10.圆锥曲线中的探究问题

圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的探究圆锥曲线是由直线与圆锥曲面的交线构成的曲线。

在圆锥曲线中，如果两条直线斜率之积为定值，这意味着这两条直线在圆锥曲面上是平行的。

这种性质可以用数学方法证明。

证明圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的性质，我们需要使用到几何和代数的知识。

首先，设圆锥曲面的方程为：z=kx/a+ky/b(a,b>0)其中，k是定值。

在圆锥曲面上的一条直线的斜率为kx/a。

另一条直线的斜率为ky/b。

所以斜率之积为(kx/a)*(ky/b)=k^2*xy/ab由此可以看出，斜率之积为一个定值，即k^2/ab。

这证明了在圆锥曲线中，两条直线斜率之积为定值的性质。

上述证明仅是其中一种证明方式，在实际应用中还可以用其他方式证明。

除了上面提到的证明方法之外，还有其他几种证明圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的方法。

一种常用的方法是使用向量的思想。

具体来说，我们可以将圆锥曲面的一个点表示成向量，并将圆锥曲面上的直线表示成向量方程。

这样我们就可以通过向量积来证明两条直线斜率之积为定值。

另一种方法是使用极坐标系。

圆锥曲面可以在极坐标系中表示为极面函数。

在极坐标系中，两条直线斜率之积可以通过导数的比值来证明是定值。

还可以使用拉格朗日参数方法证明两条直线斜率之积为定值。

证明的方法不止这些，还有其他的证明方法。

这取决于问题的具体情况以及证明者对数学知识的掌握程度。

在上面的证明中，我们已经证明了在圆锥曲线中，两条直线斜率之积为定值。

这种性质可以用来解决各种几何问题，比如求解两条直线的位置关系等。

具体来说，假如我们知道圆锥曲面的一条直线的斜率以及斜率之积的定值，我们就可以求出另一条直线的斜率。

这样就可以确定这两条直线在圆锥曲面上的位置关系了。

此外，我们还可以利用这种性质来求解其他几何问题，比如求解直线与圆锥曲面的交点，求解圆锥曲线的轨迹等。

其中一个典型的应用是求解两条直线的位置关系，如求出两条直线是否平行或垂直。

圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题探究有关圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题的研究一直受到数学家们的广泛关注。

圆锥曲线是一个经典的曲线，在几何学、拓扑学、微分几何学、物理学及其他诸多学科中都有着重要的地位。

特别是它与斜率有关的一类定值问题，更是引起了数学家们的极大关注。

圆锥曲线由一个原本的圆锥，被沿着一个旋转轴不断旋转而形成。

因此，当旋转轴的斜率发生变化时，圆锥曲线的形态也会发生变化。

有关斜率的定值问题就是“求解发生变化的圆锥曲线的曲率参数”。

曲率参数不仅关系到曲线的形状，还可以用来描述曲线的两点有多远的距离、曲线的弧度有多大，以及它是否能与其他曲线顺利拼接。

因此，求解曲率参数对理解圆锥曲线的形状变化具有重要意义。

解决这个问题，有不同的数学方法可供参考，比如，可以利用微积分的知识，通过对二次微分后的方程进行积分，求出曲率参数；也可以利用相关的几何学知识，通过比较近似的直线段到曲线的正切值，求出曲率参数。

此外，还可以采用数值计算的方法，利用拉格朗日插值法来求得曲率参数；或者采用图像处理的方法，通过解决图像中有关曲率参数的问题来寻找曲率参数。

从数学角度来讲，圆锥曲线中的曲率参数问题一直是数学家们的关注焦点，这个问题也在数学史上被反复探讨，涉及到多项重要的数学知识。

比如，曲率参数会引入九点平行四边形的概念；它也与椭圆及抛物线有关；借助它，我们可以推导出曲线的多种几何特性。

尽管这些知识都不容易，但圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题已被成功地解决。

这一成果不仅仅使我们有机会了解圆锥曲线的特性，同时，它也为其他类似问题提供了参考。

它可以为其他类似问题提供思路，并为之后的研究提供一种有效的框架。

综上所述，圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题的研究不仅能够帮助我们更好地理解圆锥曲线的特性，它还会激发我们对其他更多类似问题的探索。

