t高一二倍角公式

三角函数二倍角公式大全三角函数是数学中重要的概念之一，而其中的二倍角公式更是在解题过程中经常会用到的重要公式。

二倍角公式是指，当角度为α时，对应的sin、cos、tan函数的二倍角公式分别为sin2α、cos2α、tan2α。

在解题过程中，掌握好这些二倍角公式对于简化计算、解题效率的提高至关重要。

下面我们将详细介绍三角函数的二倍角公式，希望能对大家的学习和应用有所帮助。

首先，我们来看sin函数的二倍角公式。

根据三角函数的定义，sin2α = 2sinαcosα。

这个公式在解题中经常会用到，特别是在化简复杂的三角函数式子时，可以通过sin2α的形式来简化计算，提高解题效率。

接着，我们来看cos函数的二倍角公式。

根据三角函数的定义，cos2α = cos^2α sin^2α。

这个公式在解题中也是非常常用的，特别是在化简复杂的三角函数式子时，可以通过cos2α的形式来简化计算，提高解题效率。

最后，我们来看tan函数的二倍角公式。

根据三角函数的定义，tan2α = 2tanα/ (1 tan^2α)。

这个公式在解题中同样经常会用到，特别是在计算tan函数的二倍角时，可以通过tan2α的形式来简化计算，提高解题效率。

除了上述的三角函数的二倍角公式外，还有一些相关的推导公式和性质，比如sin2α + cos2α = 1，tan2α + 1 = sec2α，1 + cot2α = csc2α等。

这些公式在解题中同样也是非常重要的，能够帮助我们简化计算，提高解题效率。

总结一下，掌握好三角函数的二倍角公式对于解题过程中的化简计算、提高解题效率非常重要。

希望大家在学习和应用三角函数时，能够充分利用这些二倍角公式，提高解题效率，更好地掌握和应用三角函数的知识。

希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。

在高中数学中同学们感到吃力的一部分是三角函数的学习，在这一部分有大量的公式需要同学们熟练记忆，并且在使用的时候不能够混淆。

为了方便同学们能够清楚掌握这部分内容，在考试中能够取得好成绩，下面小编给大家整理了高中书序中二倍角公式推导讲解。

正弦二倍角公式： sin2α = 2cosαsinα 推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA 拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2] 1+sin2A=(sinA+cosA)^2余弦二倍角公式： 余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价： 1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2] 2.Cos2a=1-2Sina^2 3.Cos2a=2Cosa^2-1 推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cosA^2-sinA^2=2cosA^2-1 =1-2sinA^2正切二倍角公式： tan2α=2tanα/[1-tanα^2] 推导：tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-tanA^2]降幂公式： cosA^2=[1+cos2A]/2 sinA^2=[1-cos2A]/2 tanA^2=[1-cos2A]/[1+cos2A] 变式： sin2α=sin^2(α+π/4)-cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)-1=1-2cos^2(α+π/4);　cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)以上就是关于高中数学二倍角公式的分享，对于这些公式同学们要掌握他们的推到过程，认真对应三角图形，参考推导过程进行熟练记忆。

最后要强调同学们还是要进行适当的习题训练，加强公式记忆。

二倍角的三角函数公式二倍角公式是指将角度的弧度值加倍后，所得到的新角的三角函数与原角的三角函数之间的关系。

在三角学中，二倍角公式是非常重要的基本公式之一，它在解决三角函数的相关问题和证明中起到了重要的作用。

以下将介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式，并给出相关证明。

1.正弦的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ证明：我们可以从三角恒等式cos^2θ + sin^2θ = 1出发，将其中的sinθ换成cosθ的倍数，即：sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2)。

cos^2θ +(2sin(θ/2)cos(θ/2))^2 = 1cos^2θ + 4sin^2(θ/2)cos^2(θ/2) = 1cos^2θ + 4sin^2(θ/2)(1 - sin^2(θ/2)) = 1cos^2θ + 4sin^2(θ/2) - 4sin^4(θ/2) = 11 - sin^2θ + 4sin^2(θ/2) - 4sin^4(θ/2) = 14sin^2(θ/2)(1 - sin^2(θ/2)) = sin^2θ4sin^2(θ/2)cos^2(θ/2) = sin^2θ2si n(θ/2)cos(θ/2) = sinθ2sin(θ/2)cos(θ/2) = 2sinθ/2cosθ/2sinθ = 2sinθ/2cosθ/2sin(2θ) = 2sinθ/2cosθ/2 = 2sinθcosθ2.余弦的二倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θ证明：我们以sin(2θ) = 2sinθcosθ为起点，将其中的sinθ换成cosθ的倍数，即：sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2)。

