2020高考文科数学二轮课件：专题10圆锥曲线

第二章常见条件翻译转化 第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单简单简单【例1】.设12F F ，分别是椭圆22210+1y E x b b=：（＜＜）的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A B 、两点,且22||||||AF AB BF ，，成等差数列. (1)求||AB ;(2)若直线l 的斜率1为,求b 的值.【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB|=43(2)L 的方程式为y=x +c,其中c =√1−b 2设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A,B 两点坐标满足方程组{y =x +cx 2+y 2b2=1.,化简得(1+b 2)x 2+2cx +1﹣2b 2=0.则x1+x 2=−2c 1+b 2,x 1x 2=1−2b21+b2. 因为直线AB 的斜率为1,所以|AB|=√2|x 2−x 1|即43=√2|x 2−x 1|.则89=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4(1−b 2)(1+b 2)2−4(1−2b 2)1+b 2=8b 4(1+b 2)2.解得b =√22.【例2】.如图,12F F ，分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=10a b （＞＞）的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ∠=︒. (1)求椭圆C 的离心率;(2)已知1AF B V 的面积为403,求a b ，的值.【解答】解:(1)∠F 1AF 2=60°⇔a=2c ⇔e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a ﹣m,在三角形BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|BF 2||F 1F 2|cos120°⇔(2a ﹣m)2=m 2+a 2+am.⇔m=35a .△AF 1B 面积S=12|BA ||F 1A |sin60°⇔12×a ×(a +35a)×√32=40√3⇔a=10,∴c=5,b=5√3. 【例3】.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于,A B 两点,若线段AB 的长为8,则p =_____.解析 设过焦点(,0)2p F 且倾斜角为45°的直线方程为2py x =-,联立直线方程与抛物线方程得222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消y 得22304p x px -+=.xyOP设A ,B 两点的坐标为11(,)x y ,22(,)x y ,则121234x x p px x +=⎧⎪⎨=⎪⎩, 故21211AB x x =+-=212122()4x x x x ⋅+-＝222(3)p p ⋅-＝222p ⋅＝4p ＝8,则p ＝2.【例4】.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22, 直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N . (1)求椭圆C 的方程(2)当AMN ∆的面积为103时,求k 的值. 解析:(1)由题意得,,解得,,所以椭圆的方程为.(2)由,得.设点,,则,. 因为直线恒过椭圆内一点,所以恒成立.由根与系数的关系得:,.所以,又因为点到直线的距离,所以的面积为,即,解得.【例5】.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图). (1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:+3l y x =交于A,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.解析:(1)设切点坐标为00(x ,y )00(x 0,y 0)>>.则切线斜率为0x y -.切线方程为0000y (x x )x y y -=--.即004x x y y +=.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时,00x y 有最大值.即S 有最小值.因此点P 的坐标为(2,2).(2)设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>.点1122A(x ,y ),B(x ,y ).由点P 在C 上知22221a b+=.并由22221,3,x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22243620b x x b ++-=.又12,x x 是方程的根,因此12221224362x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,由113y x =+,223y x =+,得241224824822b b AB x x b -+=-=⋅.由点P 到直线l 的距离为32及13222PAB S AB ∆==得429180b b -+=.解得26b =或3.因此26b =,23a =(舍)或23b =,26a =.从而所求C 的方程为22163x y +=.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B两点,直线l 的倾斜角为60°,AF →=2FB →. (1)求椭圆C 的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C 的方程.【解答】解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2＜0. (1)直线l 的方程为y =√3(x +c),其中c =√a 2−b 2.联立{y =√3(x +c)x 2a 2+y 2b 2=1 得 (3a 2+b 2)y 2−2√3b 2cy −3b 4=0.解得y 1=√3b2(c+2a)3a 2+b2,y 2=√3b2(c−2a)3a 2+b2. 因为AF →=2FB →,所以﹣y 1=2y 2.即﹣√3b 2(c+2a)3a 2+b 2=2 √3b 2(c−2a)3a 2+b 2,解得离心率e =c a =23.(6分)(2)因为|AB|=√1+1k2⋅|y 2−y 1|,∴154=√1+13•4√3ab 23a 2+b2.由c a =23 得b =√53a ,所以54a =154,解得a=3,b =√5. 故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.(12分)【例2】.