因此，有必要继续深入研究这一问题，以期能够给数学家以更多的洞见。

神奇的圆锥曲线动态结构168杭州学军中学闻杰神奇的圆锥曲线动态结构目录一、神奇曲线，定义统一01．距离和差，轨迹椭双02．距离定比，三线统一二、过焦半径，相关问题03．切线焦径，准线作法04．焦点切线，射影是圆05．焦半径圆，切于大圆06．焦点弦圆，准线定位07．焦三角形，内心轨迹三、焦点之弦，相关问题08．焦点半径，倒和定值09．正交焦弦，倒和定值10．焦弦中垂，焦交定长11．焦弦投影，连线截中12．焦弦长轴，三点共线13．对焦连线，互相垂直14．相交焦弦，轨迹准线15．相交焦弦，角分垂直16．定点交弦，轨迹直线17．焦弦直线，中轴分比四、相交之弦，蝴蝶特征19．横点交弦，竖之蝴蝶20．纵点交弦，横之蝴蝶21．蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23．定点割线，倒和两倍24．定点割线，内外定积25．主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27．定点之弦，张角仍等28．对称之点，三点共线29．焦点切点，张角相等30．倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32．切线半径，斜积仍定33．动弦中垂，范围特定34．定向中点，轨迹直径35．定点中点，轨迹同型八、向量内积，定值问题37．存在定点，内积仍定九、其它重要性质38．光线反射，路径过焦39．切线中割，切弦平行40．直周之角，斜过定点41．正交半径，斜切定圆42．直径端点，斜积定值43．垂弦端点，交轨对偶44．准线动点，斜率等差45．焦点切线，距离等比46．共轭点对，距离等积47．正交中点，连线定点48．顶点切圆，切线交准49．平行焦径，交点轨迹50．内接内圆，切线永保51．切线正交，顶点轨迹52．斜率定值，弦过定点53．直线动点，切弦定点54．与圆四交，叉连互补55．交弦积比，平行方等56．补弦外圆，切于同点57、焦点切长，张角相等58．斜率积定，连线过定59．切点连线，恒过定点60.焦点准线，斜率等差161.焦点准线，斜率等差21．距离和差，轨迹椭双问题探究1已知动点Q 在圆A ：22()4x y λ++=上运动，定点(,0)B λ，则 （1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆 。