c os(2θ) = cos^2θ - sin^2θcos(2θ) = (cos^2θ - sin^2θ) * (cos^2θ +sin^2θ)/(cos^2θ + sin^2θ)cos(2θ) = (cos^2θ - sin^2θ)/(cos^2θ + sin^2θ)cos(2θ) = (cos^2θ - sin^2θ)/(1)cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ我们也可以通过利用二次函数的标准形式，利用两个单位圆上的点进行证明：令点A(x1, y1) = (cosθ, sinθ)，获得点B = (cos(2θ),sin(2θ))根据单位圆上的定义，有x1^2+y1^2=1将角度加倍后，可以得到点B的坐标：B(2x1^2-1,2x1y1)将点A的坐标代入B的坐标中，有：cos(2θ) = 2cos^2θ - 1sin(2θ) = 2cosθsinθ = 2(x1y1) = sin(2θ)3.正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)证明：我们可以利用正切的定义和两个角度的tan值来证明二倍角公式。

二倍角和平方角的公式
二倍角和平方角是三角学中常见的概念，它们有一些常用的公式。

首先是二倍角的公式：
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。

cos(2θ) = cos^2(θ) sin^2(θ) = 2cos^2(θ) 1 = 1
2sin^2(θ)。

tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 tan^2(θ))。

其中，θ代表角度。

其次是平方角的公式：
sin^2(θ) = (1 cos(2θ))/2。

cos^2(θ) = (1 + cos(2θ))/2。

tan^2(θ) = (1 cos(2θ))/(1 + cos(2θ))。

这些公式可以帮助我们在三角函数中求解二倍角和平方角的值。

例如，如果我们知道某个角的正弦、余弦或正切值，我们可以利用
这些公式来求解这个角的二倍角或平方角的值。

除了这些基本公式外，还有其他一些涉及二倍角和平方角的恒
等式，它们在解题中也非常有用。

总的来说，二倍角和平方角的公式在三角函数的运算中起着重
要的作用，能够帮助我们简化计算，解决各种三角函数相关的问题。

二倍角公式大全及推导过程二倍角公式是通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，接下来分享二倍角公式大全及推导过程。

Sin2a=2Sina*Cosa；Cos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1；tan2a=(2tana)/(1-tana^2)。

二倍角公式大全及推导过程三角函数的二倍角公式Sin2a=2Sina*CosaCos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1tan2a=(2tana)/(1-tana^2)二倍角公式推导过程①正弦二倍角公式：sin2α=2cosαsinα推导：sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa拓展公式：sin2a=2sinacosa=2tanacosa^2=2tana/[1+tana^2] 1+sin2a=(sina+cosa)^2②余弦二倍角公式：余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价：1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]2.Cos2a=1-2Sina^23.Cos2a=2Cosa^2-1推导：cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2。

③正切二倍角公式：tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]推导：tan2a=tan(a+a)=(tana+tana)/(1-tanatana)=2tana/[1-(tana)^2]。

三角函数的半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα))二倍角公式推导过程在二角和的公式中令两个角相等（B=A），就得到二倍角公式。

二倍角的公式二倍角的公式是数学中的一种重要公式，它在解决三角函数问题时非常有用。

本文将详细介绍二倍角的公式及其应用。

二倍角的公式可以帮助我们简化三角函数的计算。

在数学中，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

而二倍角的公式适用于这些三角函数的二倍角，即对于角度θ，二倍角的公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θtan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)我们来看正弦函数的二倍角公式。

根据公式sin(2θ) = 2sinθcosθ，我们可以得出sin(2θ)的值等于2sinθ乘以cosθ。

这个公式在解决正弦函数二倍角问题时非常有用。

例如，如果我们要计算sin(60°)，根据二倍角公式，我们可以将θ取值为30°，然后代入公式计算得到sin(60°) = 2sin(30°)cos(30°) = 2 * 0.5 * √3 / 2 = √3 / 2。