已知椭圆1C ：x 2421y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A B ，分别在椭圆1C 和2C 上,OB →=2OA →,求直线AB 的方程.【解答】解:(1)椭圆C 1:x 24+y 2=1的长轴长为4,离心率为e =c a =√32∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率∴椭圆C 2的焦点在y 轴上,2b=4,为e =c a =√32∴b=2,a=4∴椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1;(2)设A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ), ∵OB →=2OA →∴O,A,B 三点共线,当斜率不存在时,OB →=2OA →不成立,∴点A,B 不在y 轴上 当斜率存在时,设AB 的方程为y=kx将y=kx 代入x 24+y 2=1,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴x A 2=41+4k 2 将y=kx 代入y 216+x 24=1,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴x B 2=164+k2 ∵OB →=2OA →,∴x B 2=4x A 2∴164+k 2=161+4k 2,解得k=±1,∴AB 的方程为y=±x【例3】.已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A B ，两点,线段AB 的中点为(1)(0)M m m ，＞. (1)证明:k <−12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0→.证明:|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.【解答】解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)∵线段AB 的中点为M(1,m)∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m将A,B 代入椭圆C:x 24+y 23=1中,可得{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12两式相减可得, 3(x 1+x 2)(x 1﹣x 2)+4(y 1+y 2)(y 1﹣y 2)=0, 即6(x 1﹣x 2)+8m(y 1﹣y 2)=0∴k=y 1−y 2x 1−x 2=﹣68m =﹣34m点M(1,m)在椭圆内,即14+m 23＜1,(m >0)解得0＜m ＜32∴k =−34m ＜−12.①(2)由题意得F(1,0),设P(x 3,y 3),则x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1=0,y 1+y 2+y 3=0, 由(1)及题设得x 3=3﹣(x 1+x 2)=1,y 3=﹣(y 1+y 2)=﹣2m ＜0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P(1,﹣32),|FP →|=32.于是|FA →|=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2﹣x 12.同理|FB →|=2﹣x 22.所以|FA →|+|FB →|=4﹣12(x 1+x 2)=3,故|FA →|+|FB →|=2|FP →|,即|FA →|,|FP →|,|FP →|成等差数列.设改数列的公差为d,则2|d |=||FB →|−|FA →||=12|x 1﹣x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2②将m=34代入①得k=﹣1.所以l 的方程为y=﹣x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=1,x 1x 2=128,代入②解得|d |=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或﹣3√2128.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】.如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点112212P A x y B x y （，），（，），（，）均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y 的值及直线AB 的斜率.【解答】解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px∵点P(1,2)在抛物线上∴22=2p ×1,得p=2，故所求抛物线的方程是y 2=4x 准线方程是x=﹣1(II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB则k PA =y 1−2x 1−1(x 1≠1),k PB =y 2−2x 2−1(x 2≠1)∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补∴k PA =﹣k PB 由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在抛物线上,得y 12=4x 1(1)y 22=4x 2(2) ∴y 1−214y 12−1=−y 2−214y 22−1∴y 1+2=﹣(y 2+2) ∴y 1+y 2=﹣4由(1)﹣(2)得直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2=−44=−1(x 1≠x 2)【例2】.设A B ，为曲线C:y =x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 【解答】解:(1)设A(x 1,x 124),B(x 2,x 224)为曲线C:y=x 24上两点,则直线AB 的斜率为k=x 124−x 224x 1−x 2=14(x 1+x 2)=14×4=1;(2)设直线AB 的方程为y=x +t,代入曲线C:y=x 24,可得x 2﹣4x ﹣4t=0,即有x 1+x 2=4,x 1x 2=﹣4t,再由y=x 24的导数为y ′=12x,设M(m,m 24),可得M 处切线的斜率为12m,由C 在M 处的切线与直线AB 平行,可得12m=1,解得m=2,即M(2,1),由AM ⊥BM 可得,k AM •k BM =﹣1,即为x 124−1x 1−2•x 224−1x 2−2=﹣1,化为x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0,即为﹣4t +8+20=0, 解得t=7.则直线AB 的方程为y=x +7。