圆锥曲线存在性问题的探究目录题型一：存在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值方法技巧总结解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．必考题型归纳题型一：存在点使向量数量积为定值1(2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆的左顶点坐标为-2,0 ，离心率为e =22．1 求椭圆E 的方程；2 过点1,0 作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP ⋅MQ为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023·山西大同·高二统考期末)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2=43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ,0)，使PE ⋅QE 恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.3(2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为2 3.点P 在椭圆C 上，且满足ΔPF 1F 2的周长为6.(I )求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点(-1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使得MA ⋅MB 恒为定值？若存在，求出该点M 的坐标；若不存在，请说明理由.1(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，椭圆经过点A -1,22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交C 于M ,N 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点P ，使PM ⋅PN为定值？若存在，求出这个定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)已知F 1､F 2为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，E 的离心率为5,M 为E 上一点，且MF 2 -MF 1 =2.(1)求E 的方程；(2)设点M 在坐标轴上，直线l 与E 交于异于M 的A ､B 两点，且点M 在以线段AB 为直径的圆上，过M 作MC ⊥AB ，垂足为C ，是否存在点D ，使得CD 为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.3(2023·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，且直线y =x +b 是抛物线C 2:y 2=4x 的一条切线．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点S 0,-13的动直线L 交椭圆C 1于A ,B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．4(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．题型二：存在点使斜率之和或之积为定值4(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知为O 坐标原点，A 2,0 ,B 0,1 ,C 0,-1 ,D 2,1 ，OE =λOA ,DF=λDA,0<λ≤1，CE 和BF 交点为P .(1)求点P 的轨迹G ；(2)直线y =x +m (m ≠0)和曲线G 交与M ，N 两点，试判断是否存在定点Q 使k MQ k NQ =14如果存在，求出Q 点坐标，不存在请说明理由.5(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A -2,0 ，B 2,0 ，P x ,y 是异于A ，B 的动点，k AP ，k BP 分别是直线AP ，BP 的斜率，且满足k AP ⋅k BP =-34.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)在线段AB 上是否存在定点E ，使得过点E 的直线交P 的轨迹于M ，N 两点，且对直线x =4上任意一点Q ，都有直线QM ，QE ，QN 的斜率成等差数列.若存在，求出定点E ，若不存在，请说明理由.6(2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测)以双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q43,253(1)求C的方程.(2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.5(2023·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1 =0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.6(2023·河北·高三校联考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，实轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由.7(2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长是6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过椭圆的右焦点F 2且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.8(2023·全国·高三专题练习)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P 0,1 的动直线L 于椭圆相交于A ,B 两点，当直线L 平行于x 轴时，直线L 被椭圆C 截得弦长为22．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)在y 上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得直线AQ 和BQ 的倾斜角互补？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由．题型三：存在点使两角度相等7(2023·新疆阿勒泰·统考三模)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1)的左右焦点分别为F 1、F 2，A ,B 分别为椭圆C 1的上，下顶点，F 2到直线AF 1的距离为3．(1)求椭圆C 1的方程；(2)直线x =x 0与椭圆C 1交于不同的两点C ,D ，直线AC ,AD 分别交x 轴于P ,Q 两点．问：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．8(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点A-2,0且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得∠AME=∠EFM？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由.9(2023·四川绵阳·模拟预测)已知点A是圆C:x-12+y2=16上的任意一点，点F-1,0，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点G3,0且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点B2,0．问：x 轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTB恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．9(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y23=1(a>0)经过点-1,32，过点T3,0的直线交该椭圆于P，Q两点.(1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.10(2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点1,2 2，且上顶点与右顶点的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P3,0的直线l交椭圆C于A,B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+∠PQB=π，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M到点D2,0的距离等于点M到直线x=1距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l：y=12x+t t≥2与曲线C交于A,B两点，问曲线C上是否存在两点P,Q满足∠APB=∠AQB=90°，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.题型四：存在点使等式恒成立10(2023·福建漳州·统考模拟预测)已知R是圆M：x+32+y2=8上的动点，点N3,0，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若过点P-2,0的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.11(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点B 0,b 且与直线BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且2F 1F 2 +F 2D =0．(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若过B 、D 、F 2三点的圆恰好与直线l :x -3y -6=0相切，求椭圆Γ的方程；(3)设a =2．过椭圆Γ右焦点F 2且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．12(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A 、B ．曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得x P =4x T (其中x P ，x T 为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．12(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点和右焦点分别为A ,F ，动点P 满足|PA |2+12|PF |2=92，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设点Q 在E 上，过Q 作C 的两条切线，分别与y 轴相交于M ,N 两点.是否存在点Q ，使得MN 等于E 的短轴长？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.13(2023·甘肃定西·统考模拟预测)已知点M 到点F 0,32 的距离比它到直线l ：y =-2的距离小12，记动点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若过点F 的直线交E 于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得PA ，PB 分别交E 于另外两点C ，D ，且AB =3CD？若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.14(2023·北京海淀·中关村中学校考三模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)过点M-3,0且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，点B关于x轴的对称点为B .问：平面内是否存在定点P，使得B 恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.题型五：存在点使线段关系式为定值13(2023·全国·高三专题练习)椭圆E经过两点1,2 2，22,32，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；(3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明．14(2023·福建宁德·校考模拟预测)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.15(2023·四川成都·高三校考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，AB =3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当直线l 的斜率为k k ≠0 时，在x 轴上是否存在一点P (异于点F )，使x 轴上任意一点到直线PA 与到直线PB 的距离相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．15(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A 2,0 ，B 1,32 .直线x =t (不经过点B )与椭圆E 交于M ,N 两点，Q 1,0 ，直线MQ 与椭圆E交于另一点C ，点P 满足QP ⋅NC=0，且P 在直线NC 上.(1)求E 的方程；(2)证明：直线NC 过定点，且存在另一个定点R ，使PR 为定值.16(2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.17(2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．18(2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点F 1,0 的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径；②点P 到F 1,0 的距离比P 到y 轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件：求曲线C 的方程；(2)在x 轴正半轴上是否存在一点M ，当过点M 的直线l 与抛物线C 交于Q ，R 两点时，1MQ +1MR为定值？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.19(2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为e=22，且经过点1,e．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．(1)若A a,0，B0,b，求△ABP面积的最大值；(2)是否存在点P，使得过点P作圆M:x+12+y2=1的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且DE= 143．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．。

