复旦大学 经济学院 谢识予 计量经济学第七章 误差序列相关

2 i 1
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因此： E ( i i 1 ) E ( i2 ) 由于模型误差项的数值无法得到，因此 的真实值是无法得到的。 但可以根据误差项与回归残差的关系， 用残差序列构造下列统计量：


e e ˆ e
i 1
n
i i 1 2 i
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作为误差序列一阶自回归系数的估计。 更进一步，杜宾和瓦森考虑用已知分布 ˆ 且与 有密切关系的DW统计量
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广义差分法的缺点


首先是差分变换会减少一个样本容量。 这通常可以通过对第一组数据作变换后 保留的方法解决。 另一个问题是假设已知的一阶自回归系 数 实际上是无法知道的，只能根据原 模型的回归残差序列求其估计值。既然 原模型存在误差序列相关，那么回归残 差就会受到影响，从而估计值也有偏差。
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变量的增长率与一阶差分有密切关系，用变量 的增长率进行回归也能起到消除误差项强正自 相关性的作用。 一阶差分模型在克服误差序列相关性方面的作 用有较大的局限，只适用 接近1的一阶正自 相关性，而且如果模型没有误差序列相关性、 有负自相关性或只轻微正自相关性，运用一阶 差分模型反而会导致更强的误差序列相关性。
由于 i 不存在误差序列相关问题，因此 用广义差分模型进行回归分析，可以避 免原模型的误差序列相关问题。
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可以利用模型直接得到 1 的参数估计 ˆ 值 b1 ，并得到A的估计值 A 。 再利用该估计值得到原模型参数 0 的估 ˆ ˆ 计值 b0 A 1 。 这种克服误差序列相关问题的参数估计， 称“广义差分法”。
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第二节 误差序列相关的发现和判断



处理和克服误差序列相关性的基础是判 断该问题的存在和类型。 对于一阶自回归性，就是要判断一阶自 回归系数 的大小和符号的正负性。 回归残差序列分析也是发现和检验误差 序列相关性的基本方法，残差序列分析 包括残差序列图分析和杜宾—瓦森检验 。
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一、残差序列图分析
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一、一阶差分法

设线性回归模型为 Yi 0 1 X i i，而 且已经经过检验知 i 有很强的一阶正自 相关性，即 i i 1 i 。其中 1
i 是均值为0的独立同分布、无自相关性

的随机变量。 把滞后一期的观测值代入变量关系，得 方程 Yi 1 0 1 X i 1 i 1
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这种问题称为线性回归模型的“误差序 列相关”，表现为： E[(εi E (εi ))( ε j E (ε j ))] E (εi ε j ) 0 对至少部分 i j 成立。 当线性回归模型存在误差序列相关性时， 参数估计的有效性和一致性都不成立或 无法证明，残差方差和参数估计量方差 的估计无法得到，从而各种统计推断和 预测分析也同样会遇到困难。
第七章 误差序列相关
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本章结构
第一节 误差序列相关的性质和原因 第二节 误差序列相关的发现和判断 第三节 误差序列相关的克服和处理
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第一节 误差序列相关的性质和原因

两变量和多元线性回归模型都要求模型 的误差项不存在序列相关性，即： E[(εi E (εi ))( ε j E (ε j ))] E (εi ε j ) 0
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误差序列相关可以有多种不同的情况， 其中相邻两期误差项之间的相关性，也 就是误差项 i受前一期误差项 i 1 的影响， 称为误差项的“一阶自回归”。 一阶自回归可以表示为 i i 1 i ， 其中 满足0 1 ，称“一阶自回归系 i 数”， 是均值为0的独立同分布随机变 量。
对任意 i j 都成立。 这条假设的含义是误差项是纯粹的微小 外来扰动因素，不同期之间相互独立， 不包含任何有规律性、趋势性的因素。
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这条假设对线性回归分析也十分重要， 最小二乘估计的最小方差性和一致估计， 得到残差方差的无偏估计，以及进行各 种统计推断等，也都以这条假设为基础。 但误差项无序列相关的假设也不是总能 成立。由于误差项包含的因素常常有时 间趋势，数据处理也会导致不同期数据 产生内在联系，因此误差序列往往是有 自相关性的。

如果DW>2，则根据检验负自相关性。 上述临界值和判断方法也可以总结为如 图7.3中的5个判断区域。
无法判断 无自相关 无法判断 负自相关
正自相关
DW
0
d L
dL
4
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DW检验的缺点



首先是它只适用于一阶自回归性的检验， 而且在样本数较小或解释变量数较大时 不适用； 其次是当解释变量有随机性（分布滞后 模型或联立方程组模型中普遍）时不适 用； 此外是DW检验存在无法判断的DW值区 间。
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二、杜宾—瓦森检验（DW检验）


