高一数学倍角公式和半角公式知识精讲

高一数学倍角知识点总结一、基本概念1. 倍角公式在三角函数中，如果角A的余角为B，则A和B互为余角。

设A是第一象限角，终边为半线段OA，B是与角A的终边所在的直线的交角，交线与大于0度的x轴的夹角。

若线段OA的正半轴上的特殊点是点M（1，0），则由图中关系可以看出任意角的余角，不管是整数角还是一周角，余弦、正弦值是相等的；且角度关系满足如下的余角关系式：sinA = cosB, cosA = sinB, tanA = cotB, cotA = tanB, secA = cscB, cscA = secB。

正弦、余弦、正割、余割函数是偶函数，而正切、余切函数是奇函数。

这个公式叫做正弦、余弦、正割、余割函数的周期性关系。

2. 两角和差的正弦、余弦关系：sin(A±B) = sinAcosB/±cosAsinB, sin(A±B) = sinAcosB/±cosAsinB其中，（+）表示和，（—）表示差。

3. 倍角公式：sin2A = 2sinAcosA, cos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2A, tan2A = 2tanA/1-tan^2A4. 几种特殊的倍角公式：90°角：tan2A=tan(180°-2A)；15°角：sin2A=sin(30°)、cos2A=cos(30°)、tan2A=tan(30°)；45°角：sin2A=sin(90°)、cos2A=cos(90°)、tan2A=tan(90°)；60°角：sin2A=sin(120°)、cos2A=cos(120°)、tan2A=tan(120°)。

5. 和差化积公式：sinAsinB = 1/2[cos(A-B)-cos(A+B)], cosAcosB = 1/2[cos(A-B)+cos(A+B)]6. 二倍角的三角函数倍角公式：sin2A:=2sinAcosA，cos2A:=cos^2A－sin^2A, tg2A:=2tgA/1-tg^2A。

高一数学倍角公式、半角公式、万能公式人教实验A 版【本讲教育信息】一. 教学内容：倍角公式、半角公式、万能公式二. 重点、难点：1. αααcos sin 22sin ⋅=1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=2. ααα3sin 4sin 33sin -=（不记忆）αααcos 3cos 43cos 3-= 3. 2cos 12sin αα-±=2cos 12cos αα+±=（不记忆）αααcos 1cos 12tan +-±= 4. αααααααααcos sin 1cos sin 1sin cos 1cos 1sin 2tan ++-+=-=+=5. 令t =2tan α∴212sin t t+=α2211cos t t +-=α212tan t t-=α【典型例题】[例1] 化简，求值（1）︒︒︒︒70sin ,50sin ,30sin ,10sin（2）︒︒︒︒78sin ,66sin ,42sin ,6sin（3）︒-︒10cos 2310sin 21（4）︒-︒-︒+︒10cos 150sin 2)10tan 31(10cos（5）︒-+︒+︒⋅︒+︒+︒70cos 170cos 1)60tan 10tan 1(10cos 40cos 32解：（1）原式︒⋅︒⋅︒=80cos 40cos 20cos 2116120sin 16160sin 20sin 280cos 40cos 20cos 20sin =︒⋅︒=︒︒⋅︒⋅︒⋅︒=（2）原式︒⋅︒⋅︒⋅︒=48cos 24cos 12cos 6sin1616cos 166cos 6cos 1696sin 6cos 48cos 24cos 12cos 6cos 6sin =︒︒=︒︒=︒︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒= （3）原式︒︒-︒=︒⋅︒︒-︒=20sin ]10sin 2310cos 21[210cos 10sin 210sin 310cos 220sin )1030sin(2=︒︒-︒= （4）原式︒︒-︒+︒=5sin 250sin 210sin 310cos 25sin 25sin 225sin 2)4540sin(225sin 240cos 240sin 25sin 250sin 240sin 2-=︒︒-=︒︒-︒=︒︒-︒=︒︒-︒= （5）原式︒+︒︒+︒+︒=35cos 235sin 210sin 310cos 40cos 32 280sin 100sin 280sin 240sin 240cos 32=︒︒=︒︒+︒=[例2] 是否存在锐角βα、，使（1）πβα322=+；（2）32tan 2tan -=⋅βα，同时成立，并证明你的结论。