圆锥曲线中角平分线问题的探究与推广
圆锥曲线是数学中一种重要的曲线，它可以用来描述物体的形状，如圆锥、椭圆等。

圆锥曲线的角平分线是指在圆锥曲线上，从某一点出发，经过多次角平分，将圆锥曲线分成两个部分的直线，这种曲线的研究一直是数学界的热门话题之
圆锥曲线的角平分线一般是在圆锥曲线的某一点出发，经过角平分，使圆锥曲线分成两个部分，结果是一条直线，这条直线称为角平分线。

圆锥曲线的角平分线有两种：内平分线和外平分线。

内平分线是从圆锥曲线的中心点出发，经过多次角平分，使圆锥曲线分成两个部分的直线；外平分线是从圆锥曲线的外部点出发，经过多次角平分，使圆锥曲线分成两个部分的直线。

圆锥曲线的角平分线问题一直是学者们所研究的热门话题，他们提出了许多有关角平分线的问题，如角平分线的几何性质、角平分线如何影响圆锥曲线的形状等。

例如，在一个圆锥曲线上，从任意一点出发，经过多次角平分，如何找到这条角平分线？这是一个比较复杂的问题，因为它需要解决圆锥曲线的几何问题，而几何问题本身又是一个比较复杂的问题。

近年来，学者们在研究角平分线的问题的基础上，又提出了许多新的问题，如角平分线的推广、多边形的角平分线、角平分线与变换等问题。

例如，学者们研究了如何在多边形中使用角平分线，以及角平分线在变换中的应用等。

这些问题都是
学者们正在研究的热门话题，他们比较了角平分线的不同性质，尝试推广角平分线的应用，使它们成为可以用于更多场合的有用工具。

总之，圆锥曲线的角平分线问题一直是数学界的热门话题，学者们不断研究角平分线的几何特性，探究角平分线的推广，使角平分线成为可以用于更多场合的实用工具。

第三章 圆锥曲线的方程专题10：圆锥曲线的方程——定点、定值及探究性问题的解法一、选择题 1.()已知点A,B 在抛物线y 2=x 上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点),则直线AB一定过点 ( ) A.(2,0) B.(12,0) C.(0,2) D.(0,12)2.()已知过原点O 的直线l 与椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)相交于点A,B,点P 是椭圆C 上异于点A,B的动点,直线PA,PB 的斜率分别为k 1,k 2 ,则k 1·k 2的值为 ( ) A.-b 2a 2 B.-a 2b 2C.b 2a 2D.与点P 的位置有关3.()已知A,B 是双曲线Γ:x 24-y 23=1的左、右顶点,动点P 在Γ上且P 在第一象限.若PA 、PB 的斜率分别为k 1,k 2,则以下总为定值的是 ( ) A.k 1+k 2 B.|k 1-k 2|C.k 1·k 2D.k 12+k 224.()若直线l 与双曲线x 24-y 2=1相切于点P,l 与双曲线的两条渐近线分别交于点M,N,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.3 B.4C.5D.与点P 的位置有关5.()已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B 两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于另一点C,D,设直线AB,CD 的斜率分别为k 1,k 2,则k1k 2= ( ) A.-12B.2C.1D.126.()已知点P(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2=2x 交于不同的两点A 、B,若x 轴是∠APB 的平分线,则直线l 一定过点 ( ) A.(12,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(-2,0)7.()已知抛物线y 2=2px(p 是正常数)上有两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),焦点为F.给出下列条件:甲:x 1x 2=p 24；乙:y 1y 2=-p 2；丙:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-34p 2；丁:1|FA|+1|FB|=2p .其中是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题 8.()过抛物线y 2=4x 上一点P(4,4)作两条直线PA,PB,且它们的斜率之积为定值4,则直线AB 恒过定点 . 9.()椭圆E:x 24+y 23=1的左顶点为A,点B,C 是椭圆E 上的两个动点,若直线AB 与AC 的斜率之积为定值-14,则动直线BC 恒过的定点坐标为 .三、解答题 10.()已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=2√3,经过点F 1的直线(不与x轴重合)与椭圆C 相交于A,B 两点,△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆C 上的一点Q 作斜率为k 1,k 2(k 1≠0,k 2≠0)的两条直线,分别与椭圆C 相交于异于点Q 的M,N 两点.若M,N 关于坐标原点对称,求k 1k 2的值. 11.()已知点(√2,√33),(1,√63)在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,证明:存在常数λ,使得k1=λk2,并求出λ的值.12.