Y 0 1 X 1 K X K 有一阶自回归问题，即 i i 1 i 。

DW检验也是一种残差序列分析，因为用于检 验的DW统计量是根据回归残差序列计算的。 DW检验的方法是，首先假设线性回归模型
然后检验一阶自回归系数 的显著性。如果检 验结果是显著的，那么认为误差项有一阶自回 归性，否则认为误差项没有一阶自回归性。
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（7-1）式减去（7-2）式得到：
由于 i i 1 i，因此有
Yi Yi 1 1 X i X i 1 i i 1

Yi Yi 1 1 X i X i 1 i i 1 i 1
ei ei
0
ei 1
0
ei 1
0
ei 1
a
b
c
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如果这些坐标如图7.2（a）那样均匀地 分布在四个象限内，应认为不存在误差 序列相关问题。 如果坐标分布如图7.2（b）和（c），那 么应分别判断有一阶正自相关性和一阶 负自相关性，因为（b）图坐标分布落在 一、三象限多意味着相邻残差同号的居 多，而（c）图坐标分布落在二、四象限 多则意味着相邻残差异号居多。

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我们称 Yi Yi Yi 1为Y 的“广义差分”， X i* X i X i 1 为X 的“广义差分”。 再根据 i i 1 ，有 Yi* 0 1 1 X i*
*

A 0 1 ，则有 Yi* A 1 X i* i 如果记
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要检验一阶自回归系数是否有显著性， 首先必须对它的值进行估计。 为此我们考察相邻误差项之间的协方差 公式。根据 i 和 i 的性质有
E ( i i 1 ) E i 1 i i 1 ) E ( i21 ) E ( i2 ) E ( ) E ( i 1 i
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不过，当样本容量n较大而解释变量数K 较小时，无法判断的区间也比较小，因 此可以通过增加样本容量，换新的样本 或修改模型等克服，也可以当作存在误 差序列相关加以处理克服无法判断的困 难。 例7－1。详见Eviews演示。
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第三节 误差序列相关的克服和处理
一、一阶差分法
二、广义差分法 三、柯－奥迭代法 四、杜宾两步法



由于正自相关性和负自相关性之间的对 称性，实际上只需要有检验正自相关性 的方法即可，检验负自相关性时可先作 变换 DW 4 DW，然后用检验正自相关 性的临界值进行判断。 检验误差序列正自相关的前提是DW<2， 步骤如下：
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1.
2.
3.
设原假设为H 0 : 0即误差序列没有一 阶自回归性。 根据要求的显著性水平 ，模型中解释 变量的个数K，以及观察样本容量n，查 DW临界值表得到下限、上限两个临界 值 d L 和 d U 。 若DW> d U ，接受 H 0，认为误差项不存 在一阶自相关性；若DW< d L 认为存在 一阶正自相关；若 d L <DW< d U ，这 时不能确定，需作进一步分析。 21

令Yi Yi Yi 1为Y的一阶差分， X i X i X i 1 为X 的一阶差分，则有 Yi 1X i i i 1 i 1
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因为 1 ，因此上式近似为 Yi 1X i i 用该Y和X的一阶差分模型进行回归分析， 可以避免原模型误差序列相关性的困难， 1 得到参数 估计值 。 b1 原模型的另一个参数 0的估计值，则可 以根据 b0 Y b1 X 计算。 这种克服误差序列相关性的方法称“一 阶差分法”。
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三、柯－奥迭代法


“柯-奥迭代法”是克服广义差分法无法 得到一阶自回归系数 较准确估计困难 的方法。 首先对原模型运用普通最小二乘估计， 估计参数并计算出回归残差序列，再根 据回归残差序列计算 的第一个估计值
e e ˆ e
i 1 i
n
i i 1 2 i
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ˆ 这个 的准确程度可能有问题，但它至 ˆ 少可以反映 的大部分情况，用这个 作为估计值进行广义差分法处理，可以 消除掉模型的大部分误差序列相关性。 作广义差分变换： * ˆ ˆ Yi Yi Yi 1 X i* X i X i 1

ˆ 因此 =0（无一阶自回归性）对应 ˆ DW=2， →1（误差项有强正自相关） ˆ 对应DW→0， →-1（误差项有强负自相 关）对应DW→4。
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DW的精确分布实际上也不清楚，而且分
布情况与解释变量的取值有关。但杜宾 和瓦森证明对于解释变量的任意情况， DW统计量有一个上限和一个下限，在一 定条件下它们服从 分布。 杜宾和瓦森计算了对应显著性水平 0.05 和0.01，样本容量 15 n 100 ，解释变量 个数 K 5 时，判断误差序列存在一阶正 自相关性的上下限 d L 和 d U 的临界值表， 作为检验的基本工具。 19