第二章常见条件翻译转化 第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y k =-=≠三、三角形面积求法【例1】.设12F F ，分别是椭圆22210+1y E x b b=：（＜＜）的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A B 、两点,且22||||||AF AB BF ，，成等差数列. (1)求||AB ;(2)若直线l 的斜率1为,求b 的值.【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB|=43(2)L 的方程式为y=x +c,其中c =√1−b 2设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A,B 两点坐标满足方程组{y =x +cx 2+y 2b2=1.,化简得(1+b 2)x 2+2cx +1﹣2b 2=0.则x1+x 2=−2c 1+b 2,x 1x 2=1−2b21+b2. 因为直线AB 的斜率为1,所以|AB|=√2|x 2−x 1|即43=√2|x 2−x 1|.则89=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4(1−b 2)(1+b 2)2−4(1−2b 2)1+b 2=8b 4(1+b 2)2.解得b =√22.【例2】.如图,12F F ，分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=10a b （＞＞）的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ∠=︒. (1)求椭圆C 的离心率;(2)已知1AF B 的面积为403求a b ，的值.【解答】解:(1)∠F 1AF 2=60°⇔a=2c ⇔e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a ﹣m,在三角形BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|BF 2||F 1F 2|cos120°⇔(2a ﹣m)2=m 2+a 2+am.⇔m=35a .△AF 1B 面积S=12|BA ||F 1A |sin60°⇔12×a ×(a +35a)×√32=40√3⇔a=10,∴c=5,b=5√3. 【例3】.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于,A B 两点,若线段AB 的长为8,则p =_____.解析 设过焦点(,0)2p F 且倾斜角为45°的直线方程为2py x =-,联立直线方程与抛物线方程得222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消y 得22304p x px -+=.则p ＝2.【例4】.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2, 直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N . (1)求椭圆C 的方程(2)当AMN ∆时,求k 的值. 解析:(1)由题意得,,解得,,所以椭圆的方程为.(2)由,得.设点,,则,. 因为直线恒过椭圆内一点,所以恒成立.由根与系数的关系得:,.所以,又因为点到直线的距离,所以的面积为,即,解得.【例5】.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:l y x =A,B 两点,若PAB ∆2,求C 的标准方程.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B两点,直线l 的倾斜角为60°,AF →=2FB →. (1)求椭圆C 的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C 的方程.【解答】解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2＜0. (1)直线l 的方程为y =√3(x +c),其中c =√a 2−b 2.联立{y =√3(x +c)x 2a 2+y 2b 2=1 得 (3a 2+b 2)y 2−2√3b 2cy −3b 4=0.解得y 1=√3b2(c+2a)3a 2+b2,y 2=√3b2(c−2a)3a 2+b2. 因为AF →=2FB →,所以﹣y 1=2y 2.即﹣√3b 2(c+2a)3a 2+b 2=2 √3b 2(c−2a)3a 2+b 2,解得离心率e =c a =23.(6分)(2)因为|AB|=√1+1k2⋅|y 2−y 1|,∴154=√1+13•4√3ab 23a 2+b2.由ca =23 得b =√53a ,所以54a =154,解得a=3,b =√5. 故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.(12分)【例2】.已知椭圆1C ：x 2421y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A B ，分别在椭圆1C 和2C 上,OB →=2OA →,求直线AB 的方程.【解答】解:(1)椭圆C 1:x 24+y 2=1的长轴长为4,离心率为e =c a =√32∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率∴椭圆C 2的焦点在y 轴上,2b=4,为e =c a =√32∴b=2,a=4∴椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1;(2)设A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ), ∵OB →=2OA →∴O,A,B 三点共线,当斜率不存在时,OB →=2OA →不成立,∴点A,B 不在y 轴上 当斜率存在时,设AB 的方程为y=kx将y=kx 代入x 24+y 2=1,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴x A 2=41+4k 2 将y=kx 代入y 216+x 24=1,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴x B 2=164+k2 ∵OB →=2OA →,∴x B 2=4x A 2∴164+k 2=161+4k 2,解得k=±1,∴AB 的方程为y=±x【例3】.已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A B ，两点,线段AB 的中点为(1)(0)M m m ，＞. (1)证明:k <−12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0→.证明:|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.