()已知椭圆C:x 2m +y2n=1(m>n>0),且椭圆C上恰有三点在集合{(√33,2√23),(-√33,-2√23),(√64,0),(0,1)}中.(1)求椭圆C的方程；(2)若点O为坐标原点,直线AB与椭圆交于A、B两点,且满足OA⊥OB,试探究:点O到直线AB的距离是不是定值？如果是,求出定值；如果不是,请说明理由；(3)在(2)的条件下,求△AOB面积的最大值.13.()已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,B为短轴的端点,长轴长为4,焦距为2c,且b>c,△BF1F2的面积为√3.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点M,且与直线x=4相交于点N.试探究:在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.14.()已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,抛物线y2=2px(p>0)的焦点是(12,0),M(a4,b)是抛物线上的点,H为直线y=-a上任一点,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,且A,B,H三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)直线HA,HB与椭圆C的另一交点分别为点D,E,求证:直线DE过定点.答案全解全析一、选择题1.A 当直线AB 的斜率为0时,直线AB 与抛物线只有1个交点,不符合题意,所以直线AB 的斜率不为0,设其方程为x=ky+m.因为点A,B 在抛物线y 2=x 上,所以设A(y A 2,y A ),B(y B 2,y B ),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y A 2y B 2+y A y B =2,解得y A y B =1或y A y B =-2.又因为A,B 两点位于x 轴的两侧,所以y A y B =-2.联立{y 2=x,x =ky +m,得y 2-ky-m=0,所以y A y B =-m=-2,即m=2.所以直线AB 的方程为x=ky+2.所以直线AB一定过点(2,0).故选A.2.A 设点P(x 0,y 0),A(x 1,y 1),则点B(-x 1,-y 1), ∴k 1=y 0-y 1x 0-x 1,k 2=y 0+y1x 0+x 1,∴k 1·k 2=y 02-y 12x 02-x 12.又由题意得x 02a +y 02b =1,x 12a +y 12b =1, 两式作差,得x 02-x 12a 2+y 02-y 12b 2=0,即x 02-x 12a 2=-y 02-y 12b 2,∴y 02-y 12x 02-x 12=-b 2a,即k 1·k 2=-b 2a.故选A.3.C 由题意得A(-2,0),B(2,0).设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则x 024-y 023=1,即y 02=34(x 02-4).又k 1=y 0x+2,k 2=y0x 0-2,所以k 1·k 2=y 02x 02-4=34.故选C. 4.A 设P(x 0,y 0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 因为P 是切点,所以MP 的方程为x 0x 4-y 0y=1,且x 02-4y 02=4.由双曲线方程可得两条渐近线方程分别为l 1:y=12x,l 2:y=-12x,不妨设M 在l 1上,N 在l 2上. 由{x 0x 14-y 0y 1=1,y 1=12x 1,解得{x 1=4x 0-2y 0,y 1=2x 0-2y,同理,得{x 2=4x 0+2y 0,y 2=-2x 0+2y 0, 所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4x 0-2y 0·4x0+2y 0-2x0-2y 0·2x0+2y 0=12x 02-4y 02=124=3.故选A.5.D 由题意知,F(1,0).设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),∴直线AF 的方程是y=y 1x 1-1(x-1),设k 0=y1x 1-1,则直线AF 的方程为y=k 0(x-1), 与抛物线方程y 2=4x 联立,可得k 02x 2-(2k 02+4)x+k 02=0,∴x 3x 1=1,∴x 3=1x 1,∴y 3=k 0(x 3-1)=-y 1x 1,即C (1x 1,-y1x 1),同理,D (1x 2,-y 2x2),∴k 2=-y 1x 1+y 2x 21x 1-1x 2=2k 1,∴k 1k 2=12.故选D.6.B 设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由{y =kx +b,y 2=2x,得k 2x 2+(2kb-2)x+b 2=0, 所以Δ=4(kb-1)2-4k 2b 2>0,即kb<12,x 1+x 2=2−2kb k 2,x 1x 2=b 2k 2.