三角函数的倍角与半角公式三角函数的倍角公式和半角公式是在三角函数领域中常用的数学公式，它们能够将一个角的三角函数值表示成另外一个角的三角函数值的式子。

这些公式在解决三角函数的相关问题，特别是在解析几何、物理和工程等领域中起着至关重要的作用。

本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，给出其推导过程和一些应用实例。

1. 倍角公式1.1 正弦函数倍角公式正弦函数倍角公式可以表示为：sin 2θ = 2sinθcosθ该公式表示的是，一个角的两倍角的正弦值等于这个角的正弦值与余弦值的乘积的两倍。

推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ再将左边的sin(θ + θ)进行简化，即可得到sin 2θ = 2sinθcosθ。

1.2 余弦函数倍角公式余弦函数倍角公式可以表示为：cos 2θ = cos²θ - sin²θ也可以表示为：cos 2θ = 1 - 2sin²θ这两个公式表示的是，一个角的两倍角的余弦值等于这个角的余弦值的平方减去正弦值的平方。

推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：cos(θ + θ) = cos²θ - sin²θ再将左边的cos(θ + θ)进行简化，即可得到cos 2θ = cos²θ - sin²θ。

另外，根据正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1的关系式，我们可以将cos²θ替换成1 - sin²θ，得到cos 2θ = 1 - 2sin²θ。

2. 半角公式2.1 正弦函数半角公式正弦函数半角公式可以表示为：sin (θ/2) = ±√((1-cosθ)/2)该公式表示的是，一个角的半角的正弦值等于这个角的余弦值减去1再除以2再开平方。

推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到sin(θ/2) = sin(θ/2 + θ/2) = sinθcos(θ/2) + cosθsin(θ/2)。

三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。

其中倍角与半角公式是三角函数的重要性质之一，本文将详细介绍这一概念及其应用。

一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。

其倍角及半角公式如下：1. 倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ倍角公式指出，若已知角度θ的正弦值sinθ，那么可以通过上述公式来计算角度2θ的正弦值sin(2θ)，而不需要直接计算。

2. 半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]半角公式则是将角度θ分成两个相等的部分，通过已知角度θ的余弦值cosθ来计算角度θ/2的正弦值sin(θ/2)。

二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的一个函数。

其倍角及半角公式如下：1. 倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ倍角公式指出，若已知角度θ的余弦值cosθ和正弦值sinθ，那么可以通过上述公式来计算角度2θ的余弦值cos(2θ)，而不需要直接计算。

2. 半角公式：c os(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]半角公式则是将角度θ分成两个相等的部分，通过已知角度θ的余弦值cosθ来计算角度θ/2的余弦值cos(θ/2)。

三、正切函数的倍角与半角公式正切函数是三角函数中与正弦函数和余弦函数密切相关的一个函数。

其倍角及半角公式如下：1. 倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)倍角公式指出，若已知角度θ的正切值tanθ，那么可以通过上述公式来计算角度2θ的正切值tan(2θ)，而不需要直接计算。

2. 半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]半角公式则是将角度θ分成两个相等的部分，通过已知角度θ的余弦值cosθ来计算角度θ/2的正切值tan(θ/2)。

倍角及半角公式在三角函数中，倍角及半角公式是求解特定角的重要工具。

它们可以将一个角的角度加倍或减半，从而简化计算，提高效率。

本文将介绍倍角公式和半角公式的定义、推导以及应用。

一、倍角公式倍角公式是将一个角的角度加倍得到另一个角的角度的公式。

常用的倍角公式包括正弦倍角公式、余弦倍角公式和正切倍角公式。

1. 正弦倍角公式正弦倍角公式可以表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为原角的角度。

这个公式可以通过将正弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。

2. 余弦倍角公式余弦倍角公式可以表达为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ该公式也可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。

