专题10 圆锥曲线的方程(多选题)(11月)(人教A版2019)(原卷版)

人教A 版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则双曲线C 的离心率为A B ．2C D 2．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若||8AB =，则线段AB 的中点M 到直线10x +=的距离为A ．2B ．4C ．8D ．163．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为210x y ++=平行，则双曲线的方程为A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221164x y -=D ．22331520x y -=4．若直线y kx k =-交抛物线24y x =于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则||AB = A ．12B ．10C ．8D ．65．到两定点()()12,,,0330F F -的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．两条射线C ．双曲线D ．线段6．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ，F 为右焦点，直线43c x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，ABF 是等腰直角三角形.点P 的坐标为0,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，若记椭圆C 上任一点Q 到点P 的距离的最大值为d ，则dc的值为（ ）A B C D ．327．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y =有交点，则其离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(2,)+∞D ．[)2,+∞8．已知椭圆221113:x C y +=，双曲线22222:1(,0)x y C a b a b -=>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是（ ）A B ．3C D ．59．已知m n s t *∈、、、R ，4m n +=，9m n s t+=其中m n 、是常数，且s t +的最小值是89，满足条件的点(,)m n 是双曲线22128x y -=一弦的中点，则此弦所在的直线方程为 A ．4100x y +-=B ．220x y --=C ．4100x y +-=D ．460x y --=10．已知直线1:0l mx y m -+=与直线2:10l x my +-=的交点为Q ，椭圆22152x y+=的焦点为12,F F ，则12QF QF 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．)⎡+∞⎣C ．[]2,4D ．4⎡⎤⎣⎦二、填空题11．已知直线AB 过抛物线24y x =的焦点，交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若125x x +=，则||AB 等于_____．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，椭圆C 上任意一点到1F ，2F 的距离之和为2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若线段AB C 的方程为______． 13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，以1F 2F 为斜边的等腰直角三角形12PF F 与椭圆有两个不同的交点M ，N ，且1213MN F F =，则该椭圆的离心率为______．三、双空题14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，其上一点(3,)P t 到两个焦点的距离分别为6.5和3.5，则该椭圆的离心率为_____，方程为_______． 15．设双曲线C 经过点(2)2，，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为__；渐近线方程为__________．16．抛物线24(0)y ax a =>上一点,()A m n 到焦点的距离等于4a ，则m =__________，n =__________．17．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1-的直线与抛物线相交于M ，N 两点，直线l 与抛物线相切且//l MN ，则直线l 的方程为______；P 为l 上的动点，则PM PN ⋅的最小值是_______．四、解答题18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，椭圆的右顶点为A ．（1）求该椭圆的方程；（2）过点D 作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．19．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>C 过点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值．21．已知动直线l 垂直于x 轴，与椭圆221:142x y C +=交于A ，B 两点，点P 在直线l 上，1PA PB ⋅=-．（1）求点P 的轨迹2C 的方程；（2）直线1l 与椭圆1C 相交于D ，E 与曲线2C 相切于点M ，O 为坐标原点，求||||DE OM ⋅的取值范围．22．已知圆A ：x 2+y 2+2x-15=0和定点B （1，0），M 是圆A 上任意一点，线段MB 的垂直平分线交MA 于点N ，设点N 的轨迹为C ．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x-1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【分析】双曲线两条渐近线互相垂直,可得2()1b a-=-，解得b a =，即为等轴双曲线，进而得到离心率. 【详解】因为双曲线两条渐近线互相垂直，所以2()1b a-=-，解得b a =，即为等轴双曲线，所以c e a = 故选D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线垂直的等价结果，属于简单题目. 2．B 【分析】 如图所示：抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ,准线为1x =-,即10x +=，分别过,A B 作准线的垂线,垂足为,C D ,则有8AB AF BF AC BD =+=+=，过AB 的中点M 作准线的垂线,垂足为N ,则MN 为直角梯形ABDC 中位线,则1()42MN AC BD =+=,即M 到准线1x =-的距离为4.故选B .3．B 【分析】利用双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2x +y＝0平行，求出几何量a ，b ，c ，即可求出双曲线的方程． 【详解】∵双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2x +y+1＝0平行， ∴2ba=-， ∴b ＝-2a ， ∵c 2＝a 2+b 2， ∴a ＝1，b ＝2，∴双曲线的方程为2214y x -=．故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键． 4．C 【详解】直线y kx k =-恒过（1，0），恰好是抛物线24y x =的焦点坐标，设()()1122,,,A x y B x y 抛物24y x =的线准线1x =-，线段AB 中点到y 轴的距离为3，126x x ∴+=，1228AB AF BF x x ∴=+=++=，选C.5．B 【分析】由题意直接得轨迹为两条射线． 【详解】∵到两定点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于6， 而|F 1F 2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线． 故选B ． 【点睛】本题考查了点的轨迹问题，涉及双曲线定义的辨析，考查了推理能力，属于基础题． 6．C 【分析】根据条件可求得222a c =，设椭圆上点Q 的坐标为(x ,y )，由两点间距离公式及二次函数可求||PQ 的最大值，即可求解d c. 【详解】由题意可得=2AFB π∠，所以点A 的坐标为4,33c c ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程有222216=199c c a b+，又222=a b c +所以422489=0c b c b +-,解得22c b =或22=9c b - (舍去)， 所以222a c =，所以椭圆方程可化为222212x y c c+=，设点Q 的坐标为(x ,y ) ,则22222x c y =-， 所以210||2PQ c ==所以,d d c =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，利用二次函数求最值，考查了计算能力，属于中档题.7．C 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比y 的斜率大，找到a b 、的关系，再求离心率的范围. 【详解】双曲线的焦点在x 轴，一条渐近线方程为by x a=，这条渐近线比直线y 的斜率大，即b a >2e =． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质、求离心率范围的问题. 8．A 【分析】根据题意，由椭圆的方程可得a 的值，设OA 的方程为0(0,0)y kx k x =>>，分析即可得A的坐标，进而可得AB 的一个三分点坐标，将点的坐标代入椭圆的万程可得 2222b k a==，即可利用222c b a =+求出双曲线的离心率. 【详解】设OA 的方程为0(0,0)y kx k x =>>， ∴设00(,)A x kx ，由已知得||OA0=解得0x =故A ，AB ∴的一个三分点坐标为，该点在椭圆上，21=，即221139)(1k k+=+，解得22k=，从而有222ba=，222b a=，解得cea=故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.9．D【详解】试题分析：11()()()99m n ns mts t s t m ns t t s+=++=+++1(49≥+，由题意1(489+=，所以4mn=，又4m n+=，故2m n==，设弦的两端点为1122(,),(,)A x yB x y，则2211128x y-=，2222128x y-=，两式相减得12121212()()()()28x x x x y y y y+-+--=，所以121212128()82442()224y y x xkx x y y-+⨯⨯====-+⨯⨯，选D．考点：基本不等式，圆锥曲线的弦中点问题．10．C【分析】由直线1:0l mx y m-+=与直线2:10l x my+-=的交点为Q，得到两直线的交点Q满足221x y+=，设(cos,sin)Qθθ，则1QF2QF12QF QF=【详解】由椭圆的方程22152x y+=，可得其焦点为1(F F，又由直线1:0l mx y m-+=与直线2:10l x my+-=的交点为Q，可知两直线经过分别经过定点(1,0),(1,0)-，且两直线12l l ⊥，所以两直线的交点Q 满足221x y +=，设(cos ,sin )Q θθ，则1QF =同理可得2QF =所以12QF QF = 当2cos 1θ=时，12QF QF 取得最小值2， 当2cos 0θ=时，12QF QF 取得最大值4， 所以12QF QF 的取值范围是[]2,4，故选C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单的几何性质的应用，以及直线与圆的方程的应用，其中解答中根据直线的方程，得出点Q 的轨迹方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 11．7 【分析】根据焦点弦公式，直接代入即可得解. 【详解】由题知，12||527AB x x p =++=+=． 故答案为：7 【点睛】本题考查了焦点先公式，是公式概念题，属于简单题.12．221124x y +=【分析】实轴长为()0,A c y ，代入方程中即可求解. 【详解】解：由题知2a =a =设()0,A c y ，代入椭圆2222:1x y C a b +=， 即220221y c a b +=，解得20b y a=±，所以22||2b AB a =⋅=2b =， 所以椭圆C 的方程为221124x y +=. 故答案为：221124x y +=. 【点睛】考查椭圆标准方程的求法，基础题．13-【分析】由已知条件可得点N 坐标，然后利用椭圆定义122NF NF a +=进行计算可得离心率.【详解】以12F F 为斜边的等腰直角三角形12PF F 与椭圆有两个不同的交点M ，N 且1213MN F F =， 12(,)33N c c ∴，122NF NF a +=2a =，c e a ∴===-【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆定义的应用，属于基础题.14．12 22412575x y += 【分析】设椭圆的左焦点为1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，由椭圆定义得12210PF PF a +==，得5a =；由222291612525t t b b +=⇒=，得1132PF =，同理得272PF ==，解得52c =，从而解得离心率和方程. 【详解】设椭圆的左焦点为1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，点(3,)P t 在椭圆上，由椭圆定义可得122 6.5 3.510PF PF a +==+=，5a ∴=，1PF ∴222291612525t t b b +=⇒=，于是得到1136.52PF ==，同理得273.52PF =，联立两式可得到52c =，12c e a ∴==，222754b ac =-=， ∴椭圆方程为22412575x y +=． 故答案为：12，22412575x y +=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及定义的应用，考查椭圆的离心率的求法，考查转化思想，属于中档题．15．221312x y -= 2y x =± 【分析】设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将点代入即可求出双曲线方程，再求出渐近线方程； 【详解】解：设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将点(2,2)代入上式，得3λ=-， C ∴的方程为221312x y -=，其渐近线方程为2y x =±． 故答案为：221312x y -=；2y x =± 【点睛】本题考查待定系数法求双曲线方程，属于基础题．16．3a ±【分析】利用抛物线的定义即可求解m ，代入到方程中求n 即可.【详解】解：24(0)y ax a =>的焦点(),0a ，准线x a =-， 由题意得4432p m a m a a m a +=⇒+=⇒=，代入抛物线方程得n =±故答案为：3a ；±．【点睛】考查抛物线的定义的应用，基础题.17．1y x =-- 14-【分析】容易直接写出MN 的方程；联立MN 和抛物线的方程，求出M ，N 两点，由直线l 与抛物线相切，求出直线l 的方程，表示出P 的坐标，表示出PM PN ⋅即可求其最小值.【详解】解：依题意可知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，由于直线的斜率为1-，故直线方程为(1)y x =--，即+1y x =-，由214y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得(32M +--，(32N --+． 设直线l 的方程为y x b =-+，由24y x b y x=-+⎧⎨=⎩，化简得22(24)0x b x b -++=， 由于直线和抛物线相切，判别式22(24)40b b ∆=+-=，解得1b =-，故直线l 的方程为1y x =--．设直线l 上任意一点的坐标1(),P x x --，()=,1PM x x --，()=3,1PN x x --+，代入PM PN ⋅得222862(2)14PM PN x x x ⋅=--=--，当2x =时，取得最小值为14-故答案为：1y x =--；14-．【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查抛物线切线的求法以及向量数量积的最小值，基础题.18．（1）2212x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意可知，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点在x 轴上，22c =，1c =，椭圆的离心率c e a =a （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y，A ，分类讨论，当斜率不存在时，不合题意， 当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数关系得到12,x x 关系，代入,AP AQ 斜率和公式，即可证明结论.【详解】（1）由题意可知，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点在x 轴上， 22c =，1c =，椭圆的离心率c e a ==则a 2221b a c =-=， 则椭圆的标准方程2212x y +=； （2）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y，A ，当斜率不存在时，x由题意PQ的方程，(y k x =则联立方程22(12y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得，222(21)(1)4820k x k x k k +-++++=，2222132(1)4(482)(21)3280,4k k k k k k k ∆=+-+++=--><-，由韦达定理可知12x x +=212248221k k x x k ++=+，则1212()y y k x x +=+--，则由AP AQ k k +==12211221((y x y x k x x k x x ⎡⎡+=+⎣⎣12122421)(2)1k kx x k x x k =++=-+，AP AQ k k +=241k -== ∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1．【点睛】本题考查了利用根据离心率和焦点等基本量求椭圆方程，考查了直线和椭圆的联立以及利用韦达定理搭桥，联系各个量之间的关系，题型是直线和圆锥曲线的定值问题，思路相对明确，但要求交高的计算能力，属于较难题.19．