【解答】解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)∵线段AB 的中点为M(1,m)∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m将A,B 代入椭圆C:x 24+y 23=1中,可得{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12两式相减可得, 3(x 1+x 2)(x 1﹣x 2)+4(y 1+y 2)(y 1﹣y 2)=0, 即6(x 1﹣x 2)+8m(y 1﹣y 2)=0∴k=y 1−y 2x 1−x 2=﹣68m =﹣34m点M(1,m)在椭圆内,即14+m 23＜1,(m >0)解得0＜m ＜32∴k =−34m ＜−12.①(2)由题意得F(1,0),设P(x 3,y 3),则x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1=0,y 1+y 2+y 3=0, 由(1)及题设得x 3=3﹣(x 1+x 2)=1,y 3=﹣(y 1+y 2)=﹣2m ＜0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P(1,﹣32),|FP →|=32.于是|FA →|=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2﹣x 12.同理|FB →|=2﹣x 22.所以|FA →|+|FB →|=4﹣12(x 1+x 2)=3, 故|FA →|+|FB →|=2|FP →|,即|FA →|,|FP →|,|FP →|成等差数列.设改数列的公差为d,则2|d |=||FB →|−|FA →||=12|x 1﹣x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2②将m=34代入①得k=﹣1.所以l 的方程为y=﹣x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=1,x 1x 2=128,代入②解得|d |=3√2128.所以该数列的公差为3√2128或﹣3√2128.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】.如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点112212P A x y B x y （，），（，），（，）均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y 的值及直线AB 的斜率.【解答】解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px∵点P(1,2)在抛物线上∴22=2p ×1,得p=2，故所求抛物线的方程是y 2=4x 准线方程是x=﹣1(II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB则k PA =y 1−2x 1−1(x 1≠1),k PB =y 2−2x 2−1(x 2≠1)∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补∴k PA =﹣k PB 由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在抛物线上,得y 12=4x 1(1)y 22=4x 2(2) ∴y 1−214y 12−1=−y 2−214y 22−1∴y 1+2=﹣(y 2+2) ∴y 1+y 2=﹣4由(1)﹣(2)得直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2=−44=−1(x 1≠x 2)【例2】.设A B ，为曲线C:y =x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 【解答】解:(1)设A(x 1,x 124),B(x 2,x 224)为曲线C:y=x 24上两点,则直线AB 的斜率为k=x 124−x 224x 1−x 2=14(x 1+x 2)=14×4=1;(2)设直线AB 的方程为y=x +t,代入曲线C:y=x 24,可得x 2﹣4x ﹣4t=0,即有x 1+x 2=4,x 1x 2=﹣4t,再由y=x 24的导数为y ′=12x,设M(m,m 24),可得M 处切线的斜率为12m,由C 在M 处的切线与直线AB 平行,可得12m=1,解得m=2,即M(2,1),由AM ⊥BM 可得,k AM •k BM =﹣1,即为x 124−1x 1−2•x 224−1x 2−2=﹣1,化为x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0,即为﹣4t +8+20=0, 解得t=7.则直线AB 的方程为y=x +7.。

第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为 ()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单简单简单【例1】.已知双曲线的两个焦点为点 在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程;(2)记O 为坐标原点,过点02Q （，）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、,若OEF 的面积为 ,求直线l 的方程.【解答】解:(1):依题意,由a 2+b 2=4,得双曲线方程为(0＜a 2＜4),将点(3, )代入上式,得.解得a 2=18(舍去)或a 2=2,故所求双曲线方程为.(2):依题意,可设直线l 的方程为y=kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1﹣k 2)x 2﹣4kx ﹣6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F, ∴＜ ＜ ∴k ∈(﹣ )∪(1, ).设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),则由①式得x 1+x 2=,x 1x 2=﹣, 于是,|EF |==而原点O 到直线l 的距离d=, ∴S △OEF =.若S △OEF = ,即,解得k=± ,满足②.故满足条件的直线l 有两条,其方程分别为y= 和 .【例2】.设椭圆0a b （＞＞）的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为.已知A 是抛物线220y px p （＞）的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l 上两点P Q ，关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于A ),直线BQ 与x 轴相交于点D.若APD的面积为,求直线AP的方程.