3. 正切倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)这个公式可以通过将正切函数展开为正弦和余弦的比值形式，然后利用倍角公式进行推导得到。

二、半角公式半角公式是将一个角的角度减半得到另一个角的角度的公式。

常用的半角公式包括正弦半角公式、余弦半角公式和正切半角公式。

1. 正弦半角公式正弦半角公式可以表达为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为原角的角度。

根据正弦半角公式，我们可以通过已知一个角的正弦值来求解该角对应的半角。

2. 余弦半角公式余弦半角公式可以表达为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]该公式可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用半角公式进行推导得到。

3. 正切半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]根据正切半角公式，我们可以通过已知一个角的正切值来求解该角对应的半角。

三、应用举例倍角及半角公式在实际问题中有广泛的应用。

例如，在三角函数的求值中，通过利用倍角公式可以将一个角的角度加倍，从而可以快速计算出正弦、余弦和正切值。

三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与三角形之间的关系。

在三角函数的学习中，倍角公式与半角公式是非常重要的内容。

本文将详细介绍三角函数的倍角公式与半角公式，并探讨其应用。

一、倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍表示成该角的函数的形式。

对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说，它们都有各自的倍角公式。

1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示成以下形式：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为任意角度。

这个公式表明，将一个角的两倍的正弦函数，可以拆分为两个角的正弦函数的乘积。

2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示成以下形式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ也可以表示为：cos(2θ) = 2cos²θ - 1或者：cos(2θ) = 1 - 2sin²θ这个公式可以通过将cos(2θ)展开，得到余弦函数与正弦函数的关系。

3. 正切函数的倍角公式正切函数的倍角公式可以表示成以下形式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)这个公式在解决一些复杂问题时，可以将一个角的两倍的正切函数，表示为原角的正切函数的比值。

二、半角公式半角公式是指将一个角的一半表示成该角的函数的形式。

对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说，它们都有各自的半角公式。

1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以表示成以下形式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]其中的正负号取决于角度的范围，需要根据具体的情况来确定。

2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示成以下形式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]同样地，正负号的选择需要根据具体的情况来确定。

3. 正切函数的半角公式正切函数的半角公式可以表示成以下形式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]正负号的选择同样需要根据具体的情况来确定。

高考数学中的三角函数半角公式与倍角公式三角函数是高中数学中一个重要的概念，而其中就包括三角函数的半角和倍角公式。

这两个公式在高考数学中非常重要，在考试中经常会有相关的问题出现。

本文将详细介绍三角函数的半角公式与倍角公式。

一、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，以角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为函数值的六种函数。

其中，正弦、余弦、正切、余切是最常用的四种三角函数，它们在数学、物理等各个领域都有着广泛的应用。

二、半角公式的定义三角函数的半角公式是指在一个角的基础上，通过一定的运算，得到一个新的角度进行求解。

具体的公式如下：sin（x/2）=[√（1+cosx）]/2cos（x/2）=[√（1+sinx）]/2tan（x/2）=[sinx]/[1+cosx]其中，x为角度值。

三、半角公式的应用半角公式常常用于解决三角函数运算中的复杂问题。

例如，在解决辨识正负号的问题时，可以使用半角公式将一个角分解成两个半角，进而得到正确的结果。

此外，半角公式还可以用于求解一些特殊角，例如，sin45°=sin（90°/2）=[√（1+cos90°）]/2=[√（1+0）]/2=1/√2。

四、倍角公式的定义三角函数的倍角公式是指将一个角度值翻倍，得到一个新的角度值进行求解。

具体的公式如下：sin 2x = 2sinxcosxcos 2x = cos²x - sin²xtan 2x = (2tanx) / (1 - tan²x)其中，x为角度值。