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）本题可将()1,2A 代入抛物线方程中求出p 的值，即可得出结果；（2）本题首先可设()11,M x y 、()22,N x y 以及直线MN 的方程23x t y ，然后通过联立直线MN 的方程与抛物线方程即可得出124y y t +=、12812y y t =--，最后通过1212122211y y k k x x 并化简即可得出结果. 【详解】（1）因为抛物线2:2C y px =过点()1,2A ，所以42p =，2p =，抛物线方程为24y x =.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为23x t y ，联立()2234x t y y x⎧=++⎨=⎩，整理得248120y ty t ---=， 21632480t t ∆=++>，124y y t +=，12812y y t =--， 则121212*********2111144y y y y k k y y x x 1212161622481284y y y y t t ，故12k k ⋅为定值2-.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出12y y +、12y y 的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.20．（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据条件列方程组，解得21a b =⎧⎨=⎩即可； （2）先设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理化简直线OP 与OQ 的斜率乘积，最后根据直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，列方程解得结果.【详解】（1）由题意可得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩， 故椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 直线l 与椭圆C 交于两点，2222226416(14(1)16(41)0)k m k m k m ∴∆=-+-=-+>．设点P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 则122814km x x k -+=+，21224(1)14m x x k -=+， 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++．直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，2222112122112)(y y k x x km x x m k x x x x +++∴=⋅=， 整理得212()0km x x m ++=，22228014k m m k-∴+=+， 又0m ≠，214k ∴=， 结合图形可知12k =-，故直线l 的斜率为定值． 【点睛】本题考查椭圆方程、直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解论证能力，属中档题.21．（1）2212x y +=；（2）⎡⎤⎣⎦. 【分析】（1）设(,)P x y ，11(,)A x y ，由椭圆对称性可得11(,)B x y -，再由平面向量数量积的坐标表示可得2211y y =+，代入椭圆方程化简即可得解；（2）按照直线1l 斜率是否存在分类；当斜率存在时，可设方程为y kx m =+，与2C 的方程联立可得2221k m +=、21,k M m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，设11(,)D x y ，22(,)E x y ，与1C 方程联立，结合韦达定理、弦长公式可得||DE，进而可得||||DE OM ⋅=. 【详解】 （1）设(,)P x y ，11(,)A x y ，则由题知11(,)B x y -，1x x =，1(0,)PA y y ∴=-，1(0,)PB y y =--，11())1(PA PB y y y y ∴⋅=--=--，2211y y ∴=+，由11(,)A x y 在椭圆221:142x y C +=上可得2211142x y +=， 所以221142x y ++=， 故点P 的轨迹2C 的方程为2212x y +=； （2）当直线1l的斜率不存在时，||2,||DE OM =||||DE OM ⋅=当直线1l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，11(,)D x y ，22(,)E x y ，00(,)M x y ， 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简可得222(21)4220k x kmx m +++-=， 令0∆=可得2221k m +=， 则022221km k x k m --==+，01y m =，所以21,k M m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，OM 联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简可得222(21)4240k x kmx m +++-=，>0∆， 所以122212224421244221km k x x k m m x x k m --⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==-⎪+⎩， 则||||DE OM⋅===， 令2211k t +=≥，则212t k -=，所以||||DE OM ⋅=22==1(0,1]t ∈， 所以当112t =时，即212k =时，||||DE OM ⋅取最大值3， 当11t=时，即0k =时，||||DE OM ⋅取最小值综上，||||DE OM ⋅的取值范围为⎡⎤⎣⎦．【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解及直线与椭圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.22．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在定点R （4，0）满足题设. 【分析】（Ⅰ）求出圆心A ，通过|NM |＝|NB |，推出点N 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设其标准方程，求出a ，c ，即可求解椭圆方程．（Ⅱ）设存在点R （t ，0）满足题设，联立直线y ＝k （x ﹣1）与椭圆方程，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），利用韦达定理，通过直线RP 与直线RQ 的斜率之和为零，即可得到t 的值．【详解】解：（Ⅰ）圆A ：（x+1）2+y 2=16，圆心A （-1，0），由已知得|NM|=|NB|，又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4＞|AB|=2，所以由椭圆的定义知点N 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设其标准方程C ：22221x y a b+=，则2a=4，2c=2，所以a 2=4，b 2=3， 所以曲线C ：22143x y +=； （Ⅱ）设存在点R （t ，0）满足题设，联立直线y=k （x-1）与椭圆方程22143x y +=， 消去y ，得（4k 2+3）x 2-8k 2x+（4k 2-12）=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则由韦达定理得2122843k x x k +=+①，212241243k x x k -=+②， 由题设知OR 平分∠PRQ ⇔直线RP 与直RQ 的倾斜角互补，即直线RP 与直线RQ 的斜率之和为零，即12120y y x t x t+=--，即()1221120x y x y t y y +-+=，即2kx 1x 2-（1+t ）k （x 1+x 2）+2tk=0③，把①、②代入③并化简得()24043t k k -=+，即（t-4）k=0④， 所以当k 变化时④成立，只要t=4即可，所以存在定点R （4，0）满足题设.【点睛】本题考查利用椭圆定义求轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查存在性问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力．。

第三章圆锥曲线的方程全章综合测试卷（提高篇）【人教A版（2019）］考试时间：120分钟；满分：150分姓名：班级：考号：考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. （5分）（2023秋.山东聊城.高二校考期末）方程/-y2cos0=i表示的曲线，下列说法错误的是（）A.当8=轲，表示两条直线B.当e∈C,九），表示焦点在4轴上的椭圆C.当。

=Tr时，表示圆D.当e∈（o,］时，表示焦点在X轴上的双曲线2. （5分）（2023春・福建福州•高二校联考期末）设点Fi、F2分别是椭圆，《+共=1（。

：>6>0）的左、右焦点，点M、N在C上（M位于第一象限）且点M、N关于原点对称，若IMN1=IF1F21，∣NF2∣=3∣MF2∣,则C的离心率为（）A.乎B.叵CY D.乎8 4 8 83. （5分）（2023春•广西河池•高二统考期末）已知双曲线C:W-A=I（α>0∕>0）的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,以线段F/2为直径的圆在第一象限交双曲线。

于点Asin乙4F∕2=空，则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±V3xC.y=±2xD.y=±√2x4. （5分）（2023•西藏日喀则•统考一模）已知点P为抛物线y2=2p%（p>0）上一动点，点。

为圆C:（%+2产+（y-4）2=1上一动点，点尸为抛物线的焦点，点尸到），轴的距离为d,若∣PQ∣+d的最小值为3,则P=（）A. 1B. 2C. 3D. 45. （5分）（2023•全国•高三专题练习）已知抛物线Cy2=2px（p>0）的焦点为F,准线1与工轴的交点为K,点P在C上且位于第一象限，PQ12于点Q,过点P作。

圆锥曲线的标准方程及基本量（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为，其大小关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的共同特征2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的简单性质3.已知点在抛物线上，则的最小值是( )A.2B.3C.4D.0答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：抛物线的标准方程4.若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的共同特征5.若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的标准方程6.动点在抛物线移动，则点与点的连线中点的轨迹方程为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的轨迹问题7.经过点且与圆相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的标准方程8.已知椭圆（）的左顶点为，过原点的直线交椭圆于两点，若，，则椭圆方程为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：椭圆的简单性质。

第三章圆锥曲线的方程课后练习及章末测验3.1.1椭圆及其标准方程................................................................................................. - 1 -3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质............................................................................. - 6 -3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用........................................................... - 12 -3.2.1双曲线及其标准方程........................................................................................... - 20 -3.2.2双曲线的简单几何性质....................................................................................... - 27 -3.3.1抛物线及其标准方程........................................................................................... - 34 -3.3.2抛物线的简单几何性质....................................................................................... - 40 -第三章章末测验............................................................................................................ - 47 -3.1.1椭圆及其标准方程一、选择题1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M 到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C[若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则点M 的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.]2．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是()A．(±5,0) B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12,0)C[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12，故焦点为(0，±12)．]3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A ．x 212＋y 29＝1 B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1B [∵2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，∴a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.]4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15B [由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.]二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (4,0)，点C 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin B sin C ＝________.54 [由题意知|AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10，所以sin A ＋sin B sin C ＝|BC |＋|AC ||AB |＝108＝54.] 8．已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是________．8－43 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.]三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故所求C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．11．(多选题)下列说法中错误的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆ABD [A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410＞|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选ABD.]12．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2A [易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α＞1sin α＞0，即sin α＞cos α＞0.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4＜α＜π2.]13．(一题两空)已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝________.若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．120° 2 [由题得a 2＝9，b 2＝2，∴a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴c ＝7，∴|F 1F 2|＝27.∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22×|PF 1|×|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，又0＜∠F 1PF 2＜180°，∴∠F 1PF 2＝120°.又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(27)2＝28， 配方得(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝28，∴36－2|PF 1||PF 2|＝28，即|PF 1||PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝2.]14.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.23 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3，解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2， 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝23， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1， 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． [解] (1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2， 所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质一、选择题1．