高考数学 6年高考母题精解精析 专题10 圆锥曲线10 理

备战2013高考数学（文）6年高考母题精解精析专题10 圆锥曲线03一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科9)设M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是 (A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C3. （2011年高考海南卷文科9)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则A B P ∆的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.484. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148xy-=，则24a =，2a =，24a =.故选C.5．(2011年高考广东卷文科8)设圆C 与圆外切，与直线0y =相切．则C 的圆心轨迹为（ ）A ． 抛物线B ． 双曲线C ． 椭圆D ． 圆6.（2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆22122:1x y C ab+=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14yC x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 2C 的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段A B 三等分，则（A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b =(D) 22b =【答案】 C【解析】：由1c 恰好将线段AB 三等分得133A Ax x x x =⇒=由222,5A y x x x y =⎧⇒=⎨+⎩,1515x y ∴==222222)1515,)1111515a ab ab∴+=⇒= 在椭圆上,又22215,2a b b -=∴=，故选C.7. (2011年高考天津卷文科6)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A.【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x =-,所以4p =,又42p a +=,所以2a =,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12y x =±,即12b a=,所以1b =,即25c =,2c =选B.8. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I’上存在点P 满足1PF ：12F F ：2P F = 4:3:2，则曲线I’的离心率等于A. 1322或 B.223或 C.122或 D. 2332或【答案】A【解析】由1PF ：12F F ：2P F = 4:3:2，可设14PF k =,123F F k =,22PF k =,若圆锥曲线为椭圆,则26a k =,23c k =,12e =;若圆锥曲线为双曲线,则22a k =,23c k =,32e =,故选A.9. （2011年高考四川卷文科11)在抛物线y=x 2+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）（A ） (-2,-9) （B ）(0,-5) (C) (2,-9) （D ）(1,6)10. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ） 24y x =- (C) 28y x = (D) 24y x = 【答案】C【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a -=-8a ⇒=故选C11．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线2221(0)9x ya a-=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。

备战2020高考数学（文）6年高考母题精解精析专题10 圆锥曲线一、选择题1.【2020高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 452.【2020高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 83.【2020高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2833x y =(B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y =4.【2020高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=5.【2020高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 6.【2020高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。

备战2013高考数学（文）6年高考母题精解精析专题10 圆锥曲线01一、选择题1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 452.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 83.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2x y =(B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y =4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=5.【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。

"【备战2013】高考数学 6年高考母题精解精析 专题10 圆锥曲线09理 "（2010广东理数） 21．（本小题满分14分）设A(11,x y ),B(22,x y )是平面直角坐标系xOy 上的两点，先定义由点A 到点B 的一种折线距离p(A,B)为2121(,)||||P A B x x y y =-+-.当且仅当1212()()0,()()0x x x x y y y y --≥--≥时等号成立，即,,A B C 三点共线时等号成立.（2）当点C(x, y) 同时满足①P (,)A C +P (,)C B = P (,)A B ，②P (,)A C = P (,)C B 时，点C 是线段AB 的中点. 1212,22x x y y x y ++==，即存在点1212(,)22x x y y C ++满足条件。

（2010广东理数）20．（本小题满分为14分）一条双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为A 1,A 2，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点。

（1）求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式；（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥ ,求h 的值。

故221(2)2y x =--，即2212x y +=。

（2010全国卷1理数）（21）(本小题满分12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89FA FB =u u u r u u u r g ，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（2010山东理数）（21）（本小题满分12分） 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。

"【备战2013】高考数学 6年高考母题精解精析 专题10 圆锥曲线10理 "（2010江苏卷）18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T（m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

（2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209-） 直线MTA 方程为：0352303y x -+=+-，即113y x =+，直线NTB 方程为：032010393y x --=---，即5562y x =-。

联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点T 的坐标为10(7,)3。

（方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。

此时必过点D （1，0）；当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。

所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

（方法二）若12x x =，则由222224033608020m m m m --=++及0m >，得210m =，此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。

若12x x ≠，则210m ≠，直线MD 的斜率2222401080240340180MDmmm k m mm +==---+， 直线ND 的斜率222220102036040120ND mm m k m m m-+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。

1 藤野先生 基础练习 1．下列加粗字中注音有误的一项是( )。

A．的确(dí)　解剖(pōu) 不逊(xùn)　邮差(chāi) B．泄漏(xiè)　瞥见(piē) 捕获(bǔ)　教诲(huǐ) C．绯红(fēi)　芋梗(ěn) 发髻（jì）　系住（jì） D．匿名（nì）　霉菌（jūn） 畸形(qí)　诘责(jié) 2．选出加黑词解释正确的一项。

(1)不逊 A．无礼B．差C．谦逊( ) (2)深恶痛疾 A．疾病B．痛恨C．疾驰( ) (3)油光可鉴 A．鉴别B．鉴赏C．当镜子照( ) 3．下列语段空缺处填写恰当的一组词语是( )。