因为x 轴是∠APB 的平分线,所以k AP =-k PB ,所以y 1x 1+1=-y 2x2+1,即kx 1+b x 1+1=-kx 2+b x 2+1,整理,得2kx 1x 2+(k+b)·(x 1+x 2)+2b=0,所以2k ·b 2k 2+(k+b)·2−2kb k 2+2b=0,化简,得k+b=0,所以y=kx+b=kx-k=k(x-1), 所以直线l 过定点(1,0).故选B. 7.B 由题意知,直线AB 的斜率不为0.设直线AB 的方程为x=my+t,则直线AB 交x 轴于点T(t,0),且抛物线的焦点F 的坐标为(p2,0).联立{y 2=2px,x =my +t,消去x 得,y 2-2pmy-2pt=0,∴y 1+y 2=2pm,y 1y 2=-2pt. 对于甲条件,x 1x 2=y 12y 224p 2=(y 1y 2)24p 2=(-2pt)24p 2=t 2=p 24,解得t=±p2,所以甲条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件； 对于乙条件,y 1y 2=-2pt=-p 2,解得t=p2,所以乙条件是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件；对于丙条件,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=t 2-2pt=-34p 2,即t 2-2pt+34p 2=0, 解得t=p2或t=3p2,所以丙条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于丁条件,1|FA|+1|FB|=1x 1+p 2+1x 2+p 2=1my 1+t+p2+1my 2+t+p 2=m(y 1+y 2)+(2t+p)(my 1+t+p 2)(my 2+t+p 2)=m(y 1+y 2)+(2t+p)m 2y 1y 2+m(t+p 2)(y 1+y 2)+(t+p 2)2=2pm 2+2t+p-2m 2pt+m(t+p 2)·2pm+(t+p2)2=2pm 2+2t+pp 2m 2+(t+p 2)2=2p,化简得t 2=p 24,解得t=±p2,所以丁条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件. 二、填空题 8.答案 (3,-4)解析 设A (y 124,y 1),B (y 224,y 2),则k PA =y 1-4y 124-4=4y1+4,同理,k PB =4y 2+4,k AB =4y 1+y 2.因为k PA ·k PB =4,所以4y1+4·4y2+4=4,所以y 1y 2+4(y 1+y 2)+12=0. 所以y 1y 2=-12-4(y 1+y 2). 直线AB 的方程为y-y 1=4y 1+y 2(x -y 124),即(y 1+y 2)y-y 1y 2=4x.将y 1y 2=-12-4(y 1+y 2)代入上式得(y 1+y 2)(y+4)=4(x-3),所以直线AB 恒过定点(3,-4). 9.答案 (1,0)解析 由题意得A(-2,0),且直线BC 的斜率不为0. 设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),直线BC 的方程为x=ny+t.联立{x 24+y 23=1,x =ny +t,得(3n 2+4)y 2+6nty+3t 2-12=0,所以y 1+y 2=-6nt3n 2+4,y 1y 2=3t 2-123n 2+4.因为直线AB 与AC 的斜率之积为定值-14,所以y 1x 1+2·y 2x 2+2=-14,所以4y 1y 2+(ny 1+t+2)(ny 2+t+2)=0, 即(n 2+4)y 1y 2+n(t+2)(y 1+y 2)+(t+2)2=0, 所以t 2+t-2=0, 解得t=1或t=-2.当t=-2时,不符合题意,舍去, 所以t=1,所以直线BC 恒过定点(1,0). 三、解答题10.解析 (1)∵|F 1F 2|=2√3,∴c=√3. ∵△ABF 2的周长为8,∴4a=8,即a=2. ∵a 2=b 2+c 2,∴b=1. ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设M(x 1,y 1),Q(x 0,y 0),则N(-x 1,-y 1),且x 0≠±x 1,y 0≠±y 1.由题意得x 124+y 12=1,x 024+y 02=1,两式相减,得x 124-x 024+y 12-y 02=0.∵x 0≠±x 1,y 0≠±y 1, ∴y 1-y 0x 1-x 0·y 1+y 0x 1+x 0=-14.∴k 1k 2=y 1-y 0x 1-x 0·-y 1-y 0-x 1-x 0=-14.11.解析 (1)由题意得,{2a 2+13b 2=1,1a 2+23b 2=1,解得{a 2=3,b 2=1,∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1)(x 1y 1≠0),D(x 2,y 2),则B(-x 1,-y 1). 所以直线AB 的斜率k AB =y1x 1.设直线AD 的方程为y=kx+m,由题意知k ≠0,m ≠0.因为AB ⊥AD,所以k=-x1y 1.由{y =kx +m,x 23+y 2=1,可得(1+3k 2)x 2+6mkx+3m 2-3=0, 所以x 1+x 2=-6mk 1+3k 2,y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m=2m 1+3k 2.