接下来，我们来看余弦函数的二倍角公式。

根据公式cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ，我们可以得出co s(2θ)的值等于cos^2θ减去sin^2θ。

这个公式在解决余弦函数二倍角问题时非常有用。

例如，如果我们要计算cos(120°)，根据二倍角公式，我们可以将θ取值为60°，然后代入公式计算得到cos(120°) = cos^2(60°) -sin^2(60°) = (1/2)^2 - (√3/2)^2 = 1/4 - 3/4 = -1/2。

我们来看正切函数的二倍角公式。

根据公式tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)，我们可以得出tan(2θ)的值等于2tanθ除以1减去tan^2θ。

这个公式在解决正切函数二倍角问题时非常有用。

例如，如果我们要计算tan(45°)，根据二倍角公式，我们可以将θ取值为22.5°，然后代入公式计算得到tan(45°) = 2tan(22.5°) / (1 - tan^2(22.5°)) = 2 * (2 - √2) / (1 - (2 - √2)^2) = 1。

二倍角公式知识点
二倍角公式是三角函数中的基本公式之一，主要涉及到正弦、余弦和正切的二倍角计算。

对于正弦的二倍角，公式为：sin2a = 2sinacosa。

这个公式可以通过三角函数的加法公式推导得到，即sin(a+a) = sinacosa + cosasina =
2sinacosa。

对于余弦的二倍角，公式有多个形式：cos2a = 2cos²(a)-1，cos2a = 1- 2sin²(a)，cos2a = cos²(a) - sin²(a)。

这些公式也可以通过三角函数的加法公式推导得到，即cos(a+a) = cosacosa- sinasina = cos²(a)- sin²(a)。

对于正切的二倍角，公式为：tan2a = 2tana/(1-tan²(a))。

这个公式也可以通过三角函数的加法公式推导得到，即tan(a+a) = sin(a+a)/cos(a+a) = (2sinacosa)/(cos²(a) - sin²(a)) = 2tana/(1-tan²(a))。

此外，还有半角公式和万能公式等知识点，这些公式可以用于简化三角函数的计算。

例如，半角的正弦、余弦和正切公式可以用于降幂扩角，万能公式则可以用于将正弦、余弦和正切统一到一个公式中进行计算。

以上内容仅供参考，如需更全面准确的信息，建议查阅数学教材或相关数学资料。

常用三角函数二倍角公式三角函数的二倍角公式是指将角度的大小加倍后，与原来角度的三角函数之间的关系。

常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的二倍角公式如下：1.正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦函数的二倍角公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)3.正切函数的二倍角公式：tan(2θ) = (2tan(θ)) / (1 - tan²(θ))下面我们来逐一介绍这些二倍角公式的推导和应用。

1.正弦函数的二倍角公式的推导：要求sin(2θ)，我们可以使用正弦函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)将A和B都取为θ，我们有：sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)这个二倍角公式在解决许多几何问题和三角方程时非常有用。

2.余弦函数的二倍角公式的推导：同样地，我们要求cos(2θ)，可以使用余弦函数的和差角公式：cos(A ± B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)将A和B都取为θ，我们有：cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ) = cos²(θ) - sin²(θ)这个二倍角公式常用于计算积分、证明等数学问题。

3.正切函数的二倍角公式的推导：我们要求tan(2θ)，可以将tan(2θ)表示为sin(2θ)除以cos(2θ)：tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)然后，我们将sin(2θ)和cos(2θ)用sin(θ)和cos(θ)来表示：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)将这两个式子代入前面的tan(2θ)等式中，可以得到：tan(2θ) = (2sin(θ)cos(θ)) / (cos²(θ) - sin²(θ))这个二倍角公式在三角方程、极限计算等问题中经常使用。

数学二倍角公式有哪些许多同学对数学数学二倍角公式不是很了解，那么数学二倍角公式有哪些呢?下面是由小编为大家整理的“数学二倍角公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

数学二倍角公式正弦二倍角公式：sin2α=2cosαsinα。

余弦二倍角公式：cos2α=2cos^2α-1;cos2α=1−2sin^2α;cos2α=cos^2α−sin^2α;正切二倍角公式：tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]。

