的大小和其方向角α。

使 a )合力F R =1.5kN, 方向沿x 轴。

b)合力为零。

2-5二力作用如图，F 1=500N 。

为提起木桩，欲使垂直向上的合力为F R =750N ，且F 2力尽量小，试求力F 2的大小和α角。

2-6 画出图中各物体的受力图。

(b)x453=30N =20N=40N A x45600N 2=700N0N 习题2-3图 (a )F 1习题2-4图F 12习题2-5图(b)(a )2-7 画出图中各物体的受力图。

(c)(d)(e)(f) (g) 习题2-6图(a)ACD2-8 试计算图中各种情况下F 力对o 点之矩。

(b)(d)习题2-7图P(d)(c)(a ) CA2-9 求图中力系的合力F R 及其作用位置。

2-10 求图中作用在梁上的分布载荷的合力F R 及其作用位置。

习题2-8图习题2-9图( a )1F 3 ( b )F 3F 2( c)1F /m( d )F 32-11 图示悬臂梁AB 上作用着分布载荷，q 1=400N/m ，q 2=900N/m, 若欲使作用在梁上的合力为零，求尺寸a 、b的大小。

第三章 静力平衡问题习 题3-1 图示液压夹紧装置中，油缸活塞直径D=120mm ，压力p =6N/mm 2，若α=30︒, 求工件D 所受到的夹紧力F D 。

( b )q ( c )习题2-10图B习题2-11图3-2 图中为利用绳索拔桩的简易方法。