五、倍角公式的应用倍角公式常常用于解决一些常见的问题，例如，求两个角的正弦、余弦、正切、余切的和与差。

此外，倍角公式还可以用于化简三角函数的表达式，从而简化计算过程。

例如，为了解决sin 120°sin 240°sin 360°的问题，可以用cos²60°减去1/4的方式，化简成了（√3/2）²-1/4，从而可以快速求解出答案。

高一数学倍角公式和半角公式【本讲主要内容】倍角公式和半角公式（正弦、余弦、正切）【知识掌握】 【知识点精析】1. 倍角公式：二倍角公式sin sin cos ()cos cos sin ()cos sin tan tan tan ()222211222122222222αααααααααααααα==-=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪S C T注意：①公式T 2α只有当αππαππ≠+≠+∈k k k Z 242和()才成立； ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它只要两个角有二倍的关系，如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是32α的二倍等等都可以用二倍角公式。

例如：cos cos sin sin cos sin αααααα3663312622=-=， 12242151153022-=-=sin cos tan tan tan αα，°°°③熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）④注意公式的变形应用与逆用。

特别是公式：cos cos sin 2211222ααα=-=-可变形为cos cos sin cos 22122122αααα=+=-，，两式相除得tan cos cos 21212ααα=-+，这样就得到了降幂公式。

降幂公式sin cos cos cos tan cos cos 2221221221212ααααααα=-=+=-+⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪升幂公式cos cos sin cos sin 221122222ααααα=-=-=-⎧⎨⎪⎩⎪2. 半角公式：()()半角公式，，sin cos cos cos tan cos cos sin cos cos sin ααααααααααππαααπααα212212*********=±-⎛⎝ ⎫⎭⎪=±+⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+≠+∈=-≠∈⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪S C T k k Z k k Z 注意：①应用半角公式时，要特别注意根号前的符号，它是由α2所在象限的三角函数符号确定。

三角函数的倍角公式和半角公式三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在几何形状、物理学和工程学等领域中广泛应用。

在三角函数中，倍角公式和半角公式是计算和简化三角函数值的重要工具。

本文将介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并探讨它们的应用。

一、倍角公式倍角公式是指通过给定角的两倍来计算该角的三角函数值。

在三角函数中，常见的倍角公式包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)利用倍角公式，我们可以快速计算给定角的三角函数值，而无需通过查表或使用计算器。

例如，若需要计算sin 60°的值，我们可以使用正弦函数的倍角公式，将角度60°表示为90°的一半。

根据倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ，可以得到sin 60° = 2sin 30°cos 30°。

由于sin 30°和cos 30°的值可以通过常见角的三角函数值得到，我们可以使用倍角公式计算sin 60°的近似值。

二、半角公式半角公式是指通过给定角的一半来计算该角的三角函数值。

和倍角公式一样，半角公式在三角函数的计算中也有着重要的应用。

1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ± √[(1 - cosθ) / 2]2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ± √[(1 + cosθ) / 2]3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ± √[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]半角公式可以将给定角的三角函数值转化为与原角度相关的三角函数值，这在求解复杂的三角函数问题时非常有用。

倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2018•绵阳模拟）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C． D．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D．2．（2018•海淀区校级三模）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，则cos2α=（）A．﹣ B． C．D．﹣【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，∴tanα=﹣2，则cos2α====﹣，故选：A．3．（2018•中山市一模）函数y=2sin2（x+）﹣1是（）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数【解答】解：函数y=2sin2（x+）﹣1，化简可得y=﹣cos（2x+3π）=cos2x．∴函数y是最小正周期T==π的偶函数．故选：A．4．（2018春•福州期末）化简的结果为（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．1【解答】解：==﹣=﹣1故选：C．5．（2017春•江西月考）已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【解答】解：∵3sinα+4cosα=0，∴3tanα+4=0，可得：tanα=﹣=，整理可得：2tan2﹣3tan﹣2=0，∴解得：tan=2，或﹣，∵α是第二象限角，∴kπ+＜＜kπ+，k∈Z，∴tan＞0，故tan=2．故选：A．6．（2017春•简阳市期末）已知cos α=，α∈（），则cos 等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵已知cos α=，α∈（），∴∈（，π），则cos=﹣=﹣=﹣，故选：B．7．（2017春•西华县校级期中）如果|cos θ|=，＜θ＜4π，那么cos的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：|cos θ|=，＜θ＜4π，∴cosθ=，θ∈（，），∈（，），∴cos＞0，由cosθ=2﹣1=，得cos=，故选：C．8．（2016秋•怀仁县校级期中）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C． D．【解答】解：∵cos2x=a，∴1﹣2sin2x=a，可得sin2x=，又∵，可得sinx＜0，∴sinx=﹣．故选：B．二．填空题（共8小题）9．（2018春•浦东新区期末）若sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），则sin2θ=﹣．【解答】解：∵sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），∴=．∴sin2θ=2sinθcosθ==﹣．故答案为：．10．（2018春•南京期末）已知α为锐角，且，则sin2α的值为．【解答】解：∵α锐角，且，∴sin=，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故答案为：．11．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°=．【解答】解：sin75°•cos75°==故答案为：12．（2018•道里区校级三模）已知tana=﹣2，则tan2a=．【解答】解：∵tana=﹣2，∴tan2a===，故答案为：．13．（2017•普陀区二模）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．14．（2017春•邗江区校级期中）已知，则tanα的值为﹣．【解答】解：tanα===﹣，故答案为﹣．15．（2016秋•浦东新区校级期中）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为﹣3．【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣，∴cosθ=﹣，∴tan===﹣3．故答案是：﹣3．16．（2015•闵行区二模）若cosα=，且α∈（0，π），则tan=．【解答】解：∵cosα=，且α∈（0，π），∴sinα=，则tan===，故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2014春•瓜州县校级期中）（1）化简•，（2）一个扇形的面积为1，周长为4，则中心角的弧度数为？【解答】解：（1）•==2sinx；（2）设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，则，解得：α=2．18．（2013春•江西校级期末）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．【解答】解：（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…（6分）又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…（7分）所以，∴…（9分）（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …（11分）解得c=﹣3（舍）或c=8 …（13分）所以c=819．（2013•亭湖区校级二模）已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量，且．（1）求角A；（2）若，求的值．【解答】解：（1）∵∴，即，，∴，∵0＜A＜π∴∴∴．（2）由题知．20．（2013秋•缙云县校级期中）已知：sinα=，α∈（，π），求sin2α和cos2α的值．【解答】解：sinα=，α∈（，π），故有cosα=﹣=﹣，故sin2α=2sinαcosα=﹣；cos2α=1﹣2sin2α=．21．求证：（1）=；（2）tan=．【解答】证明：（1）∵等式的右边==== ===左边，∴等式=成立．（2）等式的右边== ==tan=左边，∴等式tan=成立．22．已知cosβ=﹣，（0＜β＜π），求：sin，cos，tan的值．【解答】解：∵0＜β＜π，∴∈（0，），sin，cos，tan的值都是正值．∵cosβ=﹣=2cos2﹣1，（0＜β＜π），∴cos=；∴tan===．23．已知sinα=，且α=（，π），求cos2α，sin2α及sin的值．【解答】解：∵sinα=，且α=（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，sin2α=2sinαcosα=﹣，由α∈（，π）知，∈（，），∴sin===．24．已知cosα=，α的终边在第四象限，求sin，cos，tan的值．【解答】解：α的终边在第四象限，且cosα=，∴2kπ﹣＜α＜2kπ﹣，k∈Z，即kπ﹣＜＜kπ﹣，k∈Z，∴为第二或第四象限角．由半角公式可知：sin2=（1﹣cosα）=×（1﹣）=，cos2=（1+cosα）=×（1+）=，当为第二象限角，∴sin＞0，cos＜0，tan＜0，∴sin==，cos=﹣=﹣，tan==﹣；当为第四象限角，∴sin＜0，cos＞0，tan＜0，∴sin=﹣=﹣，cos==，tan==﹣．。