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )A ．14B ．12C．2 D．4D[将椭圆方程化为标准形式为x2＋y2 1m＝1，所以长轴长为2，短轴长为21m，由题意得2＝2×21m，解得m＝4.]2．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0<k<9)的关系为()A．有相等的长轴B．有相等的短轴C．有相同的焦点D．有相等的焦距D[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]3．已知椭圆x2＋y2b2＋1＝1(b＞0)的离心率为1010，则b等于() A．3 B．13C．910D．31010B[易知b2＋1＞1，由题意得(b2＋1)－1b2＋1＝b2b2＋1＝110，解得b＝13或b＝－13(舍去)，故选B.]4.如图所示，把椭圆x225＋y216＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝()A．35 B．30C．25 D．20A[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.]5．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)C [当0＜k ＜4时，e ＝ca ＝4－k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即12＜4－k 2＜1⇒1＜4－k ＜4，即0＜k ＜3. 当k ＞4时，e ＝ca ＝k －4k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即12＜k －4k ＜1⇒14＜k －4k ＜1⇒14＜1－4k ＜1⇒0＜4k ＜34⇒k ＞163.综上，实数k 的取值范围为(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞.]二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 的椭圆的离心率为________．12 [如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c2a ＝48＝12.]7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的标准方程为________．x 245＋y 236＝1 [∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2，即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1. 解得a 2＝45.∴椭圆的标准方程为x 245＋y 236＝1.]8．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________． 4,3 [过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.]三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．[解] 根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．依题意设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ，即3b 2＝2ac .又因为b 2＝a 2－c 2，所以3a 2－3c 2－2ac ＝0，两边同除以a 2，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，解得e ＝c a ＝33(负值舍去)．10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，可知m ＞m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3，由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1.于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝32.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.11．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A 距离地面m km ，远地点B 距离地面n km ，地球半径为R km ，关于这个椭圆有下列说法，正确的有( )A ．长轴长为m ＋n ＋2RB ．焦距为n －mC ．短轴长为(m ＋R )(n ＋R )D ．离心率e ＝n －m m ＋n ＋2RABD [由题意，得n ＋R ＝a ＋c ，m ＋R ＝a －c ，可解得2c ＝n －m ，a ＝m ＋n ＋2R 2，2a ＝m ＋n ＋2R .∴2b ＝2a 2－c 2＝2(m ＋R )(n ＋R )，e ＝n －m m ＋n ＋2R ，故ABD 正确，C 不正确．]12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．32C ．3－12D ．5－12D [在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0, 解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12.故选D.]13．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程是________．若点P 为椭圆上任意一点，则AP →·FP →的取值范围是________．x 24＋y 23＝1 [0,12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a ＝2. 因为离心率e ＝12，所以c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3， 则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，所以点A 的坐标为(－2,0)，点F 的坐标为(－1,0)． 设P (x ，y )，则AP →·FP →＝(x ＋2，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋3x ＋2＋y 2. 由椭圆的方程，得y 2＝3－34x 2，所以AP →·FP →＝x 2＋3x －34x 2＋5＝14(x ＋6)2－4. 因为x ∈[－2,2]，所以AP →·FP →∈[0,12]．]14．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．[1,2] [因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.]15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． [解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用一、选择题1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(－3,0) D ．(1,3)B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点， 则⎩⎨⎧3＋m ≠0，Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0， 解得⎩⎨⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B.]2．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A ．67 B ．167 C ．716D ．76B [易求得直线AB 的方程为y ＝3(x ＋2)．由⎩⎨⎧y ＝3(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4消去y 并整理，得7x 2＋122x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋(3)2·⎝⎛⎭⎪⎫－12272－4×87＝167.]3．在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝0C [设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减，又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0，故选C.] 4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A ．12 B ．23 C ．34D ．45C [如图所示，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则有|F 1F 2|＝|PF 2|，∠PF 1F 2＝∠F 2PF 1＝30°所以∠PF 2A ＝60°，∠F 2P A ＝30°，所以|PF 2|＝2|AF 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝3a －2c .又因为|F 1F 2|＝2c ，所以，2c ＝3a －2c ，所以e ＝c a ＝34.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率k ＝－1－01－3＝12，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即1a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0⇔1a 2＋1b 2×12×－22＝0，即a 2＝2b 2，c 2＝9，a 2＝b 2＋c 2，解得：a 2＝18，b 2＝9，方程是x 218＋y 29＝1，故选D.]二、填空题6．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．53 [由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.]7．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右两个焦点，过F 1作斜率为1的直线，交C 于A 、B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|＝________.327 [由x 24＋y 23＝1知，焦点F 1(－1,0)，所以直线l ：y ＝x ＋1，代入x 24＋y 23＝1得3x 2＋4(x ＋1)2＝12，即7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.由定义有，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝4×2－247＝327.]8．椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线P A 2斜率的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14 [由椭圆C ：x 22＋y 2＝1的方程可得a 2＝2，b 2＝1，由椭圆的性质可知：k P A 1·k P A 2＝－12，∴k P A 2＝－12k P A 1，∵k P A 1∈[1,2]，则k P A 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14.]三、解答题9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1， 消去y 并整理，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0，解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43. 所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值．[解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝2，b ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2，又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.11．(多选题)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝1外B ．必在圆x 2＋y 2＝74上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2内 D ．必在圆x 2＋y 2＝94上ABC [e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a 2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34⇒b a ＝32⇒b ＝32a . ∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a 2＝0⇒x 2＋32x －12＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74. ∵1＜74＜2，∴点P 在圆x 2＋y 2＝1外，在x 2＋y 2＝74上，在x 2＋y 2＝2内，故应选ABC.] 12．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14A [设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x 由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ，把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b 2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因0＜e ＜1，所以可得e ＝32.]13．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，则椭圆方程为________，若直线l 交椭圆于M ，N 两点，且△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则直线l 方程为________．x 220＋y 216＝1 6x －5y －28＝0 [由题意得b ＝4，又e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－16a 2＝15，解得a 2＝20.∴椭圆的方程为x 220＋y 216＝1.∴椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，从而(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)， 解得x 0＝3，y 0＝－2，所以点Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4， 且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1，以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.]14．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫0，22 [∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ，∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2，∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e＜22.]15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B (O 为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.(1)求椭圆的方程；(2)已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN ＝60°，求点M 的坐标．[解] (1)依题意知A (a,0)，B (0，－b )，∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点， ∴a 2＝32，－b 2＝－12，即a ＝3，b ＝1， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)知B (0，－1)，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0， 设直线BN 的方程为y ＝kx －1(k ＜0)， 则直线BM 的方程为：y ＝－1k x －1，由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx －1.消去y 得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得：x N ＝6k1＋3k 2，y N＝kx N －1， ∴|BN |＝x 2N ＋(y N ＋1)2＝x 2N ＋k 2x 2N＝1＋k 2|x N |∴|BN |＝1＋k 2|x N －x B |＝1＋k 2·6|k |1＋3k 2，在y ＝－1k x －1中，令y ＝0得x ＝－k ，即M (－k,0) ∴|BM |＝1＋k 2，在Rt △MBN 中，∵∠BMN ＝60°，∴|BN |＝3|BM |， 即1＋k 2·6|k |1＋3k 2＝3·1＋k 2， 整理得3k 2－23|k |＋1＝0，解得|k |＝33，∵k ＜0，∴k ＝－33，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0.3.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C ．x 29－y 216＝1D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)D [由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴M 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．] 2．若ax 2＋by 2＝b (ab ＜0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上B [因为ab ＜0，方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，∴ba ＜0，方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1 B ．