所以直线BD 的斜率k BD =y 1+y 2x 1+x 2=-13k =y 13x 1,所以直线BD 的方程为y+y 1=y 13x 1(x+x 1),令y=0,得x=2x 1,即M(2x 1,0),可得k 1=-y1x 1, 令x=0,得y=-2y 13,即N (0,−2y 13),可得k 2=5y 13x 1, 所以k 1=-35k 2,即λ=-35,因此,存在常数λ=-35使得结论成立.12.解析 (1)∵点(√33,2√23)和(-√33,-2√23)关于原点对称, ∴椭圆C 必过这两点,∴13m +89n =1.当椭圆过点(0,1)时,n=1,∴m=3,此时满足m>n,符合题意.当椭圆过点(√64,0)时,m=38,∴n=8,此时m<n,不符合题意. ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1.(2)当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由{y =kx +m,x 23+y 2=1,得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m 2-3=0, ∴x 1+x 2=-6km 1+3k 2,x 1x 2=3m 2-31+3k 2.∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)·(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0, ∴4m 2=3k 2+3.∴原点到直线AB 的距离为2=√32.当直线AB 的斜率不存在时,设其方程为x=t,则不妨令A (t,√9−3t 23),B (t,-√9−3t 23). ∵OA ⊥OB,∴t 2=34,∴|t|=√32, ∴原点到直线AB 的距离为√32.(3)由(2)知,当直线AB 的斜率存在时,|AB|2=(1+k 2)(x 1-x 2)2=(1+k 2)[(-6km 1+3k 2)2-4×3m 2-31+3k 2], 又4m 2=3k 2+3,∴|AB|2=3(9k 4+10k 2+1)9k 4+6k 2+1=3+12k 29k 4+6k 2+1=3+129k 2+6+1k 2. 因为129k 2+6+1k 2≤126+6=1,当且仅当9k 2=1k 2,即k=±√33时,等号成立,所以|AB|≤2.当直线AB 的斜率不存在时,|AB|=√3<2,所以(S △OAB )max =12×2×√32=√32. 13.解析 (1)由题意知{2a =4,12×2c ×b =√3,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =√3,c =1或{a =2,b =1,c =√3(舍去).∴椭圆C 的方程是x 24+y 23=1. (2)由{y =kx +m,x 24+y 23=1, 得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M,∴m ≠0且Δ=0.Δ=64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0.设M(x 0,y 0),则x 0=-4km 4k 2+3=-4k m ,y 0=kx 0+m=3m ,∴M (-4k m ,3m ).由{x =4,y =kx +m,得N(4,4k+m). 假设存在定点P 满足题意,由图形的对称性可知,点P 必在x 轴上.设P(x 1,0),则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0对满足4k 2-m 2+3=0的任意m,k 恒成立. 又PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4k m -x 1,3m ),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x 1,4k+m), ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4k m +x 1)(x 1-4)+3m(4k+m)=0, 整理得(4x 1-4)k m +x 12-4x 1+3=0. ∴{4x 1-4=0,x 12-4x 1+3=0,解得x 1=1.∴P(1,0),∴存在定点P(1,0),使得以MN 为直径的圆恒过点P.14.解析 (1)由抛物线焦点为(12,0),得抛物线方程为y 2=2x.由题意知,{ c a =√32,b 2=2×a 4,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =1,c =√3,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明:设点H(m,-2)(m ≠0),D(x D ,y D ),E(x E ,y E ),易知A(0,1),B(0,-1), ∴直线HA 的方程为y=-3m x+1,直线HB 的方程为y=-1m x-1.联立{y =−3m x +1,x 24+y 2=1,得(36m 2+1)x 2-24m x=0, ∴x D =24mm 2+36,y D =m 2-36m 2+36,同理,可得x E =-8mm 2+4,y E =4−m 24+m 2,∴直线DE 的斜率为m 2-1216m ,∴直线DE 的方程为y-4−m 24+m 2=m 2-1216m (x +8mm 2+4), 即y=m 2-1216m x-12, ∴直线DE 过定点(0,−12).。