高中数学知识点播主讲人：龚老师§5.08 三角比之倍角公式与半角公式一、知识清单αααcos sin sin 22=，ααααα222221122sin cos sin cos cos -=-=-=，ααα2122tan tan tan -=二、知识剖析1、“倍角”的意义是相对的，不局限于2α与α，还有α与2α，2βα+与4βα+等 2、注意“倍角”与“二次”的关系：升角——降次，降角——升次。

3、学会变形应用，得到半角公式：2122ααcos sin -=，2122ααcos cos +=，αααcos cos tan +-=1122前两个公式在化简中多用于降次（或降幂），而开方即得到半角公式：212ααcos sin-±=，212ααcos cos +±=，αααcos cos tan +-±=112 其中，正负号的选择由2α所在的象限决定。

4、借助倍角公式，可以得到不用考虑正负的半角的正切值：2112222212ααααααtan cos cossincos sin =+-=+，2222221112ααααααtan cossin )sin (sin cos =--=-∴=+=12αααcos sin tan ααsin cos -1三、 例题讲解1、log 2（sin15°cos15°）的值为 。

解：原式=2302︒sin log =412log =—22、化简αααα221222cos cos cos sin ⋅+。

解：原式=αααα22212122cos cos cos sin +⋅+ =αααα221212cos cos cos sin +⋅+=tan2α3、已知cos θ=51-，πθπ325<<，那么sin 2θ= 。

解：∵πθπ325<< ∴23245πθπ<< ∴ sin 2θ<0， ∴ 21-2θθcos sin-==515-四、随堂练习1、已知α为锐角，且sin αcos α=21，则ααcos sin +++1111= 。

最新倍角公式和半角公式一资料倍角公式和半角公式是解析几何中常用的一组公式，用于求解两个角的倍角和半角。

它们在三角函数、平面几何和立体几何等应用领域都有广泛的应用。

下面将详细介绍最新的倍角公式和半角公式，并给出相关的例题和解析。

一、倍角公式倍角公式是指将一个角的角度加倍后的角的正弦、余弦、正切等三角函数与原来的角度的三角函数之间的关系。

1.正弦的倍角公式sin2θ = 2sinθcosθ通过这个公式，我们可以将一个角的正弦值表示为这个角的余弦值和正弦值的乘积的二倍。

例题1：已知角A的正弦值为1/2，求角2A的正弦值。

解析：根据倍角公式，sin2A = 2sinAcosA代入sinA = 1/2，得到sin2A = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2所以角2A的正弦值为√3/22.余弦的倍角公式cos2θ = cos^2θ - sin^2θ通过这个公式，我们可以将一个角的余弦值表示为这个角的余弦值和正弦值的差的平方。

解析：根据倍角公式，cos2B = cos^2B - sin^2B代入cosB = 3/5，sinB = √1 - cos^2B = √1 - 9/25 = 4/5，得到cos2B = (3/5)^2 - (4/5)^2 = 9/25 - 16/25 = -7/25所以角2B的余弦值为-7/253.正切的倍角公式tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)通过这个公式，我们可以将一个角的正切值表示为这个角的正切值的两倍除以1减去这个角的正切值的平方。

例题3：已知角C的正切值为2，求角2C的正切值。

解析：根据倍角公式，tan2C = (2tanC)/(1 - tan^2C)代入tanC = 2，得到tan2C = (2 × 2)/(1 - 2^2) = -8/3所以角2C的正切值为-8/3二、半角公式半角公式是指将一个角的角度减半后的角的正弦、余弦、正切等三角函数与原来的角度的三角函数之间的关系。

三角函数的倍角与半角公式三角函数在数学中有着广泛的应用，其中倍角与半角公式是计算三角函数值时常用的工具。

倍角公式用于将角度扩大为原来的两倍，而半角公式则是将角度缩小为原来的一半。

本文将详细介绍三角函数的倍角和半角公式，以及它们的相关性质和应用。

一、正弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式对于一个角θ，其正弦函数值sinθ可以表示为以下两个倍角公式之一：sin(2θ) = 2sinθcosθsin^2θ = (1 - cos2θ)/2在上述公式中，θ为任意角度。