【解答】(1)解:设F的坐标为(﹣c,0).依题意可得解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),联立方程组,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣∴B().∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0,令y=0,解得x=,故D(,0).∴|AD|=1﹣=.又∵△APD的面积为,∴×=,整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±.∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0,或3x﹣y﹣3=0.【例3】已知椭圆C:22221x ya b+=(0a b>>)的左焦点为(2,0)F-,离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线3x=-上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.(1)由已知得:63c a =,,所以6a = 又由222a b c =+,解得2b =,所以椭圆的标准方程为:. (2)设T 点的坐标为(3,)m -,则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时,直线PQ 的斜率1PQ k m=,直线PQ 的方程是 当0m =时,直线PQ 的方程是2x =-,也符合的形式.将代入椭圆方程得:.其判别式22168(3)0m m ∆=++>.设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP QT =,即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩解得1m =±.此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++.【例4】.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点()焦点2c =22162x y +=2x my =-2x my =-2x my =-22(3)420m y my +--=12(30),(30)F F -，，,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于A B ，两点.若OAB 的面积为,求直线l 的方程.【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为,∵焦点F 1(﹣ ,0),F 2( ,0),∴ . ∵∴,又a 2﹣b 2=c 2=3,解得a=2,b=1. ∴椭圆C 的方程为:,圆O 的方程为:x 2+y 2=3.(2)①可知直线l 与圆O 相切,也与椭圆C,且切点在第一象限,因此k 一定小于0, ∴可设直线l 的方程为y=kx +m,(k ＜0,m >0). 由圆心(0,0)到直线l 的距离等于圆半径 ,可得即 .由,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0, △=(8km)2﹣4(4k 2+1)(4m 2﹣4)=0,可得m 2=4k 2+1,∴3k 2+3=4k 2+1,结合k ＜0,m >0,解得k=﹣ ,m=3. 将k=﹣ ,m=3代入 可得 ,解得x= ,y=1,故点P 的坐标为( . ②设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由 ＜⇒k ＜﹣ .联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0,|x 2﹣x 1|==,O 到直线l 的距离d=,|AB |=|x 2﹣x 1|=,△OAB 的面积为S===,解得k=﹣ ,(正值舍去),m=3 . ∴y=﹣ 为所求.【例5】.在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点1,1A -（）关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ,问:是否存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由. 若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等,设点P 的坐标为00(,)x y则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠,因为sin sin APB MPN ∠=∠,所以||||||||PA PN PM PB =所以000|1||3||3||1|x x x x +-=--即 2200(3)|1|x x -=-,解得0x 53=因为220034x y +=,所以0339y =±,故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等,此时点P 的坐标为533(,)39±. 【例6】.已知抛物线22C y x =：的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点,交C 的准线于P Q ，两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ ;(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解答】(1)证明:连接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF 及AP ∥BQ,得∠AFP +∠BFQ=90°, ∴∠PFQ=90°,∵R 是PQ 的中点,∴RF=RP=RQ,∴△PAR ≌△FAR,∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,∵∠BQF +∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR, ∴∠FQB=∠PAR,∴∠PRA=∠PQF,∴AR ∥FQ. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F( ,0),准线为 x=﹣ , S △PQF = |PQ |=|y 1﹣y 2|, 设直线AB 与x 轴交点为N,∴S △ABF =|FN ||y 1﹣y 2|,∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,∴2|FN |=1,∴x N =1,即N(1,0).设AB 中点为M(x,y),由得 =2(x 1﹣x 2),又 = , ∴=,即y 2=x ﹣1.∴AB 中点轨迹方程为y 2=x ﹣1.【例7】.