二倍角公式推导公式正弦二倍角公式：sin2α=2cosαsinα。

推导：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα。

余弦二倍角公式：余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：1.cos2α=2cos^2α-1;2.cos2α=1−2sin^2α;3.cos2α=cos^2α−sin^2α。

推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cos^2A-sin^2A=2cos^2A-1=1-2sin^2A。

正切二倍角公式：tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2];tan(1/2*α)=(sinα)/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα。

推导：tan(2a)=tan(a+a)=(tan(a)+tan(a))/(1-tan(a)*tan(a))=2tanα/[1-(tanα)^2]。

拓展阅读：高中数学解题方法①特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

②极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。

③剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2k παπ≠+及()42k k Z ππα≠+∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2cos2sin2sin ααα=；11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：要点二：二倍角公式的逆用及变形要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用 例1．化简下列各式： （1）4sincos22αα；（2）22sincos 88ππ-；（3）2tan 37.51tan 37.5︒-︒．【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式． 【答案】（1）2sin α（2）22-（3）232+【解析】 （1）4sincos22sincos2sin 2222ααααα=⋅=．（2）22222sincos cos sin cos 888842πππππ⎛⎫-=--=-=-⎪⎝⎭． （3）22tan 37.512sin 37.5123tan 751tan 37.521tan 37.522︒︒+=⋅=︒=-︒-︒．【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值． 【思路点拨】解这类题型有两种方法： 方法一：适用sin 2sin 2cos ααα=，不断地使用二倍角的正弦公式方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin 2cos 2sin ααα=进行化简．【答案】116【解析】方法一：sin 20sin 50sin 70sin10sin 50sin 702cos10︒︒︒︒︒︒=︒sin 20cos 20sin 50sin 40sin 50sin 40cos 402cos104cos104cos10︒︒︒︒︒︒︒===︒︒︒sin 8018cos108︒==︒． ∴1sin10sin 30sin 50sin 7016︒︒︒︒=方法二：原式1cos 20cos 40cos802=︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos804sin 20︒︒︒︒=︒sin 40cos 40cos80sin80cos801sin16014sin 202sin 2016sin 2016︒︒︒︒︒︒===⋅=︒︒︒．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若sin 0α≠，则11s i n 2c o sc o s 2c o s 4c o s 22s i nn nn αααααα++=．举一反三：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°． 【解析】原式2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20︒︒︒︒=︒︒︒=︒sin160sin 2018sin 208sin 208︒︒===︒︒．类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例3．化简下列各式： (1)4sin 1)2(2cos cos 12sin sin -+++θθθθ【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．【答案】（1）tan θ（2）sin 2cos2- 【解析】(1).tan )cos 21(cos )cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθθθθθθθθθ=++=+⋅+=+++ (2)4sin 1-【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：αααα22sin 22cos 1,cos22cos 1=-=+．经常起到消除式子中1的作用．②由于2)cos (sin sin21cos sin 22sin αααααα±=±⋅=，从而，可进行无理式的化简和运算．例4．化简：222cos 12tan sin 44αππαα-⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】 原式2cos 22sin 4cos 4cos 4απαπαπα=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭cos 21cos 2αα==．【总结升华】 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．举一反三：【变式1】（1）1sin 6-的化简结果是 ．（2）已知3sin 5α=，且α∈(2π ，π)，则2sin 2cos αα的值为 ． 【答案】（1）sin3cos3-（2）32-【解析】（1）原式=1sin 3cos3-=2(sin3cos3)-=|sin3cos3|- =sin3cos3-（2）因为3s i n 5α=，且α∈(2π ，π)，所以4cos 5α=-，原式=22sin cos 3532()cos 542ααα=⨯⨯-=-． 类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用 【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】 例5．求值： （1）已知3sin()1225πθ-=，求cos()6πθ-．（2）已知sin()4m πα+=，求sin2α．【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解． 【答案】（1）725（2）221m - 【解析】 （1）cos()cos cos 266122πππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=212sin 122πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =91225-⨯ =725（2）sin 2cos(2)2παα=-+=212sin 4πα⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=212sin 4πα⎛⎫-++⎪⎝⎭=221m -【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧． 举一反三：【变式1】 已知1sin cos 3αα+=，且0απ<<，求sin 2α，cos2α，tan 2α的值．【答案】89-179- 81717【解析】由1sin cos 3αα+=，得21(sin cos )9αα+=，即112sin cos 9αα+=，∴8sin 22sin cos 9ααα==-由1sin cos 3αα+=，得1cos sin 3αα=-，∴221cos sin 3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭．即22121sinsin sin 93ααα-=-+．整理得29sin 3sin 40αα--=．解得117sin 6α+=或117sin 6α-=（舍去）． ∴2211717cos 212sin 1269αα⎛⎫+=-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴sin 2817tan 2cos 217ααα==．【总结升华】解题过程中注意角α的范围的判定．【变式2】已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．【解析】 （1）tantan 1tan 14tan 41tan 21tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得1tan 3α=-．（2）222sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 1cos 212cos 12cos αααααααααα---==++-1115t a n 2326α=-=--=-． 【总结升华】 第（1）问中利用了方程的思想求tan α的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan α的式子求解，或者通过消元转化的方法求解． 类型五：二倍角公式的综合应用【高清课堂：倍角、半角公式370633 例3】例6．已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求：（1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间．【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成sin()A x k ωϕ++的形式．【答案】（1）22+ |,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）单增区间 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 单减区间 5,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）原式=1sin 2cos21x x +++ =sin 2cos22x x ++ =2sin(2)24x π++则当22,42x k πππ+=+即|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭时，（2）f (x )的单调递增区间为：222242k x k πππππ-≤+≤+，则f (x )的单调递减区间为：3222242k x k πππππ+≤+≤+，则 【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及sin()y A x ωϕ=+的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式21sin sin cos 22ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，21sin sin cos 22ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（2）扩角降幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 例7． 已知向量(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，求函数()f x =⋅a b ． （1）求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）若8()5f θ=，求cos 224πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．【答案】（1）21+ 3()8x k k Z ππ=+∈（2）1625【解析】 （1）因为(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，所以22()1sin 2sin cos 1sin 2cos 22sin 214f x x x x x x x π⎛⎫=++-=+-=-+ ⎪⎝⎭．因此，当2242x k πππ-=+，即3()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值21+． （2）由()1s i n 2c o s f θθθ=--及8()5f θ=得3sin 2cos 25θθ-=，两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=．因此，16cos 22cos 4sin 44225ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．举一反三：【变式1】已知函数2()sin cos cos 1222x x xf x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2π，52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k z ∈（Ⅱ）212+- 【解析】（Ⅰ）1cos ()sin cos 1222x x xf x +=+-所以函数()f x 的最小正周期为2π.由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+. 函数()f x 单调递减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . (Ⅱ)由342x ππ≤≤，得7244x πππ≤+≤.则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值212+-.【变式2】已知向量m =（sinA ，cosA ），(3,1)=-n ，m ·n =1，且A 为锐角． （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域．【答案】（1）3π（2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题意，得3sin cos 1m n A A ⋅=-=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由A 为锐角得66A ππ-=，3A π=．（2）由（1）知1cos 2A =，所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．因此，当1sin2x=时，()f x有最大值32，当sin x=－1时，()f x有最小值－3，所以所求函数()f x的值域是3 3,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。

二倍角公式过程
二倍角公式是指将角度的大小加倍后的正弦、余弦和正切值与原来的角度的正弦、余弦和正切值之间的关系。

具体的二倍角公式有：
1. 正弦的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
2. 余弦的二倍角公式：
cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)
3. 正切的二倍角公式：
tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))
下面将分别推导这些二倍角公式的过程：
1. 推导正弦的二倍角公式：
根据正弦函数的定义：sin(θ) = 对边/斜边，可以得到：
sin(2θ) = 对边/斜边= (2倍的对边)/(2倍的斜边) = (2sin(θ)cos(θ))/(2cos²(θ)) = 2sin(θ)cos(θ)
2. 推导余弦的二倍角公式：
根据余弦函数的定义：cos(θ) = 邻边/斜边，可以得到：
cos(2θ) = 邻边/斜边= cos²(θ) - sin²(θ)
3. 推导正切的二倍角公式：
根据正切函数的定义：tan(θ) = 对边/邻边，可以得到：
tan(2θ) = 对边/邻边= (2倍的对边)/(2倍的邻边) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))
这样就得到了正弦、余弦和正切的二倍角公式。

这些公式在解决一些三角函数相关的问题时非常有用。