x 23－y 22＝1 C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1C [由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2， ⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.]4．双曲线x 225－y 29＝1上的点P 到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．2 A [根据双曲线的方程得2a ＝2×5＝10，由定义知||PF |－12|＝10，可解得|PF |＝22或2，故选A.]5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点， 所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.] 二、填空题6．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．(－3,2)∪(3，＋∞) [依题意有⎩⎨⎧ 2－m ＞0，|m |－3＜0或⎩⎨⎧2－m ＜0，|m |－3＞0，解得－3＜m ＜2或m ＞3.所以实数m 的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．]7．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5.若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________．26 [根据双曲线定义知，|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8.∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋|AF 1|＋|BF 1|＝16＋|AB |＝16＋5＝21.所以△ABF 2的周长是|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.]8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．x 2－y 23＝1 [设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]三、解答题9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型．[解] (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．10．已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．[解] 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(不妨设r 1＞r 2)，θ＝∠F 1MF 2，因为S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ，θ已知，所以只要求r 1r 2即可，因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r 1r 2.(1)当θ＝90°时，S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ＝12r 1r 2.由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，由双曲线定义，得|r 1－r 2|＝2a ＝4，两边平方，得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16， 又r 21＋r 22＝|F 1F 2|2，即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16，也即52－16＝4S △F 1MF 2，求得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝120°，在△MF 1F 2中，|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2＝52，所以r 1r 2＝12， 求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理，可求得若∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.(3)由以上结果可见，随着∠F 1MF 2的增大，△F 1MF 2的面积将减小． 证明如下：由双曲线定义及余弦定理，得 ⎩⎨⎧(r 1－r 2)2＝4a 2， ①r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ＝4c 2. ② ②－①，得r 1r 2＝4c 2－4a 22(1－cos θ)，所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ＝(c 2－a 2)sin θ1－cos θ＝b 2cot θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，cot θ2是减函数． 因此当θ增大时，S △F 1MF 2＝b 2cot θ2减小．11．(多选题)设θ是三角形的一个内角，对于方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1的说法正确的是( )A ．当0＜θ＜π2时，方程表示椭圆 B ．当θ＝π2时，方程不表示任何图形C ．当π2＜θ＜3π4时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线 D ．当3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线BC [当0＜θ＜π2时，sin θ＞0，cos θ＞0，但当θ＝π4时，sin θ＝cos θ＞0表示圆，故A 错误；当θ＝π2时，cos θ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；当π2＜θ＜π时，sin θ＞0，cos θ＜0，所以不论π2＜θ＜3π4还是3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线，所以C 正确，D 错误，故选BC.]12．(多选题)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下判断，正确的是( )A ．当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆B ．当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线 C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52 D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4BCD [A 错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；B 正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；C 正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0，∴1＜t ＜52；D 正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧4－t ＜0，t －1＞0，∴t＞4.]13．(一题两空)已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，则|AB |＝________.又三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C ．则点C 的轨迹方程为________．4 x 2－y 23＝1(x ＞1) [将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.又∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得 |CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)．]14．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．2512，31312 [因为双曲线方程为x 2144－y 225＝1，所以c ＝144＋25＝13，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，则y 225＝132144－1＝25144，所以y ＝2512，即|AF 1|＝2512.又|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24， 所以|AF 2|＝24＋2512＝31312.即所求距离分别为2512，31312.]15．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP －|FP ||的最大值．[解] (1)两圆的圆心分别为A (－5，0)，B (5，0)，半径为2，设圆C 的半径为r .由题意得|CA |＝r －2，|CB |＝r ＋2或|CA |＝r ＋2，|CB |＝r －2，两式相减得|CA |－|CB |＝－4或|CA |－|CB |＝4，即||CA |－|CB ||＝4.则圆C 的圆心轨迹为双曲线，其中2a ＝4，c ＝5，b 2＝1， ∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1.(2)由(1)知F 为双曲线L 的一个焦点，如图，连接MF 并延长交双曲线于一点P ，此时|PM |－|PF |＝|MF |为||PM |－|FP ||的最大值．又|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝2， ∴||MP |－|FP ||的最大值为2.3.2.2双曲线的简单几何性质一、选择题1．若实数k满足0＜k＜5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴相等C．离心率相等D．焦距相等D[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]2．若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1,2)C[由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1 a.即e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜ 2.故选C.]3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A．x220－y25＝1 B．x25－y220＝1C．x280－y220＝1 D．x220－y280＝1A[双曲线C的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以4a2－1b2＝0，即a2＝4b2①.又a2＋b2＝c2＝25②.由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为x220－y25＝1，故选A.] 4．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率是( )A ． 2B ．1＋ 2C ．2＋ 2D ．3－ 2B [因为|PF 2|＝|F 2F 1|, P 点满足c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝ba c 2－a 2，∴2c ＝b a c 2－a 2，即2ac ＝b 2＝c 2－a 2，∴2＝e －1e ，又e ＞0，故e ＝1＋ 2.] 5．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．4B [根据题意，可知其渐近线的斜率为±33，且右焦点为F (2,0)，从而得到∠FON ＝30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°， 可以得出直线MN 的方程为y ＝3(x －2)， 分别与两条渐近线y ＝33x 和y ＝－33x 联立， 求得M (3，3) ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，所以|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＝3.] 二、填空题6．(一题两空)若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________，渐近线方程是________．2 y ＝±2x [a 2＝1，b 2＝m ，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋m ＝3，m ＝2.渐近线方程是y ＝±mx ＝±2x .]7．以y ＝±x 为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．x 24－y 24＝1 [以y ＝±x 为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x 2－y 2＝4，即x 24－y 24＝1.]8．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3＜2， ∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知条件可得 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.] 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 因为c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12. 故所求双曲线的标准方程为y 225－x 2144＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则b a ＝12①. 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9b 2＝1 ②.联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1. ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， 可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)， ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴422－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点是F (2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3. 所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.11．(多选题)关于双曲线C 1：4x 2－9y 2＝－36与双曲线C 2：4x 2－9y 2＝36的说法正确的是( )A ．有相同的焦点B ．有相同的焦距C ．有相同的离心率D ．有相同的渐近线BD [两方程均化为标准方程为y 24－x 29＝1和x 29－y 24＝1，这里均有c 2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x 轴上，另一个在y 轴上，所以A 错误，B 正确；又两方程的渐近线均为y ＝±23x ，故D 正确．C 1的离心率e ＝132，C 2的离心率e ＝133，故C 错误．]12．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( )A ．233B ． 2C ． 3D ．2D [直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b 2＝ab c＝34c ， 即ab ＝34c 2，所以a 2(c 2－a 2)＝316c 4.整理得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43， 又b >a >0，所以e 2＝1＋b 2a 2>2，故e ＝2.]13．(一题两空)已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为左焦点F 1，右焦点F 2，点P 是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF 1|＝________，cos ∠F 1PF 2的值为________．6＋3 13 [因为F 1，F 2分别为左、右焦点，点P 在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝13.]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．[2，＋∞) [由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a 2≥4，所以e ≥2.]15．已知椭圆C 1：x 23＋y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为32.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且OQ 1→·OQ 2→＝－5，求|M 1M 2|的取值范围．[解] (1)由椭圆C 1：x 23＋y 2＝1的左右顶点为(－3，0)，(3，0)，可得a 2＝3，又椭圆C 1的上顶点(0,1)到双曲线C 2的渐近线bx －ay ＝0的距离为32，由点到直线的距离公式有a a 2＋b2＝32可得b ＝1， 所以双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 23－y 2＝1，消去y 并整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，要与C 2相交于两点，则应有⎩⎨⎧1－3k 2≠036k 2m 2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＞0 ⇒⎩⎨⎧1－3k 2≠01＋m 2＞3k 2①，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有：x 1＋x 2＝6km1－3k 2，x 1·x 2＝－3＋3m 21－3k 2.又OQ 1→·OQ 2→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，又OQ 1→·OQ 2→＝－5，所以有11－3k2[(1＋k 2)(－3m 2－3)＋6k 2m 2＋m 2(1－3k 2)]＝－5 整理得m 2＝1－9k 2②，将y ＝kx ＋m ，代入x 23＋y 2＝1，消去y 并整理得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，要有两交点，则Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＞0⇒3k 2＋1＞m 2 ③。