设椭圆0a b （＞＞）的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为,||AB = . (1)求椭圆的方程;(2)设直线0l y kx k =：（＜）与椭圆交于P Q ，两点, 与直线AB 交于点M ,且点P M ，均在第四象限.若BPM 的面积是BPQ 面积的2倍,求k 的值.【解答】解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得,又a 2=b 2+c 2, 解得a=3,b=2,∴椭圆的方程为:,(2)设点P(x 1,y 1),M(x 2,y 2),(x 2>x 1>0).则Q(﹣x 1,﹣y 1).∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,∴|PM |=2|PQ |,从而x 2﹣x 1=2[x 1﹣(﹣x 1)], ∴x 2=5x 1,易知直线AB 的方程为:2x +3y=6.由 ,可得0.由 ,可得,⇒ ,⇒18k 2+25k +8=0,解得k=﹣ 或k=﹣.由0.可得k ,故k=﹣,【例8】.已知椭圆C 的两个顶点分别为2020A B （-，），（，）,焦点在x 轴上,离心率为. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M N ，,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:BDE 与BDN 的面积之比为45：. 【解答】解:(1)由椭圆的焦点在x 轴上,设椭圆方程:(a >b >0),则a=2,e= =,则c= ,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆C 的方程;(2)证明:设D(x 0,0),(﹣2＜x 0＜2),M(x 0,y 0),N(x 0,﹣y 0),y 0>0,由M,N 在椭圆上,则,则x 02=4﹣4y 02, 则直线AM 的斜率k AM = = ,直线DE 的斜率k DE =﹣ ,直线DE 的方程:y=﹣(x ﹣x 0),直线BN 的斜率k BN =,直线BN 的方程y=(x ﹣2),,解得:, 过E 做EH ⊥x 轴,△BHE ∽△BDN,则丨EH 丨=,则丨 丨丨 丨=,∴:△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5.【例9】如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长.(1)求,的方程;(2)设与轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线与相交于点,直线,MA MB 分别与相交与,D E .22122:1(0)x y C a b a b +=>>32x22:C y x b =-1C 1C 2C 2C y l 2C 1C(i)证明:;(ii)记,MAB MDE 的面积分别是12,S S .问:是否存在直线,使得=?请说明理由.解析:(I)由题意知32c e a ==,从而2a b =,又2b a =,解得2,1a b ==. 故,的方程分别为2221,14x y y x +==-. (II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为k ,则直线的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,x x 是上述方程的两个实根,于是1212,1x x k x x +==-.又点M 的坐标为(0,1)- 所以故,即.(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.于是由得,解得或则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.MD ME ⊥l 21S S 32171C 2C l l于是.因此.由题意知,,解得或.又由点、的坐标可知,,所以.故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.在平面直角坐标系xOy中,点到两点的距离之和等于,设点的轨迹为.(1)写出的方程;(2)设直线与交于两点.为何值时⊥？此时的值是多少？【解答】解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为.(4分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足消去y并整理得(k2+4)x2+2kx﹣3=0,故.(6分),即x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1,于是.所以时,x 1x 2+y 1y 2=0,故 .(8分)当时,, 而(x 2﹣x 1)2=(x 2+x 1)2﹣4x 1x 2=,所以.(12分)【例2】.在直角坐标系 中,椭圆1C ：的左、右焦点分别为12F F ，.2F 也是抛物线224C y x =：的焦点,点M 为1C 与2C 在第一象限的交点,且2||MF =.(1)求1C 的方程;(2)平面上的点N 满足,直线l M N ,且与1C 交于A B ，两点,若,求直线 的方程. 【解答】解:(1)由C 2:y 2=4x 知F 2(1,0).设M(x 1,y 1),M 在C 2上,因为,所以 ,得.M 在C 1上,且椭圆C 1的半焦距c=1, 于是消去b 2并整理得9a 4﹣37a 2+4=0,解得a=2(不合题意,舍去).故椭圆C 1的方程为.(2)由知四边形MF 1NF 2是平行四边形,其中心为坐标原点O, 因为l ∥MN,所以l 与OM 的斜率相同,故l 的斜率.设l 的方程为 .由消去y 并化简得9x 2﹣16mx +8m 2﹣4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),.因为,所以x 1x 2+y 1y 2=0.x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+6(x 1﹣m)(x 2﹣m)=7x 1x 2﹣6m(x 1+x 2)+6m 2==.所以 .此时△=(16m)2﹣4×9(8m 2﹣4)>0,故所求直线l 的方程为 ,或 .【例3】.已知双曲线的离心率为 ,右准线方程为(I)求双曲线 的方程;(2)设直线 是圆222O x y +=：上动点0000)((0)P x y x y ≠，处的切线, 与双曲线C 交于不同的两点A B ，,证明AOB ∠的大小为定值.【解答】解:(1)由题意,,解得a=1,c= ,b 2=c 2﹣a 2=2,∴所求双曲C的方程.(2)设P(m,n)(mn ≠0)在x 2+y 2=2上,圆在点P(m,n)处的切线方程为y ﹣n=﹣(x ﹣m),化简得mx +ny=2.以及m 2+n 2=2得(3m 2﹣4)x 2﹣4mx +8﹣2m 2=0, ∵切L 与双曲线C 交于不同的两点A 、B,且0＜m 2＜2, 3m 2﹣4≠0,且△=16m 2﹣4(3m 2﹣4)(8﹣2m 2)>0, 设A 、B 两点的坐标分别(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 1+x 2=,x 1x 2=.