2. 半角公式对于一个角θ，其正弦函数值sinθ也可以表示为以下两个半角公式之一：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]sin^2(θ/2) = (1 - cosθ)/2值得注意的是，在半角公式中，sin(θ/2)的符号取决于θ的象限。

二、余弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式对于一个角θ，其余弦函数值cosθ可以表示为以下两个倍角公式之一：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1在上述公式中，θ为任意角度。

2. 半角公式对于一个角θ，其余弦函数值cosθ也可以表示为以下两个半角公式之一：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]cos^2(θ/2) = (1 + cosθ)/2与正弦函数的半角公式类似，cos(θ/2)的符号取决于θ的象限。

三、正切函数的倍角与半角公式1. 倍角公式对于一个角θ，其正切函数值tanθ可以表示为以下倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)在上述公式中，θ为任意角度且不等于(2n + 1)π/2，其中n为整数。

2. 半角公式对于一个角θ，其正切函数值tanθ也可以表示为以下半角公式之一：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]tan^2(θ/2) = (1 - cosθ)/(1 + cosθ)值得注意的是，在半角公式中，tan(θ/2)的符号取决于θ的象限。

三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中的重要概念，与几何形状和角度有关。

在三角函数中，倍角与半角是一种常见的概念，它们可以帮助我们简化计算并得到更方便的结果。

本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，希望能够帮助读者更好地理解和应用三角函数。

一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数是三角函数中常见的一种，表示为sin(x)。

在正弦函数中，倍角与半角的关系可以通过以下公式来表示：1. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式告诉我们，在计算sin(2x)时，可以通过sin(x)和cos(x)来计算，而不需要直接计算sin(2x)。

这样可以简化计算，并且减少出错的可能性。

2. 半角公式：sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2这个公式告诉我们，如果已知cos(x)，可以通过该公式来计算sin(x/2)的平方。

同样地，这也可以简化计算过程，并提高计算的准确性。

二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数是三角函数中的另一种重要函数，表示为cos(x)。

在余弦函数中，倍角与半角的关系可以通过以下公式来表示：1. 倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)这个公式告诉我们，在计算cos(2x)时，可以通过已知的cos(x)和sin(x)来计算，而不需要直接计算cos(2x)。

这样可以减少计算的复杂性，并提高计算的准确性。

2. 半角公式：cos^2(x/2) = (1 + cos(x))/2这个公式告诉我们，如果已知cos(x)，可以通过该公式来计算cos(x/2)的平方。

同样地，这也可以简化计算过程，并提高计算的准确性。

三、正切函数的倍角与半角公式正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为tan(x)。

在正切函数中，倍角与半角的关系可以通过以下公式来表示：1. 倍角公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))这个公式告诉我们，在计算tan(2x)时，可以通过已知的tan(x)来计算，而不需要直接计算tan(2x)。

三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中一个非常重要的概念，常用于计算角度和边长之间的关系。

在三角函数的学习过程中，倍角与半角公式被广泛地应用。

本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，并且详细阐述其应用。

一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数表示一个角的对边与斜边之间的比值，常用符号为sin。