第三章 圆锥曲线的方程专题10：圆锥曲线的方程——定点、定值及探究性问题的解法一、选择题 1.()已知点A,B 在抛物线y 2=x 上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点),则直线AB一定过点 ( ) A.(2,0) B.(12,0) C.(0,2) D.(0,12)2.()已知过原点O 的直线l 与椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)相交于点A,B,点P 是椭圆C 上异于点A,B的动点,直线PA,PB 的斜率分别为k 1,k 2 ,则k 1·k 2的值为 ( ) A.-b 2a 2 B.-a 2b 2C.b 2a 2D.与点P 的位置有关3.()已知A,B 是双曲线Γ:x 24-y 23=1的左、右顶点,动点P 在Γ上且P 在第一象限.若PA 、PB 的斜率分别为k 1,k 2,则以下总为定值的是 ( ) A.k 1+k 2 B.|k 1-k 2|C.k 1·k 2D.k 12+k 224.()若直线l 与双曲线x 24-y 2=1相切于点P,l 与双曲线的两条渐近线分别交于点M,N,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.3 B.4C.5D.与点P 的位置有关5.()已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B 两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于另一点C,D,设直线AB,CD 的斜率分别为k 1,k 2,则k1k 2= ( ) A.-12B.2C.1D.126.()已知点P(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2=2x 交于不同的两点A 、B,若x 轴是∠APB 的平分线,则直线l 一定过点 ( ) A.(12,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(-2,0)7.()已知抛物线y 2=2px(p 是正常数)上有两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),焦点为F.给出下列条件:甲:x 1x 2=p 24；乙:y 1y 2=-p 2；丙:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-34p 2；丁:1|FA|+1|FB|=2p .其中是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题 8.()过抛物线y 2=4x 上一点P(4,4)作两条直线PA,PB,且它们的斜率之积为定值4,则直线AB 恒过定点 . 9.()椭圆E:x 24+y 23=1的左顶点为A,点B,C 是椭圆E 上的两个动点,若直线AB 与AC 的斜率之积为定值-14,则动直线BC 恒过的定点坐标为 .三、解答题 10.()已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=2√3,经过点F 1的直线(不与x轴重合)与椭圆C 相交于A,B 两点,△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆C 上的一点Q 作斜率为k 1,k 2(k 1≠0,k 2≠0)的两条直线,分别与椭圆C 相交于异于点Q 的M,N 两点.若M,N 关于坐标原点对称,求k 1k 2的值. 11.()已知点(√2,√33),(1,√63)在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,证明:存在常数λ,使得k1=λk2,并求出λ的值.12.()已知椭圆C:x 2m +y2n=1(m>n>0),且椭圆C上恰有三点在集合{(√33,2√23),(-√33,-2√23),(√64,0),(0,1)}中.(1)求椭圆C的方程；(2)若点O为坐标原点,直线AB与椭圆交于A、B两点,且满足OA⊥OB,试探究:点O到直线AB的距离是不是定值？如果是,求出定值；如果不是,请说明理由；(3)在(2)的条件下,求△AOB面积的最大值.13.()已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,B为短轴的端点,长轴长为4,焦距为2c,且b>c,△BF1F2的面积为√3.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点M,且与直线x=4相交于点N.试探究:在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.14.()已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,抛物线y2=2px(p>0)的焦点是(12,0),M(a4,b)是抛物线上的点,H为直线y=-a上任一点,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,且A,B,H三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)直线HA,HB与椭圆C的另一交点分别为点D,E,求证:直线DE过定点.答案全解全析一、选择题1.A 当直线AB 的斜率为0时,直线AB 与抛物线只有1个交点,不符合题意,所以直线AB 的斜率不为0,设其方程为x=ky+m.因为点A,B 在抛物线y 2=x 上,所以设A(y A 2,y A ),B(y B 2,y B ),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y A 2y B 2+y A y B =2,解得y A y B =1或y A y B =-2.又因为A,B 两点位于x 轴的两侧,所以y A y B =-2.联立{y 2=x,x =ky +m,得y 2-ky-m=0,所以y A y B =-m=-2,即m=2.所以直线AB 的方程为x=ky+2.所以直线AB一定过点(2,0).故选A.2.A 设点P(x 0,y 0),A(x 1,y 1),则点B(-x 1,-y 1), ∴k 1=y 0-y 1x 0-x 1,k 2=y 0+y1x 0+x 1,∴k 1·k 2=y 02-y 12x 02-x 12.又由题意得x 02a +y 02b =1,x 12a +y 12b =1, 两式作差,得x 02-x 12a 2+y 02-y 12b 2=0,即x 02-x 12a 2=-y 02-y 12b 2,∴y 02-y 12x 02-x 12=-b 2a,即k 1·k 2=-b 2a.故选A.3.C 由题意得A(-2,0),B(2,0).设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则x 024-y 023=1,即y 02=34(x 02-4).又k 1=y 0x+2,k 2=y0x 0-2,所以k 1·k 2=y 02x 02-4=34.故选C. 4.A 设P(x 0,y 0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 因为P 是切点,所以MP 的方程为x 0x 4-y 0y=1,且x 02-4y 02=4.由双曲线方程可得两条渐近线方程分别为l 1:y=12x,l 2:y=-12x,不妨设M 在l 1上,N 在l 2上. 由{x 0x 14-y 0y 1=1,y 1=12x 1,解得{x 1=4x 0-2y 0,y 1=2x 0-2y,同理,得{x 2=4x 0+2y 0,y 2=-2x 0+2y 0, 所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4x 0-2y 0·4x0+2y 0-2x0-2y 0·2x0+2y 0=12x 02-4y 02=124=3.故选A.5.D 由题意知,F(1,0).设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),∴直线AF 的方程是y=y 1x 1-1(x-1),设k 0=y1x 1-1,则直线AF 的方程为y=k 0(x-1), 与抛物线方程y 2=4x 联立,可得k 02x 2-(2k 02+4)x+k 02=0,∴x 3x 1=1,∴x 3=1x 1,∴y 3=k 0(x 3-1)=-y 1x 1,即C (1x 1,-y1x 1),同理,D (1x 2,-y 2x2),∴k 2=-y 1x 1+y 2x 21x 1-1x 2=2k 1,∴k 1k 2=12.故选D.6.B 设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由{y =kx +b,y 2=2x,得k 2x 2+(2kb-2)x+b 2=0, 所以Δ=4(kb-1)2-4k 2b 2>0,即kb<12,x 1+x 2=2−2kb k 2,x 1x 2=b 2k 2.因为x 轴是∠APB 的平分线,所以k AP =-k PB ,所以y 1x 1+1=-y 2x2+1,即kx 1+b x 1+1=-kx 2+b x 2+1,整理,得2kx 1x 2+(k+b)·(x 1+x 2)+2b=0,所以2k ·b 2k 2+(k+b)·2−2kb k 2+2b=0,化简,得k+b=0,所以y=kx+b=kx-k=k(x-1), 所以直线l 过定点(1,0).故选B. 7.B 由题意知,直线AB 的斜率不为0.设直线AB 的方程为x=my+t,则直线AB 交x 轴于点T(t,0),且抛物线的焦点F 的坐标为(p2,0).联立{y 2=2px,x =my +t,消去x 得,y 2-2pmy-2pt=0,∴y 1+y 2=2pm,y 1y 2=-2pt. 对于甲条件,x 1x 2=y 12y 224p 2=(y 1y 2)24p 2=(-2pt)24p 2=t 2=p 24,解得t=±p2,所以甲条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件； 对于乙条件,y 1y 2=-2pt=-p 2,解得t=p2,所以乙条件是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件；对于丙条件,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=t 2-2pt=-34p 2,即t 2-2pt+34p 2=0, 解得t=p2或t=3p2,所以丙条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于丁条件,1|FA|+1|FB|=1x 1+p 2+1x 2+p 2=1my 1+t+p2+1my 2+t+p 2=m(y 1+y 2)+(2t+p)(my 1+t+p 2)(my 2+t+p 2)=m(y 1+y 2)+(2t+p)m 2y 1y 2+m(t+p 2)(y 1+y 2)+(t+p 2)2=2pm 2+2t+p-2m 2pt+m(t+p 2)·2pm+(t+p2)2=2pm 2+2t+pp 2m 2+(t+p 2)2=2p,化简得t 2=p 24,解得t=±p2,所以丁条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件. 二、填空题 8.答案 (3,-4)解析 设A (y 124,y 1),B (y 224,y 2),则k PA =y 1-4y 124-4=4y1+4,同理,k PB =4y 2+4,k AB =4y 1+y 2.因为k PA ·k PB =4,所以4y1+4·4y2+4=4,所以y 1y 2+4(y 1+y 2)+12=0. 所以y 1y 2=-12-4(y 1+y 2). 直线AB 的方程为y-y 1=4y 1+y 2(x -y 124),即(y 1+y 2)y-y 1y 2=4x.将y 1y 2=-12-4(y 1+y 2)代入上式得(y 1+y 2)(y+4)=4(x-3),所以直线AB 恒过定点(3,-4). 9.答案 (1,0)解析 由题意得A(-2,0),且直线BC 的斜率不为0. 设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),直线BC 的方程为x=ny+t.联立{x 24+y 23=1,x =ny +t,得(3n 2+4)y 2+6nty+3t 2-12=0,所以y 1+y 2=-6nt3n 2+4,y 1y 2=3t 2-123n 2+4.因为直线AB 与AC 的斜率之积为定值-14,所以y 1x 1+2·y 2x 2+2=-14,所以4y 1y 2+(ny 1+t+2)(ny 2+t+2)=0, 即(n 2+4)y 1y 2+n(t+2)(y 1+y 2)+(t+2)2=0, 所以t 2+t-2=0, 解得t=1或t=-2.当t=-2时,不符合题意,舍去, 所以t=1,所以直线BC 恒过定点(1,0). 三、解答题10.解析 (1)∵|F 1F 2|=2√3,∴c=√3. ∵△ABF 2的周长为8,∴4a=8,即a=2. ∵a 2=b 2+c 2,∴b=1. ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设M(x 1,y 1),Q(x 0,y 0),则N(-x 1,-y 1),且x 0≠±x 1,y 0≠±y 1.由题意得x 124+y 12=1,x 024+y 02=1,两式相减,得x 124-x 024+y 12-y 02=0.∵x 0≠±x 1,y 0≠±y 1, ∴y 1-y 0x 1-x 0·y 1+y 0x 1+x 0=-14.∴k 1k 2=y 1-y 0x 1-x 0·-y 1-y 0-x 1-x 0=-14.11.解析 (1)由题意得,{2a 2+13b 2=1,1a 2+23b 2=1,解得{a 2=3,b 2=1,∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1)(x 1y 1≠0),D(x 2,y 2),则B(-x 1,-y 1). 所以直线AB 的斜率k AB =y1x 1.设直线AD 的方程为y=kx+m,由题意知k ≠0,m ≠0.因为AB ⊥AD,所以k=-x1y 1.由{y =kx +m,x 23+y 2=1,可得(1+3k 2)x 2+6mkx+3m 2-3=0, 所以x 1+x 2=-6mk 1+3k 2,y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m=2m 1+3k 2.所以直线BD 的斜率k BD =y 1+y 2x 1+x 2=-13k =y 13x 1,所以直线BD 的方程为y+y 1=y 13x 1(x+x 1),令y=0,得x=2x 1,即M(2x 1,0),可得k 1=-y1x 1, 令x=0,得y=-2y 13,即N (0,−2y 13),可得k 2=5y 13x 1, 所以k 1=-35k 2,即λ=-35,因此,存在常数λ=-35使得结论成立.12.解析 (1)∵点(√33,2√23)和(-√33,-2√23)关于原点对称, ∴椭圆C 必过这两点,∴13m +89n =1.当椭圆过点(0,1)时,n=1,∴m=3,此时满足m>n,符合题意.当椭圆过点(√64,0)时,m=38,∴n=8,此时m<n,不符合题意. ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1.(2)当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由{y =kx +m,x 23+y 2=1,得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m 2-3=0, ∴x 1+x 2=-6km 1+3k 2,x 1x 2=3m 2-31+3k 2.∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)·(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0, ∴4m 2=3k 2+3.∴原点到直线AB 的距离为2=√32.当直线AB 的斜率不存在时,设其方程为x=t,则不妨令A (t,√9−3t 23),B (t,-√9−3t 23). ∵OA ⊥OB,∴t 2=34,∴|t|=√32, ∴原点到直线AB 的距离为√32.(3)由(2)知,当直线AB 的斜率存在时,|AB|2=(1+k 2)(x 1-x 2)2=(1+k 2)[(-6km 1+3k 2)2-4×3m 2-31+3k 2], 又4m 2=3k 2+3,∴|AB|2=3(9k 4+10k 2+1)9k 4+6k 2+1=3+12k 29k 4+6k 2+1=3+129k 2+6+1k 2. 因为129k 2+6+1k 2≤126+6=1,当且仅当9k 2=1k 2,即k=±√33时,等号成立,所以|AB|≤2.当直线AB 的斜率不存在时,|AB|=√3<2,所以(S △OAB )max =12×2×√32=√32. 13.解析 (1)由题意知{2a =4,12×2c ×b =√3,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =√3,c =1或{a =2,b =1,c =√3(舍去).∴椭圆C 的方程是x 24+y 23=1. (2)由{y =kx +m,x 24+y 23=1, 得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M,∴m ≠0且Δ=0.Δ=64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0.设M(x 0,y 0),则x 0=-4km 4k 2+3=-4k m ,y 0=kx 0+m=3m ,∴M (-4k m ,3m ).由{x =4,y =kx +m,得N(4,4k+m). 假设存在定点P 满足题意,由图形的对称性可知,点P 必在x 轴上.设P(x 1,0),则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0对满足4k 2-m 2+3=0的任意m,k 恒成立. 又PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4k m -x 1,3m ),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x 1,4k+m), ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4k m +x 1)(x 1-4)+3m(4k+m)=0, 整理得(4x 1-4)k m +x 12-4x 1+3=0. ∴{4x 1-4=0,x 12-4x 1+3=0,解得x 1=1.∴P(1,0),∴存在定点P(1,0),使得以MN 为直径的圆恒过点P.14.解析 (1)由抛物线焦点为(12,0),得抛物线方程为y 2=2x.由题意知,{ c a =√32,b 2=2×a 4,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =1,c =√3,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明:设点H(m,-2)(m ≠0),D(x D ,y D ),E(x E ,y E ),易知A(0,1),B(0,-1), ∴直线HA 的方程为y=-3m x+1,直线HB 的方程为y=-1m x-1.联立{y =−3m x +1,x 24+y 2=1,得(36m 2+1)x 2-24m x=0, ∴x D =24mm 2+36,y D =m 2-36m 2+36,同理,可得x E =-8mm 2+4,y E =4−m 24+m 2,∴直线DE 的斜率为m 2-1216m ,∴直线DE 的方程为y-4−m 24+m 2=m 2-1216m (x +8mm 2+4), 即y=m 2-1216m x-12, ∴直线DE 过定点(0,−12).。