∵,且=x 1x 2+[4﹣2m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2]=+[4﹣+]=﹣=0. ∴∠AOB 的大小为900.【例4】.设12F F ，分别是0a b （＞＞）的左,右焦点, 是 上一点且2MF 与 轴垂直,直线1MF 与 的另一个交点为 .(1)若直线 的斜率为,求 的离心率;(2)若直线 在 轴上的截距为 ,且15||||MN F N ,求 . 【解答】解:(1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直, ∴M 的横坐标为c,当x=c 时,y=,即M(c,),若直线MN 的斜率为 ,即tan ∠MF 1F 2=,即b 2= =a 2﹣c 2,即c 2+﹣a 2=0,则 ,即2e 2+3e ﹣2=0解得e= 或e=﹣2(舍去),即e=.(2)由题意,原点O 是F 1F 2的中点,则直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,设M(c,y),(y >0),则,即,解得y= ,∵OD 是△MF 1F 2的中位线,∴=4,即b 2=4a,由|MN |=5|F 1N |,则|MF 1|=4|F 1N |, 解得|DF 1|=2|F 1N |, 即设N(x 1,y 1),由题意知y 1＜0,则(﹣c,﹣2)=2(x 1+c,y 1).即 ,即代入椭圆方程得 ,将b 2=4a 代入得,解得a=7,b= .【例5】.如图,设椭圆的中心为原点 ,长轴在 轴上,上顶点为 ,左、右焦点分别为12F F ，,线段12OF OF ，的中点分别为12B B ，,且12AB B 是面积为 的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过1B 作直线交椭圆于P Q ，两点,使22PB QB ,求2PB Q 的面积.【解答】解:(1)设椭圆的方程为,F 2(c,0)∵△AB 1B 2是的直角三角形,|AB 1|=AB 2|,∴∠B 1AB 2为直角,从而|OA |=|OB 2|,即∵c 2=a 2﹣b 2,∴a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴在△AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,∴S= |B 1B 2||OA |=∵S=4,∴b 2=4,∴a 2=5b 2=20∴椭圆标准方程为;(2)由(1)知B 1(﹣2,0),B 2(2,0),由题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my ﹣2代入椭圆方程,消元可得(m 2+5)y 2﹣4my ﹣16=0① 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴∵∴=∵PB 2⊥QB 2,∴∴,∴m=±2当m=±2时,①可化为9y 2±8y ﹣16﹣0,∴|y 1﹣y 2|==∴△PB 2Q 的面积S= |B 1B 2||y 1﹣y 2|= ×4× =.【例5】.如图,抛物线E:24y x =的焦点为F ,准线 与 轴的交点为 .点 在抛物线 上,以 为圆心, 为半径作圆,设圆 与准线 交于不同的两点 . (1)若点 的纵坐标为 ,求 ;(2)若2||||||•AF AM AN =,求圆 的半径.【解答】解:(I)抛物线E:y2=4x 的准线l:x=﹣1,由点C 的纵坐标为2,得C(1,2),故C 到准线的距离d=2,又|OC |= , ∴|MN |=2 = =2. (II)设C(,y 0),则圆C 的方程为(x ﹣)2+(y ﹣y 0)2=, 即x 2﹣ +y 2﹣2y 0y=0,由x=﹣1得y 2﹣2y 0y +1+=0,设M(﹣1,y 1),N(﹣1,y 2),则, 由|AF |2=|AM |•|AN |,得|y 1y 2|=4,∴1+=4,解得y 0= ,此时△>0∴圆心C 的坐标为( ),|OC |2= ,从而|OC |= .即圆C 的半径为.【例6】.如图, 为坐标原点,双曲线1C ：1100a b （＞，＞）和椭圆C 2:220a b （＞＞）均过点,且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12C C 、的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A 、B 两点,与2C 只有一个公共点,且|+|=||？证明你的结论.【解答】解:(1)设椭圆C 2的焦距为2c 2,由题意可得2a 1=2,∴a 1=1,c 2=1.由于点P( ,1)在上,∴﹣ =1, =3,∴双曲线C 1的方程为:x 2﹣=1.再由椭圆的定义可得 2a 2=+=2 ,∴a 2= ,∴= ﹣ =2,∴椭圆C 2的方程为:+=1.(2)不存在满足条件的直线l.(1)若直线l 垂直于x 轴,则由题意可得直线l 得方程为x= ,或 x=﹣ .当x=时,可得A()、B(,﹣),求得||=2,||=2,显然,|+|≠||.同理,当x=﹣时,也有|+|≠||.(2)若直线l不垂直于x轴,设直线l得方程为y=kx+m,由可得(3﹣k2)x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0,∴x1+x2=,x1•x2=.于是,y1•y2=k2x1•x2+km(x1+x2)+m2=.由可得(2k2+3)x2+4kmx+2m2﹣6=0,根据直线l和C1仅有一个交点,∴判别式△=16k2m2﹣8(2k2+3)(m2﹣3)=0,∴2k2=m2﹣3.∴=x1•x2+y1•y2=≠0,∴≠,∴|+|≠||.【例7】.双曲线2221yxb-=0b（＞）的左、右焦点分别为12F F，,直线过2F且与双曲线交于A B，两点.(1)直线的倾斜角为,1F AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设,若的斜率存在,且(+)•=0,求的斜率.【解答】解:(1)双曲线x2﹣=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,a=1,c2=1+b2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点,直线l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,可得:A(c,b2),可得:,3b4=4(a2+b2),即3b4﹣4b2﹣4=0,b>0,解得b2=2.所求双曲线方程为:x2﹣=1,其渐近线方程为y=±x.(2)b=,双曲线x2﹣=1,可得F1(﹣2,0),F2(2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为:k=,直线l的方程为:y=k(x﹣2),由题意可得:,消去y可得:(3﹣k2)x2+4k2x﹣4k2﹣3=0,△=36(1+k2)>0且3﹣k2≠0,可得x1+x2=,则y1+y2=k(x1+x2﹣4)=k(﹣4)=.