正弦函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)其中，θ为任意角。

正弦函数的倍角公式表明，一个角的正弦值可以由该角的两倍角的正弦、余弦函数的乘积来表示。

2. 半角公式sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为任意角。

正弦函数的半角公式表明，一个角的半角的正弦值可以通过该角的余弦值来计算。

二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比值，常用符号为cos。

余弦函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)其中，θ为任意角。

余弦函数的倍角公式表明，一个角的余弦值可以通过其本身的余弦值和正弦值的平方差来计算。

2. 半角公式cos(θ/2) = ±√[(1 +cosθ)/2]其中，θ为任意角。

余弦函数的半角公式表明，一个角的半角的余弦值可以通过该角的余弦值来计算。

三、正切函数的倍角与半角公式正切函数表示一个角的正弦与余弦之间的比值，常用符号为tan。

正切函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))其中，θ为任意角，且tan(θ) ≠ ±1。

正切函数的倍角公式表示，一个角的正切值可以通过该角的两倍角的正切值计算得出。

2. 半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]其中，θ为任意角，且cos(θ) ≠ -1。

正切函数的半角公式表示，一个角的半角的正切值可以通过该角的余弦值计算得出。

高中数学三角函数的倍角与半角公式的证明与应用三角函数是高中数学中的重要内容，其中倍角与半角公式是常见的考点。

本文将从证明与应用两个方面，详细介绍倍角与半角公式的知识点。

一、倍角公式的证明与应用倍角公式是指将角的度数乘以2后，所得的角的正弦、余弦、正切与原角的三角函数之间的关系。

下面以正弦的倍角公式为例进行证明。

假设角A的正弦为sinA，那么角2A的正弦为sin2A。

根据三角函数的定义，sinA可以表示为直角三角形中对边与斜边的比值。

同理，sin2A也可以表示为一个新的直角三角形中的对边与斜边的比值。

我们可以假设这个新的直角三角形的对边为a，斜边为b，则根据勾股定理可得：a² + b² = 1而sin2A可以表示为a与b的比值，即sin2A = a/b。

因此，我们可以将sin2A 代入上式，得到：a² + (sin2A)² = 1接下来，我们将sin2A的定义展开，即sin2A = 2sinAcosA。

将其代入上式，得到：a² + (2sinAcosA)² = 1化简上式，得到：a² + 4sin²Acos²A = 1继续化简，得到：a² + 4sin²A(1-sin²A) = 1进一步化简，得到：a² + 4sin²A - 4sin⁴A = 1将a²替换为1-b²，得到：1 - b² + 4sin²A - 4sin⁴A = 1化简上式，得到：4sin²A - 4sin⁴A = b²再次化简，得到：4sin²A(1 - sin²A) = b²根据三角恒等式sin²A + cos²A = 1，我们可以将1 - sin²A替换为cos²A，得到：4sin²Acos²A = b²最后，我们可以将左侧的4sin²Acos²A表示为2sinAcosA，得到：2sinAcosA = b因此，我们证明了正弦的倍角公式：sin2A = 2sinAcosA。

三角倍角半角公式汇总三角倍角半角公式是在三角函数中常用的一组公式，用于计算角度的倍角和半角。

这些公式在解决三角函数相关问题时具有很大的实用价值。

下面将对三角倍角半角公式进行汇总，并进行详细的介绍。

一、正弦函数的倍角和半角公式1. 正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ这个公式表示，正弦函数的平方可以表示为正弦函数和余弦函数的乘积的两倍。

这个公式在解决正弦函数的倍角问题时非常有用。

2. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)这个公式表示，正弦函数的半角可以表示为余弦函数的差的平方根除以2。

需要注意的是，由于正弦函数是奇函数，所以半角公式中的正负号可以根据具体问题的情况来确定。

二、余弦函数的倍角和半角公式1. 余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示，余弦函数的平方可以表示为余弦函数的平方减去正弦函数的平方，也可以表示为2倍余弦函数的平方减去1，还可以表示为1减去2倍正弦函数的平方。

这些形式在解决余弦函数的倍角问题时都可以使用。

2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)这个公式表示，余弦函数的半角可以表示为余弦函数的和的平方根除以2。

与正弦函数的半角公式类似，由于余弦函数是偶函数，所以半角公式中的正负号可以根据具体问题的情况来确定。

三、正切函数的倍角和半角公式1. 正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)这个公式表示，正切函数的平方可以表示为2倍正切函数除以1减去正切函数的平方。

这个公式在解决正切函数的倍角问题时非常有用。

2. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这个公式表示，正切函数的半角可以表示为余弦函数的差的平方根除以余弦函数的和。