章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点M 满足PD →＝2MD →,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解 方法一 由PD →＝2MD →,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 2＋(2y )2＝4,所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD →,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 20＋y 20＝4,(*)把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2＋4y 2＝4, 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3,因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标．解 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |＋|PF |的值最小, 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4, 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4,|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12,所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4, 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8, 所以|AF 2|－|AF 1|＝22,因此对于双曲线有a ＝2,c ＝3, 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2,则e 1＝a 2－b 2a ,e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32,所以a 4－b 4a 2＝32,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14,所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x , 即x ±2y ＝0.反思感悟 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,O 为原点,若△ABO 的面积是3c 2,则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2,即a 2(a 2－c 2)＝12c 4,所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0,所以a 2＝4c 2,a ＝2c ,故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且|FA |＝c ,则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知, 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2,即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ,得c 2＝a 2＋p 24,③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②,得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2,即ba＝1,故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例 3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |＝534,求直线l 的方程． 解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2,b ＝3,c ＝1, ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1,∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5, 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0,由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ,x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534,得 4－m25－4m2＝1, 解得m ＝±33,满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),其焦点为F 1,F 2,离心率为22,直线l ：x ＋2y－2＝0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,求a 的取值范围． 解 (1)由椭圆的离心率为22,得a ＝2c , 由A (2,0),得a ＝2, ∴c ＝2,b ＝2, ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22,设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4, 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2),A ,B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点,其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ,求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2,2)知4p ＝4,解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,准线方程为x ＝－12.(2)由题意知,直线AB 不与y 轴垂直,设直线AB ：x ＝ty ＋a ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ,得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2t ,y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即y 21y 224＋y 1y 2＝0,解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4,解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2,y 2＝－2或y 1＝－2,y 2＝2时,等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切,且与直线x ＝－1相切,设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2,y 0)(y 0>0)作两条直线l 1,l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ,B ,若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解 由题意可知,动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等,所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点,直线x ＝－12为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明 易知M (2,2),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x ＝my ＋b ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1, 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2), 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0, 所以(b －1)2＝(2m －1)2, 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时,直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合,舍去； 当b ＝2m 时,直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0,－2),所以直线AB 过定点(0,－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－b a＝tan 130°, 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0), 所以p2＝2p ,解得p ＝8,故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |,|AB |＝|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |＝m ,则|AF 2|＝2m ,|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知,4m ＝2a ,得m ＝a2,故|F 2A |＝a ＝|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点),则sin θ＝c a＝1a.在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13,因为cos 2θ＝1－2sin 2θ,所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2,得a 2＝3.又c 2＝1,所以b 2＝a 2－c 2＝2,椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点,直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2,求证：直线l 经过定点． (1)解 由题意,得b 2＝1,c ＝1, 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0,得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ,从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理,|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0,则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2,x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0,所以直线l 经过定点(0,0)．。

2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为 （ ）A ．y =±2xB ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±2．(2008浙江理)若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．5C D3．(2008四川理)已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且AK =，则AFK ∆的面积为( )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）324．(2006江西理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A ∙＝－4则点A 的坐标是（B ）A ．（2，±） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，)5．（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 ( ) m A ．65 B. 75 C. 58 D. 95【解析】设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为,知直线AB 的倾斜角16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+.又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= .二、填空题6．若椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是 ▲ ． 7．若斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于,A B 两点，则线段AB 的长等于_______________8．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是 ． 9．已知三次方程0223=+++b x ax x 有三个实数根，它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 由题意可知3--=a b ，0]3)1()[1(223=++++-=+++a x a x x b x ax x ，则03)1(2=++++a x a x 的两根分别在（0,1）（1,+∞）上 令3)1()(2++++=a x a x x g ，则⎩⎨⎧<>0)1(0)0(g g ，得253-<<-a10．抛物线22x y =的焦点坐标是 ．11．若实数,{1,1,2,3},m n m n ∈-≠，则方程221x y m n+=表示的曲线是焦点在ｘ轴上的双曲线概率为 ▲12．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+，则m 的值为▲ ．13．已知椭圆的中心在原点，12,F F 分别是左、右焦点，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆短轴的一个端点，P 是椭圆上一点，且12,PF Ox PF AB ⊥，那么椭圆的离心率等于________14．若双曲线221y x m-=的离心率为2，则m 的值为 ▲ ． 15．已知点(,)P x y 是2214x y +=上的动点,则2x y +的最大值 ▲ ． 16．已知定点(2,0)N ，动点,A B 分别在图中抛物线28y x =及椭圆22195x y += 的实线部分上运动，且//AB x 轴，则△NAB 的周长L 的取值范围是 ．17．以椭圆的右焦点2F 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M ，N ，若过椭圆左焦点1F 的直线MF 1是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为18．已知椭圆13422=+y x 上一点P 到左焦点的距离为25，则它到右准线的距离为 .19． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，两焦点为21,F F ，过2F 作x 轴的垂线交双曲线于B A ,两点，且1ABF ∆内切圆的半径为a ，则此双曲线的离心率为 ▲ .20．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的________条件．21． 已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．22． 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点，且经过点)2，则该椭圆的离心率为 ▲ ．三、解答题23．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．24． 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽为78m ，要求通行车辆限高 4.5m ，隧道全长为2.5km ，隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h 为6m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使隧道的土方工程量最小？（注：1.半个椭圆的面积公式为lh S 4π=；2.隧道的土方工程量=截面面积⨯隧道长）.25．已知A ,B 是焦距为24的椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点,过原点O 与线段AB 中点M 的直线交椭圆于C ,D 两点(点C 在第一象限内), 直线OM 的方程为13y x =(1)求椭圆的方程;(2)延长OC 到E ，使=，求ABE ∆的外接圆方程26．求椭圆1916:22=+y x C 上的点P 到直线01843:=++y x l 的距离的最小值.27．如图，直角三角形ABC 中，()π,2,02B A ∠=- ，点B 是y 轴上的动点，BC 的中点P在x 轴上．（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）设过点1(,0)4F 的直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，且AB=4，求直线l 的方程．28．已知点A(-1, 0)、B(1, 0),△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹 为曲线W.(1)直接写出W 的方程（不写过程）；(2)经过点（0, 2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与向量(共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.（3）设W 的左右焦点分别为F 1、 F 2，点R 在直线l ：x －y ＋8＝0上．当∠F 1RF 2取最大值时，求12RF RF 的值.29．在△ABC 中，已知A （0，1），B （0，－1），AC 、BC 两边所在的直线分别与x 轴交于E 、F 两点，且·＝4． （1）求点C 的轨迹方程； （2）若8-=， ①试确定点F 的坐标；②设P 是点C 的轨迹上的动点，猜想△PBF 的周长最大时点P 的位置，并证明你的猜想．30．已知直线L 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （－1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程. （1994全国理，24） 95.。