=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),(+)•=0可得:(x1+x2+4,y1+y2)•(x1﹣x2,y1﹣y2)=0,可得x1+x2+4+(y1+y2)k=0,得+4+•k=0可得:k2=,解得k=±.l的斜率为:±.【例8】.设为坐标原点,动点在椭圆22:12xC y+=上,过作轴的垂线,垂足为,点满足=.(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且•=1.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.【解答】解:(1)设M(x0,y0),由题意可得N(x0,0),设P(x,y),由点P满足=.可得(x﹣x0,y)=(0,y0),可得x﹣x0=0,y=y0,即有x0=x,y0=,代入椭圆方程+y2=1,可得+=1,即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2;(2)证明:设Q(﹣3,m),P(cosα,sinα),(0≤α＜2π),•=1,可得(cosα,sinα)•(﹣3﹣cosα,m﹣sinα)=1,即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1,当α=0时,上式不成立,则0＜α＜2π,解得m=,即有Q(﹣3,),椭圆+y2=1的左焦点F(﹣1,0),由•=(﹣1﹣cosα,﹣sinα)•(﹣3,)=3+3cosα﹣3(1+cosα)=0.可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.另解:设Q(﹣3,t),P(m,n),由•=1,可得(m,n)•(﹣3﹣m,t ﹣n)=﹣3m ﹣m 2+nt ﹣n 2=1,又P 在圆x 2+y 2=2上,可得m 2+n 2=2,即有nt=3+3m,又椭圆的左焦点F(﹣1,0), • =(﹣1﹣m,﹣n)•(﹣3,t)=3+3m ﹣nt=3+3m ﹣3﹣3m=0,则 ⊥,可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【例9】.已知椭圆 0a b （＞＞）的离心率为 ,焦距为2 .斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 .(1)求椭圆 的方程;(2)若 ,求||AB 的最大值;(Ⅲ)设20P （-，）,直线PA 与椭圆 的另一个交点为 ,直线 与椭圆 的另一个交点为 .若 和点 共线,求 .【解答】解:(1)由题意可知:2c=2 ,则c= ,椭圆的离心率e= =, 则a= ,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆的标准方程:;(2)设直线AB 的方程为:y=x +m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立,整理得:4x 2+6mx +3m 2﹣3=0,△=(6m)2﹣4×4×3(m 2﹣1)>0, 整理得:m 2＜4,x 1+x 2=﹣,x 1x 2= ,∴|AB |= =, ∴当m=0时,|AB |取最大值,最大值为 ;(Ⅲ)设直线PA 的斜率k PA = ,直线PA 的方程为:y=(x +2), 联立, 消去y 整理得:(x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12﹣3x 12﹣12x 1﹣12)=0,由代入上式得,整理得:(4x 1+7)x 2+(12﹣4x 12)x ﹣(7x 12+12x 1)=0, x 1•x C =﹣ ,x C =﹣ ,则y C = (﹣ +2)=, 则C(﹣),同理可得:D(﹣ ), 由Q(﹣ ),则 =( ), =(), 由 与 共线,则 × = ×, 整理得:y 2﹣x 2=y 1﹣x 1,则直线AB 的斜率k==1,∴k 的值为1. 第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】设抛物线22C y x ：,点20A （，）,20B （-，）,过点 的直线 与 交于 两点. (1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程;(2)证明:∠ ∠ .【解答】解:(1)当l与x轴垂直时,x=2,代入抛物线解得y=±2,所以M(2,2)或M(2,﹣2),直线BM的方程:y=x+1,或:y=﹣x﹣1.(2)证明:设直线l的方程为l:x=ty+2,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线l与抛物线方程得,消x得y2﹣2ty﹣4=0,即y1+y2=2t,y1y2=﹣4,则有k BN+k BM=+===0,所以直线BN与BM的倾斜角互补,∴∠ABM=∠ABN.【例2】.设椭圆2212xC y+=：的右焦点为,过F的直线与交于两点,点的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:∠∠.【解答】解:(1)c==1,∴F(1,0),∵l与x轴垂直,∴x=1,由,解得或,∴A(1.),或(1,﹣),∴直线AM的方程为y=﹣x+,y=x﹣,证明:(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,∴∠OMA=∠OMB,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＜,x2＜,直线MA,MB的斜率之和为k MA,k MB之和为k MA+k MB=+,由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得k MA+k MB=,将y=k(x﹣1)代入+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=(4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k)=0从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB,综上∠OMA=∠OMB.【例3】.如图,椭圆经过点,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点),证明:直线与斜率之和为.【解答】解:(1)由题设知,=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=,所以+y2=1;(2)证明:由题意设直线PQ的方程为y=k(x﹣1)+1(k≠0),代入椭圆方程+y2=1,可得(1+2k2)x2﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,且△=16k2(k﹣1)2﹣8k(k﹣2)(1+2k2)>0,解得k>0或k＜﹣2.则有直线AP,AQ的斜率之和为k AP+k AQ=+=+=2k+(2﹣k)(+)=2k+(2﹣k)•=2k+(2﹣k)•=2k﹣2(k﹣1)=2.即有直线AP与AQ斜率之和为2。