高三圆锥曲线定值定点及探究性问题（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握圆锥曲线中直线横过定点问题★★★★☆☆圆锥曲线中定值问题★★★★☆☆圆锥曲线中探究性问题★★★★★☆一、圆锥曲线中直线横过定点问题1. 直线的点斜式方程：2. 定值问题：解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.一般步骤如下：（1）选择适当的变量（2）把要证明的定值的量表示成上述变量的函数（3）把定值的量化成与变量无关的形式，从而证明是定值3. 定点问题：定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程，选取合适的坐标，使得此坐标适合该曲线方程且与参数无关4. 证明方法：（1）取参数为特值，确定“定点”“定值”，再进行证明（2）问题转化为证明代数式与变量无关【例题讲解】★☆☆例1：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l y kx m =+:与椭圆C 相交于A B ,两点（A B ,不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】略22122y x =--216m mk ++当12m k =-时，l 的方程()2y k x =-，直线过点()20，，与已知矛盾； 9.设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上． （1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆E 的左，右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【答案】略将①代入椭圆E 的方程，由于()00,P x y 在第一象限解得2200,1x a y a ==-，即点P 在定直线1x y +=上设O 为坐标原点，动点M 在椭圆2212:x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，故P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【答案】略()(000,,,,NP x x y NM y =-=由2NP NM =得0x =（2）由题意知()10,F -.设()()3,,,Q t P m n -，则()()()()31333,,,,,,,,OQ t PF m n OQ PF m tn OP m n PQ m t n =-=---⋅=+-==---由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=， 又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=所以0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F练1．设12,F F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，若P 是椭圆E 上的一动点，且12+PF PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线1x ky =-与椭圆E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '(A '与B 不重合)，则直线A B '与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 【答案】略12(PF PF ⋅=-为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅ 有最大值故直线A B ' 与x 轴交于定点(4,0)- 例2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线0x y -与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA MB 、交椭圆于A B 、两点，设两直线的斜率分别为12k k ，且124k k +=， 证明:直线AB 过定点1(,1)2--.【答案】略 （Ⅰ）椭圆由（Ⅱ）①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则点0000(,),(,)A x y B x y - ．②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意1m ≠± ．练2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)M m ，其焦点为,2F MF =. (1)求抛物线C 的方程；(2)设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆22:(1)1Fx y -+=相切，切点分别为,A B ，求证：直线AB 过定点． 【答案】略(2)设点(0,)(0)E t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+， 联立24y kx ty x=+⎧⎨=⎩消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=,①∵直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--= 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则∴直线AB 恒过定点(1,0)F ，当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F ．综上，直线AB 恒过定点(1,0)F ．例3．平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是32，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M 。