专题10 圆锥曲线的方程（多选题）1．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，且||3||AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A ．90CFD ∠=︒ B ．CMD △为等腰直角三角形 C ．直线AB的斜率为D ．线段AB 的长为163【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】ACD【分析】由题意写出焦点F 的坐标及准线方程，设直线AB 的方程及A ，B 的坐标，可得C ，D 的坐标，再由|AF |＝3|BF |，求出直线AB 的参数，进而判断出所给命题的真假． 【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点F （1，0），准线方程为x ＝﹣1， 由题意可得直线AB 的斜率不为0，由题意设直线AB 的方程为x ＝my +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意可知C （﹣1，y 1），D （﹣1，y 2）， 将直线AB 与抛物线联立整理得：y 2﹣4my ﹣4＝0，y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，A 中，因为FC FD ⋅＝（﹣2，y 1）•（﹣2，y 2）＝（﹣2）（﹣2）+y 1y 2＝4﹣4＝0，所以FC FD ⊥，即∠CFD ＝90°，所以A 正确；B 中，由A 正确，不可能CM ⊥DM ，更不会∠C 或∠D 为直角，所以B 不正确； C 中，因为|AF |＝3|BF |，所以3AF FB =，即y 1＝﹣3y 2，y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，所以2222434y m y -=⎧⎨-=-⎩，解得m 2＝13，m＝AB的斜率为C 正确； D 中，由题意可得弦长|AB |＝=＝163=，所以D 正确，故选ACD ．2．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】BCD【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P 的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．【解析】由题意可得，点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，即等价于“点P 到点M 的距离等于到直线'l ：1x =-的距离”故P 点轨迹是以()10M ，为焦点，直线'l ：1x =-为准线的抛物线，其方程是24y x =，故A 错误;点P 的轨迹方程是抛物线24y x =，它与直线'l 没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线24y x =有交点，把26y x =+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得2590x x ++=，因为25419110∆=-⨯⨯=-<，无解，所以26y x =+不是“最远距离直线”，故C 正确； 把112y x =+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得21240x x -+=， 因为()2124141280∆=--⨯⨯=>，有解，所以112y x =+是“最远距离直线”，故D 正确．故选BCD ．【名师点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题．3．已知12,F F 分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =± B ．以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C ．1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1D ．12PF F ∆的面积为1【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】ACD【分析】求出双曲线C 渐近线方程，焦点12,F F ，12PF F ∆的面积即可判断．【解析】A ．代入双曲线渐近线方程得y x =±，正确．B ．由题意得12(F F ，则以12F F 为直径的圆的方程，不是221x y +=，错误．C ．1F ，渐近线方程为y x =，距离为1，正确．D ． 由题意得12(F F ，设00(,)P x y ，根据120PF PF ⋅=，解得02x =±02y =±，则12PF F ∆的面积为1．正确．故选ACD ． 4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠=则对双曲线中,,,a b c e 的有关结论正确的是（ ）A ．e =B ．2e =C ．b =D ．b =【试题来源】山东省济南外国语学校2020-2021学年高三10月月考 【答案】ABCD【分析】根据余弦定理列方程得出a ，c 的关系，再计算离心率． 【解析】由双曲线的定义知：12212,4PF PF PF a PF a -==∴=，由12sin 4F PF ∠=可得121cos 4F PF ∠=±，在12PF F △中，由余弦定理可得：222416412244a a c a a +-=±⨯⨯，解得224c a =或226c a=，2ce a∴==，2c a ∴=或c =，又222c a b =+，可得b =或b =，故选ABCD ．5．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左､右端点分别为12,A A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1234PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆C 的离心率不确定B ．椭圆C 的离心率为12C ．11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D ．12cos A PA ∠的最小值为17-【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性调研 【答案】BD【分析】根据题中条件可求出2234b a =，继而可求出离心率，由此可判断AB ；根据题意可得出111234A P A Q A P A P k k k k ⋅=⋅=-为定值，可判断C ；由和的正切公式可建立关系判断D ． 【解析】设(),P x y ，则22221x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1,0A a -，()2,0A a ，故1222222222221PA PA x b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---， 依题意有2234b a -=-，即2234b a =，所以离心率12e ==，故A 不正确，B 正确；因为点P ，Q 关于原点对称，所以四边形12A PA Q 为平行四边形，即有12A Q A P k k =，代入题干条件可得；111234A P A Q A P A P k k k k ⋅=⋅=-，不受点P ，Q 的位置的影响，故C 不正确； 设12PA A ∠为α，21PA A ∠为β，由题意可得3tan tan 4αβ⋅=，则有12A PA παβ∠=--， 从而有()()12tan tan tan tan tan 1tan tan A PA αβπαβαβαβ+∠=--=-+=-≤--⋅当αβ=，即当点P 为短轴端点时12A PA ∠最大，此时12cos A PA ∠最小，计算得17-，故D 正确．故选BD ．6．如图，过点(2,0)P 作两条直线2x =和:2(0)l x my m =+>分别交抛物线22y x =于,A B和,C D (其中,A C 位于x 轴上方)，直线,AC BD 交于点Q ．则下列说法正确的是（ ）A ．,C D 两点的纵坐标之积为4-B ．点Q 在定直线2x =-上C ．点P 与抛物线上各点的连线中，PA 最短D ．无论CD 旋转到什么位置，始终有CQP BQP ∠=∠ 【试题来源】湖南师大附中2021届高三（上）月考（二） 【答案】AB【解析】设点()()1122,,,C x y D x y ，将直线l 的方程2x my =+代入抛物线方程22y x =得：2240y my --=．则124y y =-．故A 正确；由题得(2,2),(2,2)A B -，直线AC 的方程为122(2)2y x y -=-+， 直线BD 的方程为222(2)2y x y +=--，消去y 得()12121224y y y y x y y -+=-+， 将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上，故B 正确； 计算12,2PA OP ==可知C 错误；因为PA PB =，但QA QB ≠，所以D 错误．故选AB ． 7．设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．||4AB ≥ B ．||||8OA OB +>C ．若点(2,2)P ，则||||PA AF +的最小值是3D ．OAB 的面积的最小值是2【试题来源】湖南省湘潭市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（理） 【答案】ACD【解析】F （1，0），不妨设A 在第一象限， （1）若直线l 无斜率，则A （1，2），B （1，−2）， 则|AB |＝4，|OA |＋|OB |＝2|OA |＝14122OABS=⨯⨯=，显然B 错误； （2）若直线l 存在斜率，设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k （x −1），显然k ≠0， 联立方程组()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，消元得：()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212222442k x x k k++==+，所以|AB |＝12x x +＋2＝4＋24k ＞4， 原点O 到直线l的距离d =，所以21144222OABSAB d k ⎛⎫=⨯⨯=⨯+=> ⎪⎝⎭， 综上，|AB |≥4，OABS≥2，故A 正确，D 正确，过点A 向准线作垂线，垂足为N ，则|P A |＋|AF |＝|P A |＋|AN |，又P （2，2）在抛物线右侧，故当P ，A ，N 三点共线时，|P A |＋|AF |取得最小值3，故C 正确．故选ACD ．8．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P为双曲线右支一点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立，则下列结论正确的有（ ）A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B．离心率e =C．λ=D ．点I 的横坐标为定值a【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（二） 【答案】BCD【解析】当2PF x ⊥轴时，221212b PFc F F a ===，此时121tan 2PF F ∠=，所以A 错误； 因为2122b F F a=，所以2222222b c a c a a -==，整理得210e e --=（e 为双曲线的离心率），因为1e >，所以e =B 正确． 设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112IPF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122F F S cr cr =⋅=△， 因为1212IPF IPF IF F S S S △△△，所以121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，故12122PF PF a c c λ-====，所以C 正确．设内切圆与1PF 、2PF 、12F F 的切点分别为M 、N 、T ，可得11||||PM PN FM FT =⋅=，22F N F T =． 由1212122PF PF FM F N FT F T a -=-=-=，12122F F FT F T c =+=， 可得2F T c a =-，可得T 的坐标为(),0a ，即Ⅰ的横坐标为a ，故D 正确；故选BCD ．【名师点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化简运算能力和推理能力，属于中档题．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两个顶点分别是A 1，A 2，左右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）A ．122PF PF a -=B ．直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有4个D ．焦点到渐近线的距离等于b 【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】BD【分析】A ． 由双曲线的定义判断；B ．设()00,P x y ，利用斜率公式求解判断；C ．利用双曲线的对称性判断；D ．利用点到直线的距离公式求解判断； 【解析】A ． 因为122PF PF a -=，故错误；B ．设()00,P x y ，则2200221x y a b-=，所以1222000222020201⎛⎫⎪⎝⎭⋅-=⋅==+--PA PA y y k k x a x b a a x b x a a，故正确；C ．若点P 在第一象限，若122,22==-PF PF c c a ，12PF F △为等腰三角形；若212,22==+PF PF c c a ，12PF F △为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点P 有且仅有8个，故错误；D ．不妨设焦点坐标为()2,0F c ，渐近线方程为0bx ay -=，则焦点到渐近线的距离d b ==，故正确；故选BD ．10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则（ ） A ．C 的准线方程为y ＝1 B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．M 的坐标可能为(3，2)D ．OP OQ ＝－3【试题来源】江苏省徐州市市区部分学校2020-2021学年高三上学期9月学情调研考试 【答案】BCD【分析】根据条件可得出2p =，易得A 、B 的正误，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，算出12121212,,,x x x x y y y y ++即可得出C 、D 的正误．【解析】焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0，所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ， 当m =1时，可得M (3，2)，则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确；故选BCD11．已知P 是双曲线C ：221169x y -=右支上一点，12,F F 分别是C 的左，右焦点，O 为坐标原点，19||4OP OF +=则（ ） A ．C 的离心率为54B ．C 的渐近线方程为43y x =±C ．点p 到C 的左焦点距离是234D ．12PF F △的面积为454【试题来源】江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期10月月考 【答案】AD【分析】对于AB ，直接利用双曲线的性质判断；对于C ，取线段1PF 的中点M ，连接2,MO PF ，利用中位线和双曲线的定义计算判断；对于D ，在12PF F △，利用余弦定理求出12cos PF F ∠，进而可得12sin PF F ∠，再用三角形的面积公式计算． 【解析】由已知4,3,5a b c ===，离心率54c e a ==，故A 正确； 渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故B 错误； 如图，取线段1PF 的中点M ，连接2,MO PF ，则2//MO PF ，且22MO PF =122OP OF OM F P ∴+==，219||4F P OP OF ∴=+=，则129412844PF a PF =+=+=，故C 错误；在12PF F △中，22212419104044cos 41412104PF F ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯，则129sin 41PF F ∠===，则12PF F △的面积为1419451024414⨯⨯⨯=，故D 正确．故选AD ．12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA +=【试题来源】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【解析】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =12=， 化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）的距离为=﹣4+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误； 对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=， 又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．故选ABD ．13．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C【试题来源】湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期9月调研考试 【答案】AB【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解．【解析】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==，此时双曲线C渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确．故选AB ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力．14．已知椭圆()22105x y m m +=>的离心率5e =，则m 的值为（ ）A ．3B ．253C D ．3【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初 【答案】AB【分析】分焦点在x 、y 轴上讨论，分别求出m 的值．【解析】由题意知0m >，当5m >时，a =，b =c =所以5c e a ===，解得3m =；当5m <时，a =b =c =所以5c e a ===，解得253m =；故选AB ． 