我拿下来打开看时，很吃了一惊，同时也感到一种不安和__________。

原来我的讲义已经从头到末，都用红笔__________过了，不但增加了许多__________的地方，连文法的错误，也都一一__________。

A．感激　涂改　脱漏　纠正 B．激动　涂改　遗漏　纠正 C．感激　添改　遗漏　订正 D．感激　添改　脱漏　订正 4．下列语句中运用了反语修辞的一项是( )。

A．也有解散辫子，盘得平的，除下帽来，油光可鉴，宛如……扭几扭。

实在标致极了。

B．我当时虽然觉到圈得可笑，但是毫不介意，这回才悟出那字也在讥刺我了…… C．要枪毙了，围着看的也是一群中国人；在讲堂里的还有一个我。

D．有一回上火车去，致使管车的疑心他是扒手，叫车里的客人大家小心些。

5．说出文中所记叙的藤野先生与“我”交往的四件具体事例及其含意。

(1)第一件事是：___________，表现了____________。

(2)第二件事是：___________，表现了_____________。

(3)第三件事是：___________，表现了_____________。

(4)第四件事是：___________，表现了_____________。

备战2013高考数学（文）6年高考母题精解精析专题10 圆锥曲线05（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为[C]（A ）12（B ）1（C ）2（D ）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A （B （C （D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得c e a ==（2010辽宁文数）（7）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为PF =（A ）（B ） 8 （C ） （D ） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，则4||8sin30PF ︒==（2010全国卷2文数）（12）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0）的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k =（A ）1 （B（C（D ）2【解析】B ：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-， ∵e =，设2,a t c ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，直线AB方程为x sy =。

18．（2009·安徽理）（本小题满分13分）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，00cos ,sin ,0.2x a y b πβββ==<<直线2l 与直线00122:1x y l x y a b+=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ． （I ）证明: 点P 是椭圆22221x y a b+=与直线1l 的唯一交点；（II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列．解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。

考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

本小题满分13分。

解：（I ）（方法一）由00221x y x y a b +=得22020(),b y a x x a y =-代入椭圆22221x y a b +=,（方法三）在第一象限内，由22221x y a b +=可得222200,,b b y a x y a x a a=-=- 椭圆在点P 处的切线斜率20002220(),b x k y x a y a a x '===--切线方程为200020(),b x y x x y a y =--+即00221x x y y a b +=。

因此，1l 就是椭圆在点P 处的切线。

根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线1l 的唯一交点。

（II ）00tan tan ,y b x a αβ==1l 的斜率为2020,x b y a -2l 的斜率为2020tan tan ,y a a x b bγβ== 由此得2tan tan tan 0,αγβ=≠tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。

21．（2009·福建理19）（本小题满分13分）已知A,B 分别为曲线C ： 22x a+2y =1（y ≥0,a>0）与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B,且与x 轴垂直，S 为l 上 异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T ．(1)若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；（II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。

28.【2012高考真题福建理19】如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E的方程. （Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 29.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：． （1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：； （3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值. 【答案】 过点A与渐近线平行的直线方程为 ，,则到直线的距离为. 设到直线的距离为. 32.【2012高考真题江西理21】 （本题满分13分） 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足. 求曲线C的方程； 动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。

若不存在，说明理由。

【答案】 33.【2012高考真题天津理19】（本小题满分14分） 设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点. （Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足 【答案】 【2011年高考试题】 一、选择题: 1. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 （A） （B） （C）2 （D）4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】恰好将线段AB三等分得，由 又 ，故选C 5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线的实轴长是 （A）2 (B) (C) 4 (D) 4 6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线的渐近线方程为，则的值为A.4B. 3C. 2D. 1 8.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】，则准线方程为于是 9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为( ) （A） （B） （C） （D） 10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=(A) (B) (C) (D) 【答案】 【解析】，准线方程为，由 则，由抛物线的定义得 由余弦定理得 故选D 11．(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于 A． B．或2 C．2 D． 【答案】A。

4. (2011年高考天津卷理科18)（本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．为等腰三角形．（Ⅰ）； （Ⅱ）与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．设点的坐标为,则,.由得 ,于是,由，即 ,化简得,将代入 ,得,所以, 因此,点的轨迹方程是. 5.(2011年高考浙江卷理科21)（本题满分15分）已知抛物线:，圆:的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离； （Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程 【解析】得准线方程为，由得M，点M到抛物线的准线的距离为 6. (2011年高考江西卷理科20)（本小题满分13分） 是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为． （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值． 7. (2011年高考湖南卷理科21) （本小题满分13分）如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长. 求，的方程； 设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，，直线，分别与相交于点，. ()证明： ; ()记,的面积分别为，问：是否存在直线，使得？请说明理由. 因此 由题意知，，解得或 又由点的坐标可知，所以 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和 评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等. 8. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切. （1）求C的圆心轨迹L的方程. （2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标. 9. (2011年高考湖北卷理科20)（本小题满分13分） 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加 上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系； (Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2， 设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面 积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 综上可得： 当时，在C1上，存在点N，使得，且; 当时，在C1上，存在点N，使得，且; 当时，在C1上，不存在满足条件的点N. 10.(2011年高考陕西卷理科17)（本小题满分12分） 如图，设是圆珠笔上的动点，点D是在轴上的投影，M为D上一点，且 （Ⅰ）当的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度。