15．已知双曲线E ：2214x y m -=（0m >）的一条渐近线方程为30x y +=，则下列说法正确的是（ ）． A ．E 的焦点在x 轴上B ．49m =C ．E 的实轴长为6D ．E 【试题来源】河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考（新高考） 【答案】AD【解析】由0m >，可知双曲线E 的焦点一定在x 轴上，故A 正确； 根据题意得13b a ==，所以36m =，故B 错误；双曲线E 的实轴长为12==，故C 错误；双曲线E 的离心率c e a ====D 正确．故选AD ． 16．方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线可能是（ ）． A ．双曲线 B ．抛物线 C ．椭圆D ．圆【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟 【答案】ACD 【解析】θ是任意实数，[]2sin 2,2θ∴∈-，当2sin 1θ=时，方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线是圆；当2sin 0θ>且不等于1时，方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线是椭圆；当2sin 0θ<时，方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线是双曲线；当2sin 0θ=时，方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线是两条直线．故选ACD ．【名师点睛】本题考查曲线与方程，考查了圆锥曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思想方法，属于基础题．17．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为0y +=，双曲线的离心率为e ，双曲线的焦点到渐近线的距离为d ，则（ ）A ．d =B ．d =C ．3e =D ．e 【试题来源】湖北省黄冈市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】AC【分析】利用双曲线的渐近线方程求出b ，然后转化求解离心率，求出双曲线的焦点到渐近线的距离为d ，判断选项即可．【解析】双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为0y +=，可得b =，1a =，所以3c e a ===．双曲线的右焦点(3,0)，双曲线的焦点到渐近线的距离为d ==AC ．18．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为直线12:l y x =，2:2=-l y x ，则下列表述正确的有（ ）A ．a b >B ．2a b =C ．双曲线ED ．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线E 的焦点在x 轴上【试题来源】辽宁省朝阳市凌源市2019-2020学年高二下学期期末联考 【答案】CD 【分析】由已知可得2ba=，所以2b a =，由此可判断AB 选项，再由双曲线的方程和双曲线的离心率公式可判断CD 选项．【解析】因为双曲线E 的两条渐近线方程分别为2y x =，2y x =-，所以2ba=，所以2b a =，故AB 不正确；所以双曲线E 的离心率e ==E 的焦点在x 轴上．故CD 正确 ．故选CD ．19．已知双曲线的方程为2214x y -=，则双曲线的（ ）A B ．渐近线方程为14y x =±C ．共轭双曲线为2214y x -=D ．焦点在曲线()220x ty t R +=∈上【试题来源】湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】AD【分析】由双曲线的离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的渐近线方程，可判定B 不正确；由双曲线的共轭双曲线的定义，可判定C 不正确；根据双曲线的焦点为(F ，代入验证，可判定D 正确．【解析】由双曲线的方程为2214x y -=，可得2,1a b ==，且c所以双曲线的离心率为c e a ==，故A 正确； 双曲线的渐近线方程为12b y x x a =±=±，所以B 不正确； 由双曲线的方程为2214x y -=，则其共轭双曲线为2214x y -=，所以C 不正确；由双曲线的方程为2214x y -=的焦点为(F ，代入曲线()220x ty t R +=∈，满足方程，所以D 正确．故选AD ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质，以及共轭双曲线的定义的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．20．若椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m 的取值为（ ）A ．163B ．6C ．3D ．173【试题来源】江苏省南京市第十四中学2020-2021学年高二上学期学情调研测试 【答案】AC【分析】分焦点在x 轴或y 轴上，即4m >，或4m <结合离心率讨论求解．【解析】当4m >时，焦点在x 轴上，12=，解得163m =，满足4;m >当4m <时，焦点在y 12=，解得3m =，满足4;m < 综上m 的值为163或3，故选AC ． 21．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =-B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN =D ．三角形ONF 的面积为（O 为坐标原点） 【试题来源】金太阳2020-2021学年高三第一次检测考试 【答案】ACD【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F '，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ．由抛物线的解析式可得准线方程为4x =-，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF '=，在直角梯形ANFF '中，中位线62AN FF BM '+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，故6612FN FM NM =+=+=，ON ==142QNF S =⨯=△．故选ACD ．22．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为（ ）ABC D 【试题来源】广东省珠海市2021届高三上学期第一次摸底 【答案】AB【分析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得,a b 关系，再计算离心率即可． 【解析】若双曲线焦点在x 轴上，因为渐近线方程为2y x =±，故2ba=，215c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭；若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为2y x =±，得2a b =，251c b e a a ⎛⎫∴==+=⎪⎝⎭．故选AB ． 23．设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．线段 C ．椭圆D ．不存在【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考 【答案】BC【分析】由基本不等式可得126PF PF +≥，可得1212PF PF F F +=或1212PF PF F F +>，即可判断轨迹．【解析】()10,3F -、()20,3F ，126F F ∴=，0a >，129926PF PF a a a a∴+=+≥⋅=，当且仅当9a a =，即3a =时等号成立，当96a a+=时，即1212PF PF F F +=，此时点P 的轨迹是线段12F F ， 当96a a+>时，即1212PF PF F F +>，此时点P 的轨迹是椭圆．故选BC ． 24．已知方程221mx ny +=(),m n R ∈，则（ ） A ．当0mn >时，方程表示椭圆 B ．当0mn <时，方程表示双曲线 C ．当0m =，n ＞0时，方程表示两条直线 D ．方程表示的曲线不可能为抛物线【试题来源】江苏省南京师范大学附属苏州实验学校2020-2021学年高二上学期教学质量调研（二） 【答案】BCD【分析】根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项即可得出答案． 【解析】A ：取1m n ==，此时表示圆，故A 错误；B ：当0mn <时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，故B 正确；C ：当0m =，y n=±，方程表示两条直线，故C 正确； D ． 方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，故D 正确；故选B C D ．25．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考（广东卷） 【答案】AC【分析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D ．【解析】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A正确，B 错误．双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误．故选AC26．在平面直角坐标系中，已知双曲线221,412x y -=则（ ）A ．实轴长为4B ．渐近线方程为3y x =± C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【试题来源】江苏省镇江市大港中学2020-2021学年高二上学期10月学情检测 【答案】AC【分析】由双曲线的方程可得a ，b 的值，求出离心率、实轴长，以及准线方程与渐近线的方程可得正确答案．【解析】由双曲线的方程可得，24a =，212b =，22216c a b =+=，所以2a =，b =4c =， 所以实轴长24a =，离心率2c a=，渐近线方程为by x a =±=，所以A ，C正确，B 错误；因为准线方程为21a x c==，设渐近线y =与渐近线的交点为A ，两个方程联立可得A ，另一条渐近线的方程为0y +=，所以A 到它的距离为d =D 不正确．故选AC ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的离心率、实轴长，以及准线方程与渐近线方程的求解，属于基础题．27．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个说法中错误的是（ ）A ．若13t <<，则C 为椭圆B ．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则23t << C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为双曲线，则1t <【试题来源】河北省沧州市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】AD【分析】根据题意依次讨论各选项即可得答案．【解析】对于A 选项，当2t =时，曲线为C 表示圆，故不正确；对于B 选项，当曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆时，则130t t ->->，解得23t <<，故正确；对于C 选项，当2t =时，曲线为C 表示圆的方程，故正确；对于D 选项，当曲线C 为双曲线时，则()()310t t --<，解得1t <或3t >，故错误； 综上，错误的是AD ．故选AD ．28．设点F ､直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点､右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则2||d PF >的充分不必要条件有（ ） A ．e ∈(0，12) B ．e ∈(18，14) C ．e ∈(14，12) D ．e ∈(12，1)【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研 【答案】BC【分析】根据椭圆第二定义可得2||d PF >充要条件是102e <<，根据充分不必要条件关系，逐项判断即可．【解析】依题意，||12||,2PF d PF d ><，即102e <<，选项A ，是充要条件，所以不满足；选项B ，C 中e 的范围均是1(0,)2的真子集，所以满足充分不必要条件；选项D ，既不是充分条件也不是必要条件．故选B ，C ．29．已知双曲线22126x y -=，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的离心率2e = B0y ±= C．双曲线的焦距为D【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研A 卷试题 【答案】AB【分析】根据双曲线的方程得到a ，b 的值，并根据a ，b ，c 的平方关系求得c 的值，根据离心率的定义求得e 的值，根据a ，b 的值写出渐近线方程，根据c 的值计算焦距2c 的值，利用点到直线的距离公式求得焦点到渐近线的距离，然后与各选择支对照，得出正确答案． 【解析】由双曲线的方程可得，这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线，a b c ====，2,ce a∴==渐近线方程为by x a=±=0y ±=，双曲线的焦距为2c =，焦点()±=故AB 正确，CD 错误，故选AB ．30．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3976公里C ．两焦点坐标约为()150,0±D ．离心率约为75994【试题来源】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】ABD【分析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的,a c 和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C 不正确． 【解析】设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c ．依题意可得月球半径约为1347617382⨯=，10017381838a c -=+=，40017382138a c +=+=， 2183821383976a =+=，1988a =，21381988150c =-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A 、B 、D 项正确， 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 项错误．故选ABD ．31．已知双曲线22:13x y C m-=过点，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的焦距为4B ．CC ．C 的渐近线方程为3y x =±D ．直线210x -=与C 有两个公共点【试题来源】湖南省益阳市2020-2021学年高三上学期9月调研考试 【答案】AC【分析】由题意先求出m 的值，得到双曲线C 的标准方程，确定,,a b c 的值，求出椭圆C 的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C ；将直线与双曲线的方程联立消y ，得到关于x 的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D ．【解析】由双曲线22:13x y C m-=过点，可得1m =，则双曲线C 的标准方程为2213x y -=；所以1,2a b c ====，因为椭圆C 的焦距为24c =，所以选项A 正确；因为椭圆C 的离心率为3c a ==，所以选项B 不正确；因为椭圆C 的渐近线方程为y x =，所以选项C 正确；将直线210x -=与双曲线2213x y -=联立消y 可得23440x x -+=，()24434320∆=--⨯⨯=-<，所以直线210x --=与双曲线，C 没有公共点，所以选项D 不正确；故选AC ．32．若椭圆222:11x y C m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则下列结论中正确的是（ ）A ．2m =B ．CC ．C 的短轴长为D ．C 【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考 【答案】ACD1=，得到椭圆方程，再判断选项．1=，解得2m =或1m =-(舍去)，∴椭圆C 的方程为22132y x +=，所以23a =，22b = ，即a =b =∴长轴长为2a =，短轴长2b =，离心率c e a ===．故选ACD ． 【名师点睛】本题考查椭圆方程和椭圆的简单几何性质，重点熟记椭圆方程和椭圆的简单几何性质，属于基础题型．33．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a <【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中模拟 【答案】BC【分析】A 选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B 选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD 选项根据B 选项的结论进行变形来判断．【解析】由题图可得12121122,,>>∴+>+a a c c a c a c ，故A 不正确；11221122||,||,=-=-∴-=-PF a c PF a c a c a c ，故B 正确；由1122a c a c -=-得()()221221a c a c +=+，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即22121122211221121222,,,+=+>∴>∴>c c b a c b a c b b a c a c a a ，故C 正确，D 不正确． 故选BC ．34．已知P 是双曲线C ：2214x y m-=上任意一点，A ，B 是双曲线的两个顶点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ()120k k ≠，若12k k t +≥恒成立，且实数t 的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的方程为2214x y -=BC．函数(log 1a y x =++()0,1a a >≠的图象恒过双曲线C 的一个焦点D ．设1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，若12PF F △123PF F π∠=【试题来源】江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高二上学期10月月考。